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2025-2026学年北师大版高中数学必修二单元测试 第六章 立体几何初步
一、选择题
1．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是( )
A. B. C.20 D.21
2．在空间中,若直线平面,直线平面,则l与m( )
A.相交
B.平行
C.是异面直线
D.可能平行,也可能是异面直线
3．如图四个几何体中是棱锥的选项是( )
A. B.
C. D.
4．若直线l在平面内,则符号表示正确的是( )
A. B. C. D.
5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）( )
A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸
6．将一根足够长的圆柱体木棒,沿着截面重新切割,已知底面圆的半径为,,则几何体的体积为( )
A. B. C. D.
7．已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )
A.2 B. C.4 D.
8．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时,相应水面的面积为；水位为海拔时,相应水面的面积为,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔上升到时,增加的水量约为（）( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下面对正三棱台的描述一定正确的有( ).
A.上下底面平行
B.侧面是等腰梯形
C.所有棱长都相等
D.延长正三棱台的各条侧棱,它们相交于一点
10．在棱长为3的正方体中，P是平面内的一个动点，若，则下列结论正确的是( )
A.点P的轨迹长度为
B.直线不可能与垂直
C.直线与平面所成角为
D.三棱锥的体积最大值为
11．已知圆锥（O是圆锥底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为4，底面半径为3.若P，Q为底面圆周上的任意两点，则下列说法正确的是( )
A.圆锥SO的侧面积为
B.面积的最大值为
C.三棱锥体积的最大值为
D.圆锥SO的内切球的表面积为
12．下列图形中是正四面体（各棱长都相等的三棱锥）的展开图的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题
13．圆锥的底面半径扩大到原来的2倍,高缩小为原来的,则其体积是原来的____________倍.
14．已知圆台的体积为,上底面半径为1,母线与下底面所成角的余弦值为,则该圆台的下底面半径为____________.
15．如图,在正四棱柱中,,则该正四棱柱的体积为______________.
16．一个圆台的母线长为5,上 下底面圆直径长分别为2,8,则圆台的高为____________.
四、解答题
17．如图所示的四棱锥中,已知底面ABCD是一个平行四边形,,且,.求证:面ABCD.
18．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求四棱锥的体积.
19．小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.
（1）证明：平面ABCD.
（2）求该包装盒的容积.（不计包装盒材料的厚度）
20．在三棱柱中，，平面ABC，E，F分别是AC，的中点.
（1）求证：平面.
（2）求证：平面平面.
21．如图，有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为，，.用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，若在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求a的取值范围.
22．在四棱锥中，平面ABCD，E为棱PD的中点，F为棱PC的中点，，，.求证：平面平面AEF.
参考答案
1．答案：A
解析：由棱台的几何特征可得其高为：
，
则其体积为：
.
故选：A
2．答案：D
解析：由题意,在空间中,直线l与m没有公共点,即l与m不相交,
则l与m可能平行,也可能是异面直线.
3．答案：D
解析：因为有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,
由这些面围成的几何体叫做棱锥.所以D中几何体为棱锥,
故选：D.
4．答案：A
解析：对于A：直线在平面内是两个集合间的包含关系,符号表示为,A正确；
对于B：表示直线与平面平行,不符合题意,B错误；
对于C：是元素与集合的"属于"符号,仅用来表示点在直线/平面内,不能表示直线与平面的位置关系,C错误；
对于D：表示直线与平面相交于点A,不符合题意,D错误.
5．答案：B
解析：由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸.
因为积水深9寸，所以水面半径为寸，
所以盆中水的体积为（立方寸）.
所以平地降雨量等于（寸），
故选：B.
6．答案：B
解析：用一个相同的几何体倒置放在这个几何体上方,
得到一个底面圆的半径为,高为的圆柱,
所以所求几何体的体积.
7．答案：B
解析：设圆锥的母线长为l,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长,则,解得.
故选：B.
8．答案：C
解析：依题意可知棱台的高为(m),所以增加的水量即为棱台的体积V.
棱台下底面积,上底面积,
.
故选：C.
9．答案：ABD
解析：对于A,正三棱台的上下底面平行,故A正确；
对于B,正三棱台的侧面是等腰梯形,故B正确；
对于C,所有棱长不是都相等的,故C错误；
对于D,延长各条侧棱,相交于一点,故D正确.
故选：ABD.
10．答案：ACD
解析：如图，连接，，，因为四边形为正方形，所以，
因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，因为，，平面，所以平面，设平面，即平面.因为，平面，所以，.
对于A，由得，，则，则，所以点P的轨迹是以E为圆心，半径的圆，其周长为，故A正确；
对于B，当时，因为，，，平面，所以平面，又平面，则，故B错误；
对于C，因为平面，所以为直线与平面所成的角，则，则，故C正确；
对于D，因为点E到直线的距离为，所以点P到直线的最大距离为，故的面积的最大值为，又因为平面，所以三棱锥体积的最大值为，故D正确.故选ACD.
11．答案：ACD
解析：A选项，底面半径为3，则底面圆周长为，又母线长为4，则侧面积为，故A正确；
B选项，由母线长为4，底面半径为3，可得圆锥的高.设BC是底面圆的一条直径，如图①，则在中，，则是钝角，又，则存在点P，Q，当时，，面积的最大值为8，故B错误；
C选项，，由圆锥的几何特征知三棱锥的高在圆锥底面上，当，即OQ为三棱锥的高时，，故C正确；
D选项，设内切球球心为，则在线段SO上，半径为r，过作，如图②，则，，，则，则，即，解得，内切球表面积为，D正确.故选ACD.
12．答案：AB
解析：对于AB:可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现AB可折成正四面体;
对于C:该展开图仅包含3个三角形,少于正四面体所需的4个面,无法围成正四面体,不符合要求.
对于D:折叠后会出现面重叠,无法围成封闭的正四面体,不符合要求;
13．答案：2
解析：设圆锥的底面半径以及高分别为,则变化之后的半径和高分别为,
则原来的体积为,变化后的体积为,
故,
故答案为：2.
14．答案：2
解析：如图,设圆台上底面圆心为,下底面圆心为,
梯形为圆台的轴截面,高为h.
过D作于E.
即为母线与下底面所成角,则.
在直角三角形中,,,
所以下底面半径,即,
,解得.
15．答案：112
解析：因为且四边形为正方形,故,
而,故,故,
故所求体积为,
故答案为：112.
16．答案：4
解析：
17．答案：证明见解析
解析：证明:由已知可得O为AC的中点.
在中,因为,且,
所以由等腰三角形三线合一可知.
同理,.
又因为,面ABCD,面ABCD.
所以面ABCD.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：由于平面，平面ABCD，则，
又，，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面PBD.
（2）由（1）知平面，因为平面，所以，所以，
因为四边形为矩形，所以，所以，
所以，则，则，
又，M为的中点，所以，
所以，
所以.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：方法一：（1）证明：过点E作于点，过点F作于点，连接，如图（1）.
平面平面ABCD，平面平面，平面，平面ABCD.
同理可得平面，.
易得，，
四边形是平行四边形，.
又平面，平面ABCD，
平面ABCD.
（2）过点G，H分别作于点，于点，连接，，，，如图（1）.
由（1）及题意，可知，，，分别为AB，BC，CD，DA的中点，四棱柱为长方体.
故该包装盒可看作由一个长方体和四个相等的四棱锥组合而成.
由底面ABCD是边长为的正方形，可得.
在正三角形ABE中，易得.
所求包装盒的容积
.
方法二：（1）证明：四边形ABCD是正方形，和是正三角形，
分别取AB，BC的中点K，I，连接EK，FI，KI，则，，如图（2）.
平面平面ABCD，平面平面，平面，
平面ABCD.
同理可得平面，.
易知，
，
四边形EKIF是平行四边形，.
又平面，平面ABCD，
平面ABCD.
（2）可补形成长方体，如图（2），易得长方体的高为.
故所求包装盒的容积.
20．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：证明：（1）因为E，F分别是，的中点，
所以.
又平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，平面ABC，所以.
又，平面，平面，，
所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
21．答案：
解析：由题意得，所给直三棱柱的底面积为，侧面积分别为6，8，10.
当拼成三棱柱时有三种情况，如图（1）（2）（3），
表面积分别为，
，
.
当拼成四棱柱时有四种情况，如图（4）（5）（6）（7），
表面积分别为，
，
.
由题意，得，解得.
22．答案：证明见解析
解析：证明：因为，，
所以.
取AD的中点H，连接CH，EH，易得，.
因为，所以.
因为平面，平面ABCD，
所以.
又因为E为棱PD的中点，F为棱PC的中点，
所以，所以，.
因为，平面PAC，所以平面PAC.
又因为平面AEF，所以平面平面AEF.
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