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江西省九江市第十一中学2024年中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
1．的倒数是（　　）
A．3 B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：因为的倒数是-3，
故答案为：B.
【分析】求一个数的倒数就是用1除以这个数的商.
2．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；去括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法、去括号法则、单项式乘多项式和完全平方公式逐项判断即可。
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，A不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，B不符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，C不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对选项逐一分析即可求解。
4．已知点A（1﹣2x，x﹣1）在第二象限，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；点的坐标
【解析】【解答】解：根据题意，得： ，
解不等式①，得：x＞ ，
解不等式②，得：x＞1，
不等式组的解集为x＞1，
故答案为：B．
【分析】由第二象限内点坐标特征可知（-，+），构建不等式组，求出解集.
5．如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设 ，那么 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长EG交AB于H，
∵∠BMF=∠BGE=90°，
∴MF//EH，
∴∠BFM=∠BHE，
∵ ，
∴∠BFM=∠BHE=60°，
∵在平行四边形ABCD中，DC//AB，
∴∠DEH=∠BHE=60°，
∵∠GEN=45°，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】延长EG交AB于H，由∠BMF=∠BGE=90°，可得MF//EH，利用平行线的性质可得∠BFM=∠BHE=60°，由平行线的性质可得∠DEH=∠BHE=60°，利用平角的定义可得∠2=180°-∠DEH-∠GEN，从而求出结论.
6．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在轴左侧，
，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
直线经过第一，二，四象限，反比例函数图象分布在第二、四象限，
∴A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】先根据二次函数的图象与系数的关系求出a、b、c、的正负，再根据一次函数和反比例函数的图象与系数的关系逐项判断即可。
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7．因式分解＝　 　．
【答案】2（2x+y）（2x-y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：2（2x+y）（2x-y）．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
8．已知一粒米的质量是千克，用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意得用科学记数法表示为
故答案为：.
【分析】根据科学记数法表示数据即可求解。
9．已知菱形的对角线的长度是关于的方程的两个实数根，则此菱形的面积是　 　．
【答案】24
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意得，
∵是菱形的对角线，
∴菱形的面积等于；
故答案为：24
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到得，进而根据菱形的性质即可求解。
10．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高　 　m．
【答案】7
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：和均为直角，
，
，
，
，，，
．
故答案为：7
【分析】先根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而代入数据计算即可求解。
11．如图，为等边的边的中点，点是上的一个动点，连接，将沿翻折，得到，连接，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵为等边的边的中点，
∴，
将沿翻折，得到，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】先根据等边三角形的性质得到，进而根据折叠的性质得到，，再进行角的运算即可求解。
12．如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为　 　.
【答案】3或 或
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：当 时，如图1，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
；
当 时，如图2，
，
，
，
在直角三角形 中，
；
， ，如图3，
，
，
为等边三角形，
，
故答案为3或 或 .
【分析】利用分类讨论，当 时，如图2，由对顶角的性质可得 ，易得 ，易得 的长，利用勾股定理可得 的长；当 时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出 ，易得 为等边三角形，利用锐角三角函数可得 的长；易得 ，利用勾股定理可得 的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论.
三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分．）
13．（1）计算：
（2）解分式方程：．
【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：
解得：
经检验：是方程的解
∴原方程的解为：．
【知识点】解分式方程；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据实数的混合运算结合特殊角的三角函数值进行计算即可求解；
（2）根据题意解分式方程，最后检验即可求解。
14．如图，点D是边的上一点，且，
（1）求证：
（2）如果，求的值．
【答案】（1）证明：∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定结合题意即可求解；
（2）先根据相似三角形的性质得到，进而代入数值即可求解。
15．在 中， ， ， 、 分别为边 、 的中点.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）.
（1）在图1中画一个以点 、点 为顶点的菱形；
（2）在图2中画一个以点 、点 为顶点的矩形.
【答案】（1）解：连接AF、CE，
∵在 中， ，
∴BC=AD=2AB，AB=CD，∠B=∠D=60°
∵ 、 分别为边 、 的中点
∴BC=2CF=2BF，AD=2DE=2AE
∴BF= CF=AB=AE=DE=DC
∴△ABF和△CDE都是等边三角形
∴AF=BF=CF=DE=CE=AE
∴四边形 为菱形
如图，菱形 为所求
（2）解：连接AF并延长交DC的延长线于点G，连接AC、BG，
由（1）可知△ABF为等边三角形
∴∠AFB=60°，AF=BF=FC
∴∠CFG=∠AFB=60°
∵AD∥BC
∴∠BCG=∠D=60°
∴∠CGF=180°－∠BCG－∠CFG=60°
∴△CFG为等边三角形
∴CF=FG=BF=AF
∴四边形 为平行四边形，BC=AG
∴四边形 为矩形
如图，矩形 为所求.
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】（1）连接AF、CE，由题意可得BF= CF=AB=AE=DE=DC ，即△ABF和△CDE都是等边三角形 ，则 AF=BF=CF=DE=CE=AE ，从而得出四边形为菱形 ；
（2）连接AF并延长交DC的延长线于点G，连接AC、BG，由（1）可知△ABF为等边三角形 ，得出 △CFG为等边三角形 ，即CF=FG=BF=AF ， 由四边形 为平行四边形，BC=AG 得出四边形 为矩形 .
16．先化简，再求值，其中x是满足条件的合适的非负整数．以下是某同学化简分的部分运算过程：
解：原式① ② ③…
（1）上面的运算过程中第　 　步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
【答案】（1）③
（2）解：原式
＝
＝．
∵x是满足条件的非负整数
∴，
∵由于分母不为0，
∴，
∴
∴原式或．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值
【解析】【解答】解：第③步出现错误，原因是分子相减时未变号．
故答案为：③
【分析】（1）根据分式的混合运算结合题意即可求解；
（2）先根据分式的混合运算进行化简，进而根据分式有意义的条件代入合适的值即可求解。
17．甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片这四张卡片分别用字母，，，表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为　 　．
（2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如解图，
由树状图知，共有种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有种，
则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由题意可得：
小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率计算即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果，再根据概率公式即可求出答案.
四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分．）
18．已知是双曲线上的一点，B点是双曲线上的一点，B点的横坐标为，轴，且P是x轴负半轴上的一点；
（1）求的函数关系式；
（2）的面积是　 　；
（3）若是等腰三角形，直接写出P的坐标．
【答案】（1）解：是双曲线上的一点，
∴将A代入得：，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
将其代入得：，
∴的解析式为：；
（2）
（3）解：设点，则，，，
当是等腰三角形时：
①，则，解得或，∴或；
②，则，解得或，∴或；
③时，则，解得，∴．
综上所述：或或或．
【知识点】反比例函数图象的对称性；待定系数法求反比例函数解析式；等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（2），
故答案为：
【分析】（1）先根据反比例函数图象上的点的坐标特征求出点A的坐标，进而根据平行即可求出点B的坐标，从而代入反比例函数解析式即可求解；
（2）根据三角形的面积结合点B和点A的坐标即可求解；
（3）设点，则，进而根据坐标系中两点间的距离公式得到，，再根据等腰三角形的性质分类讨论，进而解一元二次方程即可求解。
19．如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．
（1）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？
（2）已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：）
【答案】（1）解：过点D作于点E，过点作，垂足为，过点作的垂线，垂足为、，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴悬臂端点C到桌面l的距离约为；
（2）解：∵摄像头点D到桌面l的距离为，
∴，
同理可得四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点D作于点E，过点作，垂足为，过点作的垂线，垂足为、，进而根据矩形的判定与性质得到，，再解直角三角形求出CG，从而相加即可求解；
（2）先根据题意得到，同理可得四边形是矩形，进而得到，从而即可求出CH，再根据锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值即可得到∠CDH的度数，从而根据平行线的性质结合题意进行角的运算即可求解。
20．如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且 ＝ ，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交与点G．
（1）证明：GF是⊙O的切线；
（2）若AG＝6，GE＝6 ，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：如图，连接OE，
∵ ，
∴∠1＝∠2，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴OE∥BF，
∵BF⊥GF，
∴OE⊥GF，
∴GF是⊙O的切线；
（2）解：设OA＝OE＝r，
在Rt△GOE中，∵AG＝6，GE＝6 ，
∴由OG2＝GE2+OE2可得（6+r）2＝（6 ）2+r2，
解得：r＝3，
故⊙O的半径为3．
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OE，由 知∠1＝∠2，由∠2＝∠3可证OE∥BF，根据BF⊥GF得OE⊥GF，得证；（2）设OA＝OE＝r，在Rt△GOE中由勾股定理求得r＝3．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分．）
21．为了进一步了解某校八年级学生的身体素质情况，体育老师抽测了该校八年级（1）班50名学生一分钟的跳绳次数，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，图表如下所示：请结合图表完成下列问题：
组别 次数 频数（人数）
第1组 6
第2组 8
第3组
第4组 18
第5组 6
（1）本次调查为　 　（填全面调查或抽样调查），样本容量为　 　；
（2） ▲ ；并把频数分布直方图补充完整；
（3）若在一分钟内跳绳次数少于120次的为测试不合格，则该校八年级共1000人中，一分钟跳绳不合格的人数大约有多少？
【答案】（1）抽样调查；50
（2）解：12；
频数分布直方图如图所示：
（3）解：（人，
答：一分钟跳绳不合格的人数大约为280人．
【知识点】全面调查与抽样调查；用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：（1）由题意得本次调查为抽样调查，由表格得：样本容量为50，
故答案为：抽样调查，50；
【分析】（1）根据抽样调查的定义结合频数发布表数据即可求解；
（2）先用总人数减去其余人数即可得到a，进而补全直方图即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解。
22．定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线，已知抛物线的顶点是点P，它的共生抛物线的顶点是Q；
（1）点P的坐标是　 　，点Q的坐标是　 　，抛物线的函数关系式是　 　．
（2）直线与抛物线、均有两个交点，这些交点从左到右分别是A、B、C、D．
①求m的取值范围 ▲ ；
②若，求m的值；
【答案】（1）；；
（2）解：①此时．
②设点A、B横坐标分别为，C、D横坐标分别为
由得：，
∴
联立
整理得：
∴，
，
整理得：，
∴，
∴
解得：
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）抛物线的顶点是点P，
∴，
∵、是共生抛物线，
∴，
由于共生抛物线二次项系数互为负倒数，
∴中的，
∴，
故答案为：，，．
（2）①如图，当直线与抛物线、均相切时，
有 ，
整理的：，
由得：，解得；
，
整理得：，
由得：，解得；
当直线绕点O顺时针旋转即有4个交点，此时．
故答案为：
【分析】（1））根据共生抛物线的定义，结合二次函数的几何变换即可求解；
（2）①根据二次函数与一次函数的综合应用结合一元二次方程根的判别式即可求解；
②设点A、B横坐标分别为，C、D横坐标分别为，进而根据AB=CD得到，再根据一元二次方程根与系数的关系即可求解。
六、解答题（本大题共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23．【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点，点落在线段上，（为常数）．
（1）【特例证明】
如图1，将的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，.
①填空： ▲ ；
②求证：．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）
（2）【类比探究】
如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由．
（3）【拓展运用】
如图3，点在边上，，延长交边于点，若，求的值．
【答案】（1）解：①1；
②证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
过点作交于，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，，
即，
∴，
∴．
（3）解：过点作交于，作于，作于，
则，
∴，
即，
∴，
由（2）和已知条件可得：，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
令，则，，，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）①由正方形的性质可知：，
∵将的直角顶点与点重合，
∴，
故答案为：1
【分析】（1）根据正方形的性质得到OA=OC，进而根据题意相比即可求解；
②先根据正方形的性质得到，，，进而结合题意即可得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（2）过点作交于，进而根据平行线的性质得到，，再根据正方形的性质得到，，进而结合题意即可证明，从而根据相似三角形的判定与性质证明即可得到；
（3）过点作交于，作于，作于，则，进而根据题意进行角的运算证明，再运用三角形全等的判定与性质证明得到，，进而证明即可得到，同理可得：，从而结合题意即可得到，根据锐角三角函数的定义得到，令，则，，，再根据勾股定理表示出EN即可求解。
1 / 1江西省九江市第十一中学2024年中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
1．的倒数是（　　）
A．3 B．3 C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知点A（1﹣2x，x﹣1）在第二象限，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设 ，那么 （　　）
A． B． C． D．
6．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7．因式分解＝　 　．
8．已知一粒米的质量是千克，用科学记数法表示为　 　．
9．已知菱形的对角线的长度是关于的方程的两个实数根，则此菱形的面积是　 　．
10．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高　 　m．
11．如图，为等边的边的中点，点是上的一个动点，连接，将沿翻折，得到，连接，若，则的度数为　 　．
12．如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为　 　.
三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分．）
13．（1）计算：
（2）解分式方程：．
14．如图，点D是边的上一点，且，
（1）求证：
（2）如果，求的值．
15．在 中， ， ， 、 分别为边 、 的中点.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）.
（1）在图1中画一个以点 、点 为顶点的菱形；
（2）在图2中画一个以点 、点 为顶点的矩形.
16．先化简，再求值，其中x是满足条件的合适的非负整数．以下是某同学化简分的部分运算过程：
解：原式① ② ③…
（1）上面的运算过程中第　 　步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
17．甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片这四张卡片分别用字母，，，表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为　 　．
（2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率．
四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分．）
18．已知是双曲线上的一点，B点是双曲线上的一点，B点的横坐标为，轴，且P是x轴负半轴上的一点；
（1）求的函数关系式；
（2）的面积是　 　；
（3）若是等腰三角形，直接写出P的坐标．
19．如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．
（1）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？
（2）已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：）
20．如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且 ＝ ，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交与点G．
（1）证明：GF是⊙O的切线；
（2）若AG＝6，GE＝6 ，求⊙O的半径．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分．）
21．为了进一步了解某校八年级学生的身体素质情况，体育老师抽测了该校八年级（1）班50名学生一分钟的跳绳次数，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，图表如下所示：请结合图表完成下列问题：
组别 次数 频数（人数）
第1组 6
第2组 8
第3组
第4组 18
第5组 6
（1）本次调查为　 　（填全面调查或抽样调查），样本容量为　 　；
（2） ▲ ；并把频数分布直方图补充完整；
（3）若在一分钟内跳绳次数少于120次的为测试不合格，则该校八年级共1000人中，一分钟跳绳不合格的人数大约有多少？
22．定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线，已知抛物线的顶点是点P，它的共生抛物线的顶点是Q；
（1）点P的坐标是　 　，点Q的坐标是　 　，抛物线的函数关系式是　 　．
（2）直线与抛物线、均有两个交点，这些交点从左到右分别是A、B、C、D．
①求m的取值范围 ▲ ；
②若，求m的值；
六、解答题（本大题共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23．【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点，点落在线段上，（为常数）．
（1）【特例证明】
如图1，将的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，.
①填空： ▲ ；
②求证：．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）
（2）【类比探究】
如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由．
（3）【拓展运用】
如图3，点在边上，，延长交边于点，若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：因为的倒数是-3，
故答案为：B.
【分析】求一个数的倒数就是用1除以这个数的商.
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；去括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法、去括号法则、单项式乘多项式和完全平方公式逐项判断即可。
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，A不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，B不符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，C不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对选项逐一分析即可求解。
4．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；点的坐标
【解析】【解答】解：根据题意，得： ，
解不等式①，得：x＞ ，
解不等式②，得：x＞1，
不等式组的解集为x＞1，
故答案为：B．
【分析】由第二象限内点坐标特征可知（-，+），构建不等式组，求出解集.
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长EG交AB于H，
∵∠BMF=∠BGE=90°，
∴MF//EH，
∴∠BFM=∠BHE，
∵ ，
∴∠BFM=∠BHE=60°，
∵在平行四边形ABCD中，DC//AB，
∴∠DEH=∠BHE=60°，
∵∠GEN=45°，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】延长EG交AB于H，由∠BMF=∠BGE=90°，可得MF//EH，利用平行线的性质可得∠BFM=∠BHE=60°，由平行线的性质可得∠DEH=∠BHE=60°，利用平角的定义可得∠2=180°-∠DEH-∠GEN，从而求出结论.
6．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在轴左侧，
，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
直线经过第一，二，四象限，反比例函数图象分布在第二、四象限，
∴A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】先根据二次函数的图象与系数的关系求出a、b、c、的正负，再根据一次函数和反比例函数的图象与系数的关系逐项判断即可。
7．【答案】2（2x+y）（2x-y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：2（2x+y）（2x-y）．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
8．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意得用科学记数法表示为
故答案为：.
【分析】根据科学记数法表示数据即可求解。
9．【答案】24
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意得，
∵是菱形的对角线，
∴菱形的面积等于；
故答案为：24
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到得，进而根据菱形的性质即可求解。
10．【答案】7
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：和均为直角，
，
，
，
，，，
．
故答案为：7
【分析】先根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而代入数据计算即可求解。
11．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵为等边的边的中点，
∴，
将沿翻折，得到，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】先根据等边三角形的性质得到，进而根据折叠的性质得到，，再进行角的运算即可求解。
12．【答案】3或 或
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：当 时，如图1，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
；
当 时，如图2，
，
，
，
在直角三角形 中，
；
， ，如图3，
，
，
为等边三角形，
，
故答案为3或 或 .
【分析】利用分类讨论，当 时，如图2，由对顶角的性质可得 ，易得 ，易得 的长，利用勾股定理可得 的长；当 时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出 ，易得 为等边三角形，利用锐角三角函数可得 的长；易得 ，利用勾股定理可得 的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论.
13．【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：
解得：
经检验：是方程的解
∴原方程的解为：．
【知识点】解分式方程；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据实数的混合运算结合特殊角的三角函数值进行计算即可求解；
（2）根据题意解分式方程，最后检验即可求解。
14．【答案】（1）证明：∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定结合题意即可求解；
（2）先根据相似三角形的性质得到，进而代入数值即可求解。
15．【答案】（1）解：连接AF、CE，
∵在 中， ，
∴BC=AD=2AB，AB=CD，∠B=∠D=60°
∵ 、 分别为边 、 的中点
∴BC=2CF=2BF，AD=2DE=2AE
∴BF= CF=AB=AE=DE=DC
∴△ABF和△CDE都是等边三角形
∴AF=BF=CF=DE=CE=AE
∴四边形 为菱形
如图，菱形 为所求
（2）解：连接AF并延长交DC的延长线于点G，连接AC、BG，
由（1）可知△ABF为等边三角形
∴∠AFB=60°，AF=BF=FC
∴∠CFG=∠AFB=60°
∵AD∥BC
∴∠BCG=∠D=60°
∴∠CGF=180°－∠BCG－∠CFG=60°
∴△CFG为等边三角形
∴CF=FG=BF=AF
∴四边形 为平行四边形，BC=AG
∴四边形 为矩形
如图，矩形 为所求.
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】（1）连接AF、CE，由题意可得BF= CF=AB=AE=DE=DC ，即△ABF和△CDE都是等边三角形 ，则 AF=BF=CF=DE=CE=AE ，从而得出四边形为菱形 ；
（2）连接AF并延长交DC的延长线于点G，连接AC、BG，由（1）可知△ABF为等边三角形 ，得出 △CFG为等边三角形 ，即CF=FG=BF=AF ， 由四边形 为平行四边形，BC=AG 得出四边形 为矩形 .
16．【答案】（1）③
（2）解：原式
＝
＝．
∵x是满足条件的非负整数
∴，
∵由于分母不为0，
∴，
∴
∴原式或．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值
【解析】【解答】解：第③步出现错误，原因是分子相减时未变号．
故答案为：③
【分析】（1）根据分式的混合运算结合题意即可求解；
（2）先根据分式的混合运算进行化简，进而根据分式有意义的条件代入合适的值即可求解。
17．【答案】（1）
（2）解：画树状图如解图，
由树状图知，共有种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有种，
则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由题意可得：
小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率计算即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果，再根据概率公式即可求出答案.
18．【答案】（1）解：是双曲线上的一点，
∴将A代入得：，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
将其代入得：，
∴的解析式为：；
（2）
（3）解：设点，则，，，
当是等腰三角形时：
①，则，解得或，∴或；
②，则，解得或，∴或；
③时，则，解得，∴．
综上所述：或或或．
【知识点】反比例函数图象的对称性；待定系数法求反比例函数解析式；等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（2），
故答案为：
【分析】（1）先根据反比例函数图象上的点的坐标特征求出点A的坐标，进而根据平行即可求出点B的坐标，从而代入反比例函数解析式即可求解；
（2）根据三角形的面积结合点B和点A的坐标即可求解；
（3）设点，则，进而根据坐标系中两点间的距离公式得到，，再根据等腰三角形的性质分类讨论，进而解一元二次方程即可求解。
19．【答案】（1）解：过点D作于点E，过点作，垂足为，过点作的垂线，垂足为、，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴悬臂端点C到桌面l的距离约为；
（2）解：∵摄像头点D到桌面l的距离为，
∴，
同理可得四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点D作于点E，过点作，垂足为，过点作的垂线，垂足为、，进而根据矩形的判定与性质得到，，再解直角三角形求出CG，从而相加即可求解；
（2）先根据题意得到，同理可得四边形是矩形，进而得到，从而即可求出CH，再根据锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值即可得到∠CDH的度数，从而根据平行线的性质结合题意进行角的运算即可求解。
20．【答案】（1）证明：如图，连接OE，
∵ ，
∴∠1＝∠2，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴OE∥BF，
∵BF⊥GF，
∴OE⊥GF，
∴GF是⊙O的切线；
（2）解：设OA＝OE＝r，
在Rt△GOE中，∵AG＝6，GE＝6 ，
∴由OG2＝GE2+OE2可得（6+r）2＝（6 ）2+r2，
解得：r＝3，
故⊙O的半径为3．
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OE，由 知∠1＝∠2，由∠2＝∠3可证OE∥BF，根据BF⊥GF得OE⊥GF，得证；（2）设OA＝OE＝r，在Rt△GOE中由勾股定理求得r＝3．
21．【答案】（1）抽样调查；50
（2）解：12；
频数分布直方图如图所示：
（3）解：（人，
答：一分钟跳绳不合格的人数大约为280人．
【知识点】全面调查与抽样调查；用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：（1）由题意得本次调查为抽样调查，由表格得：样本容量为50，
故答案为：抽样调查，50；
【分析】（1）根据抽样调查的定义结合频数发布表数据即可求解；
（2）先用总人数减去其余人数即可得到a，进而补全直方图即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解。
22．【答案】（1）；；
（2）解：①此时．
②设点A、B横坐标分别为，C、D横坐标分别为
由得：，
∴
联立
整理得：
∴，
，
整理得：，
∴，
∴
解得：
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）抛物线的顶点是点P，
∴，
∵、是共生抛物线，
∴，
由于共生抛物线二次项系数互为负倒数，
∴中的，
∴，
故答案为：，，．
（2）①如图，当直线与抛物线、均相切时，
有 ，
整理的：，
由得：，解得；
，
整理得：，
由得：，解得；
当直线绕点O顺时针旋转即有4个交点，此时．
故答案为：
【分析】（1））根据共生抛物线的定义，结合二次函数的几何变换即可求解；
（2）①根据二次函数与一次函数的综合应用结合一元二次方程根的判别式即可求解；
②设点A、B横坐标分别为，C、D横坐标分别为，进而根据AB=CD得到，再根据一元二次方程根与系数的关系即可求解。
23．【答案】（1）解：①1；
②证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
过点作交于，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，，
即，
∴，
∴．
（3）解：过点作交于，作于，作于，
则，
∴，
即，
∴，
由（2）和已知条件可得：，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
令，则，，，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）①由正方形的性质可知：，
∵将的直角顶点与点重合，
∴，
故答案为：1
【分析】（1）根据正方形的性质得到OA=OC，进而根据题意相比即可求解；
②先根据正方形的性质得到，，，进而结合题意即可得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（2）过点作交于，进而根据平行线的性质得到，，再根据正方形的性质得到，，进而结合题意即可证明，从而根据相似三角形的判定与性质证明即可得到；
（3）过点作交于，作于，作于，则，进而根据题意进行角的运算证明，再运用三角形全等的判定与性质证明得到，，进而证明即可得到，同理可得：，从而结合题意即可得到，根据锐角三角函数的定义得到，令，则，，，再根据勾股定理表示出EN即可求解。
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