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第40课时　库仑定律　静电力的性质
[学习目标]　1．掌握库仑定律的内容及条件，并会用来解决问题。2．理解电场强度的定义，并会计算电场强度的大小，判断电场强度的方向。3．理解电场线的特点，会用电场线的特点解决相关问题。
1．元电荷
(1)最小的电荷量：e＝__________ C。
(2)带电体的电荷量只能是元电荷的__倍。
2．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体__到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，在转移过程中，电荷的总量____。
(2)三种起电方式：摩擦起电、__起电、接触起电。
(3)物体带电实质：__的转移。
3．库仑定律
(1)点电荷：当带电体本身的__、__及电荷分布状况对研究的问题影响很小时，可以将带电体视为点电荷。
(2)内容：__中两个静止___之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成__，与它们距离的二次方成__，作用力的方向在它们的连线上。
(3)表达式：F＝__，式中k＝_______ N·m2/C2，叫作静电力常量。
(4)适用条件：__中静止的___。
4．电场强度
(1)定义式：E＝。
(2)点电荷电场：E＝__。
(3)电场叠加：遵从平行四边形定则。
5．电场线
(1)定义：画在电场中的一条条有方向的曲线，每点的__方向与该点电场方向一致。
(2)特点：起始于正电荷或无限远，终止于无限远或负电荷。不闭合、不相交、__表示电场强弱。
(3)六种典型电场的电场线
1．易错易混辨析
(1)两个带异种电荷的金属球接触时，正电荷从一个球转移到另一个球。 (　　)
(2)点电荷是理想化模型，均匀带电的绝缘球也可以视为点电荷。 (　　)
(3)相互作用的两个点电荷，电荷量大的受到的库仑力也大。 (　　)
(4)电场中某点的电场强度与试探电荷在该点所受的静电力成正比。 (　　)
(5)由E＝知，当试探电荷的电荷量q变为一半时，电场强度E变为2倍。 (　　)
2．(2025·海南卷)带正电的金属球靠近不带电验电器的金属小球a，则关于验电器金属小球a和金属箔b，下列说法正确的是(　　)
A．a、b都带正电
B．a、b都带负电
C．a带负电、b带正电
D．a带正电、b带负电
3．(鲁科版必修第三册改编)两个相同的带电荷量分别为－Q和＋4Q的金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为r的两点处，它们之间库仑力的大小为F。两小球相互接触后将其固定在距离为r的两点处，则两球间库仑力的大小为(　　)
A．9F B．F
C．F D．12F
4．(人教版必修第三册改编)如图所示为某区域的电场线分布，下列说法正确的是(　　)
A．这个电场可能是正点电荷形成的
B．D处的电场强度为零，因为那里没有电场线
C．点电荷q在A点所受的静电力比在B点所受静电力小
D．负电荷在C点受到的静电力方向沿C点切线方向
库仑定律的理解及应用
1．库仑定律的三点说明
(1)对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离。
(2)对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示。
①同种电荷：F＜k(如图甲所示)；
②异种电荷：F＞k(如图乙所示)。
(3)不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看作点电荷了。
2．两完全相同的带电球体电荷分配规律
(1)如果接触前两金属球带同种电荷，电荷量分别为q1和q2，两球接触时，总电荷量平均分配，两球的电荷量都等于。
(2)如果接触前两金属球带异种电荷，电荷量大小分别为q1和q2，且q1＞q2，接触时，先中和再将剩余的电荷量(q1－q2)平均分配，两球的电荷量都等于。
　对库仑定律的理解
[典例1]　(多选)(2025·河北卷)如图，真空中固定在绝缘台上的两个相同的金属小球A和B，带有等量同种电荷，电荷量为q，两者间距远大于小球直径，两者之间的静电力大小为F。用一个电荷量为Q的同样的金属小球C先跟A接触，再跟B接触，移走C后，A和B之间的静电力大小仍为F，则Q∶q的绝对值可能是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．5
　库仑力的叠加
[典例2]　如图所示，真空中a、b、c三处分别固定电荷量为＋q、－q、＋q的三个点电荷。已知静电力常量为k，ab＝bc＝l，∠abc＝120°。则b处点电荷受到a、c两处点电荷的库仑力的合力大小为(　　)
A． B．
C． D．
　库仑力作用下的力学综合问题
[典例3]　如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电荷量为＋Q，B带电荷量为－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在静电力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为(　　)
A．正，B的右边0.4 m处
B．正，B的左边0.2 m处
C．负，A的左边0.2 m处
D．负，A的右边0.2 m处
归纳提升：三个自由点电荷的平衡问题
(1)平衡条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合电场强度为零的位置。
(2)平衡规律：
[典例4]　(多选)(2025·安徽卷)如图，两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直平面内，空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球(均可视为质点)在轨道上同一高度保持静止，间距为L，甲、乙所带电荷量分别为q、2q，质量分别为m、2m，静电力常量为k，重力加速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为F1、F2，匀强电场的电场强度大小为E，不计空气阻力，则(　　)
A．F1＝F2
B．E＝
C．若将甲、乙互换位置，二者仍能保持静止
D．若撤去甲，乙下滑至底端时的速度大小v＝
归纳提升：库仑力作用下的力学综合问题分析思路
库仑力作用下的力学综合问题的解题思路是在原来受力的基础上多了库仑力，具体步骤如下：
电场强度的理解和计算
1．电场强度的性质
矢量性 电场强度E是表示静电力的性质的物理量，规定正电荷受力方向为该点电场强度的方向
唯一性 电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的试探电荷q无关，它取决于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置
叠加性 如果有几个静止电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和(如图所示)
2．电场强度的三个计算公式
　点电荷的电场强度
[典例5]　(多选)(2025·湖北卷)如图所示，在xOy平面内有一以O点为中心的正五边形，顶点到O点的距离为R，在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q、4q、5q的正点电荷，且电荷量为3q的电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k，则O点处的电场强度(　　)
A．方向沿x轴负方向
B．方向与x轴负方向成18°夹角斜向下
C．大小为(cos 54°＋cos 18°)
D．大小为(2cos 54°＋cos 18°)
　非点电荷电场强度的求解
[典例6]　已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R，现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V＝πr3，则A点处电场强度的大小为(　　)
A． B．
C． D．
[典例7]　(2024·河北卷)如图所示，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C。M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为(　　)
A． B．(6＋)
C．(3＋1) D．(3＋)
[典例8]　(多选)如图所示，水平面上有一均匀带电圆环，所带电荷量为＋Q，其圆心为O点。有一电荷量为＋q、质量为m的小球恰能静止在O点上方的P点，O、P间距为L。P与圆环上任一点的连线与PO间的夹角都为θ，重力加速度为g，以下说法正确的是(　　)
A．P点电场强度方向竖直向上
B．P点电场强度大小为
C．P点电场强度大小为k
D．P点电场强度大小为k
归纳提升：求解非点电荷电场强度的思维方法
方法 条件 示例
等效法 在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情境变换为简单的或熟悉的电场情境 一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示
对称法 空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性 如图所示，均匀带电的圆环在O点产生的电场强度等效为弧BC产生的电场强度，弧BC产生的电场强度方向又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向
补偿法 将有缺口的带电圆环补全为完整圆环，或将半球面补全为完整球面等 将半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，设左、右半球在A点产生的电场强度大小分别为E1和E2
微元法 将带电圆环、带电平面等分成许多微元电荷，每个微元电荷可看成点电荷，再利用公式和电场强度叠加原理求出合电场强度 将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量为q＝
电场线的理解和应用
1．电场线的应用
(1)判断电场强度的大小：电场线密集处电场强度大，电场线稀疏处电场强度小。
(2)判断静电力的方向：正电荷受力方向与电场线在该点切线方向相同，负电荷受力方向与电场线在该点切线方向相反。
(3)判断电势的高低与电势降低得快慢：沿电场线方向电势降低最快，且电场线密集处比稀疏处降低得更快。
2．两种等量点电荷电场线的比较
比较 等量异种点电荷 等量正点电荷
电场线分布图
电荷连线上的电场强度 沿连线先变小后变大
O点最小，但不为0 O点为0
中垂线上的电场强度 O点最大，向外逐渐减小 O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称位置的电场强度 A与A′、B与B′、C与C′
等大同向 等大反向
[典例9]　某电场的电场线分布如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．c点的电场强度大于b点的电场强度
B．若将一试探电荷＋q由a点释放，它将沿电场线运动到b点
C．b点的电场强度大于d点的电场强度
D．a点和b点的电场强度方向相同
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[典例10]　(2025·江苏淮安市期中)电场线能直观地反映电场的分布情况。如图是等量异种点电荷形成的电场；O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，B、C和A、D分别是两电荷连线上关于O对称的两点。则(　　)
A．E、F两点电场强度不同
B．A、D两点电场强度不同
C．B、O、C三点中，O点电场强度最小
D．从C点向O点运动的电子加速度逐渐增大
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第40课时　库仑定律　静电力的性质
回归教材·双基过关
知识梳理·体系构建
1．(1)1.60×10－19　(2)整数
2．(1)转移　保持不变　(2)感应　(3)电子
3．(1)形状　大小　(2)真空　点电荷　正比　反比　(3)k　9.0×109　(4)真空　点电荷
4．(1)
5．(1)切线　(2)疏密
技能激活·易错攻坚
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
2．C　[由题图可知，验电器本来不带电，由于同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引，带正电的金属球靠近不带电验电器金属小球a，使得金属球a带负电荷，从而导致金属箔b带上正电荷。故选C。]
3．B　[两球相距为r时，根据库仑定律得Fk； 接触后各自带电荷量变为Q'，则此时有F'kF，故B正确。]
4．C　[正点电荷的电场线是从正点电荷出发的直线，故A错误；电场线是为了更形象地描述电场而人为画出的，没有电场线的地方，电场强度不一定为零，故B错误；由题图知B点处电场线比A点处电场线密集，故EB＞EA，所以点电荷q在A点所受的静电力小于在B点所受的静电力，C正确；负电荷在C点所受静电力方向与C点切线方向相反，故D错误。]
考点深研·题型突破
考点1
典例1　AD　[C先跟A接触后，两者电荷量均变为q1，C再跟B接触后，两者电荷量均变为q2，此时A、B之间静电力大小仍为F，则有F1或Q－5q，则Q∶q的绝对值可能是1或者5。]
典例2　A　[设a、c两处点电荷对b处点电荷的库仑力大小均为F，由库仑定律F，再根据力的合成，b处点电荷受到a、c两处点电荷的库仑力的合力大小为F合2Fcos 60°F，故A正确。]
典例3　C　[根据库仑定律，当C在A的左侧时，C受到A、B库仑力的合力才可能为0，则C在A的左边；为使A受到B、C的库仑力的合力为0，C应带负电；设C在A左侧距A为x处，由于C处于平衡状态，所以k，解得x0.2 m，C正确。]
典例4　ABD　[设轨道倾角为θ，则对甲小球由力的平衡条件有F1mgtan θ，对乙小球由力的平衡条件有F22mgtan θ，故F1F2，A正确；甲小球受到的静电力的合力大小F1－qE，乙小球受到的静电力的合力大小F2＋2qE，结合A项分析可得E，B正确；若将甲、乙互换位置，对甲受力分析，甲所受静电力的合力大小F1'k＋Eq＞mgtan θ，受力不平衡，对乙受力分析，乙所受静电力的合力大小F2'k－2Eq＜2mgtan θ，受力不平衡，C错误；若撤去甲，对乙小球的下滑过程，由动能定理有2mg·tan θ－2qE·×2mv2，结合A、B项分析可得v，D正确。
]
考点2
典例5　AD　[由题意可知，如图
将五个点电荷等效成下图
五个点电荷与O点距离为R，则E0，所以O点电场强度大小为E2×2E0cos 54°＋2E0cos 18°，代入可得E2(2cos 54°＋cos 18°)，方向沿x轴负方向。故选AD。]
典例6　A　[由题意知，半径为R的均匀带电球体在A点产生的电场强度为E整，同理，挖去前空腔处的小球体在A点产生的电场强度为E割，所以剩余部分电荷在A点产生的电场强度为ExE整－E割，故A正确，B、C、D错误。]
典例7　D　[由点电荷的电场强度公式和电场强度叠加原理可知，两点电荷在M点产生的电场强度大小为Ecos 60°，方向沿MA方向，又M点的电场强度为0，所以细杆在M处产生的电场强度大小也为E，方向沿AM方向，由对称性可知细杆在A处产生的电场强度大小也为E，方向沿MA方向，又由点电荷的电场强度公式和电场强度叠加原理可知，两点电荷在A处产生的电场强度大小为E'cos 30°，方向沿MA方向，所以A处的电场强度大小为EAE＋E'(3＋)，D正确。]
典例8　ABD　[将圆环分为n等份(n很大，每一份可以认为是一个点电荷)，则每份的电荷量为q0，每份在P点产生的电场的电场强度大小为E0，根据对称性可知，P点处水平方向的合电场强度为零，则P点电场强度方向竖直向上，其大小为EnE0cos θ，故A、D正确，C错误；因小球在P点静止，由二力平衡可得mgqE，解得P点电场强度大小为E，故B正确。]
考点3
典例9　C　[电场线的疏密表示电场强度的大小，由题图可知Eb＞Ec，Eb＞Ed，C正确，A错误；由于电场线是曲线，由a点释放的正电荷不可能沿电场线运动，B错误；电场线的切线方向为该点电场强度的方向，a点和b点的切线不同向，D错误。]
典例10　C　[等量异种点电荷连线的中垂线是一条等势线，电场强度方向与等势线垂直，因此E、F两点电场强度方向相同，由于E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，则其电场强度大小也相等，故A错误；根据对称性可知，A、D两点处电场线疏密程度相同，则A、D两点电场强度大小相等，由题图看出，A、D两点电场强度方向相同，故B错误；由题图看出，B、O、C三点比较，O点处的电场线最稀疏，电场强度最小，故C正确；由题图可知，电子从C点向O点运动过程中，电场强度逐渐减小，则静电力逐渐减小，由牛顿第二定律可知电子的加速度逐渐减小，故D错误。]
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第八章 静电场
[教师备选资源]
考情分析 库仑定律 2025·河北卷·T8、2024·山东卷·T10、2023·海南卷·T8、2023·湖南卷·T5
电场的性质 2025·云南卷·T4、2025·广西卷·T4、2025·海南卷·T6、2025·河南卷·T4、2025·海南卷·T2、2025·北京卷·T8、2025·甘肃卷·T5、2025·陕晋青宁卷·T1、2025·河北卷·T1、2025·湖北卷·T10、2025·山东卷·T11、2025·浙江1月选考·T4、2024·河北卷·T2、2024·湖北卷·T8 、2024·广东卷·T8、2024·全国甲卷·T5 、2024·江苏卷·T1、2024·湖南卷·T5、2023·湖北卷·T3、2023·山东卷·T11、2023·湖南卷·T5、2023·全国乙卷·T24、2023·辽宁卷·T9、2023·海南卷·T12
考情分析 电容器 2025·黑吉辽蒙卷·T4、2025·江苏卷·T9、2025·重庆卷·T13、2024·辽宁卷·T5 、2024·江西卷·T1、2023·浙江6月选考·T12
带电粒子 (带电体)的平衡及运动 2025·福建卷·T4、2025·安徽卷·T10、2025·重庆卷·T5、2025·黑吉辽蒙卷·T7、2025·甘肃卷·T7、2025·四川卷·T3、2025·河南卷·T13、2025·四川卷·T13、2025·江苏卷·T13、2025·陕晋青宁卷·T15、2025·广东卷·T15、2024·辽宁卷·T6、2024·河北卷·T13、2023·全国甲卷·T18、2023·湖北卷·T10、2023·浙江6月选考·T8、2023·新课标卷·T25
考情分析 实验：观察电容器的充、放电现象 2024·广西卷·T12、2024·海南卷·T16、2024·浙江1月选考·T16(Ⅱ)、2023·新课标卷·T22、2023·山东卷·T14
备考策略 1．关注库仑定律、电场线及其性质、电场强度、电势能和电势高低的判断、电容器等知识。
2．利用带电粒子在电场中的运动，加强与运动学、牛顿运动定律、功能关系等其他知识结合的计算题的训练。
3．关注与实际生活、科学研究密切联系的新的情境或新的素材等相关习题的训练，如喷墨打印机、静电除尘、示波管、加速器等。
4．注重实验原理、实验操作、数据处理方法的复习，掌握电容器的充、放电过程。
第40课时　库仑定律　静电力的性质
[学习目标]　1．掌握库仑定律的内容及条件，并会用来解决问题。2．理解电场强度的定义，并会计算电场强度的大小，判断电场强度的方向。3．理解电场线的特点，会用电场线的特点解决相关问题。
回归教材 · 双基过关
1．元电荷
(1)最小的电荷量：e＝____________C。
(2)带电体的电荷量只能是元电荷的____倍。
1.60×10-19
整数
2．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体____到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，在转移过程中，电荷的总量___________。
(2)三种起电方式：摩擦起电、____起电、接触起电。
(3)物体带电实质：____的转移。
转移
保持不变
感应
电子
3．库仑定律
(1)点电荷：当带电体本身的____、____及电荷分布状况对研究的问题影响很小时，可以将带电体视为点电荷。
(2)内容：____中两个静止______之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成____，与它们距离的二次方成____，作用力的方向在它们的连线上。
(3)表达式：F＝______，式中k＝________ N·m2/C2，叫作静电力常量。
(4)适用条件：____中静止的______。
形状
大小
真空
点电荷
正比
反比
k
9.0×109
真空
点电荷
4．电场强度
(1)定义式：E＝__。
(2)点电荷电场：E＝____。
(3)电场叠加：遵从平行四边形定则。
k
5．电场线
(1)定义：画在电场中的一条条有方向的曲线，每点的____方向与该点电场方向一致。
(2)特点：起始于正电荷或无限远，终止于无限远或负电荷。不闭合、不相交、____表示电场强弱。
切线
疏密
(3)六种典型电场的电场线
1．易错易混辨析
(1)两个带异种电荷的金属球接触时，正电荷从一个球转移到另一个球。 (　　)
(2)点电荷是理想化模型，均匀带电的绝缘球也可以视为点电荷。 (　　)
(3)相互作用的两个点电荷，电荷量大的受到的库仑力也大。 (　　)
×
√
×
(4)电场中某点的电场强度与试探电荷在该点所受的静电力成正比。 (　　)
(5)由E＝知，当试探电荷的电荷量q变为一半时，电场强度E变为2倍。 (　　)
×
×
2．(2025·海南卷)带正电的金属球靠近不带电验电器的金属小球a，则关于验电器金属小球a和金属箔b，下列说法正确的是(　　)
A．a、b都带正电
B．a、b都带负电
C．a带负电、b带正电
D．a带正电、b带负电
√
C　[由题图可知，验电器本来不带电，由于同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引，带正电的金属球靠近不带电验电器金属小球a，使得金属球a带负电荷，从而导致金属箔b带上正电荷。故选C。]
3．(鲁科版必修第三册改编)两个相同的带电荷量分别为－Q和＋4Q的金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为r的两点处，它们之间库仑力的大小为F。两小球相互接触后将其固定在距离为r的两点处，则两球间库仑力的大小为(　　)
A．9F B．F
C．F D．12F
√
B　[两球相距为r时，根据库仑定律得F＝k；接触后各自带电荷量变为Q′＝＝＋，则此时有F′＝k＝F，故B正确。]
4．(人教版必修第三册改编)如图所示为某区域的电场线分布，下列说法正确的是(　　)
A．这个电场可能是正点电荷形成的
B．D处的电场强度为零，因为那里没有电场线
C．点电荷q在A点所受的静电力比在B点所受静电力小
D．负电荷在C点受到的静电力方向沿C点切线方向
√
C　[正点电荷的电场线是从正点电荷出发的直线，故A错误；电场线是为了更形象地描述电场而人为画出的，没有电场线的地方，电场强度不一定为零，故B错误；由题图知B点处电场线比A点处电场线密集，故EB>EA，所以点电荷q在A点所受的静电力小于在B点所受的静电力，C正确；负电荷在C点所受静电力方向与C点切线方向相反，故D错误。]
考点深研 · 题型突破
考点1　库仑定律的理解及应用
1．库仑定律的三点说明
(1)对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离。
(2)对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示。

①同种电荷：F＜k(如图甲所示)；
②异种电荷：F＞k(如图乙所示)。
(3)不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看作点电荷了。
2．两完全相同的带电球体电荷分配规律
(1)如果接触前两金属球带同种电荷，电荷量分别为q1和q2，两球接触时，总电荷量平均分配，两球的电荷量都等于。
(2)如果接触前两金属球带异种电荷，电荷量大小分别为q1和q2，且q1＞q2，接触时，先中和再将剩余的电荷量(q1－q2)平均分配，两球的电荷量都等于。
角度1　对库仑定律的理解
[典例1]　(多选)(2025·河北卷)如图，真空中固定在绝缘台上的两个相同的金属小球A和B，带有等量同种电荷，电荷量为q，两者间距远大于小球直径，两者之间的静电力大小为F。用一个电荷量为Q的同样的金属小球C先跟A接触，再跟B接触，移走C后，A和B之间的静电力大小仍为F，则Q∶q的绝对值可能是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．5
√
√
AD　[C先跟A接触后，两者电荷量均变为q1＝，C再跟B接触后，两者电荷量均变为q2＝＝，此时A、B之间静电力大小仍为F＝，则有F＝＝，解得＝1或Q＝－5q，则Q∶q的绝对值可能是1或者5。]
角度2　库仑力的叠加
[典例2]　如图所示，真空中a、b、c三处分别固定电荷量为＋q、
－q、＋q的三个点电荷。已知静电力常量为k，ab＝bc＝l，∠abc＝120°。则b处点电荷受到a、c两处点电荷的库仑力的合力大小为(　　)
A． B．
C． D．
√
A　[设a、c两处点电荷对b处点电荷的库仑力大小均为F，由库仑定律F＝，再根据力的合成，b处点电荷受到a、c两处点电荷的库仑力的合力大小为F合＝2F cos 60°＝F＝，故A正确。]
角度3　库仑力作用下的力学综合问题
[典例3]　如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电荷量为＋Q，B带电荷量为－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在静电力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为(　　)
A．正，B的右边0.4 m处
B．正，B的左边0.2 m处
C．负，A的左边0.2 m处
D．负，A的右边0.2 m处
√
C　[根据库仑定律，当C在A的左侧时，C受到A、B库仑力的合力才可能为0，则C在A的左边；为使A受到B、C的库仑力的合力为0，C应带负电；设C在A左侧距A为x处，由于C处于平衡状态，所以k＝，解得x＝0.2 m，C正确。]
归纳提升：三个自由点电荷的平衡问题
(1)平衡条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合电场强度为零的位置。
(2)平衡规律：
[典例4]　(多选)(2025·安徽卷)如图，两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直平面内，空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球(均可视为质点)在轨道上同一高度保持静止，间距为L，甲、乙所带电荷量分别为q、2q，质量分别为m、2m，静电力常量为k，重力加速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为F1、F2，匀强电场的电场强度大小
为E，不计空气阻力，则(　　)
A．F1＝F2
B．E＝
C．若将甲、乙互换位置，二者仍能保持静止
D．若撤去甲，乙下滑至底端时的速度大小v＝
√
√
√
ABD　[设轨道倾角为θ，则对甲小球由力的平衡条件有F1＝mg tan θ，对乙小球由力的平衡条件有F2＝2mg tan θ，故F1＝F2，A正确；甲小球受到的静电力的合力大小F1＝－qE，乙小球受到的静电力的合力大小F2＝＋2qE，结合A项分析可得E＝，B正确；若将甲、乙互换位置，对甲受力分析，甲所受静电力的合力大小F1′
＝k＋Eq>mg tan θ，受力不平衡，对乙受力分析，乙所受静电力的合力大小F2′＝k－2Eq<2mg tan θ，受力不平衡，C错误；若撤去甲，对乙小球的下滑过程，由动能定理有2mg·tan θ－2qE·＝×2mv2，结合A、B项分析可得v＝，
D正确。]
归纳提升：库仑力作用下的力学综合问题分析思路
库仑力作用下的力学综合问题的解题思路是在原来受力的基础上多了库仑力，具体步骤如下：
考点2　电场强度的理解和计算
1．电场强度的性质
矢量性 电场强度E是表示静电力的性质的物理量，规定正电荷受力方向为该点电场强度的方向
唯一性 电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的试探电荷q无关，它取决于形成电场的电荷
(场源电荷)及空间位置
叠加性 如果有几个静止电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和(如图所示)
2．电场强度的三个计算公式
角度1　点电荷的电场强度
[典例5]　(多选)(2025·湖北卷)如图所示，在xOy平面内有一以O点为中心的正五边形，顶点到O点的距离为R，在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q、4q、5q的正点电荷，且电荷量为3q的电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k，
则O点处的电场强度(　　)
A．方向沿x轴负方向
B．方向与x轴负方向成18°夹角斜向下
C．大小为(cos 54°＋cos 18°)
D．大小为(2cos 54°＋cos 18°)
√
√
AD　[由题意可知，如图
将五个点电荷等效成下图
五个点电荷与O点距离为R，则E0＝，所以O点电场强度大小为E＝2×2E0cos 54°＋2E0cos 18°，代入可得E＝2(2cos 54°＋cos 18°)，方向沿x轴负方向。故选AD。]
角度2　非点电荷电场强度的求解
[典例6]　已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R，现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V＝πr3，则A点处电场强度的大小为(　　)
A． B．
C． D．
√
A　[由题意知，半径为R的均匀带电球体在A点产生的电场强度为
E整＝＝，同理，挖去前空腔处的小球体在A点产生的电场强度为E割＝＝＝，所以剩余部分电荷在A点产生的电场强度为Ex＝E整－E割＝＝，故A正确，B、C、D错误。]
[典例7]　(2024·河北卷)如图所示，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C。M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为(　　)
A． B．(6＋)
C．(3＋1) D．(3＋)
√
D　[由点电荷的电场强度公式和电场强度叠加原理可知，两点电荷在M点产生的电场强度大小为E＝cos 60°＝，方向沿MA方向，又M点的电场强度为0，所以细杆在M处产生的电场强度大小也为E＝，方向沿AM方向，由对称性可知细杆在A处产生的电场强度大小也为E＝，方向沿MA方向，又由点电荷的电场强度公式和电场强度叠加原理可知，两点电荷在A处产生的电场强度大小为E′＝cos 30°＝，方向沿MA方向，所以A处的电场强度大小为EA＝E＋E′＝(3＋)，D正确。]
[典例8]　(多选)如图所示，水平面上有一均匀带电圆环，所带电荷量为＋Q，其圆心为O点。有一电荷量为＋q、质量为m的小球恰能静止在O点上方的P点，O、P间距为L。P与圆环上任一点的连线与PO间的夹角都为θ，重力加速度为g，以下说法正确的是(　　)
A．P点电场强度方向竖直向上
B．P点电场强度大小为
C．P点电场强度大小为k
D．P点电场强度大小为k
√
√
√
ABD　[将圆环分为n等份(n很大，每一份可以认为是一个点电荷)，则每份的电荷量为q0＝，每份在P点产生的电场的电场强度大小为E0＝＝＝，根据对称性可知，P点处水平方向的合电场强度为零，则P点电场强度方向竖直向上，其大小为E＝nE0cosθ＝，故A、D正确，C错误；因小球在P点静止，由二力平衡可得mg＝qE，解得P点电场强度大小为E＝，故B正确。]
方法 条件 示例
等效法 在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情境变换为简单的或熟悉的电场情境 一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示

归纳提升：求解非点电荷电场强度的思维方法
方法 条件 示例
对称法 空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性


如图所示，均匀带电的圆环在O点产生的电场强度等效为弧BC产生的电场强度，弧BC产生的电场强度方向又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向
方法 条件 示例
补偿法 将有缺口的带电圆环补全为完整圆环，或将半球面补全为完整球面等


将半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，设左、右半球在A点产生的电场强度大小分别为E1和E2
方法 条件 示例
微元法 将带电圆环、带电平面等分成许多微元电荷，每个微元电荷可看成点电荷，再利用公式和电场强度叠加原理求出合电场强度 将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量为q＝

考点3 电场线的理解和应用
1．电场线的应用
(1)判断电场强度的大小：电场线密集处电场强度大，电场线稀疏处电场强度小。
(2)判断静电力的方向：正电荷受力方向与电场线在该点切线方向相同，负电荷受力方向与电场线在该点切线方向相反。
(3)判断电势的高低与电势降低得快慢：沿电场线方向电势降低最快，且电场线密集处比稀疏处降低得更快。
比较 等量异种点电荷 等量正点电荷
电场线分布图
2．两种等量点电荷电场线的比较
比较 等量异种点电荷 等量正点电荷
电荷连线上的电场强度 沿连线先变小后变大
O点最小，但不为0 O点为0
中垂线上的电场强度 O点最大，向外逐渐减小 O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称位置的电场强度 A与A′、B与B′、C与C′
等大同向 等大反向
[典例9]　某电场的电场线分布如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．c点的电场强度大于b点的电场强度
B．若将一试探电荷＋q由a点释放，它将沿电场线运动到b点
C．b点的电场强度大于d点的电场强度
D．a点和b点的电场强度方向相同
√
C　[电场线的疏密表示电场强度的大小，由题图可知Eb>Ec，Eb>Ed，C正确，A错误；由于电场线是曲线，由a点释放的正电荷不可能沿电场线运动，B错误；电场线的切线方向为该点电场强度的方向，a点和b点的切线不同向，D错误。]
[典例10]　(2025·江苏淮安市期中)电场线能直观地反映电场的分布情况。如图是等量异种点电荷形成的电场；O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，B、C和A、D分别是两电荷连线上关于O对称的两点。则(　　)
A．E、F两点电场强度不同
B．A、D两点电场强度不同
C．B、O、C三点中，O点电场强度最小
D．从C点向O点运动的电子加速度逐渐增大
√
C　[等量异种点电荷连线的中垂线是一条等势线，电场强度方向与等势线垂直，因此E、F两点电场强度方向相同，由于E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，则其电场强度大小也相等，故A错误；根据对称性可知，A、D两点处电场线疏密程度相同，则A、D两点电场强度大小相等，由题图看出，A、D两点电场强度方向相同，故B错误；由题图看出，B、O、C三点比较，O点处的电场线最稀疏，电场强度最小，故C正确；由题图可知，电子从C点向O点运动过程中，电场强度逐渐减小，则静电力逐渐减小，由牛顿第二定律可知电子的加速度逐渐减小，故D错误。]
课时数智作业(四十)　库仑定律　静电力的性质
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
说明：第1～6题，每小题4分；第7～10题，每小题5分；本试卷共56分。
1．(2025·陕晋青宁卷)某同学绘制了四幅静电场的电场线分布图，其中可能正确的是(　　)
11
　 　A　　 　 B　 　　 C　 　 　 D
√
B　[静电场是由静止电荷产生的电场，电场线不交叉不闭合，D项中的电场线应该是等间距平行直线，A、C、D错误，B正确。]
题号
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题号
1
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11
7
2．(2025·广西卷)用带电玻璃棒接触验电器的金属球，移走玻璃棒，验电器内的两片金属箔张开，稳定后如图。图中a、b、c、d四点电场强度最强的是(　　)
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
√
题号
1
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题号
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11
7
D　[带电玻璃棒与金属球接触后，金属球带电，金属箔与金属球通过导体棒连接，金属箔与金属球带同种电荷；静电荷在尖锐的地方分布密集，附近电场强度最强，A、B、C错误，D正确。]
题号
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11
7
3．(2024·江苏卷)在静电场中有a、b两点，试探电荷在两点的静电力F与电荷量q满足如图所示的关系，请问a、b两点的电场强度大小关系是(　　)
A．Ea＝Eb B．Ea＝2Eb
C．EaEb
√
题号
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11
7
D　[根据E＝可知F-q图像的斜率表示电场强度的大小，由题图可知Ea>Eb，根据题意无法得出Ea和Eb的数量关系。故选D。]
题号
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题号
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11
7
4．真空中固定有两个点电荷，负电荷Q1位于坐标原点处，正电荷Q2位于x轴上，Q2的电荷量大小为Q1的8倍。若这两点电荷在x轴正半轴的x＝x0处产生的合电场强度为0，则Q1、Q2相距(　　)
A．x0 B．(2－1)x0
C．2x0 D．(2＋1)x0
√
题号
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11
7
B　[由于两点电荷电性相反，且Q2的电荷量较大，则Q2的位置应该在x轴的负半轴，设两点电荷相距L，根据点电荷电场强度公式和电场强度叠加可得＝，又Q2＝8Q1，解得L＝(2－1)x0，故B正确。]
题号
1
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题号
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11
7
5．如图所示，在点电荷－q的电场中，放着一块带有一定电荷量、电荷均匀分布的绝缘矩形薄板，MN为其对称轴，O点为几何中心，点电荷－q与a、O、b之间的距离分别为d、2d、3d。已知图中a点的电场强度为零，则带电薄板在图中b点处产生的电场强度的大小和方向分别为(　　)
A．，水平向右 B．，水平向左
C．，水平向右 D．，水平向右
√
题号
1
3
5
2
4
6
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7
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题号
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题号
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3
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11
7
A　[由电场的矢量叠加原理可知矩形薄板在a点处产生的电场强度与点电荷－q在a点处产生的电场强度等大反向，即大小为E＝，方向水平向左，则矩形薄板带负电；由对称性可知，矩形薄板在b点处产生的电场强度大小也为E＝，方向水平向右，故A正确。]
题号
1
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题号
1
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题号
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11
7
6．如图所示，质量为3m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带电荷量为Q的小球B固定在O点正下方的绝缘柱上。其中O点与小球A的间距为l。O点与小球B的间距为l，当小球A平衡时，悬线与竖直方向夹角θ＝30°，带电小球A、
B均可视为点电荷，静电力常量为k，则(　　)
题号
1
3
5
2
4
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8
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题号
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题号
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11
7
A．A、B间库仑力大小F＝
B．A、B间库仑力F＝
C．小球B的带电荷量为
D．细线拉力大小FT＝mg
√
题号
1
3
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11
7
D　[A的受力如图所示，几何三角形OAB与力三角形相似，由对应边成比例有＝，解得FT＝mg，故D正确；由余弦定律得AB＝＝l，几何三角形OAB与力三角形相似，由对应边成比例有＝，可得FT＝
F＝k，解得Q＝，故A、B、C错误。]
题号
1
3
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题号
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11
7
7．(2024·贵州卷)如图所示，A、B、C三个点位于以O为圆心的圆上，直径AB与弦BC间的夹角为30°。A、B两点分别放有电荷量大小为qA、qB的点电荷时，C点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向，则等于(　　)
A． B．
C． D．2
题号
1
3
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10
题号
1
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题号
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11
√
B　[分析可知，若A、B两点处的点电荷为同种电荷，则C点的电场强度不可能沿圆的切线方向，可知两点电荷为异种电荷。假设A点处的点电荷为正电荷，B点处的点电荷为负电荷，则两点电荷在C点产生的电场强度如图所示，有EA＝，EB＝，设圆的半径为r，根据几何知识可得AC＝2r sin 30°＝r，BC＝2r cos 30°＝r，tan 60°＝，联立解得＝；同理，若A点处的点电荷为负电荷，B点处的
点电荷为正电荷，仍可得＝。故选B。]
题号
1
3
5
2
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6
8
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9
10
题号
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11
题号
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题号
1
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9
10
11
8．(2025·成都石室中学二模)如图所示，半径为R的球体均匀分布着电荷量为Q的正电荷，球心位于xOy坐标系的O点。在x＝3R处放置一正点电荷，x＝2R处的电场强度恰好为零。当截去右半球后(不影响球体内电荷的分布情况)，x＝2R处的电场强度大小为E0；已知静电力常量为k，则截去右半球后，x＝－2R处的电场强度大小为(　　)
A．k＋E0 B．k－E0
C．k＋E0 D．k－E0
7
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
题号
1
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题号
1
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10
11
C　[设在x＝3R处放置正点电荷的电荷量为q，球体可以等效为放置在球心处的正点电荷Q，正点电荷q和带正电球体Q在x＝2R处的合电场强度恰好叠加为零，即根据库仑定律k＝k，可得Q＝4q，依题意结合挖补法，截去右半球后，x＝2R处的电场强度大小为E0，可知截去的右半球在x＝2R处产生的电场强度大小等于E0，根据对称性可知，余下的左半球在x＝－2R处产生的电场强度大小等于E0，方向沿x轴负方向，而x＝3R处的正点电荷q在x＝－2R处产生的电场强度大小为k＝k，方向沿x轴负方向，故x＝－2R处的电场强度大小为k＋E0，故选C。]
7
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
题号
1
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题号
1
3
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11
9．(2025·四川省乐山市高三期末)如图所示，质量为M、半径为R的圆环状光滑绝缘细杆用三根交于O点的等长细线悬挂于水平面内，每根细线与竖直方向均成30°角；杆上套有三个可视为质点的带正电小球，每个小球的质量均为m、电荷量均为q，小球间的间距相等，球和杆均静止。重力加速度大小为g，静电力常
量为k。则(　　)
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A．每根细线对杆的拉力大小为Mg
B．每根细线对杆的拉力大小为(3m＋M)g
C．每个小球受到的库仑力大小为
D．每个小球对杆的弹力大小为
7
√
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D　[设每根细线对杆的拉力大小为F，对杆和小球整体，根据平衡条件，在竖直方向上有3F cos 30°＝(3m＋M)g，解得F＝，故A、B错误；根据题意可得，每两个小球间的距离为l＝2R cos 30°，所以每个小球受到的库仑力大小为F′＝2kcos 30°＝，故C错误；由平衡条件可知，杆对每个小球的弹力大小为N＝＝，由牛顿第三定律可知，每个小球对杆的弹力大小为，故D正确。]
7
10．(多选)(2024·海南卷)如图所示，真空中有两个点电荷，电荷量均为－q(q>0)，固定于相距为2r的P1、P2两点，O是P1P2连线的中点，M点在P1P2连线的中垂线上，距离O点为r，N点在P1P2连线上，距离O点为x(x r)，已知静电力常量为k，则下列说法正确的是(　　)
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A．P1P2连线中垂线上电场强度最大的点到O点的距离为r
B．P1P2连线中垂线上电场强度的最大值为
C．将一电子从M点由静止释放，电子的加速度一直减小
D．将一电子从N点由静止释放，电子的运动可视为简谐运动
√
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√
√
BCD　[设中垂线上某点和P1或P2的连线与P1P2连线间的夹角为θ，有0θ<，则该点处的电场强度E＝2sin θ＝，设f(θ)＝sinθcos2θ，则f′(θ)＝cosθ－3sin2θcosθ，当f′(θ)＝0，即sin θ＝时，f(θ)取最大值，f(θ)m＝，此时电场强度最大，Em＝f(θ)m＝，对应的点到O点的距离h＝r tan θ＝r，A错误，B
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正确；由于r>r，则电子从M点向上运动的过程中，其所受的静电力越来越小，加速度越来越小，C正确；电子在O点处所受电场力为0，在N点所受静电力指向平衡位置O点，则从N点释放后，将在等量同种负点电荷的连线上做往复运动，设电子运动过程中距O点的距离为x′，则电子受到的电场力F＝＝，由于r xx′，则F＝，即F与x′成正比，因此电子的运动可视为简谐运动，D正确。]
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11．(12分)如图所示，等边三角形ABC位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q。
(1)求B点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个
点电荷的正负；
(2)求C点处点电荷的电荷量。
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[解析]　(1)M处的电场强度方向竖直向下，所以位于A、B两点处的点电荷在M处产生的电场强度等大反向，即A、B两点处的点电荷电性相同，且EAM＝EBM，即＝，
又因为M为AB边的中点，即AM＝BM，所以qB＝q，
分析可知，C点处点电荷在M处产生的电场强度方向竖直向下，所以C点处点电荷为正电荷。
N处的电场强度方向竖直向上，沿BC方向与垂
直BC方向(AN方向)进行分解，如图所示，
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因为C点处为正电荷，ECN沿CB向下，所以B点处点电荷在N处产生的电场强度方向沿BC向上，即B点处点电荷为正电荷，故A点处点电荷也为正电荷。
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(2)设等边三角形边长为L，由以上分析可知
EBC＝EBN－ECN，＝tan 60°，
联立并根据电场强度与库仑定律的关系得
tan 60°＝，
解得qC＝q。
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[答案]　(1)q　A、B、C处都为正电荷　(2)q
谢 谢 ！课时数智作业(四十)　库仑定律　静电力的性质
说明：第1～6题，每小题4分；第7～10题，每小题5分；本试卷共56分。
1．(2025·陕晋青宁卷)某同学绘制了四幅静电场的电场线分布图，其中可能正确的是(　　)
A　　 　B　 　　C　 　　 　D
2．(2025·广西卷)用带电玻璃棒接触验电器的金属球，移走玻璃棒，验电器内的两片金属箔张开，稳定后如图。图中a、b、c、d四点电场强度最强的是(　　)
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
3．(2024·江苏卷)在静电场中有a、b两点，试探电荷在两点的静电力F与电荷量q满足如图所示的关系，请问a、b两点的电场强度大小关系是(　　)
A．Ea＝Eb B．Ea＝2Eb
C．EaEb
4．真空中固定有两个点电荷，负电荷Q1位于坐标原点处，正电荷Q2位于x轴上，Q2的电荷量大小为Q1的8倍。若这两点电荷在x轴正半轴的x＝x0处产生的合电场强度为0，则Q1、Q2相距(　　)
A．x0 B．(2－1)x0
C．2x0 D．(2＋1)x0
5．如图所示，在点电荷－q的电场中，放着一块带有一定电荷量、电荷均匀分布的绝缘矩形薄板，MN为其对称轴，O点为几何中心，点电荷－q与a、O、b之间的距离分别为d、2d、3d。已知图中a点的电场强度为零，则带电薄板在图中b点处产生的电场强度的大小和方向分别为(　　)
A．，水平向右 B．，水平向左
C．，水平向右 D．，水平向右
6．如图所示，质量为3m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带电荷量为Q的小球B固定在O点正下方的绝缘柱上。其中O点与小球A的间距为l。O点与小球B的间距为l，当小球A平衡时，悬线与竖直方向夹角θ＝30°，带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k，则(　　)
A．A、B间库仑力大小F＝
B．A、B间库仑力F＝
C．小球B的带电荷量为
D．细线拉力大小FT＝mg
7．(2024·贵州卷)如图所示，A、B、C三个点位于以O为圆心的圆上，直径AB与弦BC间的夹角为30°。A、B两点分别放有电荷量大小为qA、qB的点电荷时，C点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向，则等于(　　)
A． B．
C． D．2
8．(2025·成都石室中学二模)如图所示，半径为R的球体均匀分布着电荷量为Q的正电荷，球心位于xOy坐标系的O点。在x＝3R处放置一正点电荷，x＝2R处的电场强度恰好为零。当截去右半球后(不影响球体内电荷的分布情况)，x＝2R处的电场强度大小为E0；已知静电力常量为k，则截去右半球后，x＝－2R处的电场强度大小为(　　)
A．k＋E0 B．k－E0
C．k＋E0 D．k－E0
9．(2025·四川省乐山市高三期末)如图所示，质量为M、半径为R的圆环状光滑绝缘细杆用三根交于O点的等长细线悬挂于水平面内，每根细线与竖直方向均成30°角；杆上套有三个可视为质点的带正电小球，每个小球的质量均为m、电荷量均为q，小球间的间距相等，球和杆均静止。重力加速度大小为g，静电力常量为k。则(　　)
A．每根细线对杆的拉力大小为Mg
B．每根细线对杆的拉力大小为(3m＋M)g
C．每个小球受到的库仑力大小为
D．每个小球对杆的弹力大小为
10．(多选)(2024·海南卷)如图所示，真空中有两个点电荷，电荷量均为－q(q>0)，固定于相距为2r的P1、P2两点，O是P1P2连线的中点，M点在P1P2连线的中垂线上，距离O点为r，N点在P1P2连线上，距离O点为x(x r)，已知静电力常量为k，则下列说法正确的是(　　)
A．P1P2连线中垂线上电场强度最大的点到O点的距离为r
B．P1P2连线中垂线上电场强度的最大值为
C．将一电子从M点由静止释放，电子的加速度一直减小
D．将一电子从N点由静止释放，电子的运动可视 为简谐运动
11．(12分)如图所示，等边三角形ABC位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q。
(1)求B点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负；
(2)求C点处点电荷的电荷量。
课时数智作业(四十)
1．B　[静电场是由静止电荷产生的电场，电场线不交叉不闭合，D项中的电场线应该是等间距平行直线，A、C、D错误，B正确。]
2．D　[带电玻璃棒与金属球接触后，金属球带电，金属箔与金属球通过导体棒连接，金属箔与金属球带同种电荷；静电荷在尖锐的地方分布密集，附近电场强度最强，A、B、C错误，D正确。]
3．D　[根据E可知F q图像的斜率表示电场强度的大小，由题图可知Ea＞Eb，根据题意无法得出Ea和Eb的数量关系。故选D。]
4．B　[由于两点电荷电性相反，且Q2的电荷量较大，则Q2的位置应该在x轴的负半轴，设两点电荷相距L，根据点电荷电场强度公式和电场强度叠加可得，又Q28Q1，解得L(2－1)x0，故B正确。]
5．A　[由电场的矢量叠加原理可知矩形薄板在a点处产生的电场强度与点电荷－q在a点处产生的电场强度等大反向，即大小为E，方向水平向左，则矩形薄板带负电；由对称性可知，矩形薄板在b点处产生的电场强度大小也为E，方向水平向右，故A正确。]
6．D　[A的受力如图所示，几何三角形OAB与力三角形相似，由对应边成比例有，解得FTmg，故D正确；由余弦定律得ABl，几何三角形OAB与力三角形相似，由对应边成比例有，可得FTFk，解得Q，故A、B、C错误。
]
7．B　[分析可知，若A、B两点处的点电荷为同种电荷，则C点的电场强度不可能沿圆的切线方向，可知两点电荷为异种电荷。假设A点处的点电荷为正电荷，B点处的点电荷为负电荷，则两点电荷在C点产生的电场强度如图所示，有EA，EB，设圆的半径为r，根据几何知识可得AC2rsin 30°r，BC2rcos 30°r，tan 60°；同理，若A点处的点电荷为负电荷，B点处的点电荷为正电荷，仍可得。故选B。
]
8．C　[设在x3R处放置正点电荷的电荷量为q，球体可以等效为放置在球心处的正点电荷Q，正点电荷q和带正电球体Q在x2R处的合电场强度恰好叠加为零，即根据库仑定律k，可得Q4q，依题意结合挖补法，截去右半球后，x2R处的电场强度大小为E0，可知截去的右半球在x2R处产生的电场强度大小等于E0，根据对称性可知，余下的左半球在x－2R处产生的电场强度大小等于E0，方向沿x轴负方向，而x3R处的正点电荷q在x－2R处产生的电场强度大小为k，方向沿x轴负方向，故x－2R处的电场强度大小为k＋E0，故选C。]
9．D　[设每根细线对杆的拉力大小为F，对杆和小球整体，根据平衡条件，在竖直方向上有3Fcos 30°(3m＋M)g，解得F，故A、B错误；根据题意可得，每两个小球间的距离为l2Rcos 30°，所以每个小球受到的库仑力大小为F'2kcos 30°，故C错误；由平衡条件可知，杆对每个小球的弹力大小为N
，故D正确。]
10．BCD　[设中垂线上某点和P1或P2的连线与P1P2连线间的夹角为θ，有0θ，则该点处的电场强度E2sin θ，设f(θ)sin θcos2θ，则f'(θ)cos θ－3sin2θcos θ，当f'(θ)0，即sin θ时，f(θ)取最大值，f(θ)m，此时电场强度最大，Emf(θ)m，对应的点到O点的距离hrtan θr，A错误，B正确；由于r＞r，则电子从M点向上运动的过程中，其所受的静电力越来越小，加速度越来越小，C正确；电子在O点处所受电场力为0，在N点所受静电力指向平衡位置O点，则从N点释放后，将在等量同种负点电荷的连线上做往复运动，设电子运动过程中距O点的距离为x'，则电子受到的电场力F，由于r xx'，则F，即F与x'成正比，因此电子的运动可视为简谐运动，D正确。]
11．解析：(1)M处的电场强度方向竖直向下，所以位于A、B两点处的点电荷在M处产生的电场强度等大反向，即A、B两点处的点电荷电性相同，且EAMEBM，即，
又因为M为AB边的中点，即AMBM，所以qBq，
分析可知，C点处点电荷在M处产生的电场强度方向竖直向下，所以C点处点电荷为正电荷。
N处的电场强度方向竖直向上，沿BC方向与垂直BC方向(AN方向)进行分解，如图所示，
因为C点处为正电荷，ECN沿CB向下，所以B点处点电荷在N处产生的电场强度方向沿BC向上，即B点处点电荷为正电荷，故A点处点电荷也为正电荷。
(2)设等边三角形边长为L，由以上分析可知
EBCEBN－ECN，tan 60°，
联立并根据电场强度与库仑定律的关系得
tan 60°，
解得qCq。
答案：(1)q　A、B、C处都为正电荷　(2)q
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