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第43课时　电容器　带电粒子在电场中的运动
[学习目标]　1．理解电容的定义及动态变化规律。2．会利用动力学、功能关系分析带电粒子在电场中的直线运动。3．掌握带电粒子在电场中的偏转规律，会分析带电粒子在电场中偏转的功能关系。
1．电容器
(1)充、放电
①充电：使电容器两极板上带等量__电荷的过程，电源提供的能量储存在电容器中。
②放电：使电容器两极板电荷__的过程，电容器储存的能量转化为其他形式的能。
(2)电容
①定义式：C＝。
②单位：法拉(F)、微法(μF)、皮法(pF)
1 F＝___ μF＝____ pF。
③平行板电容器：C＝______。
2．带电粒子在匀强电场中的运动
(1)加速
①匀强电场：W＝qEd＝qU＝________。
②非匀强电场：W＝qU＝。
(2)偏转
①运动形式：___运动。
②处理方法：应用运动的__与__。
③基本关系式
ⅰ．运动时间：t＝。
ⅱ．加速度：a＝＝＝。
ⅲ．偏转量：y＝at2＝__。
ⅳ．偏转角θ的正切值：tan θ＝＝＝_____。
3．示波管
(1)构造
①电子枪，②____，③荧光屏。(如图所示)
(2)工作原理
①YY′偏转电极上加的是待测的____，XX′偏转电极上是仪器自身产生的锯齿形电压，叫作____。
②观察到的现象
ⅰ．如果在偏转电极XX′和YY′之间都没有加电压，则电子枪射出的电子沿直线运动，打在荧光屏__，产生一个亮斑。
ⅱ．若所加扫描电压和____的周期相等，就可以在荧光屏上得到待测信号在一个周期内变化的稳定图像。
1．易错易混辨析
(1)电容器所带的电荷量是指每个极板所带电荷量的代数和。 (　　)
(2)电容器的电容与电容器所带电荷量成反比。 (　　)
(3)放电后的电容器电荷量为0，电容也为0。 (　　)
(4)带电粒子在电场中，只受静电力时，也可以做匀速圆周运动。 (　　)
(5)带电粒子在匀强电场中只能做类平抛运动。 (　　)
(6)带电粒子在电场中运动时重力一定可以忽略不计。 (　　)
2．(鲁科版必修第三册改编)(多选)如图所示，用静电计可以测量已充电的平行板电容器两极板之间的电势差U，电容器已带电，则下列判断正确的是(　　)
A．若增大两极板间的距离，则静电计指针张角变大
B．若将A板稍微上移，则静电计指针张角变大
C．若将玻璃板插入两板之间，则静电计指针张角变大
D．若减小两极板间的距离，则静电计指针张角变小
3．(鲁科版必修第三册改编)如图所示，一个带电粒子从粒子源飘入(初速度很小，可忽略不计)电压为U1的加速电场，经加速后从小孔S沿平行金属板A、B的中心线射入，A、B板长为L，相距为d，电压为U2。不计粒子重力，则带电粒子能从A、B板间飞出，应该满足的条件是(　　)
A．＜ B．＜
C．＜ D．＜
平行板电容器的动态分析
1．平行板电容器两类典型问题
(1)如图甲所示，电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板间的电势差U保持不变。
(2)如图乙所示，电容器充电后与电源断开，电容器两极板所带的电荷量Q保持不变。
2．动态分析思路
(1)U不变
①根据C＝和C＝，先分析电容的变化，再分析Q的变化。
②根据E＝分析电场强度的变化。
③根据UAB＝Ed分析某点电势变化。
(2)Q不变
①根据C＝和C＝，先分析电容的变化，再分析U的变化。
②根据E＝分析电场强度的变化。
　对电容的理解
[典例1]　(多选)(2025·甘肃张掖一模)地球表面与大气电离层都是良导体，两者与其间的空气介质可视为一个大电容器，这个电容器储存的电荷量大致稳定，约为5×105 C，其间的电场称为大气电场。设大地电势为零，晴天的大气电场中，不同高度h处的电势φ的变化规律如图所示，不考虑水平方向电场的影响。根据以上信息，下列说法正确的是(　　)
A．大气电场的方向竖直向上
B．地面带电荷量大小约为5×105 C
C．地面和大气电离层组成的电容器电容值约0.6 F
D．高度h越大，大气电场强度越小
　电容器的动态分析
[典例2]　(2025·黑吉辽蒙卷)如图所示，某压力传感器中平行板电容器内的绝缘弹性结构是模仿犰狳设计的，逐渐增大施加于两极板上的压力F的过程中，F较小时弹性结构易被压缩，极板间距d容易减小；F较大时弹性结构闭合，d难以减小。将该电容器充电后断开电源，极板间电势差U与F的关系曲线可能正确的是(　　)
A　　 　　B　　　　C　　　　　D
[典例3]　(2024·浙江6月选考)如图所示是“研究电容器两极板间距对电容大小的影响”实验，保持电荷量不变，当极板间距增大时，静电计指针张角增大，则(　　)
A．极板间电势差减小
B．电容器的电容增大
C．极板间电场强度增大
D．电容器储存能量增大
[典例4]　(2025·河北张家口一模)如图所示，D是一只理想二极管，水平放置的平行板电容器的A、B两极板间有一带电液滴，在P点处于静止状态。若保持极板B不动，当某同学分别从初始状态开始向不同方向稍微平移极板A(移动极板A后P点还在两极板之间)时，下列说法正确的是(　　)
A．极板A向上移动过程中，静电计指针张角变小
B．极板A向下移动过程中，静电计指针张角变大
C．极板A向左移动过程中，液滴向下运动
D．极板A向左移动过程中，P点处电势升高
带电粒子在电场中的直线运动
1．关于带电粒子(体)的重力分析
(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等除有特殊说明或明确的暗示外，一般不考虑重力(但不能忽略质量)。
(2)带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有特殊说明或明确的暗示外，一般都不能忽略重力。
2．分析带电粒子(体)在电场中的直线运动的方法
(1)用动力学观点分析(只适用于匀强电场)
a＝，E＝＝2ad。
(2)用功能观点分析
①匀强电场中：W＝qEd＝qU＝。
②非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1。
[典例5]　(人教版必修第三册例题改编)如图甲中高能医用电子直线加速器能让电子在真空场中被电场力加速，产生高能电子束，图乙为加在直线加速器上a、b间的电压，已知电子电荷量为e、质量为m，交变电压大小始终为U，周期为T，t＝0时刻电子从轴线BC上的紧靠0号金属圆筒右侧由静止开始被加速，圆筒的长度的设计遵照一定的规律，使得粒子“踏准节奏”在间隙处一直被加速。不计在两金属圆筒间隙中的运动时间，不考虑电场的边缘效应，则(　　)
A．电子在第1个圆筒内加速度为
B．电子在第2个圆筒内运动时间为t＝T
C．电子射出第3个圆筒时的速度为
D．第8号金属圆筒的长度为
思考　保持加速器筒长、加速电压不变，若要加速比荷更大的粒子，则要怎样调整交流电压的周期？
__________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________ [典例6]　(2025·四川卷)如图所示，真空中固定放置两块较大的平行金属板，板间距为d，下极板接地，板间匀强电场大小恒为E。现有一质量为m、电荷量为q(q>0)的金属微粒，从两极板中央O点由静止释放。若微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变。不计微粒重力。求：
(1)微粒第一次到达下极板所需时间；
(2)微粒第一次从上极板回到O点时的动量大小。
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 带电粒子在匀强电场中的偏转
1．带电粒子在匀强电场中的偏转规律
2．几个重要推论
(1)粒子从偏转电场中射出时，其速度方向反向延长线与初速度方向延长线交于一点，此交点为沿初速度方向位移的中点。
(2)速度偏转角θ的正切值等于位移偏转角α的正切值的2倍，即tan θ＝2tan α。
(3)以相同的初速度进入同一个偏转电场的带电粒子，不论m、q是否相同，只要比荷相同，则偏转距离y和偏转角θ相同。
(4)若以相同的初动能Ek0进入同一个偏转电场，只要q相同，不论m是否相同，则偏转距离y和偏转角θ相同。
(5)电荷量q不同的同性带电粒子经同一电场加速后(即加速电压U1相同)，再经同一电场偏转(即偏转电压U2相同)，则偏转距离y和偏转角θ均相同。
(6)当讨论带电粒子的末速度v时，也可以从能量的角度进行求解：qUy＝，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差。
[典例7]　(2025·河南卷)流式细胞仪可对不同类型的细胞进行分类收集，其原理如图所示。仅含有一个A细胞或B细胞的小液滴从喷嘴喷出(另有一些液滴不含细胞)，液滴质量均为m＝2.0×10-10 kg。当液滴穿过激光束、充电环时被分类充电，使含A、B细胞的液滴分别带上正、负电荷，电荷量均为q＝1.0×10-13 C。随后，液滴以v＝2.0 m/s的速度竖直进入长度为l＝2.0×10-2 m的电极板间，板间电场均匀、方向水平向右，电场强度大小为E＝2.0×105 N/C。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下方h＝0.1 m处的A、B收集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求：
(1)含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离；
(2)A、B细胞收集管的间距。
__________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________ [典例8]　(2025·甘肃卷)离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如图甲所示。从离子源S释放的正离子(初速度视为零)经电压为U1的电场加速后，沿OO′方向射入电压为U2的电场(OO′为平行于两极板的中轴线)。极板长度为l、间距为d，U2-t关系如图乙所示。长度为a的样品垂直放置在距U2极板L处，样品中心位于O′点。假设单个离子在通过U2区域的极短时间内，电压U2可视为不变，当U2＝±Um时，离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
A．U2的最大值Um＝U1
B．当U2＝±Um且L＝时，离子恰好能打到样品边缘
C．若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大U1
D．在t1和t2时刻射入U2的离子，有可能分别打在A点和B点
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第43课时　电容器　带电粒子在电场中的运动
回归教材·双基过关
知识梳理·体系构建
1．(1)异种　中和　(2)
2．(1)
3．(1)偏转电极　(2)信号电压　扫描电压　中心　信号电压
技能激活·易错攻坚
1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×
2．ABD　[电势差U变大(小)，指针张角变大(小)。电容器所带电荷量一定，由公式C知，当d变大时，C变小，再由C得U变大；当A板上移时，正对面积S变小，C也变小，U变大；当插入玻璃板时，C变大，U变小；当两极板间的距离减小时，C变大，U变小，所以选项A、B、D正确。]
3．D　[带电粒子在加速电场中加速，有qU1，由类平抛运动规律可知y，D正确。]
考点深研·题型突破
考点1
典例1　BD　[大地电势为零，离地面越高，电势越高，由沿电场方向电势降低可知，大气电场的方向竖直向下，故A错误；因地面和大气层分别是电容器的两个电极，电容器储存的电荷量约为5×105 C，可知地面带电量约为5×105 C，故B正确；根据电容器的定义式C可知，地面和大气电离层组成的电容器电容值约为C F F，故C错误；由公式E可得dU，可知d φ图像的斜率表示电场强度的倒数，由题图可知，高度h越大，大气电场强度越小，故D正确。]
典例2　D　[由电容器电容的决定式C结合题意可知，增大两极板的压力，两极板的间距d减小，则电容器的电容增大，又由于电容器充电后与电源断开，则电容器所带的电荷量不变，由公式U可知，电容器两极板间的电压减小，A、B错误；由题意可知F较大时，d难以减小，即两极板间距减小得越来越慢，电容器电容增大得越来越慢，则两极板间的电压减小得越来越慢，C错误，D正确。]
典例3　D　[分析题图可知静电计测量电容器两极板间的电势差，静电计指针张角增大，电容器两极板间的电势差增大，A错误；由于保持电荷量不变，而电势差增大，则由C可知电容器的电容减小，B错误；由电容的决定式有C，又电容器两极板间电场强度E，联立可得E，可知电容器两极板间电场强度与极板间距d无关，故仅改变极板间距，极板间电场强度不变，C错误；根据EpQU可知，Q不变，U增大时，电容器储存能量增大，D正确。]
典例4　D　[由题图可知，电容器极板A带正电，极板A向上移动过程中，根据电容器的决定式C可知，电容器的电容减小，根据QCU可知，电容器所带电荷量将变小，电容器放电，但理想二极管D阻止电容器放电，所以电容器所带电荷量Q不变，则上下极板间电势差U变大，静电计指针张角变大，故A错误；电容器极板A带正电，极板A向下移动过程中，根据电容器的决定式C可知，电容器的电容增大，根据QCU可知，电容器所带电荷量将变大，电容器充电，上下极板间电势差不变，静电计指针张角不变，故B错误；极板A向左移动过程中，根据电容器的决定式C可知，电容器的电容减小，根据QCU可知，电容器所带电荷量将变小，电容器放电，但理想二极管D阻止电容器放电，所以电容器所带电荷量Q不变，则上下极板间电势差U变大，根据E可知，两极板间的电场强度增大，则液滴受到的竖直向上的静电力增大，液滴向上运动，设P点到下极板的距离为x，则P点的电势为φPUPB－φBEx－0Ex，所以P点处电势升高，故C错误，D正确。]
考点2
典例5　D　[金属圆筒中电场为0，电子不受静电力作用，则电子在第1个圆筒内加速度为0，故A错误；电子每经过圆筒间狭缝时都要被加速，然后进入圆筒做匀速直线运动，所以电子在圆筒运动时间必须为，才能满足每次经过狭缝时被加速，故B错误；设电子进入第3个圆筒时的速度为v3，由动能定理有3eU，可得v3，因为电子在圆筒中做匀速直线运动，则电子射出第3个圆筒时的速度为，故C错误；设电子进入第8号圆筒时的速度为v8，由动能定理有8eU，可得v8，而电子在圆筒内做匀速直线运动，由此可得第8号圆筒的长度为L8v8·，故D正确。]
思考　提示：设粒子进入第n个圆筒时的速度为v，由动能定理有nqU
而粒子在圆筒内做匀速直线运动，由此可得第n个圆筒的长度为Lnvn·
解得Ln
分析可知，保持加速器筒长、加速电压不变，若要加速比荷更大的粒子，则要调小交流电压的周期。
典例6　解析：(1)金属微粒的加速度大小为a ①
微粒第一次到达下极板有 ②
解得t1。
(2)由题意分析知金属微粒的运动过程可视为初速度为零的匀加速直线运动，设微粒第一次从上极板回到O点时的速度大小为v，则
v22ax ③
x2d ④
pmv ⑤
联立①③④⑤可得p2。
答案：(1)
考点3
典例7　解析：(1)含A、B细胞的液滴在电极板间做类平抛运动，对含A细胞的液滴
垂直电场方向有lvt1
平行电场方向有x1
由牛顿第二定律可知qEma
联立解得含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离为
x15×10－3 m。
(2)由(1)问分析可知含A细胞的液滴离开电场时的速度方向与电场方向夹角的正切值为tan θ2
含A、B细胞的液滴离开电场后做匀速直线运动，含A细胞的液滴从离开电场至到达A收集管过程偏转的距离为
x20.05 m
即含A细胞的液滴开始运动至到达A收集管的过程偏转的距离为xAx1＋x20.055 m
由于含A、B细胞的液滴电性相反，带电荷量大小相等，则含B细胞的液滴的偏转距离与含A细胞液滴的相等，所以A、B细胞收集管的间距为xAB2xA0.11 m。
答案：(1)5×10－3 m　(2)0.11 m
典例8　B　[离子在加速电场中被加速时，有qU1，在偏转电场中做类平抛运动，则有lv0t，t2，解得UmU1，故A错误；当U2±Um时，离子从极板的边缘射出，若恰能打到样品边缘时，有，解得L，故B正确；根据y得Y，可知若其他条件不变，要增加样品的辐照范围，则需减小U1，故C错误；由题图乙可知，t1时刻所加电压小于t2时刻所加的电压，则t1时刻射入离子的竖直位移小于t2时刻射入离子的竖直位移，不能分别打在A点和B点，故D错误。]
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第八章 静电场
第43课时　电容器　带电粒子在电场中的运动
[学习目标]　1．理解电容的定义及动态变化规律。2．会利用动力学、功能关系分析带电粒子在电场中的直线运动。3．掌握带电粒子在电场中的偏转规律，会分析带电粒子在电场中偏转的功能关系。
回归教材 · 双基过关
1．电容器
(1)充、放电
①充电：使电容器两极板上带等量____电荷的过程，电源提供的能量储存在电容器中。
②放电：使电容器两极板电荷____的过程，电容器储存的能量转化为其他形式的能。
异种
中和
(2)电容
①定义式：C＝__。
②单位：法拉(F)、微法(μF)、皮法(pF)
1 F＝______ μF＝________ pF。
③平行板电容器：C＝。
106
1012
2．带电粒子在匀强电场中的运动
(1)加速
①匀强电场：W＝qEd＝qU＝_________________。
②非匀强电场：W＝qU＝。
(2)偏转
①运动形式：______运动。
②处理方法：应用运动的____与____。
类平抛
合成
分解
③基本关系式
ⅰ．运动时间：t＝__。
ⅱ．加速度：a＝＝＝____。
ⅲ．偏转量：y＝at2＝________。
ⅳ．偏转角θ的正切值：tan θ＝＝＝。
3．示波管
(1)构造
①电子枪，②___________，③荧光屏。(如图所示)
偏转电极
(2)工作原理
①YY′偏转电极上加的是待测的__________，XX′偏转电极上是仪器自身产生的锯齿形电压，叫作__________。
②观察到的现象
ⅰ．如果在偏转电极XX′和YY′之间都没有加电压，则电子枪射出的电子沿直线运动，打在荧光屏____，产生一个亮斑。
ⅱ．若所加扫描电压和__________的周期相等，就可以在荧光屏上得到待测信号在一个周期内变化的稳定图像。
信号电压
扫描电压
中心
信号电压
1．易错易混辨析
(1)电容器所带的电荷量是指每个极板所带电荷量的代数和。 (　　)
(2)电容器的电容与电容器所带电荷量成反比。 (　　)
(3)放电后的电容器电荷量为0，电容也为0。 (　　)
(4)带电粒子在电场中，只受静电力时，也可以做匀速圆周运动。 (　　)
×
×
×
√
(5)带电粒子在匀强电场中只能做类平抛运动。 (　　)
(6)带电粒子在电场中运动时重力一定可以忽略不计。 (　　)
×
×
2．(鲁科版必修第三册改编)(多选)如图所示，用静电计可以测量已充电的平行板电容器两极板之间的电势差U，电容器已带电，则下列判断正确的是(　　)
A．若增大两极板间的距离，则静电计指针张角变大
B．若将A板稍微上移，则静电计指针张角变大
C．若将玻璃板插入两板之间，则静电计指针张角变大
D．若减小两极板间的距离，则静电计指针张角变小
√
√
√
ABD　[电势差U变大(小)，指针张角变大(小)。电容器所带电荷量一定，由公式C＝知，当d变大时，C变小，再由C＝得U变大；当A板上移时，正对面积S变小，C也变小，U变大；当插入玻璃板时，C变大，U变小；当两极板间的距离减小时，C变大，U变小，所以选项A、B、D正确。]
3．(鲁科版必修第三册改编)如图所示，一个带电粒子从粒子源飘入(初速度很小，可忽略不计)电压为U1的加速电场，经加速后从小孔S沿平行金属板A、B的中心线射入，A、B板长为L，相距为d，电压为U2。不计粒子重力，则带电粒子能从A、B板间飞出，应该满足的条件是(　　)
A．＜ B．＜
C．＜ D．＜
√
D　[带电粒子在加速电场中加速，有qU1＝，由类平抛运动规律可知y＝at2＝＝＜，即＜，D正确。]
考点深研 · 题型突破
[考点1] 平行板电容器的动态分析
1．平行板电容器两类典型问题
(1)如图甲所示，电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板间的电势差U保持不变。
(2)如图乙所示，电容器充电后与电源
断开，电容器两极板所带的电荷量Q
保持不变。
2．动态分析思路
(1)U不变
①根据C＝和C＝，先分析电容的变化，再分析Q的变化。
②根据E＝分析电场强度的变化。
③根据UAB＝Ed分析某点电势变化。
(2)Q不变
①根据C＝和C＝，先分析电容的变化，再分析U的变化。
②根据E＝分析电场强度的变化。
角度1　对电容的理解
[典例1]　(多选)(2025·甘肃张掖一模)地球表面与大气电离层都是良导体，两者与其间的空气介质可视为一个大电容器，这个电容器储存的电荷量大致稳定，约为5×105 C，其间的电场称为大气电场。设大地电势为零，晴天的大气电场中，不同
高度h处的电势φ的变化规律如图所示，不考
虑水平方向电场的影响。根据以上信息，下
列说法正确的是(　　)
A．大气电场的方向竖直向上
B．地面带电荷量大小约为5×105 C
C．地面和大气电离层组成的电容器电容值约0.6 F
D．高度h越大，大气电场强度越小
√
√
BD　[大地电势为零，离地面越高，电势越高，由沿电场方向电势降低可知，大气电场的方向竖直向下，故A错误；因地面和大气层分别是电容器的两个电极，电容器储存的电荷量约为5×105 C，可知地面带电量约为5×105 C，故B正确；根据电容器的定义式C＝可知，地面和大气电离层组成的电容器电容值约为C＝ F＝ F，故C错误；由公式E＝可得d＝U，可知d-φ图像的斜率表示电场强度的倒数，由题图可知，高度h越大，大气电场强度越小，故D正确。]
角度2　电容器的动态分析
[典例2]　(2025·黑吉辽蒙卷)如图所示，某压力传感器中平行板电容器内的绝缘弹性结构是模仿犰狳设计的，逐渐增大施加于两极板上的压力F的过程中，F较小时弹性结构易被压缩，极板间距d容易减小；F较大时弹性结构闭合，d难以减小。将该电容器充电后断开电源，极板间电势差U与F的关系曲线可能正确的是(　　)
√
D　[由电容器电容的决定式C＝结合题意可知，增大两极板的压力，两极板的间距d减小，则电容器的电容增大，又由于电容器充电后与电源断开，则电容器所带的电荷量不变，由公式U＝可知，电容器两极板间的电压减小，A、B错误；由题意可知F较大时，d难以减小，即两极板间距减小得越来越慢，电容器电容增大得越来越慢，则两极板间的电压减小得越来越慢，C错误，D正确。]
[典例3]　(2024·浙江6月选考)如图所示是“研究电容器两极板间距对电容大小的影响”实验，保持电荷量不变，当极板间距增大时，静电计指针张角增大，则(　　)
A．极板间电势差减小
B．电容器的电容增大
C．极板间电场强度增大
D．电容器储存能量增大
√
D　[分析题图可知静电计测量电容器两极板间的电势差，静电计指针张角增大，电容器两极板间的电势差增大，A错误；由于保持电荷量不变，而电势差增大，则由C＝可知电容器的电容减小，B错误；由电容的决定式有C＝，又电容器两极板间电场强度E＝＝，联立可得E＝，可知电容器两极板间电场强度与极板间距d无关，故仅改变极板间距，极板间电场强度不变，C错误；根据Ep＝QU可知，Q不变，U增大时，电容器储存能量增大，D正确。]
[典例4]　(2025·河北张家口一模)如图所示，D是一只理想二极管，水平放置的平行板电容器的A、B两极板间有一带电液滴，在P点处于静止状态。若保持极板B不动，当某同学分别从初始状态开始向不同方向稍微平移极板A(移动极板A后P点还在两极板之间)时，下列说法正确的是(　　)
A．极板A向上移动过程中，静电计指针张角变小
B．极板A向下移动过程中，静电计指针张角变大
C．极板A向左移动过程中，液滴向下运动
D．极板A向左移动过程中，P点处电势升高
√
D　[由题图可知，电容器极板A带正电，极板A向上移动过程中，根据电容器的决定式C＝可知，电容器的电容减小，根据Q＝CU可知，电容器所带电荷量将变小，电容器放电，但理想二极管D阻止电容器放电，所以电容器所带电荷量Q不变，则上下极板间电势差U变大，静电计指针张角变大，故A错误；电容器极板A带正电，极板A向下移动过程中，根据电容器的决定式C＝可知，电容器的电容增大，根据Q＝CU可知，电容器所带电荷量将变大，电容器
充电，上下极板间电势差不变，静电计指针张角不变，故B错误；极板A向左移动过程中，根据电容器的决定式C＝可知，电容器的电容减小，根据Q＝CU可知，电容器所带电荷量将变小，电容器放电，但理想二极管D阻止电容器放电，所以电容器所带电荷量Q不变，则上下极板间电势差U变大，根据E＝可知，两极板间的电场强度增大，则液滴受到的竖直向上的静电力增大，液滴向上运动，设P点到下极板的距离为x，则P点的电势为φP＝UPB－φB＝Ex－0＝Ex，所以P点处电势升高，故C错误，D正确。]
考点2　带电粒子在电场中的直线运动
1．关于带电粒子(体)的重力分析
(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等除有特殊说明或明确的暗示外，一般不考虑重力(但不能忽略质量)。
(2)带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有特殊说明或明确的暗示外，一般都不能忽略重力。
2．分析带电粒子(体)在电场中的直线运动的方法
(1)用动力学观点分析(只适用于匀强电场)
a＝，E＝＝2ad。
(2)用功能观点分析
①匀强电场中：W＝qEd＝qU＝。
②非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1。
[典例5]　(人教版必修第三册例题改编)如图甲中高能医用电子直线加速器能让电子在真空场中被电场力加速，产生高能电子束，图乙为加在直线加速器上a、b间的电压，已知电子电荷量为e、质量为m，交变电压大小始终为U，周期为T，t＝0时刻电子从轴线BC上的紧靠0号金属圆筒右侧由静止开始被加速，圆筒的长度的设计遵照一定的规律，使得粒子“踏准节奏”在间隙处一直被加速。不计在两金属圆筒间隙中的运动时间，不考虑电场的边缘效应，则(　　)
A．电子在第1个圆筒内加速度为
B．电子在第2个圆筒内运动时间为t＝T
C．电子射出第3个圆筒时的速度为
D．第8号金属圆筒的长度为
√
D　[金属圆筒中电场为0，电子不受静电力作用，则电子在第1个圆筒内加速度为0，故A错误；电子每经过圆筒间狭缝时都要被加速，然后进入圆筒做匀速直线运动，所以电子在圆筒运动时间必须为，才能满足每次经过狭缝时被加速，故B错误；设电子进入第3个圆筒时的速度为v3，由动能定理有3eU＝，可得v3＝，因为电
子在圆筒中做匀速直线运动，则电子射出第3个圆筒时的速度为，故C错误；设电子进入第8号圆筒时的速度为v8，由动能定理有8eU＝，可得v8＝，而电子在圆筒内做匀速直线运动，由此可得第8号圆筒的长度为L8＝v8·＝，故D正确。]
思考　保持加速器筒长、加速电压不变，若要加速比荷更大的粒子，则要怎样调整交流电压的周期？
[提示]　设粒子进入第n个圆筒时的速度为v，由动能定理有nqU＝
而粒子在圆筒内做匀速直线运动，由此可得第n个圆筒的长度为Ln＝vn·
解得Ln＝·
分析可知，保持加速器筒长、加速电压不变，若要加速比荷更大的粒子，则要调小交流电压的周期。
[典例6]　(2025·四川卷)如图所示，真空中固定放置两块较大的平行金属板，板间距为d，下极板接地，板间匀强电场大小恒为E。现有一质量为m、电荷量为q(q>0)的金属微粒，从两极板中央O点由静止释放。若微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变。
不计微粒重力。求：
(1)微粒第一次到达下极板所需时间；
(2)微粒第一次从上极板回到O点时的动量大小。
[解析]　(1)金属微粒的加速度大小为a＝ ①
微粒第一次到达下极板有＝ ②
解得t1＝。
(2)由题意分析知金属微粒的运动过程可视为初速度为零的匀加速直线运动，设微粒第一次从上极板回到O点时的速度大小为v，则
v2＝2ax ③
x＝2d ④
p＝mv ⑤
联立①③④⑤可得p＝2。
[答案]　(1)　(2)2
考点3　带电粒子在匀强电场中的偏转
1．带电粒子在匀强电场中的偏转规律
2．几个重要推论
(1)粒子从偏转电场中射出时，其速度方向反向延长线与初速度方向延长线交于一点，此交点为沿初速度方向位移的中点。
(2)速度偏转角θ的正切值等于位移偏转角α的正切值的2倍，即tan θ＝2tan α。
(3)以相同的初速度进入同一个偏转电场的带电粒子，不论m、q是否相同，只要比荷相同，则偏转距离y和偏转角θ相同。
(4)若以相同的初动能Ek0进入同一个偏转电场，只要q相同，不论m是否相同，则偏转距离y和偏转角θ相同。
(5)电荷量q不同的同性带电粒子经同一电场加速后(即加速电压U1相同)，再经同一电场偏转(即偏转电压U2相同)，则偏转距离y和偏转角θ均相同。
(6)当讨论带电粒子的末速度v时，也可以从能量的角度进行求解：qUy＝，其中Uy＝ y，指初、末位置间的电势差。
[典例7]　(2025·河南卷)流式细胞仪可对不同类型的细胞进行分类收集，其原理如图所示。仅含有一个A细胞或B细胞的小液滴从喷嘴喷出(另有一些液滴不含细胞)，液滴质量均为m＝2.0×10-10 kg。当液滴穿过激光束、充电环时被分类充电，使含A、B细胞的液滴分别带上正、负电荷，电荷量均为q＝1.0×10-13 C。随后，液滴以v＝2.0 m/s的速度竖直进入长度为l＝2.0×10-2 m的电极板间，板间电场均匀、方向水平向右，电场强度大小为E＝2.0×105 N/C。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下方h＝0.1 m处的A、B收集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求：
(1)含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离；
(2)A、B细胞收集管的间距。
[解析]　(1)含A、B细胞的液滴在电极板间做类平抛运动，对含A细胞的液滴
垂直电场方向有l＝vt1
平行电场方向有x1＝
由牛顿第二定律可知qE＝ma
联立解得含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离为
x1＝5×10-3 m。
(2)由(1)问分析可知含A细胞的液滴离开电场时的速度方向与电场方向夹角的正切值为tan θ＝＝＝＝2
含A、B细胞的液滴离开电场后做匀速直线运动，含A细胞的液滴从离开电场至到达A收集管过程偏转的距离为
x2＝＝0.05 m
即含A细胞的液滴开始运动至到达A收集管的过程偏转的距离为xA＝x1＋x2＝0.055 m
由于含A、B细胞的液滴电性相反，带电荷量大小相等，则含B细胞的液滴的偏转距离与含A细胞液滴的相等，所以A、B细胞收集管的间距为xAB＝2xA＝0.11 m。
[答案]　(1)5×10-3 m　(2)0.11 m
[典例8]　(2025·甘肃卷)离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如图甲所示。从离子源S释放的正离子(初速度视为零)经电压为U1的电场加速后，沿OO′方向射入电压为U2的电场(OO′为平行于两极板的中轴线)。极板长度为l、间距为d，U2-t关系如图乙所示。长度为a的样品垂直放置在距U2极板L处，样品中心位于O′点。假设单个离子在通过U2区域的极短时间内，电压U2可视为不变，当U2＝±Um时，离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
A．U2的最大值Um＝U1
B．当U2＝±Um且L＝时，离子恰好能打到样品边缘
C．若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大U1
D．在t1和t2时刻射入U2的离子，有可能分别打在A点和B点
√
B　[离子在加速电场中被加速时，有qU1＝，在偏转电场中做类平抛运动，则有l＝v0t，＝·t2，解得Um＝U1，故A错误；当U2＝±Um时，离子从极板的边缘射出，若恰能打到样品边缘时，有＝，解得L＝，故B正确；根据y＝·t2＝，结合
几何关系＝得Y＝，可知若其他条件不变，要增加样品的辐照范围，则需减小U1，故C错误；由题图乙可知，t1时刻所加电压小于t2时刻所加的电压，则t1时刻射入离子的竖直位移小于t2时刻射入离子的竖直位移，不能分别打在A点和B点，故D错误。]
课时数智作业(四十三)　电容器　带电粒子在电场中的运动
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
说明：第1～5题，每小题4分；第7～9题，每小题5分；本试卷共59分。
1．(多选)(2025·陕西西安一模)计算机键盘为电容式传感器，如图甲所示。每个键下面由相互平行且间距为d的活动极板和固定极板组成，如图乙所示。其内部电路如图丙所示，已知只有该键的电容改变量不小于原电容的50%时，传感器才有感应，则下列说法正确的是(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
A．按键的过程中，电容器的电容减小
B．按键的过程中，图丙中电流方向从b流向a
C．按键的过程中，电容器两极板间的电场强度不变
D．要使传感器发生感应，至少要将按键按下d
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
BD　[根据电容表达式C＝，可知按键过程中，d减小，C增大，故A错误；由于电容器直接接在电源两端，故电容器两端电压U不变，因C增大，根据Q＝CU，可知Q增大，电容器充电，电流方向从b流向a，故B正确；根据电势差与电场强度关系，有E＝可知，由于U不变，按键过程中，d减小，故E增大，故C错误；令按键至少按下Δd距离，传感器才有感应，则此时电容C0＝，又因为C0－C＝0.5C，联立以上解得Δd＝d，故D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
2．(2025·江苏卷)如图所示，平行金属板与电源连接。一点电荷由a点移动到b点的过程中，静电力做功为W。现将上、下两板分别向上、向下移动，使两板间距离增大为原来的2倍，再将该电荷由a移动到b的过程中，静电力做功为(　　)
A． B．W
C．2W D．4W
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
A　[根据题意可知，电容器与电源保持连接，电容器两端电压不变，现将电容器两极板间距增大至原来的2倍，由公式E＝可知，极板间电场强度变为原来的，则有W＝Eqd可知，再把电荷由a移至b，则静电力做功变为原来的，即静电力做功为。故选A。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
3．(2025·河北秦皇岛一模)微信计步是通过手机内置的电容式加速度传感器实现的。其原理如图所示，M和N为电容器两极板，M极板固定在手机上，N极板两端与固定在手机上的两轻弹簧连接。当手机加速度变化时，由于惯性，N极板只能按图中标识的“上、下”或“左、右”方向运动。若某时刻极板上的电荷量增大，
则N的运动方向可能是(　　)
A．N极板向左运动 B．N极板向右运动
C．N极板向上运动 D．N极板向下运动
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
C　[由题意可知电源加在电容器两端，即电容器两端电压U不变，N极板向左或向右运动时，极板正对面积S减小，根据C＝可知C减小，因为Q＝CU，故电容器所带电荷量减小，故A、B错误；N极板向上运动，则d减小，C增大，Q增大，故C正确；同理，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
4．如图所示，空间存在两块平行的彼此绝缘的带电薄金属板A、B，间距为d，中央分别开有小孔O、P。现有甲电子以速率v0从O点沿OP方向运动，恰能运动到P点。若仅将B板向右平移距离d，再将乙电子从P′点由静止释放，则(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
A．金属板A、B组成的平行板电容器的电容C不变
B．金属板A、B间的电压减小
C．甲、乙两电子在板间运动时的加速度相同
D．乙电子运动到O点的速率为2v0
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
C　[两板间距离变大，根据C＝可知，金属板A、B组成的平行板电容器的电容C减小，选项A错误；根据Q＝CU，Q不变，C减小，则U变大，选项B错误；根据E＝＝＝，可知当d变大时，A、B两板间的电场强度不变，则甲、乙两电子在板间运动时的加速度相同，选项C正确；根据2eEd＝mv2，eEd＝，可知乙电子运动到O点的速率v＝v0，选项D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
5．质子、氘核、α粒子由同一位置从静止先通过同一加速电场后，又垂直于匀强电场方向进入同一偏转电场，最后穿出偏转电场。已知加速电压为U1，偏转电压为U2，偏转电极间的距离为d，偏转电极板的长度为l，离开偏转电场时粒子的偏转角为θ，则(　　)
A．若仅增大U1可使θ增大
B．若仅增大d可使θ增大
C．若仅增大l可使θ减小
D．三种粒子离开偏转电场时θ相同
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
D　[根据动能定理有qU1＝，根据类平抛运动知tan θ＝，t＝，根据牛顿第二定律有q＝ma，解得tan θ＝，故仅减小U1可使θ增大，故A错误；根据tan θ＝知，仅减小偏转电极间的距离d或仅增大偏转电极板的长度l可使θ增大，故B、C错误；根据tan θ＝知，偏转角θ与粒子的质量m、电荷量q都无关，所以三种粒子离开偏转电场时θ相同，故D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
6．(12分)(一题多法)(2025·江苏卷)如图所示，在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度v0射出，速度方向与水平方向夹角均为θ。已知粒子的质量为m、电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求：
(1)a运动到最高点的时间t；
(2)a到达最高点时，a、b间的距离H。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
[解析]　(1)根据题意，不计重力及粒子间相互作用，则竖直方向上，对a球，根据牛顿第二定律有qE＝ma
a运动到最高点的时间，由运动学公式有v0sin θ＝at
联立解得t＝。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
(2)解法一：根据题意可知，两个小球均在水平方向上做匀速直线运动，且水平方向上的初速度均为v0cos θ，则两小球一直在同一竖直线上，斜上抛的小球在竖直方向上运动的位移大小为x1＝＝
斜下抛的小球在竖直方向上运动的位移大小为x2＝v0t sinθ＋at2＝
则小球a到达最高点时与小球b之间的距离H＝x1＋x2＝。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
解法二：两个小球均受到相同静电力，以a球为参考系，b球以2v0sinθ的速度向下做匀速直线运动，则a到达最高点时，a、b间的距离H＝(2v0sin θ)t＝。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
[答案]　(1)(2)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
7．如图所示，一平行板电容器的两极板A、B水平放置，A极板接地，电容器、二极管、开关S与电源相连，已知二极管具有单向导电性。现将开关S闭合，在P点有一带电液滴恰好处于静止状态。保持开关S闭合，下列说法正确的是(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
A．将A板向上移动一小段距离，电容器将放电
B．将A板向上移动一小段距离，液滴在P点的电势能不变
C．将B板向上移动一小段距离，电容器将充电
D．将B板向上移动一小段距离，液滴在P点的电势能减小
√
C　[在P点有一带电液滴恰好处于静止状态，根据受力平衡可知，静电力竖直向上，与电场强度方向相反，则带电液滴带负电。保持开关S闭合，将A板向上移动一小段距离，板间距离增大，根据C＝、C＝可知电容减小，由于二极管具有单向导电性，所以不能放电，电容器储存的电荷量不变，根据E＝＝＝＝可知电场强度不变，A、P间电压增大，P点电势降低，则液滴在P点
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
的电势能增大，故A、B错误；保持开关闭合，将B板向上移动一小段距离，根据C＝，C＝，E＝，由于板间距离减小，可知电容增大，电容器充电，两极板电压不变，电场强度增大，A、P间电压增大，P点电势降低，则液滴在P点的电势能增大，故C正确，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
8．如图所示装置是由粒子加速器和平移器组成，平移器由两对水平放置、间距为Δd的相同平行金属板构成，极板间距离和板长均为L。加速电压为U0，两对极板间偏转电压大小相等，均为U0，电场方向相反。质量为m、电荷量为＋q的粒子无初速度地进入加速电场，被加速器加速后，从平移器下板边缘水平进入平移器，最终从平移器上板边缘水平离开，不计重力。下列说法正确的是(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
A．粒子离开加速器时速度v0＝
B．粒子通过左侧平移器时，竖直方向位移y1＝
C．Δd与2L相等
D．只增加加速电压，粒子将不能从平移器离开
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
B　[根据qU0＝，粒子离开加速器时速度为v0＝，故A错误；粒子在左侧平移器电场中的偏移量为y1＝at2，又q＝ma，L＝v0t，得y1＝，故B正确；根据类平抛运动的特点和对称性，粒子在两平移器之间做匀速直线运动，它的轨迹延长线分别过平行板中点，根据几何关系可知Δd＝L，故C错误；由B选项分析可得y1＝
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
，由A选项分析可知当加速电压增大时，粒子进入平移器的速度增大，粒子在平移器中竖直方向偏移量变小，粒子可以离开平移器，位置比原来靠下，故D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
9．如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N间存在匀强电场，板长为L(不考虑边界效应)。t＝0时刻，M板中点处的粒子源发射两个速度大小为v0的相同粒子，垂直M板向右的粒子，到达N板时速度大小为v0；平行M板向下的粒子，刚
好从N板下端射出。不计重力和粒子间的相互作用，
则(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
A．M板电势高于N板电势
B．两个粒子的电势能都增加
C．粒子在两板间的加速度a＝
D．粒子从N板下端射出的时间t＝
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
C　[由于不知道两粒子或M、N所带电荷的电性，故不能确定M板和N板的电势高低，A错误；根据题意，垂直M板向右运动的粒子，到达N板时速度增加，动能增加，则静电力做正功，电势能减小，则平行M板向下的粒子到达N板下端过程静电力也做正功，电势能同样减小，故B错误；设两板间距离为d，平行M板向下的粒子刚好从N板下端射出，在两板间做类平抛运动，有＝v0t，d＝at2，垂直M板向右的粒子，在板间做匀加速直线运动，因两粒子相同，则在电场中加速度相同，有＝2ad，联立解得t＝，a＝，故C正确，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
10．(12分)(2025·陕晋青宁卷)如图所示，有两个电性相同、质量分别为m、4m的粒子A、B，初始时刻相距l0，粒子A以速度v0沿两粒子连线向速度为0的粒子B运动，此时A、B两粒子系统的电势能等于。经时间t1，粒子B到达P点，此时两粒子速度相同，同时开始给粒子B施加一恒力，方向与速度方向相同。当粒子B的速度为v0时，粒子A恰好运动至P点且速度为0，A、B粒子间距离恢复为l0，这时撤去恒力。任意两带电粒子系统的电势能与其距离成反比，忽略两粒子所受重力。求：(m、l0、v0、t1均为已知量)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
(1)粒子B到达P点时的速度v1；
(2)t1时间内粒子B的位移xB；
(3)恒力作用的时间t2。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
[解析]　(1)施加恒力前的过程，两粒子组成的系统所受合外力为零，动量守恒，则有
mv0＝(m＋4m)v1
解得v1＝，方向水平向右。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
(2)设B到达P点(A、B共速)时，系统的电势能为Ep2，则由能量守恒定律得
＋Ep1＝＋Ep2
代入Ep1＝
解得Ep2＝
设A与B共速时A、B间距离为r，因电势能与距离成反比，则有＝
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
解得r＝
在t1时间内，由动量守恒定律有mv0＝mvA＋4mvB，可得mv0Δt＝mvA·Δt＋4mvB·Δt
两边对时间累加求和，有mv0t1＝mxA＋4mxB
由位移关系得l0＋xB＝xA＋r
联立解得xB＝，方向水平向右。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
(3)在恒力作用的t2时间内，对A、B系统，由功能关系得
＝
解得F＝
在恒力作用的这段时间由动量定理得Ft2＝0＋4mv0－5mv1
解得t2＝。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
[答案]　(1)v0，方向水平向右　(2)，方向水平向右　(3)
谢 谢 ！课时数智作业(四十三)　电容器　带电粒子在电场中的运动
说明：第1～5题，每小题4分；第7～9题，每小题5分；本试卷共59分。
1．(多选)(2025·陕西西安一模)计算机键盘为电容式传感器，如图甲所示。每个键下面由相互平行且间距为d的活动极板和固定极板组成，如图乙所示。其内部电路如图丙所示，已知只有该键的电容改变量不小于原电容的50%时，传感器才有感应，则下列说法正确的是(　　)
A．按键的过程中，电容器的电容减小
B．按键的过程中，图丙中电流方向从b流向a
C．按键的过程中，电容器两极板间的电场强度不变
D．要使传感器发生感应，至少要将按键按下d
2．(2025·江苏卷)如图所示，平行金属板与电源连接。一点电荷由a点移动到b点的过程中，静电力做功为W。现将上、下两板分别向上、向下移动，使两板间距离增大为原来的2倍，再将该电荷由a移动到b的过程中，静电力做功为(　　)
A． B．W
C．2W D．4W
3．(2025·河北秦皇岛一模)微信计步是通过手机内置的电容式加速度传感器实现的。其原理如图所示，M和N为电容器两极板，M极板固定在手机上，N极板两端与固定在手机上的两轻弹簧连接。当手机加速度变化时，由于惯性，N极板只能按图中标识的“上、下”或“左、右”方向运动。若某时刻极板上的电荷量增大，则N的运动方向可能是(　　)
A．N极板向左运动 B．N极板向右运动
C．N极板向上运动 D．N极板向下运动
4．如图所示，空间存在两块平行的彼此绝缘的带电薄金属板A、B，间距为d，中央分别开有小孔O、P。现有甲电子以速率v0从O点沿OP方向运动，恰能运动到P点。若仅将B板向右平移距离d，再将乙电子从P′点由静止释放，则(　　)
A．金属板A、B组成的平行板电容器的电容C不变
B．金属板A、B间的电压减小
C．甲、乙两电子在板间运动时的加速度相同
D．乙电子运动到O点的速率为2v0
5．质子、氘核、α粒子由同一位置从静止先通过同一加速电场后，又垂直于匀强电场方向进入同一偏转电场，最后穿出偏转电场。已知加速电压为U1，偏转电压为U2，偏转电极间的距离为d，偏转电极板的长度为l，离开偏转电场时粒子的偏转角为θ，则(　　)
A．若仅增大U1可使θ增大
B．若仅增大d可使θ增大
C．若仅增大l可使θ减小
D．三种粒子离开偏转电场时θ相同
6．(12分)(一题多法)(2025·江苏卷)如图所示，在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度v0射出，速度方向与水平方向夹角均为θ。已知粒子的质量为m、电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求：
(1)a运动到最高点的时间t；
(2)a到达最高点时，a、b间的距离H。
7．如图所示，一平行板电容器的两极板A、B水平放置，A极板接地，电容器、二极管、开关S与电源相连，已知二极管具有单向导电性。现将开关S闭合，在P点有一带电液滴恰好处于静止状态。保持开关S闭合，下列说法正确的是(　　)
A．将A板向上移动一小段距离，电容器将放电
B．将A板向上移动一小段距离，液滴在P点的电势能不变
C．将B板向上移动一小段距离，电容器将充电
D．将B板向上移动一小段距离，液滴在P点的电势能减小
8．如图所示装置是由粒子加速器和平移器组成，平移器由两对水平放置、间距为Δd的相同平行金属板构成，极板间距离和板长均为L。加速电压为U0，两对极板间偏转电压大小相等，均为U0，电场方向相反。质量为m、电荷量为＋q的粒子无初速度地进入加速电场，被加速器加速后，从平移器下板边缘水平进入平移器，最终从平移器上板边缘水平离开，不计重力。下列说法正确的是(　　)
A．粒子离开加速器时速度v0＝
B．粒子通过左侧平移器时，竖直方向位移y1＝
C．Δd与2L相等
D．只增加加速电压，粒子将不能从平移器离开
9．如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N间存在匀强电场，板长为L(不考虑边界效应)。t＝0时刻，M板中点处的粒子源发射两个速度大小为v0的相同粒子，垂直M板向右的粒子，到达N板时速度大小为v0；平行M板向下的粒子，刚好从N板下端射出。不计重力和粒子间的相互作用，则(　　)
A．M板电势高于N板电势
B．两个粒子的电势能都增加
C．粒子在两板间的加速度a＝
D．粒子从N板下端射出的时间t＝
10．(12分)(2025·陕晋青宁卷)如图所示，有两个电性相同、质量分别为m、4m的粒子A、B，初始时刻相距l0，粒子A以速度v0沿两粒子连线向速度为0的粒子B运动，此时A、B两粒子系统的电势能等于。经时间t1，粒子B到达P点，此时两粒子速度相同，同时开始给粒子B施加一恒力，方向与速度方向相同。当粒子B的速度为v0时，粒子A恰好运动至P点且速度为0，A、B粒子间距离恢复为l0，这时撤去恒力。任意两带电粒子系统的电势能与其距离成反比，忽略两粒子所受重力。求：(m、l0、v0、t1均为已知量)
(1)粒子B到达P点时的速度v1；
(2)t1时间内粒子B的位移xB；
(3)恒力作用的时间t2。
课时数智作业(四十三)
1．BD　[根据电容表达式C，可知按键过程中，d减小，C增大，故A错误；由于电容器直接接在电源两端，故电容器两端电压U不变，因C增大，根据QCU，可知Q增大，电容器充电，电流方向从b流向a，故B正确；根据电势差与电场强度关系，有E可知，由于U不变，按键过程中，d减小，故E增大，故C错误；令按键至少按下Δd距离，传感器才有感应，则此时电容C0，又因为C0－C0.5C，联立以上解得Δdd，故D正确。]
2．A　[根据题意可知，电容器与电源保持连接，电容器两端电压不变，现将电容器两极板间距增大至原来的2倍，由公式E，则有WEqd可知，再把电荷由a移至b，则静电力做功变为原来的。故选A。]
3．C　[由题意可知电源加在电容器两端，即电容器两端电压U不变，N极板向左或向右运动时，极板正对面积S减小，根据C可知C减小，因为QCU，故电容器所带电荷量减小，故A、B错误；N极板向上运动，则d减小，C增大，Q增大，故C正确；同理，D错误。]
4．C　[两板间距离变大，根据C可知，金属板A、B组成的平行板电容器的电容C减小，选项A错误；根据QCU，Q不变，C减小，则U变大，选项B错误；根据E，可知当d变大时，A、B两板间的电场强度不变，则甲、乙两电子在板间运动时的加速度相同，选项C正确；根据2eEdmv2，eEd，可知乙电子运动到O点的速率vv0，选项D错误。]
5．D　[根据动能定理有qU1，根据类平抛运动知tan θ，t，根据牛顿第二定律有qma，解得tan θ，故仅减小U1可使θ增大，故A错误；根据tan θ知，仅减小偏转电极间的距离d或仅增大偏转电极板的长度l可使θ增大，故B、C错误；根据tan θ知，偏转角θ与粒子的质量m、电荷量q都无关，所以三种粒子离开偏转电场时θ相同，故D正确。]
6．解析：(1)根据题意，不计重力及粒子间相互作用，则竖直方向上，对a球，根据牛顿第二定律有qEma
a运动到最高点的时间，由运动学公式有v0sin θat
联立解得t。
(2)解法一：根据题意可知，两个小球均在水平方向上做匀速直线运动，且水平方向上的初速度均为v0cos θ，则两小球一直在同一竖直线上，斜上抛的小球在竖直方向上运动的位移大小为x1
斜下抛的小球在竖直方向上运动的位移大小为x2v0tsin θ＋
则小球a到达最高点时与小球b之间的距离Hx1＋x2。
解法二：两个小球均受到相同静电力，以a球为参考系，b球以2v0sin θ的速度向下做匀速直线运动，则a到达最高点时，a、b间的距离H(2v0sin θ)t。
答案：(1)
7．C　[在P点有一带电液滴恰好处于静止状态，根据受力平衡可知，静电力竖直向上，与电场强度方向相反，则带电液滴带负电。保持开关S闭合，将A板向上移动一小段距离，板间距离增大，根据C、C可知电容减小，由于二极管具有单向导电性，所以不能放电，电容器储存的电荷量不变，根据E可知电场强度不变，A、P间电压增大，P点电势降低，则液滴在P点的电势能增大，故A、B错误；保持开关闭合，将B板向上移动一小段距离，根据C，C，E，由于板间距离减小，可知电容增大，电容器充电，两极板电压不变，电场强度增大，A、P间电压增大，P点电势降低，则液滴在P点的电势能增大，故C正确，D错误。]
8．B　[根据qU0，粒子离开加速器时速度为v0，故A错误；粒子在左侧平移器电场中的偏移量为y1at2，又qma，Lv0t，得y1，故B正确；根据类平抛运动的特点和对称性，粒子在两平移器之间做匀速直线运动，它的轨迹延长线分别过平行板中点，根据几何关系可知ΔdL，故C错误；由B选项分析可得y1，由A选项分析可知当加速电压增大时，粒子进入平移器的速度增大，粒子在平移器中竖直方向偏移量变小，粒子可以离开平移器，位置比原来靠下，故D错误。]
9．C　[由于不知道两粒子或M、N所带电荷的电性，故不能确定M板和N板的电势高低，A错误；根据题意，垂直M板向右运动的粒子，到达N板时速度增加，动能增加，则静电力做正功，电势能减小，则平行M板向下的粒子到达N板下端过程静电力也做正功，电势能同样减小，故B错误；设两板间距离为d，平行M板向下的粒子刚好从N板下端射出，在两板间做类平抛运动，有v0t，dat2，垂直M板向右的粒子，在板间做匀加速直线运动，因两粒子相同，则在电场中加速度相同，有(v0)2－2ad，联立解得t，a，故C正确，D错误。]
10．解析：(1)施加恒力前的过程，两粒子组成的系统所受合外力为零，动量守恒，则有
mv0(m＋4m)v1
解得v1，方向水平向右。
(2)设B到达P点(A、B共速)时，系统的电势能为Ep2，则由能量守恒定律得
(m＋4m)＋Ep2
代入Ep1
解得Ep2
设A与B共速时A、B间距离为r，因电势能与距离成反比，则有
解得r
在t1时间内，由动量守恒定律有mv0mvA＋4mvB，可得mv0ΔtmvA·Δt＋4mvB·Δt
两边对时间累加求和，有mv0t1mxA＋4mxB
由位移关系得l0＋xBxA＋r
联立解得xB，方向水平向右。
(3)在恒力作用的t2时间内，对A、B系统，由功能关系得
Fl0＋(m＋4m)
解得F
在恒力作用的这段时间由动量定理得Ft20＋4mv0－5mv1
解得t2。
答案：(1)

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