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2025-2026学年北师大版高中数学必修二单元测试 第二章 平面向量及其应用
一、选择题
1．如图,在中,点M为线段的中点,,,则( )
A. B. C. D.2
2．向量，，，若，则实数m等于( )
A.1 B. C. D.2
3．已知点O为的外接圆的圆心，且，则的内角A等于( )
A. B. C. D.
4．已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数x的值为( )
A.2 B. C.2或 D.-2或
5．在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．，是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是( )
A.和 B.和
C.和 D.和
7．已知平行四边形的两条对角线相交于点O，设，，则( )
A. B. C. D.
8．在中,若,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．记的内角的对边分别为,已知,若有且只有一个,则b的值可以是( )
A.1 B. C. D.
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.若有唯一解，则a的值可以是( )
A.1 B. C. D.
11．已知的三边长分别为1,4,,则最大的内角为( )
A. B. C. D.
12．下列说法正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
三、填空题
13．在三角形中，，，设，，，则________.
14．在平行六面体中，，，则____________.
15．如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为__________m.
16．中，角A的平分线交边于点D，，，，则角平分线的长为________.
四、解答题
17．已知的面积,且.
(1)求C的大小；
(2)记的周长为.给出的解析式,并求其最大值.
18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)求角A的大小；
(2)若，的面积为，求a的值；
19．根据下列条件解三角形
(1)在中,已知,,,解三角形；
(2)在中,已知,,,求a；
20．已知的面积记为S、内角A、B、C的对边分别为a、b、c，.
(1)求角B；
(2)若，且，求的周长.
21．在中，，.
(1)求边的长；
(2)若，于点D，的中点为E，求线段的长.
22．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且.
(1)求B；
(2)若，记边上的高为，求的最大值.
参考答案
1．答案：A
解析：为中点,.
又,
.
可得,,.
2．答案：B
解析：由已知可得，
，所以，，解得.
故选：B.
3．答案：A
解析：因为，
所以.
所以四边形是平行四边形，
又因为，
所以四边形是菱形，是等边三角形.所以.
故选：A
4．答案：C
解析：向量，不共线，且，，与共线，
所以存在实数λ，使得，
所以，
求得实数或.
故选：C.
5．答案：D
解析：若满足条件的恰有一解，如图
则，或，
当时，，
当时，，
所以的取值范围是.
故选：D
6．答案：C
解析：对于A，由向量加法法则知，，及对应的有向线段可围成一个三角形，则和不共线，可作基底，A不是；
对于B，在和中，，则和不共线，可作基底，B不是；
对于C，，和共线，不可作基底，C是；
对于D，和是以，为一组邻边的平行四边形的两条对角线向量，不共线，可作基底，D不是.
故选：C
7．答案：B
解析：.
8．答案：C
解析：展开原式得,移项整理得.
根据余弦定理,代入得,
因为A是三角形内角,范围为,故满足的角为.
9．答案：AB
解析：对于A:由正弦定理,得,所以,当时,,
又,所以,或,当时,,不合题意,
此时有且只有一个,A正确;
对于B:当时,,又,所以,或,
当时,,不合题意,此时有且只有一个,B正确;
对于C:当时,,又,所以,或,
此时有两个,C错误;
对于D:当,,此时不存在,D错误.
10．答案：BD
解析：因为，，因为有唯一解，所以或，即，
故选：BD
11．答案：B
解析：设1,4,所对角分别为A,B,C,由三角形中大边对大角,则最大角为C,
则,,则该三角形最大内角C为.
故选：B.
12．答案：BD
解析：向量不能比较大小,A错误；
表示向量大小相等,方向相同,所以,B正确；
若是零向量,零向量平行于任意向量,此时即使满足、,但和也可以不平行,C错误；
由得、与同向；由得、与同向,因此、与同向,即,D正确.
13．答案：
解析：记 ，则，
因为，所以，所以
故答案为：
14．答案：8
解析：设，，，则，，
所以
因为，
所以
故答案为：8
15．答案：
解析：由题设，
在中，由正弦定理，得
∴.
故答案为：.
16．答案：
解析：依题意，设，，
由，可得，，
解得:.
故答案为：.
17．答案：(1)
(2)；
解析：(1)由余弦定理和面积公式得：,,
代入可得：,化简得：,
又因为在三角形中,,所以.
(2)设R为三角形外接圆半径,则由正弦定理可得：,则,
所以,,
则三角形周长为：
其中,所以,
代入可得：,
,其中
所以,则当,即时,取得最大值,
所以.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)由可得，
故，
由于，故，
(2)由，故，
又得，故，
故，
19．答案：(1),,
(2)
解析：(1)由正弦定理可得,即,
,,.
(2)由余弦定理可得,.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，即，
即，即，所以，
因为，故.
(2)因为，所以，
又因为，由余弦定理可得，
解得，故的周长为.
21．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，所以.
由正弦定理：，
所以.
(2)由余弦定理：，
所以.
因为的面积为，
所以.
由勾股定理：，
所以.
22．答案：(1)
(2)
解析：(1)根据正弦定理可得，
化简整理得，
由余弦定理得，
因为，故；
(2)由，得，
又，
所以
，
在三角形中，故，
当，即时，.
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