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第41课时　电场能的性质
[学习目标]　1．知道静电场中的电荷具有电势能，理解电势能、电势的概念。2．掌握静电力做功的特点及静电力做功与电势能变化的关系。3．掌握匀强电场中的电势差及其与电场强度的关系。4．会处理电场线、等势面与运动轨迹结合的问题。
1．静电力做功
(1)特点：与路径无关，只与__位置和终止位置有关。
(2)计算方法
①W＝___，适用于匀强电场，d为沿电场方向的位移。
②WAB＝____，适用于任何电场。
2．静电力做功与电势能变化的关系
(1)静电力做的功等于电荷电势能的___，即WAB＝EpA－EpB。静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就__多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就__多少。
(2)电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功。
3．电势
(1)定义式：φ＝___。应用公式时，各量的正负号要代入。
(2)矢标性：标量，但有正负之分，其正(负)表示比___高(低)。
(3)相对性：电势大小与零电势点的选取有关。
4．等势面
(1)定义：电场中__相同的点构成的面。
(2)特点：
①在同一等势面上移动电荷时，静电力___。
②电场线和等势面垂直。
③等差等势面的疏密表示电场的__。
④等势面不相交。
5．几种常见等势面的比较
电场 等势面(虚线)图样 特点
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场 两电荷连线的中垂面为等势面
等量正点电荷的电场 在两电荷连线上，中点电势最_； 在两电荷连线的中垂线上，中点电势最_
6．电势差
(1)定义式：UAB＝。
(2)静电力做功与电势差的关系：WAB＝EpA－EpB＝q(φA－φB)＝qUAB。
(3)电势差与电势的关系：UAB＝______，UAB＝－UBA。
(4)匀强电场中电势差与电场强度的关系：U＝Ed。
7．静电平衡
(1)概念：导体中的自由电荷不再发生____。
(2)特点：
①导体内部电场强度为零。
②导体是等势体，表面是等势面，电荷只分布在外表面上。
1．易错易混辨析
(1)电场中电场强度为零的地方电势一定为零。 (　　)
(2)等势面是客观存在的，电场线与等势面一定垂直。 (　　)
(3)静电力做功与路径无关。 (　　)
(4)带电粒子仅受静电力作用时，一定从电势能大的地方向电势能小的地方移动。
(　　)
(5)等差等势面越密的地方，电场线越密，电场强度越大。 (　　)
(6)电场中电势降低的方向，就是电场强度的方向。 (　　)
(7)A、B两点的电势差与试探电荷无关，所以UAB＝UBA。 (　　)
2．(人教版必修第三册改编)电荷量为q的电荷在电场中由A点移到B点时，静电力做功为W，由此可算出两点间的电势差为U，若让电荷量为2q的电荷在电场中由A点移到B点，则(　　)
A．静电力做功仍为W
B．静电力做功为
C．两点间的电势差仍为U
D．两点间的电势差为
3．(人教版必修第三册改编)如图所示，匀强电场的电场强度为E，A与B两点间的距离为d，AB与电场线的夹角为α，则A、B两点间的电势差为(　　)
A．Ed　　　　　　　　 B．Ed cos α
C．Ed sin α D．Ed tan α
静电力做功、电势和电势能
1．求静电力做功的四种方法
2．判断电势能变化的两种常用方法
(1)根据静电力做功：静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加。
(2)根据Ep＝φq：正电荷在电势越高处电势能越大；负电荷在电势越高处电势能越小。
3．电势高低的三种常用判断方法
(1)电场线法：沿电场线方向电势逐渐降低。
(2)电势差与电势的关系：根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低。
(3)Ep与φ的关系：由φ＝知正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低。
[典例1]　(2025·河北卷)《汉书》记载“姑句家矛端生火”，表明古人很早就发现了尖端放电现象。若带电长矛尖端附近某条电场线如图，则a、b、c、d四点中电势最高的是(　　)
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
[典例2]　(2025·云南卷)某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为－2 V、－1 V、1 V、2 V的等势线上，则(　　)
A．a、b、c、d中a点电场强度最小
B．a、b、c、d中d点电场强度最大
C．一个电子从b点移动到c点静电力做功为2 eV
D．一个电子从a点移动到d点电势能增加了4 eV
[典例3]　如图所示，半径为R的圆处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行。a、b、c是圆周上的三个点，且△abc为正三角形。从b点在圆平面内向不同方向以相同的速率射出相同的带正电粒子，粒子经过圆周上各点中c点的动能最大，粒子从b点到c点静电力做功为W，粒子带电荷量为q，不计粒子所受重力，取b点电势为零，则下列说法正确的是(　　)
A．电场的方向由b指向c
B．c点的电势为
C．粒子从b点到a点静电力做功为－W
D．粒子在圆心O点的电势能为－W
匀强电场电势差与电场强度的关系
1．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)关系式：UAB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离。
(2)判断方法：沿电场强度方向电势降落最快。
(3)由E＝可推出的两个重要推论
推论1：如图甲所示，匀强电场中任一线段AB的中点C的电势φC＝。
推论2：如图乙所示，若匀强电场中两线段AB＝CD且AB∥CD，则φA－φB＝φC－φD。
(4)“等分法”的应用
①在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上间距相同的两点间电势差大小相等。如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点间的电势差大小等于原电势差的，这种通过等分间距求解电势问题的方法，叫等分法。
②若已知匀强电场中某几点的电势，要求其他点的电势时，一般采用“等分法”，在电场中找与待求点的电势相同的等势点。等分法也常用在画电场线的问题中。
2．非匀强电场中公式U＝Ed的定性应用
(1)判断电场强度大小：根据E＝，等差等势面越密，电场强度越大。
(2)判断电势差的大小：根据U＝Ed，距离相等的两点间，E越大，U越大。
　匀强电场中等分法的应用
[典例4]　(多选)(2025·湖南卷)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为＋q、－q和＋2q的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时，电势能均为Ep(Ep>0)。下列说法正确的是(　　)
A．OA中点的电势为零
B．电场的方向与x轴正方向成60°角
C．电场强度的大小为
D．电场强度的大小为
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　平行结论法的应用
[典例5]　(多选)如图所示，A、B、C为一质子的运动轨迹(未画出)上的三个点，这三个点恰好在匀强电场中的一个圆上，线段BC过圆心O，圆的半径R＝40 cm，线段AC＝40 cm。P为线段AB上的一点，∠ACP＝30°。质子只在静电力的作用下运动，质子在A点的动能为4.0×103 eV，从A点运动到C点，动能变为4.2×103 eV，从C点运动到B点，动能变为3.8×103 eV，则(　　)
A．A、C两点间的电势差UAC＝200 V
B．A、B两点间的电势差UAB＝200 V
C．A、B、C三点中A点的电势最高
D．电场的方向沿着CP，并且由P指向C
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　非匀强电场中的定性应用
[典例6]　平时我们所处的地球表面，实际上存在电场强度大小为100 V/m的电场，可将其视为匀强电场，在地面立一金属杆后空间中的等势面如图所示。空间中存在a、b、c三点，其中a点位于金属杆正上方，b、c等高，则下列说法正确的是(　　)
A．b、c两点间的电势差Ubc＝0
B．a点电场强度大小大于100 V/m
C．a点电场强度方向水平向右
D．a点的电势低于c点
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电场线、等势面及运动轨迹问题
1．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
(2)判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子所带电荷的正负判断电场强度的方向。
(3)判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。
2．一般情况下带电粒子在电场中的运动轨迹不会与电场线重合，只有同时满足以下三个条件时，两者才会重合：
(1)电场线为直线。
(2)电荷初速度为零或初速度方向与电场线平行。
(3)电荷仅受静电力或所受合力的方向始终与静电力方向相同或相反。
[典例7]　(2025·北京东城一模)图中虚线为某静电场的等势面，相邻等势面间的电势差相等。实线为一电子运动的部分轨迹，O、P、Q为轨迹与等势面的交点。电子从O点运动到Q点的过程中，仅受静电力作用。下列说法正确的是(　　)
A．电子加速度一直减小
B．电子速度先减小后增大
C．电子在O点电势能比在Q点电势能小
D．电子从O点到P点与从P点到Q点的动能增量相等
[典例8]　(2025·浙江6月选考)一束α粒子撞击一静止的金原子核，它们的运动轨迹如图所示。图中虚线是以金原子核为圆心的圆。已知静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，元电荷e＝1.6×10-19 C，金原子序数为79，不考虑α粒子间的相互作用，则(　　)
A．沿轨迹1运动的α粒子受到的库仑力先做正功，后做负功
B．沿轨迹2运动的α粒子到达P时动能为零、电势能最大
C．位于图中虚线圆周上的3个α粒子的电势能不相等
D．若α粒子与金原子核距离为10-14 m，则库仑力数量级为102 N
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静电感应和静电平衡
1．处于静电平衡的导体周围的电场分布情况
静电平衡的导体尖端电荷集中，电荷电场线密集。
2．三点理解
(1)静电平衡是自由电荷发生定向移动的结果，达到静电平衡时，自由电荷不再发生定向移动。
(2)金属导体建立静电平衡的时间是非常短暂的。
(3)导体达到静电平衡后内部电场强度处处为零是指外电场E与导体两端的感应电荷产生的附加电场E′的合电场强度为零，E′＝－E。
[典例9]　(2025·辽宁沈阳质检)为了减少环境污染，工业废气常用静电除尘器除尘。某静电除尘装置如图所示，其收尘极为金属圆筒，电晕极位于圆筒中心。当两极接上高压电源时，电晕极附近会形成很强的电场使空气分子电离，进入静电除尘器的尘埃吸附带电粒子后在静电力的作用下向收尘极运动并沉积，最终落入尘埃收集器实现除尘目的。设尘埃向收尘极运动过程中所带电荷量不变，下列说法正确的是(　　)
A．向收尘极运动的尘埃带正电荷
B．金属圆筒内越靠近收尘极电势越低
C．带电尘埃向收尘极运动过程中所受静电力越来越大
D．带电尘埃向收尘极运动过程中电势能越来越小
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第41课时　电场能的性质
回归教材·双基过关
知识梳理·体系构建
1．(1)初始　(2)qEd　qUAB
2．(1)减少量　减少　增加
3．(1)　(2)零电势
4．(1)电势　(2)不做功　强弱
5．低　高
6．(3)φA－φB
7．(1)定向移动
技能激活·易错攻坚
1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)×　(7)×
2．C　[两点间电势差与移动的电荷无关，静电力做功变为W'2qU2W，C正确。]
3．B　[题图中A、B两点之间沿电场方向的距离为dcos α，则电势差UABE·dcos α，故B正确，A、C、D错误。]
考点深研·题型突破
考点1
典例1　D　[根据电场线的性质：沿电场线方向，电势逐渐降低。观察题图中电场线，可判断d点电势高于c点，c点高于b点，b点高于a点。因此电势最高的是d点。故选D。]
典例2　C　[根据等势面越密集电场强度越大，可知a、b、c、d中a点电场强度最大，故A、B错误；一个电子从b点移动到c点静电力做功为Wbc－eUbc2 eV，故C正确；一个电子从a点移动到d点静电力做功为Wad－eUad4 eV，由于静电力做正功电势能减小，则一个电子从a点移动到d点电势能减小了4 eV，故D错误。]
典例3　D　[粒子经过圆周上各点中c点的动能最大，而粒子带正电，可知c点电势最低，电场强度方向垂直于过c点的切线方向，即电场的方向由O指向c，选项A错误；粒子从b点到c点静电力做功为W，可知Ubcφb－φc，b点电势为零，可得φc－，选项B错误；因ab与电场线垂直，则ab为等势线，电势均为零，则粒子从b点到a点静电力做功为0，选项C错误；电场强度E，O点电势为φO－ERsin 30°－，粒子在圆心O点的电势能为EpOφOq－W，选项D正确。]
考点2
典例4　AD　[根据题意结合电势能公式有EpqφO－qφA2qφB，解得φO，φA－，φB，则OA中点的电势φ10，A正确；在OA线段上找出一与B点等势的点M，可知xOMd，BM连线为等势线，与BM连线垂直的线为电场线，如图所示，则根据几何关系可知，电场线与x轴正方向夹角的正切值tan θ1，即θ45°，根据电场强度与电势差的关系可知，E，B、C错误，D正确。
]
典例5　AD　[质子由A到C，根据动能定理有eUAC4.2×103 eV－4.0×103 eV，解得UAC200 V，故A正确；质子由A到B，根据动能定理有eUAB3.8×103 eV－4.0×103 eV，解得UAB－200 V，故B错误；根据上述，有UACφA－φC200 V，UABφA－φB－200 V，若令C点的电势为0，则可以解得A点的电势为200 V，B点的电势为400 V，可知，A、B、C三点中B点电势最高，故C错误；匀强电场中，平行等间距的两条线段的电势差相等，则有UCOUOB，又由于UCOφC－φO，UOBφO－φB，结合上述可以解得O点的电势为200 V，即O点的电势等于A点的电势，连接AO，则AO为一条等势线，由几何知识知CP⊥AO，则电场的方向沿着CP，并且由高电势点指向低电势点，即由P指向C，故D正确。]
典例6　B　[由题图可知，b、c两点间的电势差为Ubc200 V－300 V－100 V，故A错误；由题图可知，a点与相邻两等势面的距离均小于1 m，电势差等于100 V，根据E可知a点电场强度大小大于 100 V/m，故B正确；根据电场强度方向垂直于等势面，可知a点的电场强度方向沿竖直方向，不是水平方向，故C错误；由题图可知，a点与c点在同一等势面上，电势均为300 V，故D错误。]
考点3
典例7　D　[等差等势面越密集，电场强度越大，由题图可知电子从O点运动到Q点的过程中电场强度先变大后变小，根据牛顿第二定律有qEma，可知电子加速度先增大后减小，故A错误；根据曲线运动的合力方向位于轨迹的凹侧，且电场强度方向与等势面垂直，可知电子受到的静电力垂直等势面偏右，所以静电力与速度方向的夹角小于90°，则静电力对电子做正功，电子的动能增大，速度一直增大，故B错误；由于静电力对电子做正功，则电子电势能减少，电子在O点电势能比在Q点电势能大，故C错误；由于相邻等势面间电势差相等，则有UOPUPQ，根据WqU，可知从O点到P点静电力做功与从P点到Q点静电力做功相等，根据动能定理可知电子在两个过程中动能增量相等，故D正确。]
典例8　D　[沿轨迹1运动的α粒子受到的库仑力先做负功，后做正功，A错误；沿轨迹2运动的α粒子因为做曲线运动，则到达P时动能不为零，因距离原子核最近，则电势能最大，B错误；位于题图中虚线圆周上各点的电势都相等，可知虚线圆周上的3个α粒子的电势能相等，C错误；若α粒子与金原子核距离为10－14 m，则根据库仑定律可知库仑力Fk N≈364 N，即数量级为102 N，D正确。故选D。]
考点4
典例9　D　[由题图可知，高压电源的负极接电晕极，正极接收尘极，水平面内的电场分布类似于负点电荷电场，金属圆筒内电场线由收尘极指向电晕极，越靠近收尘极电势越高，向收尘极运动的尘埃带负电荷，电场强度由电晕极到收尘极逐渐减小，由FqE可知带电尘埃向收尘极运动过程中所受静电力越来越小，故A、B、C错误；依题意，带电尘埃向收尘极运动过程中静电力做正功，电势能越来越小，故D正确。]
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第八章 静电场
41课时　电场能的性质
[学习目标]　1．知道静电场中的电荷具有电势能，理解电势能、电势的概念。2．掌握静电力做功的特点及静电力做功与电势能变化的关系。3．掌握匀强电场中的电势差及其与电场强度的关系。4．会处理电场线、等势面与运动轨迹结合的问题。
回归教材 · 双基过关
1．静电力做功
(1)特点：与路径无关，只与____位置和终止位置有关。
(2)计算方法
①W＝______，适用于匀强电场，d为沿电场方向的位移。
②WAB＝________，适用于任何电场。
初始
qEd
qUAB
2．静电力做功与电势能变化的关系
(1)静电力做的功等于电荷电势能的______，即WAB＝EpA－EpB。静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就____多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就____多少。
(2)电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功。
减少量
减少
增加
3．电势
(1)定义式：φ＝。应用公式时，各量的正负号要代入。
(2)矢标性：标量，但有正负之分，其正(负)表示比______高(低)。
(3)相对性：电势大小与零电势点的选取有关。
零电势
4．等势面
(1)定义：电场中____相同的点构成的面。
(2)特点：
①在同一等势面上移动电荷时，静电力______。
②电场线和等势面垂直。
③等差等势面的疏密表示电场的____。
④等势面不相交。
电势
不做功
强弱
电场 等势面(虚线)图样 特点
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面
5．几种常见等势面的比较
电场 等势面(虚线)图样 特点
等量异种点电荷的电场 两电荷连线的中垂面为等势面
等量正点电荷的电场 在两电荷连线上，中点电势最__；
在两电荷连线的中垂线上，中点电势最__
低
高
6．电势差
(1)定义式：UAB＝。
(2)静电力做功与电势差的关系：WAB＝EpA－EpB＝q(φA－φB)＝qUAB。
(3)电势差与电势的关系：UAB＝__________，UAB＝－UBA。
(4)匀强电场中电势差与电场强度的关系：U＝Ed。
φA－φB
7．静电平衡
(1)概念：导体中的自由电荷不再发生________。
(2)特点：
①导体内部电场强度为零。
②导体是等势体，表面是等势面，电荷只分布在外表面上。
定向移动
1．易错易混辨析
(1)电场中电场强度为零的地方电势一定为零。 (　　)
(2)等势面是客观存在的，电场线与等势面一定垂直。 (　　)
(3)静电力做功与路径无关。 (　　)
(4)带电粒子仅受静电力作用时，一定从电势能大的地方向电势能小的地方移动。 (　　)
×
×
√
×
(5)等差等势面越密的地方，电场线越密，电场强度越大。 (　　)
(6)电场中电势降低的方向，就是电场强度的方向。 (　　)
(7)A、B两点的电势差与试探电荷无关，所以UAB＝UBA。 (　　)
√
×
×
2．(人教版必修第三册改编)电荷量为q的电荷在电场中由A点移到B点时，静电力做功为W，由此可算出两点间的电势差为U，若让电荷量为2q的电荷在电场中由A点移到B点，则(　　)
A．静电力做功仍为W
B．静电力做功为
C．两点间的电势差仍为U
D．两点间的电势差为
√
C　[两点间电势差与移动的电荷无关，静电力做功变为W′＝2qU＝2W，C正确。]
3．(人教版必修第三册改编)如图所示，匀强电场的电场强度为E，A与B两点间的距离为d，AB与电场线的夹角为α，则A、B两点间的电势差为(　　)
A．Ed　　　　　　　　 B．Ed cos α
C．Ed sin α D．Ed tan α
√
B　[题图中A、B两点之间沿电场方向的距离为d cos α，则电势差UAB＝E·d cos α，故B正确，A、C、D错误。]
考点深研 · 题型突破
考点1　静电力做功、电势和电势能
1．求静电力做功的四种方法
2．判断电势能变化的两种常用方法
(1)根据静电力做功：静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加。
(2)根据Ep＝φq：正电荷在电势越高处电势能越大；负电荷在电势越高处电势能越小。
3．电势高低的三种常用判断方法
(1)电场线法：沿电场线方向电势逐渐降低。
(2)电势差与电势的关系：根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低。
(3)Ep与φ的关系：由φ＝知正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低。
[典例1]　(2025·河北卷)《汉书》记载“姑句家矛端生火”，表明古人很早就发现了尖端放电现象。若带电长矛尖端附近某条电场线如图，则a、b、c、d四点中电势最高的是(　　)
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
√
D　[根据电场线的性质：沿电场线方向，电势逐渐降低。观察题图中电场线，可判断d点电势高于c点，c点高于b点，b点高于a点。因此电势最高的是d点。故选D。]
[典例2]　(2025·云南卷)某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为－2 V、
－1 V、1 V、2 V的等势线上，则(　　)
A．a、b、c、d中a点电场强度最小
B．a、b、c、d中d点电场强度最大
C．一个电子从b点移动到c点静电力做功为2 eV
D．一个电子从a点移动到d点电势能增加了4 eV
√
C　[根据等势面越密集电场强度越大，可知a、b、c、d中a点电场强度最大，故A、B错误；一个电子从b点移动到c点静电力做功为Wbc＝－eUbc＝2 eV，故C正确；一个电子从a点移动到d点静电力做功为Wad＝－eUad＝4 eV，由于静电力做正功电势能减小，则一个电子从a点移动到d点电势能减小了4 eV，故D错误。]
[典例3]　如图所示，半径为R的圆处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行。a、b、c是圆周上的三个点，且△abc为正三角形。从b点在圆平面内向不同方向以相同的速率射出相同的带正电粒子，粒子经过圆周上各点中c点的动能最大，粒子从b点到c点静电力做功为W，粒子带电荷量为q，不计粒子所受重力，取b点电
势为零，则下列说法正确的是(　　)
A．电场的方向由b指向c
B．c点的电势为
C．粒子从b点到a点静电力做功为－W
D．粒子在圆心O点的电势能为－W
√
D　[粒子经过圆周上各点中c点的动能最大，而粒子带正电，可知c点电势最低，电场强度方向垂直于过c点的切线方向，即电场的方向由O指向c，选项A错误；粒子从b点到c点静电力做功为W，可知Ubc＝φb－φc＝，b点电势为零，可得φc＝－，选项B错误；因ab与电场线垂直，则ab为等势线，电势均为零，则粒子从b点到a点静电力做功为0，选项C错误；电场强度E＝＝，O点电势为φO＝－ER sin 30°＝－，粒子在圆心O点的电势能为EpO＝φOq＝－W，选项D正确。]
考点2　匀强电场电势差与电场强度的关系
1．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)关系式：UAB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离。
(2)判断方法：沿电场强度方向电势降落最快。
(3)由E＝可推出的两个重要推论
推论1：如图甲所示，匀强电场中任一线段AB的中点C的电势φC＝。
推论2：如图乙所示，若匀强电场中两线段AB＝CD且AB∥CD，则φA－φB＝φC－φD。
(4)“等分法”的应用
①在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上间距相同的两点间电势差大小相等。如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点间的电势差大小等于原电势差的，这种通过等分间距求解电势问题的方法，叫等分法。
②若已知匀强电场中某几点的电势，要求其他点的电势时，一般采用“等分法”，在电场中找与待求点的电势相同的等势点。等分法也常用在画电场线的问题中。
2．非匀强电场中公式U＝Ed的定性应用
(1)判断电场强度大小：根据E＝，等差等势面越密，电场强度越大。
(2)判断电势差的大小：根据U＝Ed，距离相等的两点间，E越大，U越大。
角度1　匀强电场中等分法的应用
[典例4]　(多选)(2025·湖南卷)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为＋q、－q和＋2q的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时，电势能均为Ep(Ep>0)。下列说法正确的是(　　)
A．OA中点的电势为零
B．电场的方向与x轴正方向成60°角
C．电场强度的大小为
D．电场强度的大小为
√
√
AD　[根据题意结合电势能公式有Ep＝qφO＝－qφA＝2qφB，解得φO＝，φA＝－，φB＝，则OA中点的电势φ1＝＝0，A正确；在OA线段上找出一与B点等势的点M，可知xOM＝d，BM连线为等势线，与BM连线垂直的线为电场线，如图所示，则根据几何关系可知，电场线与x轴正方向夹角的正切值tan θ＝1，即θ＝45°，根据电
场强度与电势差的关系可知，E＝＝，
B、C错误，D正确。]
角度2　平行结论法的应用
[典例5]　(多选)如图所示，A、B、C为一质子的运动轨迹(未画出)上的三个点，这三个点恰好在匀强电场中的一个圆上，线段BC过圆心O，圆的半径R＝40 cm，线段AC＝40 cm。P为线段AB上的一点，∠ACP＝30°。质子只在静电力的作用下运动，质子在A点的动能为4.0×
103 eV，从A点运动到C点，动能变为4.2×103 eV，
从C点运动到B点，动能变为3.8×103 eV，则(　　)
A．A、C两点间的电势差UAC＝200 V
B．A、B两点间的电势差UAB＝200 V
C．A、B、C三点中A点的电势最高
D．电场的方向沿着CP，并且由P指向C
√
√
AD　[质子由A到C，根据动能定理有eUAC＝4.2×103 eV－4.0×
103 eV，解得UAC＝200 V，故A正确；质子由A到B，根据动能定理有eUAB＝3.8×103 eV－4.0×103 eV，解得UAB＝－200 V，故B错误；根据上述，有UAC＝φA－φC＝200 V，UAB＝φA－φB＝－200 V，若令C点的电势为0，则可以解得A点的电势为200 V，B点的电势为400 V，可知，A、B、C三点中B点电势最高，故C错误；匀强电场中，平行等间距的两条线段的电势差相等，则有UCO＝UOB＝，又由于UCO
＝φC－φO，UOB＝φO－φB，结合上述可以解得O点的电势为200 V，即O点的电势等于A点的电势，连接AO，则AO为一条等势线，由几何知识知CP⊥AO，则电场的方向沿着CP，并且由高电势点指向低电势点，即由P指向C，故D正确。]
角度3　非匀强电场中的定性应用
[典例6]　平时我们所处的地球表面，实际上存在电场强度大小为100 V/m的电场，可将其视为匀强电场，在地面立一金属杆后空间中的等势面如图所示。空间中存在a、b、c三
点，其中a点位于金属杆正上方，b、c等高，
则下列说法正确的是(　　)
A．b、c两点间的电势差Ubc＝0
B．a点电场强度大小大于100 V/m
C．a点电场强度方向水平向右
D．a点的电势低于c点
√
B　[由题图可知，b、c两点间的电势差为Ubc＝200 V－300 V＝
－100 V，故A错误；由题图可知，a点与相邻两等势面的距离均小于1 m，电势差等于100 V，根据E＝可知a点电场强度大小大于 100 V/m, 故B正确；根据电场强度方向垂直于等势面，可知a点的电场强度方向沿竖直方向，不是水平方向，故C错误；由题图可知，a点与c点在同一等势面上，电势均为300 V，故D错误。]
考点3　电场线、等势面及运动轨迹问题
1．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
(2)判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子所带电荷的正负判断电场强度的方向。
(3)判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。
2．一般情况下带电粒子在电场中的运动轨迹不会与电场线重合，只有同时满足以下三个条件时，两者才会重合：
(1)电场线为直线。
(2)电荷初速度为零或初速度方向与电场线平行。
(3)电荷仅受静电力或所受合力的方向始终与静电力方向相同或相反。
[典例7]　(2025·北京东城一模)图中虚线为某静电场的等势面，相邻等势面间的电势差相等。实线为一电子运动的部分轨迹，O、P、Q为轨迹与等势面的交点。电子从O点运动到Q点的过程中，仅受静电力作用。下列说法正确的是(　　)
A．电子加速度一直减小
B．电子速度先减小后增大
C．电子在O点电势能比在Q点电势能小
D．电子从O点到P点与从P点到Q点的动能增量相等
√
D　[等差等势面越密集，电场强度越大，由题图可知电子从O点运动到Q点的过程中电场强度先变大后变小，根据牛顿第二定律有qE＝ma，可知电子加速度先增大后减小，故A错误；根据曲线运动的合力方向位于轨迹的凹侧，且电场强度方向与等势面垂直，可知电子受到的静电力垂直等势面偏右，所以静电力与速度方向的夹角小于90°，则静电力对电子做正功，电子的动能增大，速度一直增大，故B错误；由于静电力对电子做正功，则电子电势能减少，电子在O点电势能比在Q点电势能大，故C错误；由于相邻等势面间电势差相等，则有UOP＝UPQ，根据W＝qU，可知从O点到P点静电力做功与从P点到Q点静电力做功相等，根据动能定理可知电子在两个过程中动能增量相等，故D正确。]
[典例8]　(2025·浙江6月选考)一束α粒子撞击一静止的金原子核，它们的运动轨迹如图所示。图中虚线是以金原子核为圆心的圆。已知静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，元电荷e＝1.6×10-19 C，金原子序数为79，不考虑α粒子间的相互作用，则(　　)
A．沿轨迹1运动的α粒子受到的库仑力先做正功，后做负功
B．沿轨迹2运动的α粒子到达P时动能为零、电势能最大
C．位于图中虚线圆周上的3个α粒子的电势能不相等
D．若α粒子与金原子核距离为10-14 m，则库仑力数量级为102 N
√
D　[沿轨迹1运动的α粒子受到的库仑力先做负功，后做正功，A错误；沿轨迹2运动的α粒子因为做曲线运动，则到达P时动能不为零，因距离原子核最近，则电势能最大，B错误；位于题图中虚线圆周上各点的电势都相等，可知虚线圆周上的3个α粒子的电势能相等，C错误；若α粒子与金原子核距离为10-14 m，则根据库仑定律可知库仑力F＝k＝9×109× N≈364 N，即数量级为102 N，D正确。故选D。]
考点4　静电感应和静电平衡
1．处于静电平衡的导体周围的电场分布情况
静电平衡的导体尖端电荷集中，电荷电场线密集。
2．三点理解
(1)静电平衡是自由电荷发生定向移动的结果，达到静电平衡时，自由电荷不再发生定向移动。
(2)金属导体建立静电平衡的时间是非常短暂的。
(3)导体达到静电平衡后内部电场强度处处为零是指外电场E与导体两端的感应电荷产生的附加电场E′的合电场强度为零，E′＝－E。
[典例9]　(2025·辽宁沈阳质检)为了减少环境污染，工业废气常用静电除尘器除尘。某静电除尘装置如图所示，其收尘极为金属圆筒，电晕极位于圆筒中心。当两极接上高压电源时，电晕极附近会形成很强的电场使空气分子电离，进入静电除尘器的尘埃吸附带电粒子后在静电力的作用下向收尘极运动并沉积，最
终落入尘埃收集器实现除尘目的。设尘埃向收
尘极运动过程中所带电荷量不变，下列说法正
确的是(　　)
A．向收尘极运动的尘埃带正电荷
B．金属圆筒内越靠近收尘极电势越低
C．带电尘埃向收尘极运动过程中所受静电力越来越大
D．带电尘埃向收尘极运动过程中电势能越来越小
√
D　[由题图可知，高压电源的负极接电晕极，正极接收尘极，水平面内的电场分布类似于负点电荷电场，金属圆筒内电场线由收尘极指向电晕极，越靠近收尘极电势越高，向收尘极运动的尘埃带负电荷，电场强度由电晕极到收尘极逐渐减小，由F＝qE可知带电尘埃向收尘极运动过程中所受静电力越来越小，故A、B、C错误；依题意，带电尘埃向收尘极运动过程中静电力做正功，电势能越来越小，故D正确。]
课时数智作业(四十一)　电场能的性质
题号
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说明：第1～6题，每小题4分；第7～11题，每小题5分；本试卷共49分。
1．(多选)(2024·湖北卷)关于电荷和静电场，下列说法正确的是(　　)
A．一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变
B．电场线与等势面垂直，且由电势低的等势面指向电势高的等势面
C．点电荷仅在静电力作用下从静止释放，该点电荷的电势能将减小
D．点电荷仅在静电力作用下从静止释放，将从高电势的地方向低电势的地方运动
√
11
√
AC　[电荷只能从一个物体转移给另一个物体，不能被创造，也不能被消灭，所以一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变，A正确；电场线与等势面垂直，沿电场线方向电势逐渐降低，所以电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面，B错误；点电荷仅在静电力作用下从静止释放，将沿其所受静电力方向运动，即静电力将做正功，则该点电荷的电势能将减小，C正确；结合C项分析可知负点电荷将从低电势的地方向高电势的地方运动，正点电荷将从高电势的地方向低电势的地方运动，D错误。]
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2．(2024·河北卷)我国古人最早发现了尖端放电现象，并将其用于生产生活，如许多古塔的顶端采用“伞状”金属饰物在雷雨天时保护古塔。雷雨中某时刻，一古塔顶端附近等势线分布如图所示，相邻等势线电势差相等，则a、b、c、d四点中电场强度最大的是(　　)
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
√
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C　[等差等势线越密集，电场强度越大，则c点电场强度最大，C正确。]
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3．(2025·北京卷)某小山坡的等高线如图，M表示山顶，A、B是同一等高线上两点，MA、MB分别是沿左、右坡面的直滑道。山顶的小球沿滑道从静止滑下，不考虑阻力，则(　　)
A．小球沿MA运动的加速度比沿MB的大
B．小球分别运动到A、B点时速度大小不同
C．若把等高线看成某静电场的等势线，则A点
电场强度比B点大
D．若把等高线看成某静电场的等势线，则右侧电势比左侧降落得快
√
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D　[等高线越密集，坡面越陡，根据牛顿第二定律可得a＝g sin θ(θ为坡面与水平面夹角)，MB对应的等高线更密集，坡面更陡，小球沿着MB运动时加速度比沿着MA运动时加速度大，A错误；A、B在同一等高线，小球下落高度相同，根据机械能守恒定律，运动到A、B点时速度大小相同，B错误；等差等势线越密集，电场强度越大，B处等势线更密集，A点电场强度比B点小，C错误；等差等势线越密集，电势降落越快，右侧等势线更密集，右侧电势比左侧降落得快，D正确。]
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4．(2025·甘肃卷)如图，两极板不平行的电容器与直流电源相连，极板间形成非匀强电场，实线为电场线，虚线表示等势面。M、N点在同一等势面上，N、P点在同一电场线上。下列说法正确的是(　　)
A．M点的电势比P点的低
B．M点的电场强度比N点的小
C．负电荷从M点运动到P点，速度增大
D．负电荷从M点运动到P点，静电力做负功
√
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D　[MN两点电势相等，电场线由上到下，NP在同一电场线上，沿电场线方向电势逐渐降低，可知N点电势高于P点，可知M点电势高于P点，选项A错误；M点电场线分布比N点密集，可知M点电场强度比N点大，选项B错误；负电荷从M点运动到P点，电势能增加，则静电力做负功，动能减小，速度减小，选项C错误，D正确。]
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5．(2025·浙江1月选考)三个点电荷的电场线和等势线如图所示，其中d、e与e、f 两点间的距离相等，则(　　)
A．a点电势高于b点电势
B．a、c两点的电场强度相同
C．d、f 间电势差为d、e间电势差的两倍
D．从a到b与从f 到b，静电力对电子做功相等
√
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D　[电场线从高等势面指向低等势面，即电场线从题图中的正电荷指向负电荷，因此b点所在的等势面高于a点所在的等势面，A错误；a、c两点电场强度方向不同，电场强度不同，B错误；从d→e→f 电场强度逐渐减小，间距相等，结合U＝Ed可知0<2Ued，C错误；a点与f 点在同一等势面上，a、b两点和f 、b两点的电势差相等，根据静电力做功W＝qU可知从a到b与从f 到b，静电力对电子做功相等，D正确。]
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6．(2025·河南卷)如图所示，在与纸面平行的匀强电场中有a、b、c三点，其电势分别为6 V、4 V、2 V；a、b、c分别位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a点电场的方向，则正确的是(　　)
题号
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A　 　 　 B　　　 　C　 　 　　D
√
C　[取ac边的中点d，则在匀强电场中有φd＝＝4 V＝φb，所以bd连线为该电场的等势线，又电场方向垂直于等势线，且由高电势指向低电势，可知a点的电场方向从a指向c，C正确。]
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7．如图所示，在纸面内有一直角三角形ABC，P1为AB的中点，P2为AP1的中点，BC＝2 cm，∠A＝30°。纸面内有一匀强电场，电子在A点的电势能为－5 eV，在C点的电势能为19 eV，在P2点的电势能为3 eV。下列说法正确的是(　　)
A．A点的电势为－5 V
B．B点的电势为－19 V
C．该电场的电场强度方向由B点指向A点
D．该电场的电场强度大小为800 V/m
√
题号
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D　[由公式φ＝可知，φA＝＝＝5 V，故A错误；φP2＝＝＝－3 V，A、P2间的电势差为U＝φA－φP2＝5 V－(－3) V＝
8 V，φB＝φA－4U＝5 V－4×8 V＝－27 V，故B错误；A点到B点电势均匀降落，设P1B的中点为P3，该点电势为φP3＝φA－3U＝5 V－3×8 V＝－19 V，而φC＝＝＝－19 V，则P3点与C点为等势点，连接两点的直线为等势线，如图中虚线P3C所示，由几何关系知，
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P3C与AB垂直，所以AB为电场线，又因为沿电场线方向电势越来越低，所以该电场的电场强度方向是由A点指向B点，电场强度大小为E＝＝ V/cm＝800 V/m，故C错误，D正确。]
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8．(2025·湖北省武汉市高三5月质检)如图所示，一等腰梯形ABCD处于匀强电场中，电场强度方向平行于等腰梯形所在平面，已知∠DAB＝∠CBA＝60°，AB＝2 m，AD＝1 m，A、D、C三点的电势分别为1 V、3 V、5 V。下列说法正确的是(　　)
A．B点的电势为6 V
B．电场强度大小为 V/m
C．一质子在梯形区域内的电势能不一定大于零
D．一电子从D点移到AB的中点，静电力做正功
√
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B　[设AB的中点为M，连接AC、DM，两者交点为N，如图所示，根据几何关系可知，N点为AC的中点，DM∥CB，CA⊥DM，根据匀强电场特点可得，N点的电势为φN＝＝3 V＝φD，故DM、CB为等势线，故B点的电势为φB＝φC＝5 V，A错误；由于AC⊥DM，且φC>φA，则电场沿CA方向，由几何关系可知，AC距离d＝2AD·cos ＝ m，则电场强度E＝＝ V/m，B正确；沿电场线方向电势降低，可知，在梯形区域内A点电势最低，故整个
题号
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梯形区域内电势均大于1 V，质子在梯形区域内的电势能均大于零，故C错误；DM为等势线，故电子从D点移到AB的中点M，静电力不做功，故D错误。]
题号
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9．如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线1、2、3分别为三条等势线，三条等势线与其中一条电场线的交点依次为M、N、Q点，已知MN＝NQ，电荷量相等的a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出，仅在静电力作用下，两粒子的运动轨迹如图中虚线a′、b′所示，则(　　)
题号
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A．a粒子一定带正电，b粒子一定带负电
B．M、N两点间的电势差大小|UMN|等于N、Q两点间的电势差大小|UNQ|
C．a粒子的加速度逐渐增大，b粒子的加速度逐渐减小
D．a粒子从出发到等势线3过程的动能变化量比b粒子从出发到等势线1过程的动能变化量小
√
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D　[由题图可知，a粒子的轨迹向右弯曲，a粒子所受静电力方向向右，b粒子的轨迹向左弯曲，b粒子所受静电力方向向左，由于电场线方向未知，无法判断粒子的电性，故A错误；由题图可知，a所受静电力逐渐减小，加速度减小，b所受静电力逐渐增大，加速度增大，故C错误；已知MN＝NQ，由于MN段电场强度大于NQ段电场强度，所以M、N两点间的电势差大小|UMN|大于N、Q两点间的电势差大小|UNQ|，故B错误；根据静电力做功公式W＝qU，|UMN|>|UNQ|，a粒子从等势线2到3静电力做的功小于b粒子从等势线2到1静电力做的功，所以a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小，故D正确。]
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10．(多选)空间中有方向与纸面平行的匀强电场，其中纸面内P、Q和R三点分别是等边三角形abc三边的中点，如图所示。已知三角形的边长为2 m，a、b和c三点的电势分别为1 V、2 V和3 V。下列说法正确的是(　　)
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A．该电场的电场强度大小为1 V/m
B．电子在R点的电势能大于在P点的电势能
C．将一个电子从P点移动到Q点，静电力做功为＋0.5 eV
D．将一个电子从P点移动到R点，静电力做功为＋0.5 eV
√
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√
AD　[根据匀强电场中沿任意方向两点间中点的电势为两点电势的平均值，则有P点电势为φP＝＝2 V＝φb，可知bP是等势面，则电场强度方向由c点指向a点，电场强度大小E＝＝ V/m＝1 V/m，选项A正确；R点的电势为φR＝＝2.5 V>φP＝2 V，可知电子在R点的电势能小于在P点的电势能，选项B错误；Q点的电势为φQ＝＝1.5 V，将一个电子从P点移动到Q点，静电力做功为WPQ＝(－e)UPR＝－0.5 eV，选项C错误；将一个电子从P点移动到R点，静电力做功为WPR＝UPR(－e)＝(φP－φR)(－e)＝＋0.5 eV，选项D正确。]
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11．(多选)(2025·山东卷)球心为O、半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上，带电荷量分别为＋2q和＋q的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B两点，过O、A、B的截面如图所示，C、D均为圆弧上的点，OC沿竖直方向，∠AOC＝45°，OD⊥AB，A、B两点间距离为R，E、F为AB连线的三等分点。下列说法正确的是(　　)
题号
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A．甲的质量小于乙的质量
B．C点电势高于D点电势
C．E、F两点电场强度大小相等，方向相同
D．沿直线从O点到D点，电势先升高后降低
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√
√
BD　[由A、B两点间距离为R，可得2R sin ＝R，故AB圆弧所对的圆心角θ＝120°。对小球甲、乙分别受力分析，如图所示，由正弦定理可得＝＝，由于FBA＝FAB，可得m甲>m乙，故甲的质量大于乙的质量，A错误；将带正电的试探电荷由C点沿圆弧移至D点，静电力一直对其做正功，试探电荷的电势能一直减小，故电势一直减小，所以C点电势高于D点电势，B正确；
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由电场强度叠加原理可得，E点处的电场强度大小EE＝＝，方向由A指向B，F点处的电场强度大小EF＝＝，方向由B指向A，C错误；将带正电的试探
电荷沿直线从O点移到D点，静电力对其先做负
功后做正功，所以试探电荷的电势能先增大后
减小，可得沿直线从O点到D点电势先升高后降
低，D正确。]
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谢 谢 ！课时数智作业(四十一)　电场能的性质
说明：第1～6题，每小题4分；第7～11题，每小题5分；本试卷共49分。
1．(多选)(2024·湖北卷)关于电荷和静电场，下列说法正确的是(　　)
A．一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变
B．电场线与等势面垂直，且由电势低的等势面指向电势高的等势面
C．点电荷仅在静电力作用下从静止释放，该点电荷的电势能将减小
D．点电荷仅在静电力作用下从静止释放，将从高电势的地方向低电势的地方运动
2．(2024·河北卷)我国古人最早发现了尖端放电现象，并将其用于生产生活，如许多古塔的顶端采用“伞状”金属饰物在雷雨天时保护古塔。雷雨中某时刻，一古塔顶端附近等势线分布如图所示，相邻等势线电势差相等，则a、b、c、d四点中电场强度最大的是(　　)
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
3．(2025·北京卷)某小山坡的等高线如图，M表示山顶，A、B是同一等高线上两点，MA、MB分别是沿左、右坡面的直滑道。山顶的小球沿滑道从静止滑下，不考虑阻力，则(　　)
A．小球沿MA运动的加速度比沿MB的大
B．小球分别运动到A、B点时速度大小不同
C．若把等高线看成某静电场的等势线，则A点电场强度比B点大
D．若把等高线看成某静电场的等势线，则右侧电势比左侧降落得快
4．(2025·甘肃卷)如图，两极板不平行的电容器与直流电源相连，极板间形成非匀强电场，实线为电场线，虚线表示等势面。M、N点在同一等势面上，N、P点在同一电场线上。下列说法正确的是(　　)
A．M点的电势比P点的低
B．M点的电场强度比N点的小
C．负电荷从M点运动到P点，速度增大
D．负电荷从M点运动到P点，静电力做负功
5．(2025·浙江1月选考)三个点电荷的电场线和等势线如图所示，其中d、e与e、f两点间的距离相等，则(　　)
A．a点电势高于b点电势
B．a、c两点的电场强度相同
C．d、f间电势差为d、e间电势差的两倍
D．从a到b与从f到b，静电力对电子做功相等
6．(2025·河南卷)如图所示，在与纸面平行的匀强电场中有a、b、c三点，其电势分别为6 V、4 V、2 V；a、b、c分别位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a点电场的方向，则正确的是(　　)
A　 　 　B　　　　C　 　　　D
7．如图所示，在纸面内有一直角三角形ABC，P1为AB的中点，P2为AP1的中点，BC＝2 cm，∠A＝30°。纸面内有一匀强电场，电子在A点的电势能为－5 eV，在C点的电势能为19 eV，在P2点的电势能为3 eV。下列说法正确的是(　　)
A．A点的电势为－5 V
B．B点的电势为－19 V
C．该电场的电场强度方向由B点指向A点
D．该电场的电场强度大小为800 V/m
8．(2025·湖北省武汉市高三5月质检)如图所示，一等腰梯形ABCD处于匀强电场中，电场强度方向平行于等腰梯形所在平面，已知∠DAB＝∠CBA＝60°，AB＝2 m，AD＝1 m，A、D、C三点的电势分别为1 V、3 V、5 V。下列说法正确的是(　　)
A．B点的电势为6 V
B．电场强度大小为 V/m
C．一质子在梯形区域内的电势能不一定大于零
D．一电子从D点移到AB的中点，静电力做正功
9．如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线1、2、3分别为三条等势线，三条等势线与其中一条电场线的交点依次为M、N、Q点，已知MN＝NQ，电荷量相等的a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出，仅在静电力作用下，两粒子的运动轨迹如图中虚线a′、b′所示，则(　　)
A．a粒子一定带正电，b粒子一定带负电
B．M、N两点间的电势差大小|UMN|等于N、Q两点间的电势差大小|UNQ|
C．a粒子的加速度逐渐增大，b粒子的加速度逐渐减小
D．a粒子从出发到等势线3过程的动能变化量比b粒子从出发到等势线1过程的动能变化量小
10．(多选)空间中有方向与纸面平行的匀强电场，其中纸面内P、Q和R三点分别是等边三角形abc三边的中点，如图所示。已知三角形的边长为2 m，a、b和c三点的电势分别为1 V、2 V和3 V。下列说法正确的是(　　)
A．该电场的电场强度大小为1 V/m
B．电子在R点的电势能大于在P点的电势能
C．将一个电子从P点移动到Q点，静电力做功为＋0.5 eV
D．将一个电子从P点移动到R点，静电力做功为＋0.5 eV
11．(多选)(2025·山东卷)球心为O、半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上，带电荷量分别为＋2q和＋q的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B两点，过O、A、B的截面如图所示，C、D均为圆弧上的点，OC沿竖直方向，∠AOC＝45°，OD⊥AB，A、B两点间距离为R，E、F为AB连线的三等分点。下列说法正确的是(　　)
A．甲的质量小于乙的质量
B．C点电势高于D点电势
C．E、F两点电场强度大小相等，方向相同
D．沿直线从O点到D点，电势先升高后降低
课时数智作业(四十一)
1．AC　[电荷只能从一个物体转移给另一个物体，不能被创造，也不能被消灭，所以一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变，A正确；电场线与等势面垂直，沿电场线方向电势逐渐降低，所以电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面，B错误；点电荷仅在静电力作用下从静止释放，将沿其所受静电力方向运动，即静电力将做正功，则该点电荷的电势能将减小，C正确；结合C项分析可知负点电荷将从低电势的地方向高电势的地方运动，正点电荷将从高电势的地方向低电势的地方运动，D错误。]
2．C　[等差等势线越密集，电场强度越大，则c点电场强度最大，C正确。]
3．D　[等高线越密集，坡面越陡，根据牛顿第二定律可得agsin θ(θ为坡面与水平面夹角)，MB对应的等高线更密集，坡面更陡，小球沿着MB运动时加速度比沿着MA运动时加速度大，A错误；A、B在同一等高线，小球下落高度相同，根据机械能守恒定律，运动到A、B点时速度大小相同，B错误；等差等势线越密集，电场强度越大，B处等势线更密集，A点电场强度比B点小，C错误；等差等势线越密集，电势降落越快，右侧等势线更密集，右侧电势比左侧降落得快，D正确。]
4．D　[MN两点电势相等，电场线由上到下，NP在同一电场线上，沿电场线方向电势逐渐降低，可知N点电势高于P点，可知M点电势高于P点，选项A错误；M点电场线分布比N点密集，可知M点电场强度比N点大，选项B错误；负电荷从M点运动到P点，电势能增加，则静电力做负功，动能减小，速度减小，选项C错误，D正确。]
5．D　[电场线从高等势面指向低等势面，即电场线从题图中的正电荷指向负电荷，因此b点所在的等势面高于a点所在的等势面，A错误；a、c两点电场强度方向不同，电场强度不同，B错误；从def电场强度逐渐减小，间距相等，结合UEd可知0＜Ufe＜Ued，则Ufd＜2Ued，C错误；a点与f点在同一等势面上，a、b两点和f、b两点的电势差相等，根据静电力做功WqU可知从a到b与从f到b，静电力对电子做功相等，D正确。]
6．C　[取ac边的中点d，则在匀强电场中有φd4 Vφb，所以bd连线为该电场的等势线，又电场方向垂直于等势线，且由高电势指向低电势，可知a点的电场方向从a指向c，C正确。]
7．D　[由公式φ可知，φA5 V，故A错误；φP2－3 V，A、P2间的电势差为UφA－φP25 V－(－3) V8 V，φBφA－4U5 V－4×8 V－27 V，故B错误；A点到B点电势均匀降落，设P1B的中点为P3，该点电势为φP3φA－3U5 V－3×8 V－19 V，而φC－19 V，则P3点与C点为等势点，连接两点的直线为等势线，如图中虚线P3C所示，由几何关系知，P3C与AB垂直，所以AB为电场线，又因为沿电场线方向电势越来越低，所以该电场的电场强度方向是由A点指向B点，电场强度大小为E V/cm800 V/m，故C错误，D正确。
]
8．B　[设AB的中点为M，连接AC、DM，两者交点为N，如图所示，根据几何关系可知，N点为AC的中点，DM∥CB，CA⊥DM，根据匀强电场特点可得，N点的电势为φN3 VφD，故DM、CB为等势线，故B点的电势为φBφC5 V，A错误；由于AC⊥DM，且φC＞φA，则电场沿CA方向，由几何关系可知，AC距离d2AD·cos m，则电场强度E V/m，B正确；沿电场线方向电势降低，可知，在梯形区域内A点电势最低，故整个梯形区域内电势均大于1 V，质子在梯形区域内的电势能均大于零，故C错误；DM为等势线，故电子从D点移到AB的中点M，静电力不做功，故D错误。
]
9．D　[由题图可知，a粒子的轨迹向右弯曲，a粒子所受静电力方向向右，b粒子的轨迹向左弯曲，b粒子所受静电力方向向左，由于电场线方向未知，无法判断粒子的电性，故A错误；由题图可知，a所受静电力逐渐减小，加速度减小，b所受静电力逐渐增大，加速度增大，故C错误；已知MNNQ，由于MN段电场强度大于NQ段电场强度，所以M、N两点间的电势差大小|UMN|大于N、Q两点间的电势差大小|UNQ|，故B错误；根据静电力做功公式WqU，|UMN|＞|UNQ|，a粒子从等势线2到3静电力做的功小于b粒子从等势线2到1静电力做的功，所以a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小，故D正确。]
10．AD　[根据匀强电场中沿任意方向两点间中点的电势为两点电势的平均值，则有P点电势为φP2 Vφb，可知bP是等势面，则电场强度方向由c点指向a点，电场强度大小E V/m1 V/m，选项A正确；R点的电势为φR2.5 V＞φP2 V，可知电子在R点的电势能小于在P点的电势能，选项B错误；Q点的电势为φQ1.5 V，将一个电子从P点移动到Q点，静电力做功为WPQ(－e)UPR－0.5 eV，选项C错误；将一个电子从P点移动到R点，静电力做功为WPRUPR(－e)(φP－φR)(－e)＋0.5 eV，选项D正确。]
11．BD　[由A、B两点间距离为R，可得2Rsin R，故AB圆弧所对的圆心角θ120°。对小球甲、乙分别受力分析，如图所示，由正弦定理可得，由于FBAFAB，可得m甲＞m乙，故甲的质量大于乙的质量，A错误；将带正电的试探电荷由C点沿圆弧移至D点，静电力一直对其做正功，试探电荷的电势能一直减小，故电势一直减小，所以C点电势高于D点电势，B正确；由电场强度叠加原理可得，E点处的电场强度大小EE，方向由A指向B，F点处的电场强度大小EF，方向由B指向A，C错误；将带正电的试探电荷沿直线从O点移到D点，静电力对其先做负功后做正功，所以试探电荷的电势能先增大后减小，可得沿直线从O点到D点电势先升高后降低，D正确。
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