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微点突破七　波的多解性问题
[学习目标]　1．理解波的形成与传播特点，掌握波速、波长和频率的关系。2．知道波的多解形成的原因，会分析计算波的多解问题。
1．造成波动问题多解的三大因素
周期性 (1)时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确； (2)空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确
双向性 (1)传播方向双向性：波的传播方向不确定； (2)振动方向双向性：质点振动方向不确定
波形的 隐含性 在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态，这样波形就有多种情况，形成波动问题的多解性
2．解决波的多解问题的关键
(1)通常采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件关系的Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)。
(2)根据公式v＝或v＝＝λf求波速等有关的问题，要注意题目是否有其他限制条件，如波的周期、波长、波速有限定，求出符合限定条件的解。
　周期性造成的多解问题
[典例1]　(多选)一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1 m和x2＝7 m处质点的振动图像分别如图1、图2所示，则此列波的传播速率可能是(　　)
A．7 m/s B．2 m/s
C．1.2 m/s D．1 m/s
　双向性造成的多解问题
[典例2]　(2025·江苏苏州市开学考)图中实线为一列简谐横波在某一时刻的波形曲线，经过0.1 s后，其波形曲线如图中虚线所示。该波的传播速度可能为(　　)
A．x轴正方向1.5 m/s
B．x轴正方向2.5 m/s
C．x轴负方向1.5 m/s
D．x轴负方向3.5 m/s
　波形的隐含性形成多解问题
[典例3]　一列简谐横波沿水平方向向右传播，M、N为介质中相距Δx的两质点，M在左，N在右。t时刻，M、N均通过平衡位置，且M、N之间只有一个波峰，经过Δt时间N质点恰处于波峰位置，求这列波的波速。
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1．如图甲所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，A、B两点的平衡位置间的距离x＝6 m，A、B两点的振动情况分别如图乙中的图线a、b所示。该波的最大波长为(　　)
A．8 m B．6 m
C．4 m D．2 m
2．一列沿x轴负方向传播的简谐横波，t＝2 s时的波形如图(a)所示，x＝2 m处质点的振动图像如图(b)所示，则波速可能是(　　)
A． m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
3．(多选)(2025·黑龙江哈尔滨一模)一列沿x轴传播的简谐波，在t＝0时刻的波形图如图(a)所示，质点A的振动图像如图(b)所示，质点B的平衡位置与质点A的平衡位置间的距离为3 m，0时刻，质点B的速度与质点A相同，若该波的波长大于3 m。则(　　)
A．该波沿x轴负方向传播
B．波速可能为1.5 m/s
C．质点A的振动方程y＝sin m
D．质点A在0至13 s内运动的路程为5 m
4．(多选)一列简谐横波在t＝0时刻波的图像如图中实线所示。下列说法中正确的是(　　)
A．平衡位置分别为A、B的2个质点的振幅相等
B．如果波向右传播，平衡位置分别为B、C的2个质点，在此时刻的振动方向相反
C．若波速为240 m/s，那么波的频率为30 Hz
D．若虚线是简谐横波在t＝ s时的波形图，那么波的传播速度为8(4n＋1) m/s(n＝0，1，2，…)
5．(2025·河南省郑州市高三上10月月考)如图所示是在竖直方向上振动并沿水平方向传播的简谐横波，实线是t＝0时刻的波形图，虚线是t＝0.2 s时刻的波形图。
(1)若波沿x轴负方向传播，求它传播的速度；
(2)若波沿x轴正方向传播，求它的最大周期。
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微点突破七　波的多解性问题
微点探究
典例1　BC　[由振动图像可知周期T4 s，零时刻x1处质点在平衡位置且向下振动，而x2处质点在正的最大位移处。①若波沿x轴正方向传播，其波形如图甲所示，x2处质点的平衡位置可能在A1或A2或A3……
则有x2－x1λ(n0，1，2，…)，得波速v m/s(n0，1，2，…)，当n0时，v6 m/s，当n1时，v1.2 m/s，当n2时，v m/s，C正确。②若波沿x轴负方向传播，其波形如图乙所示，x2处质点的平衡位置可能在B1或B2或B3……
则有x2－x1λ(n0，1，2，…)，得波速v m/s(n0，1，2，…)，当n0时，v2 m/s，当n1时，v≈0.86 m/s，B正确。]
典例2　A　[由题图可知λ0.2 m，该波沿x轴正方向传播时，Δxλ(n0，1，2，3，…)，该波的传播速度v m/s(n0，1，2，3，…)，当n0时v1.5 m/s，n1时，v3.5 m/s，故速度不可能为2.5 m/s，故A正确，B错误；该波沿x轴负方向传播时，Δxλ(n0，1，2，3，…)，该波的传播速度v m/s(n0，1，2，3，…)，速度不可能为1.5 m/s、3.5 m/s，故C、D错误。]
典例3　解析：由题意可知t时刻的波形可能有四种情况，如图所示：
对图(a)，N质点正经过平衡位置向上振动，则Δt可能为，…
即ΔtT(n0，1，2，…)
所以va(n0，1，2，…)
同理，对于图(b)(c)(d)分别有：
vb(n0，1，2，…)
vc(n0，1，2，…)
vd(n0，1，2，…)。
答案：见解析
微点训练
1．A　[根据振动图像平移可知，该波从A点传播至B点的时间ΔtT(n0，1，2，3，…)，又v，解得λ m(n0，1，2，3，…)，可知，当n0时，波长最大，故最大波长为λmax8 m，故选A。]
2．A　[根据题图(b)可知，该波的周期T4 s，根据“上下坡”法可得题图(a)中几个质点的振动方向如图所示，由题图(b)可知t2 s时x2 m处质点由平衡位置向y轴负方向振动，则x2 m处质点可能为B质点，也可能为D质点或在D右面与D相距整数个波长的质点，所以有nλ＋λ2 m(n0，1，2，…)，解得λ m(n0，1，2，…)，则波速v m/s m/s(n0，1，2，…)，当n2时，v m/s，故A正确。
]
3．BC　[由质点A的振动图像可知，t0时刻质点A向上振动，根据微平移法可知，波向x轴正方向传播，故A错误；质点B的平衡位置与质点A的平衡位置间的距离为3 m，0时刻质点B的速度与质点A相同，若质点B在质点A左侧，则有nλ＋3 m(n0，1，2，…)，该波的波长大于3 m，则将n0代入解得λ18 m，由题图(b)可知＋T13 s，波速为v1.5 m/s，故B正确；设质点A的振动方程yAsin msin m，当t0时y－0.5 m，代入表达式解得φ－，可知质点A的振动方程ysin m，故C正确；由题图(b)可知，质点A在0至13 s内运动的路程为s0.5 m＋4×1 m4.5 m，故D错误。]
4．ABC　[波在传播过程中各个质点的振幅都相等，选项A正确；如果波向右传播，平衡位置分别为B、C的2个质点，在此时刻的振动方向相反，B质点沿y轴正方向振动，C质点沿y轴负方向振动，选项B正确；若波速为240 m/s，那么波的频率为f Hz30 Hz，选项C正确；若虚线是简谐横波在t s时的波形图，若波沿x轴正方向传播，那么波的传播速度为v m/s8(4n＋1)m/s(n0，1，2，…)，若波沿x轴负方向传播，那么波的传播速度为v m/s8(4n＋3)m/s(n0，1，2，…)，选项D错误。]
5．解析：(1)由题图可知，该波的波长为λ4 m，若波沿x轴负方向传播，在Δt0.2 s时间内传播的距离为
Δxλ(4n＋3) m(n0，1，2，…)
波传播的速度为v
解得v(20n＋15) m/s(n0，1，2，…)。
(2)设该波的周期为T，由题图可知，若波沿x轴正方向传播，则
ΔtT(n0，1，2，…)
得T s(n0，1，2，…)
当n0时周期最大，最大值为Tmax0.8 s。
答案：(1)(20n＋15) m/s(n0，1，2，…)
(2)0.8 s
1 / 4(共59张PPT)
第七章 机械振动 机械波
微点突破七　波的多解性问题
[学习目标]　1．理解波的形成与传播特点，掌握波速、波长和频率的关系。2．知道波的多解形成的原因，会分析计算波的多解问题。
1．造成波动问题多解的三大因素
周期性 (1)时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确；
(2)空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确
双向性 (1)传播方向双向性：波的传播方向不确定；
(2)振动方向双向性：质点振动方向不确定
波形的 隐含性 在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态，这样波形就有多种情况，形成波动问题的多解性
2．解决波的多解问题的关键
(1)通常采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件关系的Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)。
(2)根据公式v＝或v＝＝λf求波速等有关的问题，要注意题目是否有其他限制条件，如波的周期、波长、波速有限定，求出符合限定条件的解。
角度1　周期性造成的多解问题
[典例1]　(多选)一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1 m和x2＝7 m处质点的振动图像分别如图1、图2所示，则此列波的传播速率可能是(　　)
A．7 m/s
B．2 m/s
C．1.2 m/s
D．1 m/s
√
√
BC　[由振动图像可知周期T＝4 s，零时刻x1处质点在平衡位置且向下振动，而x2处质点在正的最大位移处。①若波沿x轴正方向传播，其波形如图甲所示，x2处质点的平衡位置可能在A1或A2或A3……
则有x2－x1＝λ(n＝0，1，2，…)，得波速v＝＝＝
m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，v＝6 m/s，当n＝1时，v＝1.2 m/s，当n＝2时，v＝ m/s，C正确。②若波沿x轴负方向传播，其波形如图乙所示，x2处质点的平衡位置可能在B1或B2或B3……
则有x2－x1＝λ(n＝0，1，2，…)，得波速v＝＝＝
m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，v＝2 m/s，当n＝1时，v≈0.86 m/s，B正确。]
角度2　双向性造成的多解问题
[典例2]　(2025·江苏苏州市开学考)图中实线为一列简谐横波在某一时刻的波形曲线，经过0.1 s后，其波形曲线如图中虚线所示。该波的传播速度可能为(　　)
A．x轴正方向1.5 m/s
B．x轴正方向2.5 m/s
C．x轴负方向1.5 m/s
D．x轴负方向3.5 m/s
√
A　[由题图可知λ＝0.2 m，该波沿x轴正方向传播时，Δx＝λ(n＝0，1，2，3，…)，该波的传播速度v＝＝＝ m/s(n＝0，1，2，3，…)，当n＝0时v＝1.5 m/s，n＝1时，v＝3.5 m/s，故速度不可能为2.5 m/s，故A正确，B错误；该波沿x轴负方向传播时，Δx＝λ(n＝0，1，2，3，…)，该波的传播速度v＝＝＝
m/s(n＝0，1，2，3，…)，速度不可能为1.5 m/s、3.5 m/s，故C、D错误。]
角度3　波形的隐含性形成多解问题
[典例3]　一列简谐横波沿水平方向向右传播，M、N为介质中相距Δx的两质点，M在左，N在右。t时刻，M、N均通过平衡位置，且M、N之间只有一个波峰，经过Δt时间N质点恰处于波峰位置，求这列波的波速。
[解析]　由题意可知t时刻的波形可能有四种情况，如图所示：
对图(a)，N质点正经过平衡位置向上振动，则Δt可能为，…
即Δt＝T(n＝0，1，2，…)
所以va＝＝＝(n＝0，1，2，…)
同理，对于图(b)(c)(d)分别有：
vb＝(n＝0，1，2，…)
vc＝(n＝0，1，2，…)
vd＝(n＝0，1，2，…)。
[答案]　见解析
1．如图甲所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，A、B两点的平衡位置间的距离x＝6 m，A、B两点的振动情况分别如图乙中的图线a、b所示。该波的最大波长为(　　)
A．8 m
B．6 m
C．4 m
D．2 m
√
A　[根据振动图像平移可知，该波从A点传播至B点的时间Δt＝T(n＝0，1，2，3，…)，又v＝＝，解得λ＝ m(n＝0，1，2，3，…)，可知，当n＝0时，波长最大，故最大波长为λmax＝
8 m，故选A。]
2．一列沿x轴负方向传播的简谐横波，t＝2 s时的波形如图(a)所示，x＝2 m处质点的振动图像如图(b)所示，则波速可能是(　　)
A． m/s
B． m/s
C． m/s
D． m/s
√
A　[根据题图(b)可知，该波的周期T＝4 s，根据“上下坡”法可得题图(a)中几个质点的振动方向如图所示，由题图(b)可知t＝2 s时x＝2 m处质点由平衡位置向y轴负方向振动，则x＝2 m处质点可能为B质点，也可能为D质点或在D右面与D相距整数个波长的质点，所以有nλ＋λ＝2 m(n＝0，1，2，…)，解得λ＝ m(n＝0，1，2，…)，则波速v＝＝ m/s＝ m/s(n＝0，1，2，…)，
当n＝2时，v＝ m/s，故A正确。]
3．(多选)(2025·黑龙江哈尔滨一模)一列沿x轴传播的简谐波，在t＝0时刻的波形图如图(a)所示，质点A的振动图像如图(b)所示，质点B的平衡位置与质点A的平衡位置间的距离为3 m，0时刻，质点B的速度与质点A相同，若该波的波长大于3 m。则(　　)
A．该波沿x轴负方向传播
B．波速可能为1.5 m/s
C．质点A的振动方程y＝sin m
D．质点A在0至13 s内运动的路程为5 m
√
√
BC　[由质点A的振动图像可知，t＝0时刻质点A向上振动，根据微平移法可知，波向x轴正方向传播，故A错误；质点B的平衡位置与质点A的平衡位置间的距离为3 m，0时刻质点B的速度与质点A相同，若质点B在质点A左侧，则有nλ＋＝3 m(n＝0，1，2，…)，该波的波长大于3 m，则将n＝0代入解得λ＝18 m，由题图(b)可知＋T＝13 s，波速为v＝＝1.5 m/s，故B正确；设质点A的振动方程y＝
A sin m＝sin m，当t＝0时y＝－0.5 m，代入表达式解得φ＝－，可知质点A的振动方程y＝sin m，故C正确；由题图(b)可知，质点A在0至13 s内运动的路程为s＝0.5 m＋4×
1 m＝4.5 m，故D错误。]
4．(多选)一列简谐横波在t＝0时刻波的图像如图中实线所示。下列说法中正确的是(　　)
A．平衡位置分别为A、B的2个质点的振幅相等
B．如果波向右传播，平衡位置分别为B、C的2个质点，在此时刻的振动方向相反
C．若波速为240 m/s，那么波的频率为30 Hz
D．若虚线是简谐横波在t＝ s时的波形图，那么波的传播速度为8(4n＋1) m/s(n＝0，1，2，…)
√
√
√
ABC　[波在传播过程中各个质点的振幅都相等，选项A正确；如果波向右传播，平衡位置分别为B、C的2个质点，在此时刻的振动方向相反，B质点沿y轴正方向振动，C质点沿y轴负方向振动，选项B正确；若波速为240 m/s，那么波的频率为f＝＝ Hz＝30 Hz，选项C正确；若虚线是简谐横波在t＝ s时的波形图，若波沿x轴正方向传播，那么波的传播速度为v＝＝ m/s＝8(4n＋1)m/s(n＝0，1，2，…)，若波沿x轴负方向传播，那么波的传播速度为v＝＝ m/s＝8(4n＋3)m/s(n＝0，1，2，…)，选项D错误。]
5．(2025·河南省郑州市高三上10月月考)如图所示是在竖直方向上振动并沿水平方向传播的简谐横波，实线是t＝0时刻的波形图，虚线是t＝0.2 s时刻的波形图。
(1)若波沿x轴负方向传播，求它传播的速度；
(2)若波沿x轴正方向传播，求它的最大周期。
[解析]　(1)由题图可知，该波的波长为λ＝4 m，若波沿x轴负方向传播，在Δt＝0.2 s时间内传播的距离为
Δx＝λ＝(4n＋3) m(n＝0，1，2，…)
波传播的速度为v＝
解得v＝(20n＋15) m/s(n＝0，1，2，…)。
(2)设该波的周期为T，由题图可知，若波沿x轴正方向传播，则
Δt＝T(n＝0，1，2，…)
得T＝＝ s(n＝0，1，2，…)
当n＝0时周期最大，最大值为Tmax＝0.8 s。
[答案]　(1)(20n＋15) m/s(n＝0，1，2，…)　(2)0.8 s
章末巩固检测(七)　机械振动　机械波
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
说明：第1～7题，每小题5分；本试卷共55分。
一、选择题：共7小题，1～5题只有一个选项符合要求，6～7题有多个选项符合要求。
1．(2025·广东卷)关于受迫振动和多普勒效应，下列说法正确的是(　　)
A．系统的固有频率与驱动力频率有关
B．只要驱动力足够大，共振就能发生
C．应用多普勒效应可以测量车辆的速度
D．观察者与波源相互远离时，接收到的波的频率比波源的频率大
√
C　[系统的固有频率是指振动系统不受外力作用时振动的频率，驱动力频率是指施加在系统上的周期性外力的频率，两者无关，A错误；当驱动力的频率等于系统的固有频率时，系统受迫振动的振幅最大，发生共振，所以共振能否发生取决于驱动力的频率是否等于系统的固有频率，与驱动力的大小无关，B错误；多普勒效应是指波源与观察者相互靠近或者相互远离时，接收到的波的频率发生变化的现象，在生活中可以用来测量车辆的速度，C正确；观察者与波源相互远离时，观察者接收到的波的频率比波源的频率小；观察者与波源相互靠近时，观察者接收到的波的频率比波源的频率大，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
2．(2024·甘肃卷)如图所示为某单摆(小摆角)的振动图像，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．摆长为1.6 m，起始时刻速度最大
B．摆长为2.5 m，起始时刻速度为零
C．摆长为1.6 m，A、C点的速度相同
D．摆长为2.5 m，A、B点的速度相同
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
C　[由单摆的振动图像可知振动周期为T＝0.8π s，由单摆的周期公式T＝2π得摆长为l＝＝1.6 m，x-t图像的斜率代表速度，故起始时刻速度为零，且A、C点的速度相同，A、B点的速度大小相同，方向不同。故选C。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
3．如图甲、乙所示的是一列机械波在传播方向上相距6 m的两个质点P、Q的振动图像，下列说法正确的是(　　)
A．该波的周期是5 s
B．该波的波速是3 m/s
C．4 s时，P质点向上振动
D．4 s时，Q质点向上振动
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
C　[由两个质点的振动图像可知，该波的周期是4 s，A错误；4 s时，P质点向上振动，Q质点向下振动，C正确，D错误；两个质点振动步调相反，可知两质点间距离等于λ(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，λ＝6 m，λ＝12 m，v＝＝3 m/s，当n1时，v≠3 m/s，B错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
4．(2025·山西吕梁一模)如图甲所示，某同学将手机挂在轻弹簧下端制作了一个振动装置。在某次实验中手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A．t＝0时，弹簧弹力为0
B．t＝0.2 s时，手机位于平衡位置下方且速度为0
C．从t＝0至t＝0.2 s，手机的动能增大
D．从t＝0.2 s至t＝0.4 s，手机的机械能守恒
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
B　[由题图乙知，t＝0时，手机加速度为0，由牛顿第二定律可知，此时手机所受合力为0，弹簧弹力大小为F＝mg，故A错误；由题图乙知，t＝0.2 s时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，此时手机加速度最大，所以偏离平衡位置的位移也最大，速度为0，故B正确；结合题图甲、乙知，t＝0时，加速度为0，速度最大，物体在平衡位置处，t＝0.2 s时，加速度最大，速度为0，物体在偏离平衡位置最大处，所以从t＝0至t＝0.2 s，手机速度减小，动能减小，故C错误；整个过程手机与弹簧组成的系统机械能守恒，从t＝0.2 s至t＝0.4 s，手机从最低点向上运动到平衡位置，弹簧伸长量逐渐减小，弹簧弹性势能减小，故手机的机械能增大，故D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
5．(2024·浙江6月选考)频率相同的简谐波源S1、S2和接收点M位于同一平面内，S1、S2到M的距离之差为6 m。t＝0时，S1、S2同时垂直平面开始振动，M点的振动图像如图所示，则(　　)
A．两列波的波长为2 m
B．S1和S2的起振方向均沿x正方向
C．S1和S2在平面内不能产生干涉现象
D．两列波的振幅分别为3 cm和1 cm
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
B　[根据题图可知，两列波传到M点的时间之差为3 s，又S1、S2到M点的距离之差为6 m，则由v＝可得两列波的波速为2 m/s，由题图可知两列波的振动周期T＝2 s，则由λ＝vT可知两列波的波长为
4 m，A错误；由题图可知，t＝4 s时，M点开始沿x正方向振动，说明较快传播到M点的波的波源的起振方向沿x正方向，t＝7 s时，M点的振动图像开始发生变化，说明此时另一列波刚好传播到M点，由于此时较快传播到M点的波使M点沿x负方向振动，而此后M点的振幅减小，说明此时刚好传播到M点的波使M点沿x正方向振动，即
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
慢传播到M点的波的波源的起振方向沿x正方向，B正确；由于S1、S2的频率相同、相位差恒定、振动方向相同，则S1、S2在平面内能产生干涉现象，C错误；根据题图可知较快传播到M点的波的振幅为3 cm，t＝7 s后，M点的振幅为A＝A快－A慢＝1 cm，则较慢传播到M点的波的振幅为2 cm，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
6．(2025·辽宁丹东一模)一列简谐波沿x轴方向传播，图甲是t＝1 s时的波形图，图乙是x＝5 m处A质点的振动图像。若该波的周期T不小于1 s，下列说法正确的是(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A．该简谐横波的频率可能为0.5 Hz
B．该简谐横波的传播速度可能为20 m/s
C．若波沿x轴正方向传播，质点A的振动方程为y＝5sin πt(cm)
D．若波沿x轴正方向传播，t＝1 s到t＝1.5 s时间内，质点A运动的路程为10 cm
√
题号
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7
9
√
AD　[若波沿x轴正方向传播，则t＝1 s时，A质点处于平衡位置向上振动，结合题图乙可知t＝nT＝1 s(n＝1，2，3，…)，由于周期T不小于1 s，则T＝1 s，因此f＝1 Hz。若波沿x轴负方向传播，则t＝1 s时，A质点处于平衡位置向下振动，结合题图乙可知t＝nT＋＝
1 s(n＝0，1，2，3，…)，由于周期T不小于1 s，则T＝2 s，因此f＝0.5 Hz，故A正确；由题图甲可知λ＝10 m，若波沿x轴正方向传播，波的传播速度为v＝＝10 m/s，若波沿x轴负方向传播，波的传播速
题号
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9
度为v＝＝5 m/s，故B错误；若波沿x轴正方向传播，则ω＝＝
2π rad/s，质点A的振动方程为y＝5sin ωt(cm)＝5sin 2πt(cm)，故C错误；若波沿x轴正方向传播，t＝1 s到t＝1.5 s时间内，质点A经历半个周期，运动的路程为s＝2A＝10 cm，故D正确。]
题号
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7．(2025·陕西西安一模)力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，现将摆球从A点释放，则摆球在竖直平面内的A、B、C之间来回摆动。B点为运动中的最低位置，∠AOB＝∠COB＝θ，θ小于5°且是未知量。图乙是由力传感器得到的细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t＝0时刻为摆球从A点开始运动的时刻，重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
题号
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A．单摆的周期为0.4π s
B．摆长为0.2 m
C．摆球的质量为0.05 kg
D．摆球在运动过程中的最大速度为0.5 m/s
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题号
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√
AC　[小球在一个周期T内两次经过最低点，球在最低点时绳子拉力最大，结合题图乙可知单摆周期T＝0.4π s，故A正确；根据单摆周期T＝2π，联立以上解得摆长l＝0.4 m，故B错误；分析可知球在最低点时速度v最大，由题图乙可知绳子拉力最大值、最小值分别为Fmax＝0.510 N、Fmin＝0.495 N，设小球质量为m，小球在最低点时，由牛顿第二定律有Fmax－mg＝m，小球在最高点时，由牛顿
题号
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第二定律有Fmin＝mg cos θ，小球从最高点到最低点，由动能定理得mg(l－l cos θ)＝mv2，联立以上解得m＝0.05 kg，v＝ m/s，故C正确，D错误。]
题号
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9
二、非选择题：共2小题。
8．(8分)(2025·山西运城一模)了解地球表面重力加速度的分布，对地球物理学、航空航天技术及大地测量等领域都有十分重要的意义。某实验小组的同学做“用单摆测重力加速度”的实验。
题号
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(1)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有(　　)
A．摆线要选择细些、伸缩性尽量小些、适当长一些的
B．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始拉开摆球时，应使摆角大一些
C．为保证摆球摆动时摆长不变，应用夹子夹住摆线上端
D．拉开摆球，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期T
题号
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8
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9
√
√
(2)该组同学正确操作后，测出多组摆线长L与周期T的数据，根据实验数据，作出了T2-L的关系图像如图所示，根据图中数据，可算出重力加速度为________m/s2(取π2＝9.86，结果保留三位有效数字)，仅考虑该数据处理方法，得到的加速度g与真实值相比________(选填“偏大”“偏小”或“相同”)，理论上T2-L是一条过坐标原点的直线，造成该图像不过坐标原点的原因可能是________________________________________。
题号
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9.86
相同
测摆长时未加摆球的半径
[解析]　(1)为了减小实验误差和摆线对实验的影响，摆线选择细些、伸缩性尽量小些、适当长一些的，A正确；可以通过适当增加摆长来增大单摆的周期，但摆角不能过大，B错误；为保证摆球摆动时摆长不变，应用夹子夹住摆线上端，C正确；在摆球摆到平衡位置时开始计时，且记录摆球摆动若干次全振动的总时间，再计算单摆的周期，以减小实验误差，D错误。
题号
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(2)由于图像不过原点，可能在计算周期时没有考虑摆球的半径，设摆球的半径为r，则单摆的周期为T＝2π，整理可得T2＝L＋，故在T2-L图像中，其斜率始终不变，即为k＝，代入数据解得g＝＝ m/s2＝9.86 m/s2。
题号
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9．(12分)(2025·广西卷)某乐器发出频率为两倍关系的两个纯音(简谐声波)，其波形叠加后呈现一种周期性变化。图甲和图乙分别为同一时刻两列简谐声波单独沿x正方向传播的波形图，图中的坐标原点位于同一质点处，声速为340 m/s。
题号
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(1)从图中读出这两列波的波长。
(2)该时刻这两列波叠加，分别求x＝0和x＝0.375 m处的质点在该时刻偏离平衡位置的位移。
(3)求这两列波叠加后的周期。
题号
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[解析]　(1)由题图甲可知4λ甲＝2.0 m
解得λ甲＝0.5 m
由题图乙可知2λ乙＝2.0 m
解得λ乙＝1.0 m。
题号
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(2)该时刻，甲波在x＝0处偏离平衡位置的位移为1.0 μm
乙波在x＝0处偏离平衡位置的位移也为1.0 μm
因此这两列波叠加后在x＝0处的质点在该时刻偏离平衡位置的位移为x0＝2 μm
该时刻，甲波在x＝0.375 m＝λ甲处偏离平衡位置的位移为0
乙波在x＝0.375 m＝λ乙处偏离平衡位置的位移为－ μm
因此这两列波叠加后在x＝0.375 m处的质点在该时刻偏离平衡位置的位移为x0.375＝－ μm。
题号
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9
(3)这两列波叠加后的波长λ＝1.0 m
根据波长、波速与周期的关系有λ＝vT
其中v＝340 m/s
代入数据解得T＝ s。
题号
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9
[答案]　(1)0.5 m　1.0 m　(2)2 μm　－ μm　(3) s
谢 谢 ！

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