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2026年重庆中考数学冲刺试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数是( )
A. B. C. D.
2.人工智能大模型具有低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光下面四款常用的人工智能大模型的图标中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列问题中适合全面调查的是( )
A. 了解重庆市居民的月平均收入 B. 检测一批灯的使用寿命
C. 了解初三年级班学生的视力情况 D. 检测某水域的水质情况
4.已知一粒红豆的质量是千克，将数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
5.如图，点在反比例函数的图象上，作轴于点，点从点出发，沿轴向右以每秒个单位长度的速度运动，以为顶点作等腰直角三角形，点在反比例函数的图象上，点在轴上且在点右侧，，则在点运动过程中，时间每增加一秒，四边形的面积都会( )
A. 增加 B. 增加 C. 增加 D. 增加
6.年衢州市油价格受国际油价影响总体呈上升趋势我市号汽油月初价格是元升，月初价格是元升若设我市号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，点，，是上的三个点，，，则扇形的面积为( )
A. B. C. D.
8.如图，下列各图形是由若干个同样大小的圆组成的，按此规律排列下去，则第个图形中圆的个数是( )
A. B. C. D.
9.如图，在正方形中，为边的中点，连接，将沿翻折到正方形所在平面内，得到，连接，，则与的面积之比是( )
A.
B.
C.
D. ：
10.已知整式，其中为自然数，，，，均为绝对值小于的整数，且，满足下列结论：
不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个；
满足条件的二次二项式有且只有个；
满足条件的整式中只有个单项式；
满足条件的整式一共有个．
其中正确的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.某饮料厂搞促销活动，在一箱饮料瓶中有瓶的盖内印有“奖”字，小兵的妈妈买了一箱这种饮料，但连续打开瓶均未中奖，小兵在剩下的饮料中任意拿一瓶，那么他拿的这瓶的中奖概率是 ．
12.如图，把一张长方形纸条按如图的方式折叠后，量得，则的度数是 ．
13.如果为两个连续的正整数，则 ．
14.若是关于的一元一次不等式，则的值为 ．
15.如图，是的直径，点在上，连接，以为边作平行四边形，交于点，于点，连接交于点，交于点，若，，，则的长度为 ．
16.我们规定：一个各数位均不相等且不为零的四位数，若满足，且为整数，则称这个四位数为“胜利数”例如：四位数，因为，且，所以是“胜利数”按照这个规定，最小的“胜利数”是 ；一个“胜利数”，其前三位数字组成的三位数，后三位数字组成的三位数，记，若除以余数为，且为整数，则满足条件的的最大值是 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17..本小题分
年月第四周是首个依法设立的“全民阅读活动周”，某校策划开展“书香校园”系列活动，努力营造爱读书、读好书、善读书的浓厚氛围学校要在各楼层图书角放置散文、小说、诗歌、戏剧四类体裁的文学类书籍，为了解学生对这四类书籍的喜爱情况，图书管理员设计了以“我最喜爱的文学类书籍”为主题的调查问卷，随机抽取了部分学生进行问卷调查每名学生只能选择其中一项，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
调查问卷
我最喜爱的文学类书籍是单选
A.散文小说诗歌戏剧
请根据以上信息，解答下列问题：
在扇形统计图中，“散文”对应的扇形圆心角度数为______；
求本次调查中最喜爱“小说”的学生人数；
若该校共有名学生，请你估计全校最喜爱“诗歌”的学生人数．
18..本小题分
计算：；
先化简，再求值：，然后从，，，中选一个合适的数作为的值代入求值．
19. .本小题分
随着夏日露营火爆，某工厂推出一种便携露营套装，每个套装包含个折叠水杯和个一次性餐盒该工厂有名工人进行生产制作，每名工人每小时可制作个折叠水杯或个一次性餐盒．
若该工厂每小时生产的折叠水杯、一次性餐盒恰好全部配成露营套装，应分别安排多少名工人制作折叠水杯、一次性餐盒？
露营套装包装成套后，工厂需核实每个套装的成本，从而制定其售价，定价人员发现，用元制作一次性餐盒的数量与用元制作折叠水杯的数量相等，已知每个一次性餐盒的成本比每个折叠水杯成本少元，每个套装的包装成本为元，求每套露营套装的成本价格．
20. .本小题分
综合与实践
【实验背景】
某中学数学小组开展“梯子安全使用”实验活动通过查阅资料，结合学校地面与墙面的实际情况，经多次实验得出结论：要想安全使用梯子，梯子与地面所成的锐角一般满足角度过小易滑倒，过大易倾倒如表是小组在研究活动中的一份测量记录表．
【实验记录】
测量次数 梯子长度 梯子底端到墙脚的水平距离 梯子顶端到墙脚的垂直高度 梯子与水平面的夹角 安全判定是否
第次 是
第次
第次 否
【实验探究】
补全表格中第次测量的信息．
在保证安全的情况下，求长度为的梯子底端到墙脚的距离的取值范围．
在一次使用中，初始放置时，长度为的梯子的底端距墙脚，根据使用需求，要将梯子顶端下移，此时它的底端向外移动多少米？并判断移动后是否仍符合安全使用要求？
参考数据：，，，，，，
21.本小题分
解不等式，并在数轴上把解集表示出来．
求不等式组：的所有非负整数解．
22.本小题分
【探究与证明】在中，，．
【特例求解】如图，如果，是上的高，求的大小，完成以下填空．
解：，，
______等腰三角形三线合一．
在中，
，
______．
，
．
____________
如图，如果，是上的高，，则______
【探究规律】通过以上两题，你发现与之间有什么数量关系？用式子表示为：______．
【拓展延伸】如图，如果不是上的高，请与是否还存在上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
23.本小题分
如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，动点以每秒个单位长度的速度从出发，沿方向运动，动点以每秒个单位长度的速度从出发，沿方向运动，点、两点同时出发，当点到达点时，点、两点均停止运动，过点作交于点，垂足为点，连接，设动点的运动时间为秒，点与点的距离为，的面积为．
请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
在图的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；
结合函数图象，请直接写出时的取值范围近似值保留小数点后一位，误差不超过
24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线与轴交于点，．
求抛物线解析式；
已知点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交轴于点，点是直线上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值；
在中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点是点的对应点，点是新抛物线上的一点，若，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
25.本小题分
如图，在中，，点为边的中点，交于点点为线段上一点，连接，，将线段绕点逆时针旋转至，连接．
求证：≌；
若，．
如图，连接交于，当与的面积之比是：，求的值；
如图，延长交于点，当时，试求出的度数及的面积注意：面积用含，的代数式表示．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：在扇形统计图中，“散文”对应的扇形圆心角度数为：，
故答案为：；
调查学生的总数为：人，
本次调查中最喜爱“小说”的学生人数是：人；
人，
答：估计全校最喜爱“诗歌”的学生大约有人．
18.解：原式
；
，
，，
，，
当时，原式．
19.解：设应安排名工人制作折叠水杯，名工人制作一次性餐盒，
由题意得：，
解得：，
答：应安排名工人制作折叠水杯，名工人制作一次性餐盒；
设每个一次性餐盒的成本为元，每个折叠水杯成本为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
每个套装包含个折叠水杯和个一次性餐盒，
元，
答：每套露营套装的成本价格为元．
20.解：，，是；
在中，当时，
，
当时，
，
在保证安全的情况下，长度为米的梯子底端到墙脚取值范围为；
如图所示：梯子顶端下移后为，则，
，
，
，
，
，
，
，
由于，故移动后符合安全使用要求．
答：它的底端向外移动米．
21.解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：．
．
该不等式的解集在数轴上表示如图所示，
，
解不等式得：；
解不等式得：．
原不等式组的解集为：．
原不等式组的非负整数解为：，，．
22.解：，，
，
在中，
，
，
，
，
，
故答案为：，，，；
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
，，
，
在中，
，
，
，
，
，
仍成立，理由如下：
，
，
，
又，
，即．
23.解：由题意得，，
在矩形中，，，
，，，
，
，
，，
，
当时，，
当时，；
综上，；
列表：
函数图象如图：
函数的一条性质为：函数的图象关于直线对称答案不唯一；
观察图象得，当时，的取值范围为或．
求得，，，，根据三角形的面积公式即可求得；分两种情况讨论可求得；
列表、描点，连线即可画出函数图象；
结合函数图象，即可求解．
本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质二次函数图象的性质，一次函数的图象与性质，分类讨论是解题的关键．
24.解：将，代入抛物线，
，
解得，
抛物线的解析式为；
将代入函数得：，
，
，
，
直线与轴交于点，，
，，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，
解得，
直线的解析式为，
由题意，设点的坐标为，
则点的坐标为，
则，
如图，延长，交轴于点，过点作轴于点，连接，
轴，轴轴，
轴，
，
在中，，
，，
又，轴，
，
，
，
在中，，
，
当时，取得最大值，此时点的坐标为，
在中，，
，
当点，，共线时，的值最小，最小值为，
当点与点重合时，的值最小，最小值为，
的最小值为；
点的坐标为或，
如图，将射线上的点沿射线方向平移个单位长度得到点，过点作轴，过点作于点，
则，，
，
，，
在中，，，
将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，可以看作是将抛物线洗先向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到抛物线，
抛物线的解析式为，即，
平移后，点是点的对应点，
，即，
是一个钝角，且轴，，
如图，过点作，交延长线于点，过点作轴于点，
，，
在中，，
，
即，
，
由题意，设点的坐标为，
，，
在中，，即，
或，
解得或舍去或或舍去，
当时，，则此时点的坐标为；
当时，，则此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
25.证明：如图，在中，，连接，
，
将线段绕点逆时针旋转至，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌；
解：如图，连接，过点作于点，作于点，过点作于点，
与的面积之比是：，
，
，
，
，
，，
，
，
点为边的中点，，
，
点为边的中点，
，，
由可知，≌，
，
，
，
，
，
；
如图，连接，
将线段绕点逆时针旋转至，
，
，
，
由可知，≌，
，，
点为边的中点，点为边的中点，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
由可知，，
由可知，，
，
，
，
，即，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，即，
将线段绕点逆时针旋转至，
，，
，
，
，
，
．
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