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广东佛山市禅城区2025-2026学年九年级下学期数学供题训练（二）
1．如图，下列数轴上的点表示的数最小的是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：由数轴可得：
数轴上的点表示的数最小的是A
故答案为：A
【分析】根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
2．下列运动属于旋转的是（　　）
A．国旗上升的过程 B．在笔直的公路上行驶的汽车
C．传输带运输的物品 D．工作中的风力发电机叶片
【答案】D
【知识点】生活中的旋转现象
【解析】【解答】解：A：国旗上升的过程不属于旋转，不符合题意；
B：在笔直的公路上行驶的汽车不属于旋转，不符合题意；
C：传输带运输的物品不属于旋转，不符合题意；
D：工作中的风力发电机叶片属于旋转，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据旋转性质逐项进行判断即可求出答案.
3． 2026年五一假期，西樵山景区累计营业收入约600万元，数据“600万”用科学记数法可以表示为（　　）
A．600×104 B．60×105 C．6×106 D．0.6×107
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：600万=6000000用科学记数法可以表示为6×106
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．以红纸为画卷，以刀剪作笔墨，佛山剪纸艺术承载着中华文明的千年智慧.下列图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形，不符合题意；
B不是中心对称图形，不符合题意；
C是中心对称图形，符合题意；
D不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
5．近日，佛山市各中小学顺利举办首届“数学文化周”活动.某校开设趣味游戏、文化讲座、实践探究、创意作品展四大特色项目。现随机抽取一名学生进行问卷调查，该生最喜爱项目为“趣味游戏”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
该生最喜爱项目为“趣味游戏”的概率是
故答案为：B
【分析】根据概率公式即可求出答案.
6．为弘扬传统文化，某校举行以“弘扬传统文化，传承优良家风”为主题的中学生知识竞赛，经过五轮次的角逐，甲、乙两名同学脱颖而出，根据规则，均分高的同学获胜，若均分相同，则发挥较稳定的同学获胜.这五轮次角逐中他们的得分如表：
同学 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮
甲 8 7 9 8 8
乙 7 9 6 9 9
下列说法正确的是（　　）
A．甲同学获胜 B．乙同学获胜
C．甲乙同学并列获胜 D．无法判断
【答案】A
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：甲的平均分为：，方差为：
乙的平均分为：，方差为：
∴甲发挥更稳定
故答案为：A
【分析】求出平均值，求出方差，方差越小，数据越稳定.
7．如图，将一个含45°角的三角尺摆放在一张对边平行的纸条上，直角顶点落在纸条的一边上.若∠1=60°，则∠2的度数为（　　）
A．75° B．105° C．120° D．135°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得：a∥b
∴∠3=∠1=60°
∴∠2=45°+60°=105°
故答案为：B
【分析】根据直线平行性质可得∠3=∠1=60°，再根据三角形外角性质即可求出答案.
8．下列四个命题中，是真命题的是（　　）
A．同位角相等
B．无限小数都是无理数
C．若点P（x，y）在坐标轴上，则x=0且y=0
D．垂线段最短
【答案】D
【知识点】点的坐标；垂线段最短及其应用；无理数的概念；同位角的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A：同位角相等是假命题，不符合题意；
B：无限小数都是无理数是假命题，不符合题意；
C：若点P（x，y）在坐标轴上，则x=0且y=0是假命题，不符合题意；
D：垂线段最短是真命题，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据真假命题，结合同位角的定义，无理数的定义，坐标轴上点的坐标特征，垂线段最短逐项进行判断即可求出答案.
9．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D=70°，则∠ECF的度数是（　　）
A．70° B．55° C．40° D．35°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可得，CF=CB，∠FCE=∠BCE
∵四边形ABCD是菱形
∴CB=CD，∠D+∠BCD=180°
∴CB=CF=CD
∴∠D=∠CFD
∵∠D=70°
∴∠DCF=180°-∠D-∠CFD=40°，∠BCD=180°-∠D=110°
∴∠BCF=∠BCD-∠DCF=70°
∴
故答案为：D
【分析】根据折叠性质可得CF=CB，∠FCE=∠BCE，根据菱形性质可得CB=CD，∠D+∠BCD=180°，则CB=CF=CD，根据等边对等角可得∠D=∠CFD，再根据三角形内角和定理可得∠DCF，再根据角之间的关系即可求出答案.
10．如图，⊙O的直径AE长为12，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=110°，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OC
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠ABC=180°-∠ADC=70°
∴∠AOC=2∠ABC=140°
∴∠COE=180°-∠AOC=40°
∵⊙O的直径AE长为12
∴半径r=6
∴
故答案为：A
【分析】连接OC，根据圆内接四边形性质可得∠ABC，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOC，根据补角可得∠COE，再根据弧长公式即可求出答案.
11．八边形的内角和的度数为　 　；
【答案】1080°
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：八边形的内角和的度数为
故答案为：1080°
【分析】根据多边形内角和定理即可求出答案.
12．计算：的结果　 　；
【答案】10000
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
=
=
=1002
=10000
故答案为：10000
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
13．如图为一条排水管的截面，若半径OB=10，水面宽AB=16，则排水管内水的最大深度为　 　：
【答案】4
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点C，交圆于点D，则OD=OB=10
∵AB=16
∴
∴
∴CD=OD-OC=4
故答案为：4
【分析】过点O作OD⊥AB交AB于点C，交圆于点D，则OD=OB=10，根据垂径定理可得BC，再根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，随机停留在某块地砖（大小、质地完全相同）上，则小球停留在阴影区域的概率是　 　；
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；几何概率
【解析】【解答】设地砖的边长为1，则阴影区域的边长为
∴地砖的总面积为3×3=9，阴影区域的面积为
∴小球停留在阴影区域的概率是
故答案为：
【分析】设地砖的边长为1，根据勾股定理可得阴影区域的边长，再求出地砖，阴影区域的面积，再根据几何概率即可求出答案.
15．二次函数中，当1≤x≤5时y有最小值3，则实数m的值为　 　.
【答案】-1或7
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
∴顶点坐标为(m，-1)
当x=m在1≤x≤5时，最小值为-1，不符合题意
当顶点在1≤x≤5左侧时，在1≤x≤5区间内，y随x增大而增大
∴在x=1处取最小值，即1-2m+m2-1=3
解得：m=-1或m=3(舍去)
当顶点在1≤x≤5右侧时，在1≤x≤5区间内，y随x增大而减小
∴在x=5处取最小值，即25-10m+m2-1=3
解得：m=7或m=3(舍去)
综上所述，m的值为-1或7
故答案为：-1或7
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
16．以下是小军同学的根式运算过程：
计算：
解：原式= 第①步
第②步
第③步
上述解答过程，第几步首次出错 错误的原因是什么 写出正确的计算过程.
【答案】解：从第（1）步首次出错；
错因是平方差公式运用错误
=
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据平方根公式，结合二次根式的混合运算即可求出答案.
17．师傅制作岭南特色传统美食竹升面时，将质量一定的面团擀拉成细面，面条的总长度y（m）是横截面积S（mm2）的反比例函数，其图象（如图所示）经过点A（4，32）.
（1）求y与S之间的函数关系式；
（2）若竹升面的横截面面积不超过0.8mm2，则其总长度至少是多少
【答案】（1）解：设y与x之间的函数表达式为：
∵该函数图象过点A（4，32），
∴k=128，
∴y与S之间的函数表达式为：
（2）解：由题意得∴
∵S>0，
故这根竹升面的总长度至少有160cm.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为：，根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
18．某校计划组织八年级学生从以下景点中选择1个开展春游活动：A.亚洲艺术公园；B.佛山乐园：C.文华公园：D.中山公园；E.绿岛湖湿地公园.小明随机调查八年级学生的意向目的地（每位学生只能选1个景点），调查结果的统计图（部分）如下：
（1）补全条形统计图并求出扇形统计图中“A”对应的圆心角度数；
（2）若八年级有500名学生，则意向前往“E”的人数大约是多少
【答案】（1）解：总人数=15÷15%=100
A的人数=100×30%=30
补全的条形统计图如图所示
360°×30%=108°
答：“A”的圆心角度数108°
（2）解：
答：八年级意向前往“E”的学生人数为65人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据C景点的人数与占比可得总人数，再求出A景点的人数，补全图形即可.
（2）根据500乘以E景点的占比即可求出答案.
19．如图，矩形ABCD中，点P是对角线AC上的动点（不与A、C重合），过点P分别作AB、BC边上的垂线段PN与PM，连接MN、DP.从以下三个选项中选择一个作为命题的条件，另外两个作为结论，先判断真假再证明或举反例.
①AD=AB；②PM=MC；③对任意一点P都有DP=MN.
【答案】方法一：选择①作为条件，②③作为结论，命题成立.
连接PB
∵AD=AB，矩形ABCD
∴矩形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠ABC=90°
∴∠CAB=∠ACB=45°
又∵PM⊥BC
∴∠PMC=90°
∴∠CPM=90°-∠PCM=45°
∴∠ACB=∠CPM
∴CM=PM
∵PN⊥BA
∴∠PNB=90°
又∵∠PNB=∠ABC=∠PMB=90°
∴四边形PNBM是矩形
∴PB=MN
又∵AD=AB，∠DAC=∠BAC，AP=AP
∴△APD≌△APB
∴DP=PB
∴DP=MN
方法二：选择②作为条件，①③作为结论，命题成立.
连接PB
∵PM⊥BC，PN⊥BA
∴∠PMC=∠PNB=90°
又∵PM=CM
∴∠CPM=∠ACB=45°
∵矩形ABCD
∴∠ABC=90°，AD=BC
∴∠ACB=∠CAB
∴AB=BC=AD
又∵AD=AB，∠DAC=∠BAC，AP=AP
∴△APD≌△APB
∴DP=PB
又∵∠PNB=∠ABC=∠PMB=90°
∴四边形PNBM是矩形
∴PB=MN
∴DP=MN
方法三：选择③作为条件，①②作为结论，命题成立.
连接PB
∵PM⊥BC，PN⊥BA
∴∠PMC=∠PNB=90°
又∵矩形ABCD
∴∠ABC=90°
∴四边形PNBM是矩形
∴PB=MN
又∵对于AC上任意点P（除A、C外），都有DP=MN
∴DP=PB
∴AC垂直平分BD
即BD⊥AC
又∵四边形ABCD是矩形
∴四边形ABCD是正方形
∴AB=AD=BC，且∠ABC=90°
又∵矩形PNBM
∴∠PMC=90°
即∠CPM=∠PCM
∴PM=MC
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】方法一：选择①作为条件，②③作为结论：连接PB，根据正方形判定定理可得矩形ABCD是正方形，则AB=BC，∠ABC=90°，∠CAB=∠ACB=45°，根据角之间的关系可得∠ACB=∠CPM，再根据等角对等边可得CM=PM，根据矩形判定定理可得四边形PNBM是矩形，则PB=MN，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
方法二：选择②作为条件，①③作为结论：连接PB，根据等边对等角可得∠CPM=∠ACB=45°，根据矩形性质可得∠ABC=90°，AD=BC，再根据角之间的关系可得∠ACB=∠CAB，则AB=BC=AD，根据全等三角形判定定理可得△APD≌△APB，则DP=PB，再根据矩形判定定理及性质即可求出答案.
方法三：选择③作为条件，①②作为结论：连接PB，根据矩形判定定理可得四边形PNBM是矩形，则PB=MN，根据垂直平分线判定定理可得AC垂直平分BD，则BD⊥AC，再根据正方形判定定理可得四边形ABCD是正方形，则AB=AD=BC，且∠ABC=90°，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠PCM，再根据角之间的关系可得∠CPM=∠PCM，再根据等角对等边即可求出答案.
20．某文具店规定：一次性购买铅笔超过200支，可按批发价优惠付款，否则需按零售价付款.若某社团给成员每人购买1支，按零售价购买，需付180元；若购买数量增加40支，则可按批发价付款，需付180元.
（1）该社团成员总人数可能是180人吗 为什么
（2）若一次性购买240支或200支铅笔，所需金额相同，则该社团成员人数是多少
【答案】（1）解：该社团可能180人，理由如下：
设该社团成员有x人，
依题意得：
解得160∴该社团可能180人。
（2）解：设该社团成员有y人.
解得：y=200
经检验，y=200是原方程的解，且符合题意
答：该社团成员有200人.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设该社团成员有x人，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（2）设该社团成员有y人，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
21．综合与实践
【问题提出】如图1，佛山新城之眼摩天轮矗立东平河畔，揽江景城貌，是佛山新城标志性地标.某数学学习小组开展了以下探究活动：
主题 测量新城之眼摩天轮的直径
抽象 如图2为简化示意图，直线MN表示水平地面，线段AB表示经过摩天轮最高点与最低点的直径.
工具 测距仪，无人机，卷尺，测倾器
过程 步骤：1.在空旷场地选取一点C，测得点C与AB的水平距离为30m； 2.无人机从点C处竖直向上飞行到点D，测得最低点B的仰角为19°； 3.无人机继续竖直向上飞行73.5m到达点F，测得最高点A的俯角为 （注：图中各点均在同一竖直平面内，点C，M，N在同一水平直线上.）
（1）【问题解决】
计算摩天轮的直径（结果精确到1m，数据：）；
（2）【评价反思】
设计其他方案计算摩天轮的直径.
要求：选用【工具】中的工具，
写出你的方案和所用的数学知识.
【答案】（1）解：如图，过点A，B分别作CF的垂线，垂足分别为G，H，过点D作AB的垂线，
则四边形AGHB均为矩形，∠HBD=19°，∠FAG=30°，
∴AB=GH，BH=AG=30m，DF=73.5
在Rt△BDH中，
∴HD=30×0.34=10.2
在Rt△FAG中，即
≈17.3
∴GH=DF-HD-FG
=73.5-17.3-10.2
=46
答：佛山新城之眼的直径约为46m。
（2）测量工具：无人机
测量过程：步骤1：如图，在摩天轮的正前方的空旷平地一点C，
步骤2：无人机从点C处竖直向上飞行到点D，使得此时测得点B的仰角为，即BD处于同一水平面上；
步骤3：再竖直向上飞行b米到达点F，此时测得点A的俯角为，即AF处于同一水平面上；易证四边形DBAF为平行四边形，所以AB=FD=b米，所以AB的距离就是b米
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）过点A，B分别作CF的垂线，垂足分别为G，H，过点D作AB的垂线，则四边形AGHB均为矩形，∠HBD=19°，∠FAG=30°，根据矩形性质可得AB=GH，BH=AG=30m，DF=73.5，解直角三角形可得HD，GF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）在摩天轮的正前方的空旷平地一点C，无人机从点C处竖直向上飞行到点D，使得此时测得点B的仰角为，即BD处于同一水平面上，再竖直向上飞行b米到达点F，此时测得点A的俯角为，即AF处于同一水平面上；易证四边形DBAF为平行四边形，所以AB=FD=b米，所以AB的距离就是b米.
22．问题提出：一个三角形三条边的长度确定，其面积能求吗
（1）【特例感知】直接写出图1、图2、图3对应的三角形面积S1、S2、S3的值：
（2）【查阅资料】古希腊数学家海伦于约公元50~60年总结出三角形的面积公式：若三角形的边长分别为a、b、c，则其面积.其中这个公式后世称为海伦公式；
①借助如图4所示的△ABC（三边长分别4、5、6），用三角形面积公式以及海伦公式都可求其面积S4的值，请你直接写出这个值；
②借助如图5所示的△ABC（三边长分别a、b、c），推导出海伦公式；
（3）某公司计划在佛山岭南明珠展区搭建一个三角形展示架，用于摆放醒狮文创展品.展示架周长为10m，其中一条边长为4m，展区的面积能达到6m2吗 若能，求另外两条边长，若不能，说明理由.
【答案】（1）6；12；
（2）②过点A作AD⊥BC，
设AD=h，BD=x，则DC=a-x，
则：
解得：
=
=
=
.
（3）解：不能实现理由如下：
设三角形景观展示架的三条边分别为a、b、c
由题意得，a+b+c=10，其中一条边为4，不妨设c为4
由海伦公式得
其中
∵a+b+c=10，c=4
∴a+b=6
∴b=6-a
∵公司计划搭建6m2的展区
整理得：5a2-30a+51=0
∴方程没有实数根
∴该公司的计划不能实现
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（1）如图1：
∵32+42=52
∴△ABC为直角三角形
∴
如图2：
∵AB=AC
∴△ABC为等腰三角形
过点A作AD⊥BC于点D
∴
∴
∴
如图3：
∵AB=BC=AC
∴△ABC为等边三角形
过点A作AD⊥BC于点D
∴
∴
∴
（2）由题意可得：
∴
=
=
【分析】（1）图1：根据勾股定理逆定理可得△ABC为直角三角形，再根据三角形面积即可求出答案.
图2：根据等腰三角形判定定理可得△ABC为等腰三角形，过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形三线合一性质可得，根据勾股定理可得AD，再根据三角形面积即可求出答案.
图3：根据等边三角形判定定理可得△ABC为等边三角形，过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形三线合一性质可得，根据勾股定理可得AD，再根据三角形面积即可求出答案.
（2）①根据题意，将a，b，c代入面积公式即可求出答案.
②过点A作AD⊥BC，设AD=h，BD=x，则DC=a-x，根据勾股定理建立方程，解方程可得x值，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）设三角形景观展示架的三条边分别为a、b、c，根据海伦公式可得S，再根据题意建立方程，根据二次方程判别式，可得方程无解，进行判断即可求出答案.
23．如图1，已知线段BC=8，在BC上方作Rt△ABC，使得∠C=90°，AC=6，点D在BC边上，且BD=3，过点D作DE的垂线，过点B作AB的垂线，两垂线相交于点E，连接AE交CB于F.
（1）求线段DE的长；
（2） AE平分∠BAC吗 为什么
（3）如图2，点P在线段AC上（不与A、C重合），连接PF并延长交DE于点Q，在AB上取一点G，连接PG，且∠GPO=∠BAC.当点P在AC上运动时，线段AG是否存在最大值 若存在，求该最大值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：∵BE⊥AB，DE⊥CB
∴∠ABE=90°，∠BDE=90'
又∵∠C=∠BDE=90'
∴∠CAB+∠ABC=∠ABC+∠DBE
∴∠CAB=∠DBE
∴△ABC∽△BED
，即
解得：DE=4
（2）答：AE是∠BAC的角平分线，理由如下：
如图1，过点E作HE⊥CA交AC延长线于点H
∵∠DCH=∠H=∠CDE=90'
∴四边形CDEH是矩形
∴CD=HE=BC-BD=5，CH=DE=4
∴AH=AC+CH=10
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
∴BE=HE
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
∴BA=AH，且EA=AE
∴△AHE≌△ABE
∴∠CAE=∠BAE
即AE平分∠BAC
（3）解：AG存在最大值，理由如下：
∵∠C=∠EDC，∠AFC=∠EFD
∴△ACF∽△EDF
∵AC=6，DE=4，CD=BC-BD=5
∴CF=CD-DF=5-DF
解得：DF=2
∴CF=5-DF=3
∵∠GPQ=∠BAC，∠AGP+∠BAC=∠GPC=∠GPQ+∠CPF
∴∠AGP=∠CPF
又∵∠ACB=∠ABE
∴∠BAC+∠ABC=∠ABC+∠EBC=90°，
∴∠BAC=∠EBC，
如图，延长AC至点N，作∠EBC=∠CNF，
∵∠FCN=∠BDE=90°，
∴△FCN∽△EDB，
，即
解得：
在Rt△CFN中，由勾股定理得：
∵点P在AC上运动
∴设AP=x（0则
∵∠PNF=∠EBC=∠BAC，∠AGP=∠NPF
∴△GAP∽△PNF
当时，
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得∠CAB=∠DBE，再根据相似三角形判定定理可得△ABC∽△BED，则，代值计算即可求出答案.
（2）过点E作HE⊥CA交AC延长线于点H，根据矩形判定定理可得四边形CDEH是矩形，则CD=HE=BC-BD=5，CH=DE=4，根据边之间的关系可得AH，再根据勾股定理可得BE，BA，再根据全等三角形判定定理可得△AHE≌△ABE，则∠CAE=∠BAE，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（3）根据相似三角形判定定理可得△ACF∽△EDF，则，代值计算可得DF，根据角之间的关系可得∠BAC=∠EBC，延长AC至点N，作∠EBC=∠CNF，再根据相似三角形判定定理可得△FCN∽△EDB，则，代值计算可得CN，根据边之间的关系可得AN，再根据勾股定理可得NF，设AP=x（01 / 1广东佛山市禅城区2025-2026学年九年级下学期数学供题训练（二）
1．如图，下列数轴上的点表示的数最小的是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
2．下列运动属于旋转的是（　　）
A．国旗上升的过程 B．在笔直的公路上行驶的汽车
C．传输带运输的物品 D．工作中的风力发电机叶片
3． 2026年五一假期，西樵山景区累计营业收入约600万元，数据“600万”用科学记数法可以表示为（　　）
A．600×104 B．60×105 C．6×106 D．0.6×107
4．以红纸为画卷，以刀剪作笔墨，佛山剪纸艺术承载着中华文明的千年智慧.下列图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．近日，佛山市各中小学顺利举办首届“数学文化周”活动.某校开设趣味游戏、文化讲座、实践探究、创意作品展四大特色项目。现随机抽取一名学生进行问卷调查，该生最喜爱项目为“趣味游戏”的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．为弘扬传统文化，某校举行以“弘扬传统文化，传承优良家风”为主题的中学生知识竞赛，经过五轮次的角逐，甲、乙两名同学脱颖而出，根据规则，均分高的同学获胜，若均分相同，则发挥较稳定的同学获胜.这五轮次角逐中他们的得分如表：
同学 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮
甲 8 7 9 8 8
乙 7 9 6 9 9
下列说法正确的是（　　）
A．甲同学获胜 B．乙同学获胜
C．甲乙同学并列获胜 D．无法判断
7．如图，将一个含45°角的三角尺摆放在一张对边平行的纸条上，直角顶点落在纸条的一边上.若∠1=60°，则∠2的度数为（　　）
A．75° B．105° C．120° D．135°
8．下列四个命题中，是真命题的是（　　）
A．同位角相等
B．无限小数都是无理数
C．若点P（x，y）在坐标轴上，则x=0且y=0
D．垂线段最短
9．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D=70°，则∠ECF的度数是（　　）
A．70° B．55° C．40° D．35°
10．如图，⊙O的直径AE长为12，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=110°，则的长为（　　）
A． B． C． D．
11．八边形的内角和的度数为　 　；
12．计算：的结果　 　；
13．如图为一条排水管的截面，若半径OB=10，水面宽AB=16，则排水管内水的最大深度为　 　：
14．一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，随机停留在某块地砖（大小、质地完全相同）上，则小球停留在阴影区域的概率是　 　；
15．二次函数中，当1≤x≤5时y有最小值3，则实数m的值为　 　.
16．以下是小军同学的根式运算过程：
计算：
解：原式= 第①步
第②步
第③步
上述解答过程，第几步首次出错 错误的原因是什么 写出正确的计算过程.
17．师傅制作岭南特色传统美食竹升面时，将质量一定的面团擀拉成细面，面条的总长度y（m）是横截面积S（mm2）的反比例函数，其图象（如图所示）经过点A（4，32）.
（1）求y与S之间的函数关系式；
（2）若竹升面的横截面面积不超过0.8mm2，则其总长度至少是多少
18．某校计划组织八年级学生从以下景点中选择1个开展春游活动：A.亚洲艺术公园；B.佛山乐园：C.文华公园：D.中山公园；E.绿岛湖湿地公园.小明随机调查八年级学生的意向目的地（每位学生只能选1个景点），调查结果的统计图（部分）如下：
（1）补全条形统计图并求出扇形统计图中“A”对应的圆心角度数；
（2）若八年级有500名学生，则意向前往“E”的人数大约是多少
19．如图，矩形ABCD中，点P是对角线AC上的动点（不与A、C重合），过点P分别作AB、BC边上的垂线段PN与PM，连接MN、DP.从以下三个选项中选择一个作为命题的条件，另外两个作为结论，先判断真假再证明或举反例.
①AD=AB；②PM=MC；③对任意一点P都有DP=MN.
20．某文具店规定：一次性购买铅笔超过200支，可按批发价优惠付款，否则需按零售价付款.若某社团给成员每人购买1支，按零售价购买，需付180元；若购买数量增加40支，则可按批发价付款，需付180元.
（1）该社团成员总人数可能是180人吗 为什么
（2）若一次性购买240支或200支铅笔，所需金额相同，则该社团成员人数是多少
21．综合与实践
【问题提出】如图1，佛山新城之眼摩天轮矗立东平河畔，揽江景城貌，是佛山新城标志性地标.某数学学习小组开展了以下探究活动：
主题 测量新城之眼摩天轮的直径
抽象 如图2为简化示意图，直线MN表示水平地面，线段AB表示经过摩天轮最高点与最低点的直径.
工具 测距仪，无人机，卷尺，测倾器
过程 步骤：1.在空旷场地选取一点C，测得点C与AB的水平距离为30m； 2.无人机从点C处竖直向上飞行到点D，测得最低点B的仰角为19°； 3.无人机继续竖直向上飞行73.5m到达点F，测得最高点A的俯角为 （注：图中各点均在同一竖直平面内，点C，M，N在同一水平直线上.）
（1）【问题解决】
计算摩天轮的直径（结果精确到1m，数据：）；
（2）【评价反思】
设计其他方案计算摩天轮的直径.
要求：选用【工具】中的工具，
写出你的方案和所用的数学知识.
22．问题提出：一个三角形三条边的长度确定，其面积能求吗
（1）【特例感知】直接写出图1、图2、图3对应的三角形面积S1、S2、S3的值：
（2）【查阅资料】古希腊数学家海伦于约公元50~60年总结出三角形的面积公式：若三角形的边长分别为a、b、c，则其面积.其中这个公式后世称为海伦公式；
①借助如图4所示的△ABC（三边长分别4、5、6），用三角形面积公式以及海伦公式都可求其面积S4的值，请你直接写出这个值；
②借助如图5所示的△ABC（三边长分别a、b、c），推导出海伦公式；
（3）某公司计划在佛山岭南明珠展区搭建一个三角形展示架，用于摆放醒狮文创展品.展示架周长为10m，其中一条边长为4m，展区的面积能达到6m2吗 若能，求另外两条边长，若不能，说明理由.
23．如图1，已知线段BC=8，在BC上方作Rt△ABC，使得∠C=90°，AC=6，点D在BC边上，且BD=3，过点D作DE的垂线，过点B作AB的垂线，两垂线相交于点E，连接AE交CB于F.
（1）求线段DE的长；
（2） AE平分∠BAC吗 为什么
（3）如图2，点P在线段AC上（不与A、C重合），连接PF并延长交DE于点Q，在AB上取一点G，连接PG，且∠GPO=∠BAC.当点P在AC上运动时，线段AG是否存在最大值 若存在，求该最大值；若不存在，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：由数轴可得：
数轴上的点表示的数最小的是A
故答案为：A
【分析】根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】生活中的旋转现象
【解析】【解答】解：A：国旗上升的过程不属于旋转，不符合题意；
B：在笔直的公路上行驶的汽车不属于旋转，不符合题意；
C：传输带运输的物品不属于旋转，不符合题意；
D：工作中的风力发电机叶片属于旋转，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据旋转性质逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：600万=6000000用科学记数法可以表示为6×106
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形，不符合题意；
B不是中心对称图形，不符合题意；
C是中心对称图形，符合题意；
D不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
5．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
该生最喜爱项目为“趣味游戏”的概率是
故答案为：B
【分析】根据概率公式即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：甲的平均分为：，方差为：
乙的平均分为：，方差为：
∴甲发挥更稳定
故答案为：A
【分析】求出平均值，求出方差，方差越小，数据越稳定.
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得：a∥b
∴∠3=∠1=60°
∴∠2=45°+60°=105°
故答案为：B
【分析】根据直线平行性质可得∠3=∠1=60°，再根据三角形外角性质即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】点的坐标；垂线段最短及其应用；无理数的概念；同位角的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A：同位角相等是假命题，不符合题意；
B：无限小数都是无理数是假命题，不符合题意；
C：若点P（x，y）在坐标轴上，则x=0且y=0是假命题，不符合题意；
D：垂线段最短是真命题，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据真假命题，结合同位角的定义，无理数的定义，坐标轴上点的坐标特征，垂线段最短逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可得，CF=CB，∠FCE=∠BCE
∵四边形ABCD是菱形
∴CB=CD，∠D+∠BCD=180°
∴CB=CF=CD
∴∠D=∠CFD
∵∠D=70°
∴∠DCF=180°-∠D-∠CFD=40°，∠BCD=180°-∠D=110°
∴∠BCF=∠BCD-∠DCF=70°
∴
故答案为：D
【分析】根据折叠性质可得CF=CB，∠FCE=∠BCE，根据菱形性质可得CB=CD，∠D+∠BCD=180°，则CB=CF=CD，根据等边对等角可得∠D=∠CFD，再根据三角形内角和定理可得∠DCF，再根据角之间的关系即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OC
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠ABC=180°-∠ADC=70°
∴∠AOC=2∠ABC=140°
∴∠COE=180°-∠AOC=40°
∵⊙O的直径AE长为12
∴半径r=6
∴
故答案为：A
【分析】连接OC，根据圆内接四边形性质可得∠ABC，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOC，根据补角可得∠COE，再根据弧长公式即可求出答案.
11．【答案】1080°
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：八边形的内角和的度数为
故答案为：1080°
【分析】根据多边形内角和定理即可求出答案.
12．【答案】10000
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
=
=
=1002
=10000
故答案为：10000
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
13．【答案】4
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点C，交圆于点D，则OD=OB=10
∵AB=16
∴
∴
∴CD=OD-OC=4
故答案为：4
【分析】过点O作OD⊥AB交AB于点C，交圆于点D，则OD=OB=10，根据垂径定理可得BC，再根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；几何概率
【解析】【解答】设地砖的边长为1，则阴影区域的边长为
∴地砖的总面积为3×3=9，阴影区域的面积为
∴小球停留在阴影区域的概率是
故答案为：
【分析】设地砖的边长为1，根据勾股定理可得阴影区域的边长，再求出地砖，阴影区域的面积，再根据几何概率即可求出答案.
15．【答案】-1或7
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
∴顶点坐标为(m，-1)
当x=m在1≤x≤5时，最小值为-1，不符合题意
当顶点在1≤x≤5左侧时，在1≤x≤5区间内，y随x增大而增大
∴在x=1处取最小值，即1-2m+m2-1=3
解得：m=-1或m=3(舍去)
当顶点在1≤x≤5右侧时，在1≤x≤5区间内，y随x增大而减小
∴在x=5处取最小值，即25-10m+m2-1=3
解得：m=7或m=3(舍去)
综上所述，m的值为-1或7
故答案为：-1或7
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
16．【答案】解：从第（1）步首次出错；
错因是平方差公式运用错误
=
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据平方根公式，结合二次根式的混合运算即可求出答案.
17．【答案】（1）解：设y与x之间的函数表达式为：
∵该函数图象过点A（4，32），
∴k=128，
∴y与S之间的函数表达式为：
（2）解：由题意得∴
∵S>0，
故这根竹升面的总长度至少有160cm.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为：，根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
18．【答案】（1）解：总人数=15÷15%=100
A的人数=100×30%=30
补全的条形统计图如图所示
360°×30%=108°
答：“A”的圆心角度数108°
（2）解：
答：八年级意向前往“E”的学生人数为65人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据C景点的人数与占比可得总人数，再求出A景点的人数，补全图形即可.
（2）根据500乘以E景点的占比即可求出答案.
19．【答案】方法一：选择①作为条件，②③作为结论，命题成立.
连接PB
∵AD=AB，矩形ABCD
∴矩形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠ABC=90°
∴∠CAB=∠ACB=45°
又∵PM⊥BC
∴∠PMC=90°
∴∠CPM=90°-∠PCM=45°
∴∠ACB=∠CPM
∴CM=PM
∵PN⊥BA
∴∠PNB=90°
又∵∠PNB=∠ABC=∠PMB=90°
∴四边形PNBM是矩形
∴PB=MN
又∵AD=AB，∠DAC=∠BAC，AP=AP
∴△APD≌△APB
∴DP=PB
∴DP=MN
方法二：选择②作为条件，①③作为结论，命题成立.
连接PB
∵PM⊥BC，PN⊥BA
∴∠PMC=∠PNB=90°
又∵PM=CM
∴∠CPM=∠ACB=45°
∵矩形ABCD
∴∠ABC=90°，AD=BC
∴∠ACB=∠CAB
∴AB=BC=AD
又∵AD=AB，∠DAC=∠BAC，AP=AP
∴△APD≌△APB
∴DP=PB
又∵∠PNB=∠ABC=∠PMB=90°
∴四边形PNBM是矩形
∴PB=MN
∴DP=MN
方法三：选择③作为条件，①②作为结论，命题成立.
连接PB
∵PM⊥BC，PN⊥BA
∴∠PMC=∠PNB=90°
又∵矩形ABCD
∴∠ABC=90°
∴四边形PNBM是矩形
∴PB=MN
又∵对于AC上任意点P（除A、C外），都有DP=MN
∴DP=PB
∴AC垂直平分BD
即BD⊥AC
又∵四边形ABCD是矩形
∴四边形ABCD是正方形
∴AB=AD=BC，且∠ABC=90°
又∵矩形PNBM
∴∠PMC=90°
即∠CPM=∠PCM
∴PM=MC
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】方法一：选择①作为条件，②③作为结论：连接PB，根据正方形判定定理可得矩形ABCD是正方形，则AB=BC，∠ABC=90°，∠CAB=∠ACB=45°，根据角之间的关系可得∠ACB=∠CPM，再根据等角对等边可得CM=PM，根据矩形判定定理可得四边形PNBM是矩形，则PB=MN，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
方法二：选择②作为条件，①③作为结论：连接PB，根据等边对等角可得∠CPM=∠ACB=45°，根据矩形性质可得∠ABC=90°，AD=BC，再根据角之间的关系可得∠ACB=∠CAB，则AB=BC=AD，根据全等三角形判定定理可得△APD≌△APB，则DP=PB，再根据矩形判定定理及性质即可求出答案.
方法三：选择③作为条件，①②作为结论：连接PB，根据矩形判定定理可得四边形PNBM是矩形，则PB=MN，根据垂直平分线判定定理可得AC垂直平分BD，则BD⊥AC，再根据正方形判定定理可得四边形ABCD是正方形，则AB=AD=BC，且∠ABC=90°，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠PCM，再根据角之间的关系可得∠CPM=∠PCM，再根据等角对等边即可求出答案.
20．【答案】（1）解：该社团可能180人，理由如下：
设该社团成员有x人，
依题意得：
解得160∴该社团可能180人。
（2）解：设该社团成员有y人.
解得：y=200
经检验，y=200是原方程的解，且符合题意
答：该社团成员有200人.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设该社团成员有x人，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（2）设该社团成员有y人，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
21．【答案】（1）解：如图，过点A，B分别作CF的垂线，垂足分别为G，H，过点D作AB的垂线，
则四边形AGHB均为矩形，∠HBD=19°，∠FAG=30°，
∴AB=GH，BH=AG=30m，DF=73.5
在Rt△BDH中，
∴HD=30×0.34=10.2
在Rt△FAG中，即
≈17.3
∴GH=DF-HD-FG
=73.5-17.3-10.2
=46
答：佛山新城之眼的直径约为46m。
（2）测量工具：无人机
测量过程：步骤1：如图，在摩天轮的正前方的空旷平地一点C，
步骤2：无人机从点C处竖直向上飞行到点D，使得此时测得点B的仰角为，即BD处于同一水平面上；
步骤3：再竖直向上飞行b米到达点F，此时测得点A的俯角为，即AF处于同一水平面上；易证四边形DBAF为平行四边形，所以AB=FD=b米，所以AB的距离就是b米
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）过点A，B分别作CF的垂线，垂足分别为G，H，过点D作AB的垂线，则四边形AGHB均为矩形，∠HBD=19°，∠FAG=30°，根据矩形性质可得AB=GH，BH=AG=30m，DF=73.5，解直角三角形可得HD，GF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）在摩天轮的正前方的空旷平地一点C，无人机从点C处竖直向上飞行到点D，使得此时测得点B的仰角为，即BD处于同一水平面上，再竖直向上飞行b米到达点F，此时测得点A的俯角为，即AF处于同一水平面上；易证四边形DBAF为平行四边形，所以AB=FD=b米，所以AB的距离就是b米.
22．【答案】（1）6；12；
（2）②过点A作AD⊥BC，
设AD=h，BD=x，则DC=a-x，
则：
解得：
=
=
=
.
（3）解：不能实现理由如下：
设三角形景观展示架的三条边分别为a、b、c
由题意得，a+b+c=10，其中一条边为4，不妨设c为4
由海伦公式得
其中
∵a+b+c=10，c=4
∴a+b=6
∴b=6-a
∵公司计划搭建6m2的展区
整理得：5a2-30a+51=0
∴方程没有实数根
∴该公司的计划不能实现
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（1）如图1：
∵32+42=52
∴△ABC为直角三角形
∴
如图2：
∵AB=AC
∴△ABC为等腰三角形
过点A作AD⊥BC于点D
∴
∴
∴
如图3：
∵AB=BC=AC
∴△ABC为等边三角形
过点A作AD⊥BC于点D
∴
∴
∴
（2）由题意可得：
∴
=
=
【分析】（1）图1：根据勾股定理逆定理可得△ABC为直角三角形，再根据三角形面积即可求出答案.
图2：根据等腰三角形判定定理可得△ABC为等腰三角形，过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形三线合一性质可得，根据勾股定理可得AD，再根据三角形面积即可求出答案.
图3：根据等边三角形判定定理可得△ABC为等边三角形，过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形三线合一性质可得，根据勾股定理可得AD，再根据三角形面积即可求出答案.
（2）①根据题意，将a，b，c代入面积公式即可求出答案.
②过点A作AD⊥BC，设AD=h，BD=x，则DC=a-x，根据勾股定理建立方程，解方程可得x值，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）设三角形景观展示架的三条边分别为a、b、c，根据海伦公式可得S，再根据题意建立方程，根据二次方程判别式，可得方程无解，进行判断即可求出答案.
23．【答案】（1）解：∵BE⊥AB，DE⊥CB
∴∠ABE=90°，∠BDE=90'
又∵∠C=∠BDE=90'
∴∠CAB+∠ABC=∠ABC+∠DBE
∴∠CAB=∠DBE
∴△ABC∽△BED
，即
解得：DE=4
（2）答：AE是∠BAC的角平分线，理由如下：
如图1，过点E作HE⊥CA交AC延长线于点H
∵∠DCH=∠H=∠CDE=90'
∴四边形CDEH是矩形
∴CD=HE=BC-BD=5，CH=DE=4
∴AH=AC+CH=10
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
∴BE=HE
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
∴BA=AH，且EA=AE
∴△AHE≌△ABE
∴∠CAE=∠BAE
即AE平分∠BAC
（3）解：AG存在最大值，理由如下：
∵∠C=∠EDC，∠AFC=∠EFD
∴△ACF∽△EDF
∵AC=6，DE=4，CD=BC-BD=5
∴CF=CD-DF=5-DF
解得：DF=2
∴CF=5-DF=3
∵∠GPQ=∠BAC，∠AGP+∠BAC=∠GPC=∠GPQ+∠CPF
∴∠AGP=∠CPF
又∵∠ACB=∠ABE
∴∠BAC+∠ABC=∠ABC+∠EBC=90°，
∴∠BAC=∠EBC，
如图，延长AC至点N，作∠EBC=∠CNF，
∵∠FCN=∠BDE=90°，
∴△FCN∽△EDB，
，即
解得：
在Rt△CFN中，由勾股定理得：
∵点P在AC上运动
∴设AP=x（0则
∵∠PNF=∠EBC=∠BAC，∠AGP=∠NPF
∴△GAP∽△PNF
当时，
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得∠CAB=∠DBE，再根据相似三角形判定定理可得△ABC∽△BED，则，代值计算即可求出答案.
（2）过点E作HE⊥CA交AC延长线于点H，根据矩形判定定理可得四边形CDEH是矩形，则CD=HE=BC-BD=5，CH=DE=4，根据边之间的关系可得AH，再根据勾股定理可得BE，BA，再根据全等三角形判定定理可得△AHE≌△ABE，则∠CAE=∠BAE，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（3）根据相似三角形判定定理可得△ACF∽△EDF，则，代值计算可得DF，根据角之间的关系可得∠BAC=∠EBC，延长AC至点N，作∠EBC=∠CNF，再根据相似三角形判定定理可得△FCN∽△EDB，则，代值计算可得CN，根据边之间的关系可得AN，再根据勾股定理可得NF，设AP=x（01 / 1

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