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2025-2026学年北师大版高中数学必修二单元测试 第五章 复数
一、选择题
1．复数的虚部为( )
A.3 B. C. D.
2．复数的虚部为( )
A. B. C. D.2
3．若复数，则( )
A.i B.-i C. D.
4．已知复数,则( )
A. B. C. D.
5．已知复数，则z的虚部为( )
A.1 B.i C.-1 D.
6．已知复数,则的虚部为( )
A.-1 B.1 C. D.0
7．的虚部为( )
A. B.0 C.1 D.6
8．已知,则( )
A. B.i C. D.1
二、多项选择题
9．已知z是方程的一个虚数根，则下列说法中正确的是( )
A. B.也是此方程的根
C. D.
10．已知复数是关于x的方程，的两个不同的根，则下列说法中正确的是( )
A. B.
C. D.若，则
11．已知复数，，则下列说法正确的是( )
A.
B.复平面内对应的点的集合是单位圆
C.
D.复平面内满足的点的集合是线段
12．若复数z满足，为z的共轭复数，则( )
A.
B.
C.在复平面内对应的点位于第二象限
D.是纯虚数
三、填空题
13．已知复数是纯虚数,则实数______.
14．在复平面内，i为虚数单位，对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数是________.
15．若复数是纯虚数,则实数__________.
16．已知i是虚数单位，化简的结果为______.
四、解答题
17．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，i是虚数单位.
（1）求实数m的取值范围；
（2）当时，求复数z的三角表示；
（3）若在复平面内，向量对应（2）中的复数z，把绕点O按顺时针方向旋转得到，求向量对应的复数（结果用代数形式表示）.
18．已知复数（i为虚数单位，）.若复数z在复平面内对应的点的坐标满足方程.
（1）求实数a的值.
（2）若向量与复数z对应，把绕原点按顺时针方向旋转，得到向量.求向量对应的复数（用代数形式表示）.
19．若m为实数，，，则使的m值的集合是什么？使的m值的集合又是什么？
20．分别求满足下列条件的实数x，y的值.
（1）；
（2）.
21．现有以下三个式子：①；②；③（i为虚数单位），某同学在解题时发现以上三个式子的值都等于同一个常数.
（1）从三个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论.
22．已知复数（i为虚数单位），试求实数m取什么值时，z分别为：
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数.
参考答案
1．答案：C
解析：复数的虚部为.
故选：C.
2．答案：C
解析：复数的虚部为.
故选：C
3．答案：C
解析：由得：，分母有理化得：.
4．答案：B
解析：因为复数,则.,故B正确.
5．答案：C
解析：，所以z的虚部为-1.
6．答案：D
解析：,故,故,虚部为0.
7．答案：C
解析：因为,所以其虚部为1,
故选：C.
8．答案：A
解析：因为,所以.
故选：A.
9．答案：AB
解析：由，得.
A.由，得，故A正确.
B.由题意得，方程的两根互为共轭复数，
所以当z是方程的一个虚数根时，z也是此方程的根，故B正确.C.当时，，故C错误.
D.当时，，，，
所以，故D错误.故选AB.
10．答案：ACD
解析：由题知，所以方程的根为，不妨设，，可知，故A正确；
由一元二次方程根与系数的关系知，所以，故C正确；，因为，所以当时，，故B错误；当时，，，
所以，.
，，
所以，故D正确.
故选ACD.
11．答案：BC
解析：取，，则，
，
则，故A错误；
，
，
则复平面内对应的点的集合是半径为1的圆，即单位圆，故B正确；
，，，，故C正确；
由得在复平面内对应的点到点的距离为1，即在复平面内对应点的集合是以为圆心，1为半径的圆，故D错误.
故选BC.
12．答案：ABD
解析：，则，则，A正确；，B正确；z在复平面内对应的点为，位于第四象限，C错误；，D正确.故选ABD.
13．答案：
解析：,
又为纯虚数,,解得:.
故答案为:.
14．答案：
解析：复平面上的向量加法与复数加法法则一致，即对应坐标相加，
因为，
所以对应的复数是.
15．答案：0
解析：因为m为实数,且复数是纯虚数,
所以,且,解得（舍去）.
16．答案：
解析：
17．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）复数在复平面内对应的点在第一象限，
解得.
故实数m的取值范围为.
（2）当时，，
，，
，.
（3）由（2）知.
把绕点O按顺时针方向旋转得到，
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）复数，
复数z在复平面内对应的点的坐标为.
点满足方程，
，解得.
（2）向量与复数z对应，
，
则在第二象限角平分线上.
由题意知，将绕原点按顺时针方向旋转后得到，
.
19．答案：当时，m的取值集合为；当时，m的取值集合为
解析：当时，，解得或或；
当时，，解得或或.
若，能比较大小，则，均为实数，所以，所以，.
所以当时，m的取值集合为；当时，m的取值集合为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，，
所以解得
（2）因为，，
所以解得.
21．答案：（1）i
（2）证明见解析
解析：（1）①，
②，
③.
（2）根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，
可以得到（，且a，b不同时为零）.
下面进行证明：
.
22．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由题意得
解得，
当时，z是实数.
（2）由题意得解得且，
当时，z是虚数.
（3）由题意得
即解得.
当时，z是纯虚数.
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