资源简介

湖北省圆创联盟2026年(届)高三年级5月高考考前模拟考试数学试卷
1．(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为： C.
【分析】逆用两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数值求值即可.
2．已知集合A={x|x>a}，B={x|-1≤x≤2}，若(CRA)∩B=，则a的取值范围是(　　)
A．(-∞，-1) B．[-1，2] C．(-∞，2) D．[2，+∞)
【答案】A
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：易知 ，因为 ，所以，
则a的取值范围为.
故答案为：A .
【分析】根据补集的概念先求，再根据集合的交集运算求解a的范围即可.
3．已知复数z满足 则z=(　　)
A．i B．-i C．1+i D．1-i
【答案】C
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：设复数，，则，
，，
则，可得，解得，故.
故答案为：C .
【分析】设复数，根据共轭复数的概念先求，再根据复数代数形式的乘除运算，结合复数相等求解即可.
4．已知一组样本数据有两层，第一层有 N个数据，平均数为x，第二层有M个数据，平均数为y，两层数据合到一起计算出的平均数为z，后来第一层又增加了n个数据，这n个数据的平均数为m，则新的样本数据的平均数为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由题意可得
，
平均数为 My).
故答案为：D .
【分析】由题意先求第一层、第二层以及加入的n个数据的平均数，再根据平均数的定义计算新的样本数据的平均数即可.
5．已知函数 则f(x) (　　)
A．是奇函数，且在区间(0，+∞)单调递增
B．是偶函数，且在区间(0，+∞)单调递减
C．是奇函数，且在区间(0，+∞)单调递减
D．是偶函数，且在区间(0，+∞)单调递增
【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数定义域为，
，满足，则函数为偶函数，
因为和 在上大于0且单调递减，所以在上单调递减.
故答案为：B .
【分析】先求函数的定义域，再利用函数奇偶性定义判断函数的奇偶性，最后根据复合函数的单调性判断函数的单调性即可.
6．已知椭圆 的离心率为e，点(1，e)在C上，则b=(　　)
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意知 ，因为点(1，)在椭圆上，所以 ，
又因为，所以 ，所以.
故答案为： A.
【分析】由椭圆的离心率为，可得，再根据点(1，)在椭圆上，结合，联立求基本量b的值即可.
7．已知随机事件A、B、C满足 则A、B、C至少有一个发生的概率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：由，可得事件互斥且事件互斥，即，
则.
故答案为：B .
【分析】由题意可得事件互斥且事件互斥，且，再根据和事件的概率公式求解即可.
8．在△ABC中，已知AB=2AC，BC=3.记点A 的运动轨迹为曲线E，△ABC 的外接圆M 与曲线E交于A、D 两点.当∠ABC 取最大值时，AD=(　　)
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】平面内两点间的距离公式；轨迹方程；余弦定理
【解析】【解答】解：以的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，
设，由，可得，化简得，
则曲线是以为圆心，为半径的圆，
在中，，，
由余弦定理得，
又因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，所以，
又因为在上单调递减，所以当时，最大，此时，
由，可得，所以是直角三角形，且，
所以，可得的外接圆的圆心即为的中点，
所以，圆的方程为，
联立，解得，或，
即，
则.
故答案为：C .
【分析】以的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设，由，利用两点间距离公式化简求得曲线方程，再在中，利用余弦定理得，最后利用基本不等式，结合余弦函数的单调性可得最大值，此时，是直角三角形，可得的外接圆的圆心即为的中点，求出圆的方程，再与曲线方程联立求得点的坐标，最后利用两点间距离公式求解即可.
9．已知等比数列{an}的公比q>1，则(　　)
A．数列{an}是递增数列 B．数列{|an|}是递增数列
C．数列{a2}是递增数列 D．数列{a1a2n}是递增数列
【答案】B,C,D
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：由等比数列的公比，得，
A、，当时，，数列是递减数列，故A错误；
B、，，数列是递增数列，故B正确；
C、，，数列是递增数列，故C正确；
D、，，数列是递增数列，故D正确.
故答案为：BCD .
【分析】根据数列为等比数列，写出数列的通项公式，结合递增数列的定义逐项分析判断即可.
10．已知函数 则(　　)
A．f(x)一定有零点
B．曲线y=f(x)与直线y=x+b 恒有3个交点
C．若f(x)有3个零点，则它们的和为0
D．曲线y=f(x)上始终存在中心和4个顶点都在其上的菱形
【答案】A,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：A、若当，，当，，
根据零点存在定理，至少存在一个，使得，故A正确；
B、若曲线与直线恒有3个交点，
则有三个根，整理得，解得或，
当，即，此时只有一根，
当，即，此时有三个根，故B错误；
C、若有3个零点，设三个零点分别为，
则，
又因为，系数对应相等，则，故C正确；
D、因为，
所以关于点对称，
若对于任意的总存在直线与函数交于三个点，
同时与函数交于三个点，
此时根据对称性得且相互平分，所以四边形为菱形.
联立，整理得，
因为，所以要有两个解，所以
同理，得到，若，两个不等式矛盾，故D错误.
故答案为：AC .
【分析】根据零点存在定理即可判断A；问题转化为有三个根，整理可得，解得或，再分和讨论方程的解的个数即可判断B；设三个零点分别为，将函数写成因式乘积的形式，展开与原函数对应系数相等即可判断C；由，求出函数的对称中心，再利用菱形的对角线性质转化为直线和函数的交点个数问题求解即可判断D.
11．已知正四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为2的正方形，高为h，其五个顶点均在半径为R 的球O1 的球面上，半径为r的球O2与正四棱锥的五个面均相切，则(　　)
A．若四棱锥 和三棱锥( 的体积相等，则
B．若O1为底面中心，则
C．若O1与O2重合，则
D．若O1在棱锥内，且在球O2的球面上，则
【答案】A,B,D
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图所示：
A、若四棱锥和三棱锥的体积相等，
则 ，即，得到，解得，故A正确；
B、若为底面中心，则，
由 ，
则，故B正确；
C、若与重合为，设为底面中心，
则，，则，化简得到①，
因为，则，得到②，
将②代入①得到，解得，
由，故C错误；
D、若在棱锥内，且在球的球面上，设为底面中心，
外接球心在高 上，设到底面的距离为，则：，
，则，整理得到，
由 “在球的球面上”， 到 的距离为 ，即，
因在棱锥内且非底面中心，故，得，代入，得到，
又因为，所以，解得，
由，故D正确.
故答案为：ABD .
【分析】利用棱锥的体积公式求解即可判断A；若为底面中心，则，
由 求解即可判断B；若与重合为，设为底面中心，根据，结合求得半径，再利用求解即可判断C；
若在棱锥内，且在球的球面上，设为底面中心，外接球心在高 上，设到底面的距离为，利用正四棱锥外接球性质则求解即可判断D.
12．已知向量a=(1，-1)，b=(0，2)，若a+b与2a-kb平行，则实数k=　 　.
【答案】-2
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，则，，
若与平行，则，即.
故答案为： .
【分析】根据向量坐标的数乘及加减法运算求与，再根据向量共线的坐标表示列式求解即可．
13． 已知 为曲线 上的两点，则φ= .
【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：易知函数的最大值为，最小值为，
因为，是函数图象上两点，所以，k为非负整数，
解得，k为非负整数，
又因为，，所以，k为非负整数，
令，得，符合题意，k取其他非负整数，均不符合题意，
则，因为过点，所以，
解得，令，得符合题意，k取其他非负整数，均不符合题意，故.
故答案为： .
【分析】易知函数的最值，根据函数图象过两点，确定函数的周期，再根据周期公式，可得的表达式，赋值，求得的值，再将点代入点坐标代入，结合正弦函数的图象与性质，求得的表达式，赋值，确定值即可.
14．已知点 A、B分别为曲线 和 上的动点，过A、B分别作x轴的垂线AD、BC，垂足分别为D、C.若|AD|=2|BC|，|AD|【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设，
因为轴，轴，所以，
因为，则，两边同时取自然对数可得，
即，
四边形是一个直角梯形，其面积，
因为，，
所以，
令，则，
令得，，
当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
，
则四边形面积的最大值为．
故答案为： .
【分析】设，由题意可得，再根据，利用指数与对数转化求得，进而表示出四边形的面积，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最大值即可．
15．已知函数
（1）若f(x)存在大于零的极值，求a 的取值范围；
（2）对于函数g(x)，若 则称x0为g(x)的不动点.判断是否存在a，使得f(x)的极值点同时也是不动点，并说明理由.
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，，在上单调递减，无极值；
当时，令得（负根舍去），
当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，所以是的极小值点，
则，所以；
（2）解：由（1）知时，的极小值点为，
假设存在使得的极值点同时也是不动点，即，
则，
令，得，
令，则，
所以在上单调递增，又，
所以存在，使得，
所以存在使得，满足，
因此，存在a，使得的极值点同时也是不动点．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，对a分类，利用导数判断函数的单调性，根据存在大于零的极值，求解即可；
（2）根据定义得出方程，再由换元法构造函数，由导数得出单调性，结合零点存在性定理即可得解．
16．记 Sn为等差数列{an}的前n项和，已知
（1）求 an；
（2）记数列{bn}的前n项和为Tn，且若对 求k 的取值范围.
【答案】（1）解：设等差数列的首项为，公差为，
由，可得 ， 化简得①，
根据条件得： ，化简得 ②，
联立①②解得： ，
则 ；
（2）解：由（1）可得，
当时，，
当时，，则 ，，
经检验，当时，，符合，
故；
原不等式整理得： ，
化简左边： ，由于，
不等式等价于： ，
令 ，
设 ，求导得，
当时，，单调递增；
当 时，，单调递减，
则数列，，，当时单调递减，因此的最大值为，
故，即的取值范围是 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；等差数列的通项公式；数列与不等式的综合；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意，利用等差数列通项公式、求和公式列式求得首项和公差，即可得等差数列的通项；
（2）由（1）可得，利用作差法得到，再通过分离参数得到，构造函数，求导，利用导数判断数列的单调性，利用单调性，求的最大值，即可求得的取值范围.
17．如图，已知平行六面体 的底面 ABCD 是边长为a 的菱形，
（1）证明：平面A1ACC1⊥平面 D1DBB1；
（2）对确定的a与b，求使得平行六面体表面积取最大值的θ；
（3）在(2)的条件下，当直线A1C与平面AB1C 所成的角最大时，求a与b的关系.
【答案】（1）证明：以为空间向量的一组基底向量，则，，
因为，所以，
又因为，所以，
又因为，且平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）解：平行六面体对面是全等的，
所以在菱形中，面积
在平行四边形，面积
在平行四边形，面积
则表面积，
因为，所以当时，表面积最大；
（3）解：由（2）可知此时平行六面体即为长方体，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，
所以
设平面的法向量为
则，即
令，则，所以
设直线与平面的所成角为
则
当且仅当，即时取得等号，此时取得最大值，直线与平面所成角最大
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以为空间向量的一组基底向量，利用向量法证明线线垂直，再根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，进一步证明面面垂直即可；
（2）将表面积表示成有关的函数，运用三角函数的性质求解最大值；
（3）由（2）可知此时平行六面体即为长方体，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用线面所成角的向量公式，结合基本不等式求解即可.
18．已知双曲线L 的左、右焦点分别为 ，离心率为2，M为E上的动点，且M 到两焦点的距离的差的绝对值为2.
（1）求 E 的方程；
（2）过点M 作斜率为和 的直线，分别与 E 交于点G、H，求|GH|的最小值；
（3）过点 F1 的直线l1交E于A、B 两点，过点 F2的直线l2交E于C、D 两点，l1与l2交于点 P，且l1与l2的斜率之积为 证明：△PAD 与 △PBC 面积的乘积为定值.
【答案】（1）解：由题意可得，，因为，所以，则，
故双曲线方程为；
（2）解：设，则， ，
直线的方程为，
由得：，
设点坐标为，则是上述方程的解，
所以，整理得，
直线的方程为，
由得：，
设点坐标为，则是上述方程的解，
所以，整理得，
，同理，
，
所以，
又因为，即，所以，
因为，所以，时取等号，所以；
（3）解：由（1）得，设，
则，化简得，即在双曲线上，
，
直线（即）相交于点，则与互补（或是对顶角），
所以，设直线与的夹角是，则，
所以，
直线过，设直线的参数方程为，其中为参数，表示点到对应点的有向距离，
设对应参数分别为，
把，代入双曲线方程，得，
化简得，
所以，，
在直线上，，
，
又满足，，，
，
，
，
所以，
同理可得，
所以，
直线的斜率为，直线的斜率为，，
，
，
所以.
【知识点】平面内两直线的夹角与到角问题；双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；直线的参数方程
【解析】【分析】（1）由题意，根据双曲线的定义与性质求得，即可得双曲线方程；
（2）设，利用点斜式写出直线的方程，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理求得，同理求得，然后计算并化简为的函数，从而可求得最小值；
（3）设，求出，设直线与的夹角是，计算出，设直线的参数方程为，其中为参数，结合韦达定理计算，同理求得，从而求出（用表示），直线的斜率为，直线的斜率为，，由直线夹角公式求得，再由三角公式求得，然后代入计算可得证.
19．现有n枚质地均匀的硬币，第一次分别抛掷这n枚硬币，完成后，将其中正面朝上的硬币进行第二次抛掷，记两次抛掷后正面朝上的次数之和为 X.
（1）当n=2时，求X 的分布列与数学期望；
（2）对确定的n， k∈{0，1，2，…，2n}， m∈{0，1，2，…，2n}，使得. 成立，请直接写出m，不用推导；
（3）求E(X).
【答案】（1）解：当时，由题意知X 的可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
X 的分布列为
x 0 1 2 3 4
P
；
（2）解设每一枚硬币对的贡献为，则，
因此可以看成个独立同分布随机变量之和，
为判断何时最大，考虑多项式，
其中的系数就是，
记 则，所以只要比较的大小即可，
由 可得递推关系
其中下标小于或大于时，对应的记为，
从开始，由该递推式逐步比较相邻项，可得到最大项位置如下：
的形式 可取的
1 0
2 2
， ， ，
， ，
， ，
， ，
上述四种的情形可统一表述为：为不超过的最大整数，
例如时，，取符合题意．
因此，可得：当时，可取；当时，可取；
当时，可取为不超过的最大整数；
（3）解：设第一次正面朝上的次数为 ， ， 第二次正面朝上的次数为 ， ， 则 ，
，
从而，，
由组合数的性质， ， 所以 ，
所以
.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；组合数公式
【解析】【分析】（1）当时，由题意知X 的可能取值为0，1，2，3，4，求得相应的概率，列分布列，再求的数学期望即可；
（2）用每枚硬币贡献的展开式系数得到分布的最大项位置；
（3）设第一次正面朝上的次数为 ， ， 第二次正面朝上的次数为 ， ， 则 ，根据组合数性质进行求和即可．
1 / 1湖北省圆创联盟2026年(届)高三年级5月高考考前模拟考试数学试卷
1．(　　)
A． B． C． D．
2．已知集合A={x|x>a}，B={x|-1≤x≤2}，若(CRA)∩B=，则a的取值范围是(　　)
A．(-∞，-1) B．[-1，2] C．(-∞，2) D．[2，+∞)
3．已知复数z满足 则z=(　　)
A．i B．-i C．1+i D．1-i
4．已知一组样本数据有两层，第一层有 N个数据，平均数为x，第二层有M个数据，平均数为y，两层数据合到一起计算出的平均数为z，后来第一层又增加了n个数据，这n个数据的平均数为m，则新的样本数据的平均数为(　　)
A． B．
C． D．
5．已知函数 则f(x) (　　)
A．是奇函数，且在区间(0，+∞)单调递增
B．是偶函数，且在区间(0，+∞)单调递减
C．是奇函数，且在区间(0，+∞)单调递减
D．是偶函数，且在区间(0，+∞)单调递增
6．已知椭圆 的离心率为e，点(1，e)在C上，则b=(　　)
A．1 B． C． D．2
7．已知随机事件A、B、C满足 则A、B、C至少有一个发生的概率为(　　)
A． B． C． D．
8．在△ABC中，已知AB=2AC，BC=3.记点A 的运动轨迹为曲线E，△ABC 的外接圆M 与曲线E交于A、D 两点.当∠ABC 取最大值时，AD=(　　)
A． B． C． D．2
9．已知等比数列{an}的公比q>1，则(　　)
A．数列{an}是递增数列 B．数列{|an|}是递增数列
C．数列{a2}是递增数列 D．数列{a1a2n}是递增数列
10．已知函数 则(　　)
A．f(x)一定有零点
B．曲线y=f(x)与直线y=x+b 恒有3个交点
C．若f(x)有3个零点，则它们的和为0
D．曲线y=f(x)上始终存在中心和4个顶点都在其上的菱形
11．已知正四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为2的正方形，高为h，其五个顶点均在半径为R 的球O1 的球面上，半径为r的球O2与正四棱锥的五个面均相切，则(　　)
A．若四棱锥 和三棱锥( 的体积相等，则
B．若O1为底面中心，则
C．若O1与O2重合，则
D．若O1在棱锥内，且在球O2的球面上，则
12．已知向量a=(1，-1)，b=(0，2)，若a+b与2a-kb平行，则实数k=　 　.
13． 已知 为曲线 上的两点，则φ= .
14．已知点 A、B分别为曲线 和 上的动点，过A、B分别作x轴的垂线AD、BC，垂足分别为D、C.若|AD|=2|BC|，|AD|15．已知函数
（1）若f(x)存在大于零的极值，求a 的取值范围；
（2）对于函数g(x)，若 则称x0为g(x)的不动点.判断是否存在a，使得f(x)的极值点同时也是不动点，并说明理由.
16．记 Sn为等差数列{an}的前n项和，已知
（1）求 an；
（2）记数列{bn}的前n项和为Tn，且若对 求k 的取值范围.
17．如图，已知平行六面体 的底面 ABCD 是边长为a 的菱形，
（1）证明：平面A1ACC1⊥平面 D1DBB1；
（2）对确定的a与b，求使得平行六面体表面积取最大值的θ；
（3）在(2)的条件下，当直线A1C与平面AB1C 所成的角最大时，求a与b的关系.
18．已知双曲线L 的左、右焦点分别为 ，离心率为2，M为E上的动点，且M 到两焦点的距离的差的绝对值为2.
（1）求 E 的方程；
（2）过点M 作斜率为和 的直线，分别与 E 交于点G、H，求|GH|的最小值；
（3）过点 F1 的直线l1交E于A、B 两点，过点 F2的直线l2交E于C、D 两点，l1与l2交于点 P，且l1与l2的斜率之积为 证明：△PAD 与 △PBC 面积的乘积为定值.
19．现有n枚质地均匀的硬币，第一次分别抛掷这n枚硬币，完成后，将其中正面朝上的硬币进行第二次抛掷，记两次抛掷后正面朝上的次数之和为 X.
（1）当n=2时，求X 的分布列与数学期望；
（2）对确定的n， k∈{0，1，2，…，2n}， m∈{0，1，2，…，2n}，使得. 成立，请直接写出m，不用推导；
（3）求E(X).
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为： C.
【分析】逆用两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数值求值即可.
2．【答案】A
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：易知 ，因为 ，所以，
则a的取值范围为.
故答案为：A .
【分析】根据补集的概念先求，再根据集合的交集运算求解a的范围即可.
3．【答案】C
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：设复数，，则，
，，
则，可得，解得，故.
故答案为：C .
【分析】设复数，根据共轭复数的概念先求，再根据复数代数形式的乘除运算，结合复数相等求解即可.
4．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由题意可得
，
平均数为 My).
故答案为：D .
【分析】由题意先求第一层、第二层以及加入的n个数据的平均数，再根据平均数的定义计算新的样本数据的平均数即可.
5．【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数定义域为，
，满足，则函数为偶函数，
因为和 在上大于0且单调递减，所以在上单调递减.
故答案为：B .
【分析】先求函数的定义域，再利用函数奇偶性定义判断函数的奇偶性，最后根据复合函数的单调性判断函数的单调性即可.
6．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意知 ，因为点(1，)在椭圆上，所以 ，
又因为，所以 ，所以.
故答案为： A.
【分析】由椭圆的离心率为，可得，再根据点(1，)在椭圆上，结合，联立求基本量b的值即可.
7．【答案】B
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：由，可得事件互斥且事件互斥，即，
则.
故答案为：B .
【分析】由题意可得事件互斥且事件互斥，且，再根据和事件的概率公式求解即可.
8．【答案】C
【知识点】平面内两点间的距离公式；轨迹方程；余弦定理
【解析】【解答】解：以的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，
设，由，可得，化简得，
则曲线是以为圆心，为半径的圆，
在中，，，
由余弦定理得，
又因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，所以，
又因为在上单调递减，所以当时，最大，此时，
由，可得，所以是直角三角形，且，
所以，可得的外接圆的圆心即为的中点，
所以，圆的方程为，
联立，解得，或，
即，
则.
故答案为：C .
【分析】以的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设，由，利用两点间距离公式化简求得曲线方程，再在中，利用余弦定理得，最后利用基本不等式，结合余弦函数的单调性可得最大值，此时，是直角三角形，可得的外接圆的圆心即为的中点，求出圆的方程，再与曲线方程联立求得点的坐标，最后利用两点间距离公式求解即可.
9．【答案】B,C,D
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：由等比数列的公比，得，
A、，当时，，数列是递减数列，故A错误；
B、，，数列是递增数列，故B正确；
C、，，数列是递增数列，故C正确；
D、，，数列是递增数列，故D正确.
故答案为：BCD .
【分析】根据数列为等比数列，写出数列的通项公式，结合递增数列的定义逐项分析判断即可.
10．【答案】A,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：A、若当，，当，，
根据零点存在定理，至少存在一个，使得，故A正确；
B、若曲线与直线恒有3个交点，
则有三个根，整理得，解得或，
当，即，此时只有一根，
当，即，此时有三个根，故B错误；
C、若有3个零点，设三个零点分别为，
则，
又因为，系数对应相等，则，故C正确；
D、因为，
所以关于点对称，
若对于任意的总存在直线与函数交于三个点，
同时与函数交于三个点，
此时根据对称性得且相互平分，所以四边形为菱形.
联立，整理得，
因为，所以要有两个解，所以
同理，得到，若，两个不等式矛盾，故D错误.
故答案为：AC .
【分析】根据零点存在定理即可判断A；问题转化为有三个根，整理可得，解得或，再分和讨论方程的解的个数即可判断B；设三个零点分别为，将函数写成因式乘积的形式，展开与原函数对应系数相等即可判断C；由，求出函数的对称中心，再利用菱形的对角线性质转化为直线和函数的交点个数问题求解即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图所示：
A、若四棱锥和三棱锥的体积相等，
则 ，即，得到，解得，故A正确；
B、若为底面中心，则，
由 ，
则，故B正确；
C、若与重合为，设为底面中心，
则，，则，化简得到①，
因为，则，得到②，
将②代入①得到，解得，
由，故C错误；
D、若在棱锥内，且在球的球面上，设为底面中心，
外接球心在高 上，设到底面的距离为，则：，
，则，整理得到，
由 “在球的球面上”， 到 的距离为 ，即，
因在棱锥内且非底面中心，故，得，代入，得到，
又因为，所以，解得，
由，故D正确.
故答案为：ABD .
【分析】利用棱锥的体积公式求解即可判断A；若为底面中心，则，
由 求解即可判断B；若与重合为，设为底面中心，根据，结合求得半径，再利用求解即可判断C；
若在棱锥内，且在球的球面上，设为底面中心，外接球心在高 上，设到底面的距离为，利用正四棱锥外接球性质则求解即可判断D.
12．【答案】-2
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，则，，
若与平行，则，即.
故答案为： .
【分析】根据向量坐标的数乘及加减法运算求与，再根据向量共线的坐标表示列式求解即可．
13．【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：易知函数的最大值为，最小值为，
因为，是函数图象上两点，所以，k为非负整数，
解得，k为非负整数，
又因为，，所以，k为非负整数，
令，得，符合题意，k取其他非负整数，均不符合题意，
则，因为过点，所以，
解得，令，得符合题意，k取其他非负整数，均不符合题意，故.
故答案为： .
【分析】易知函数的最值，根据函数图象过两点，确定函数的周期，再根据周期公式，可得的表达式，赋值，求得的值，再将点代入点坐标代入，结合正弦函数的图象与性质，求得的表达式，赋值，确定值即可.
14．【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设，
因为轴，轴，所以，
因为，则，两边同时取自然对数可得，
即，
四边形是一个直角梯形，其面积，
因为，，
所以，
令，则，
令得，，
当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
，
则四边形面积的最大值为．
故答案为： .
【分析】设，由题意可得，再根据，利用指数与对数转化求得，进而表示出四边形的面积，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最大值即可．
15．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，，在上单调递减，无极值；
当时，令得（负根舍去），
当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，所以是的极小值点，
则，所以；
（2）解：由（1）知时，的极小值点为，
假设存在使得的极值点同时也是不动点，即，
则，
令，得，
令，则，
所以在上单调递增，又，
所以存在，使得，
所以存在使得，满足，
因此，存在a，使得的极值点同时也是不动点．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，对a分类，利用导数判断函数的单调性，根据存在大于零的极值，求解即可；
（2）根据定义得出方程，再由换元法构造函数，由导数得出单调性，结合零点存在性定理即可得解．
16．【答案】（1）解：设等差数列的首项为，公差为，
由，可得 ， 化简得①，
根据条件得： ，化简得 ②，
联立①②解得： ，
则 ；
（2）解：由（1）可得，
当时，，
当时，，则 ，，
经检验，当时，，符合，
故；
原不等式整理得： ，
化简左边： ，由于，
不等式等价于： ，
令 ，
设 ，求导得，
当时，，单调递增；
当 时，，单调递减，
则数列，，，当时单调递减，因此的最大值为，
故，即的取值范围是 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；等差数列的通项公式；数列与不等式的综合；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意，利用等差数列通项公式、求和公式列式求得首项和公差，即可得等差数列的通项；
（2）由（1）可得，利用作差法得到，再通过分离参数得到，构造函数，求导，利用导数判断数列的单调性，利用单调性，求的最大值，即可求得的取值范围.
17．【答案】（1）证明：以为空间向量的一组基底向量，则，，
因为，所以，
又因为，所以，
又因为，且平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）解：平行六面体对面是全等的，
所以在菱形中，面积
在平行四边形，面积
在平行四边形，面积
则表面积，
因为，所以当时，表面积最大；
（3）解：由（2）可知此时平行六面体即为长方体，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，
所以
设平面的法向量为
则，即
令，则，所以
设直线与平面的所成角为
则
当且仅当，即时取得等号，此时取得最大值，直线与平面所成角最大
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以为空间向量的一组基底向量，利用向量法证明线线垂直，再根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，进一步证明面面垂直即可；
（2）将表面积表示成有关的函数，运用三角函数的性质求解最大值；
（3）由（2）可知此时平行六面体即为长方体，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用线面所成角的向量公式，结合基本不等式求解即可.
18．【答案】（1）解：由题意可得，，因为，所以，则，
故双曲线方程为；
（2）解：设，则， ，
直线的方程为，
由得：，
设点坐标为，则是上述方程的解，
所以，整理得，
直线的方程为，
由得：，
设点坐标为，则是上述方程的解，
所以，整理得，
，同理，
，
所以，
又因为，即，所以，
因为，所以，时取等号，所以；
（3）解：由（1）得，设，
则，化简得，即在双曲线上，
，
直线（即）相交于点，则与互补（或是对顶角），
所以，设直线与的夹角是，则，
所以，
直线过，设直线的参数方程为，其中为参数，表示点到对应点的有向距离，
设对应参数分别为，
把，代入双曲线方程，得，
化简得，
所以，，
在直线上，，
，
又满足，，，
，
，
，
所以，
同理可得，
所以，
直线的斜率为，直线的斜率为，，
，
，
所以.
【知识点】平面内两直线的夹角与到角问题；双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；直线的参数方程
【解析】【分析】（1）由题意，根据双曲线的定义与性质求得，即可得双曲线方程；
（2）设，利用点斜式写出直线的方程，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理求得，同理求得，然后计算并化简为的函数，从而可求得最小值；
（3）设，求出，设直线与的夹角是，计算出，设直线的参数方程为，其中为参数，结合韦达定理计算，同理求得，从而求出（用表示），直线的斜率为，直线的斜率为，，由直线夹角公式求得，再由三角公式求得，然后代入计算可得证.
19．【答案】（1）解：当时，由题意知X 的可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
X 的分布列为
x 0 1 2 3 4
P
；
（2）解设每一枚硬币对的贡献为，则，
因此可以看成个独立同分布随机变量之和，
为判断何时最大，考虑多项式，
其中的系数就是，
记 则，所以只要比较的大小即可，
由 可得递推关系
其中下标小于或大于时，对应的记为，
从开始，由该递推式逐步比较相邻项，可得到最大项位置如下：
的形式 可取的
1 0
2 2
， ， ，
， ，
， ，
， ，
上述四种的情形可统一表述为：为不超过的最大整数，
例如时，，取符合题意．
因此，可得：当时，可取；当时，可取；
当时，可取为不超过的最大整数；
（3）解：设第一次正面朝上的次数为 ， ， 第二次正面朝上的次数为 ， ， 则 ，
，
从而，，
由组合数的性质， ， 所以 ，
所以
.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；组合数公式
【解析】【分析】（1）当时，由题意知X 的可能取值为0，1，2，3，4，求得相应的概率，列分布列，再求的数学期望即可；
（2）用每枚硬币贡献的展开式系数得到分布的最大项位置；
（3）设第一次正面朝上的次数为 ， ， 第二次正面朝上的次数为 ， ， 则 ，根据组合数性质进行求和即可．
1 / 1

展开更多......

收起↑