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专题03【四边形】期末考点讲义（13大核心题型精析+实战练习）
2025-2026学年人教版八年级数学下学期
重点知识◆梳理
【知识点一、四边形及多边形的概念】
1.定义：四边形：由4条不在同一直线上的线段首尾顺次相接围成的封闭平面图形，叫四边形。内角和为360°；
2.特征：具有不稳定性，易发生形变，可用于伸缩门、晾衣架；区别于三角形的稳定性。
3.多边形：由n（n≥3，且n为整数）条不在同一直线上的线段首尾顺次相接围成的封闭平面图形。如下图的五边形
凸多边形：所有内角均小于180°，整体向外凸起；
凹多边形：至少存在一个内角大于180°。
4.正多边形：同时满足各边长度相等、各内角度数相等，二者缺一不可；
5..对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段。
多边形外角：多边形的一边与另一边的延长线组成的角，外角与相邻内角互补。
【知识点二、四边形及多边形主要公式】
1.n边形内角和公式：(n-2)×180°
2.任意多边形外角和：恒为360°，与边数无关
3.正n边形角度计算单个内角度数：
单个外角度数：
4.对角线相关计算:n边形总对角线条数：
5.从多边形一个顶点可引出(n-3)条对角线，将n边形分割为(n-2)个三角形。

【知识点三、图形周长与面积计算】
1.周长：多边形周长为各边长之和；正多边形周长=边长×边数。
2.网格中多边形面积
（1）割补法：将不规则图形分割为三角形、矩形等规则图形求和，或补成规则图形后减去多余部分；
（2）皮克定理：面积=内部格点数+边界格点数÷2 1。
【知识点四、高频考点题型及对应知识点】
1.多边形截角问题：一个n边形截去一个角后，边数存在三种变化：边数+1、边数不变、边数-1，内角和随边数变化。
2.多算、少算一个内角问题：根据多边形内角和取值范围，确定多边形边数，进而求解缺失内角度数。
3.复杂图形内角和求解：针对星形、组合图形等，采用分割法，拆分为三角形、四边形，利用基础图形内角和计算。
4.平面镶嵌（密铺）：拼接于同一点的各角度之和为360^\circ；可单独密铺的正多边形为正三角形、正方形、正六边形，其余正多边形无法单独密铺。
5.内外角综合计算：根据内角和与外角和的倍数关系、内外角度数比值，求解多边形边数。
6.外角和实际应用：沿多边形行走转向问题，总转向角度为外角和360°。
【知识点五、重难点归纳总结】
1.外角和为定值360°，是角度计算的简便突破口，可优先选用；
2.正多边形判定条件为双向约束，边长与内角需同时相等；
3.内角和公式适用于所有多边形，不受凹凸多边形形态限制；
4.平面镶嵌需紧扣拼接点角度和为360°这一核心条件；
5.外角与相邻内角互为补角，是角度换算的常用依据
题型梳理归纳
题型1.四边形不稳定性辨析 题型2.多边形概念、凸/凹多边形分类
题型3.正多边形概念辨析 题型4.多边形、正多边形周长计算
题型5.对角线条数计算，已知对角线求边数 题型6.对角线分割三角形个数问题
题型7.多边形截角后边数判断 题型8.多边形内角和基础计算
题型9.多边形多算或少算一个内角问题 题型10.正多边形外角计算，知外角求边数
题型11.网格中多边形面积 题型12.内角和与外角和综合计算
题型13. 平面镶嵌 实战演练
题型解析◆精准备考
题型1.四边形不稳定性辨析
1．下列生活实例中，运用到“四边形的不稳定性”的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是学校门口的伸缩门，它利用的是________________．
3．如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？

题型2.多边形概念、凸、凹多边形分类
1．白塔寺是廊坊永清县辽代时期典型的历史文化风貌体现，塔体平面为八边形．下列同为八边形的是（ ）
A． B．C． D．
2．如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角．
3．三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？
【特别提示】n边形有n条边，n个内角，n个顶点．
题型3.正多边形概念辨析
1．下面图形中，是正多边形的是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
2．如图，正六边形中包含__________个全等的等腰梯形．
3．如图，六边形是正六边形，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)如图1，连接，画出一个以为边的等边三角形，且另一个顶点在六边形上；
(2)如图2，为边上一点，在边上找一点，使得．
题型4.多边形、正多边形周长计算
1．【图形的剪切】将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（ ）
A．减少 B．不变 C．增加 D．无法确定
2．如图是一块长方形皮影戏幕布，若它的长为，宽为，则这块幕布的周长为______．
3．如图，已知六边形的6个内角均为，．试求这个六边形的周长．
题型5.对角线条数计算，已知对角线求边数
1．一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有（ ）条
A．5 B．6 C．7 D．8
2．一个正多边形的边长是3，从一个顶点可以引出4条对角线，则这个正多边形的周长是_________．
3．如果一个多边形每个内角都是，求这个多边形的边数和内角和，并直接写出该多边形对角线的条数．
题型6.对角线分割三角形个数问题
1．从多边形的一个顶点引出的所有对角线将这个多边形分成13个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
2．如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上_______根木条．
3．一个n边形的内角和为．
(1)求n的值；
(2)从该多边形一个顶点出发的所有对角线将这个多边形分成 个三角形．
题型7.多边形截角后边数判断
1．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ）
A．8或9 B．9或10 C．8或9或10 D．9或10或11
2．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为______．
3．如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形是几边形 请画出图形．
题型8.多边形内角和基础计算
1．文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度．如图，交通指示牌的停车让行标志是正八边形，它的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
2．多边形的外角和与内角和之比为，则该多边形的边数为_________．
3．计算下方图形中的值．
题型9.多边形多算或少算一个内角问题
1．小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．粗心的小华在计算一个多边形的内角和时少算了一个内角，得出其余个内角的和为1900°．则这个多边形是_____边形．
3．阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为．
小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角．
(1)这个“多加的锐角”是______度．
(2)小明求的是几边形内角和？
(3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？
题型10.正多边形外角计算，知外角求边数
1．正边形的每一个外角的度数为，则的值是（ ）
A．七 B．八 C．九 D．十
2．将一个正六边形与一个正五边形，按如图所示的位置摆放，使点A为公共顶点，顶点B、C、D、E都在直线上，则________．
3．下面是正多边形M和正多边形N的对话：
(1)求正多边形M和正多边形N的边数；
(2)在计算正多边形N的每个内角的度数时，嘉嘉和淇淇的思路如下，请你任选一个思路进行解答：
嘉嘉：先计算内角和，再计算每个内角．
淇淇：先计算每个外角，再计算每个内角．
题型11.网格中多边形面积
1．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
2．如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______
3．如图，已知网格中最小的正方形的边长为1．
(1)作关于轴对称的．
(2)求，，，构成图形的面积．
题型12.内角和与外角和综合计算
1．一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
2．已知一个正多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个正多边形内角的度数为______．
3．已知：如图，分别为四边形的外角．求证：．
题型13. 平面镶嵌
1．如图中所示的是由三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，则这种正多边形是（ ）
A．三角形 B．正方形 C．五边形 D．六边形
2．用一种或几种完全相同（全等形）的三角形或多边形无间隙且不重叠地覆盖（铺砌）平面的一部分，叫做平面镶嵌，平面镶嵌又称为“平面密铺”．如图所示，由边长相等的正方形和正六边形相间围成一圈，则中间的正多边形的边数为______．
3．【描述定义】用形状、大小完全相同的几种平面图形无空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面密铺（或称为平面镶嵌）．在生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理．
【知识储备】
(1)对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是 （用含的式子表示）；
(2)密铺的条件：公共顶点处所有角的和为 ，并使相等的边重合．
【任务一：寻找密铺】
(3)下列正多边形中，能够单独密铺平面的是 ；（多选）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形
D．正六边形 E．正八边形
(4)公园的一段通道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为__________．
【任务二：创作密铺】
(5)数学“挑战小组”提出同时用“正方形+正六边形”的密铺方案．请你思考并判断该方案是否可行，可进行如下验证：
验证方案：“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形个，正六边形个，得方程 ，发现方程 （填“有”或“无”）正整数解；
结论：由上可得，“挑战小组”方案 ．（填“可行”或“不可行”）
【任务三：资金预算】
(6)某小区广场计划用不同的正多边形地砖组合密铺（边长相同）．已有正三角形地砖，现打算购买正方形和正六边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．已知1块正六边形地砖成本20元，1块正方形地砖成本8元，1块正三角形地砖成本5元，且估算需要90块正方形地砖，请你设计出用三种正多边形共顶点组合密铺方案，并计算铺设广场的总成本．
实战演练
一、单选题
1．已知正边形的每一个外角都是30°，则这个正边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在四边形中，，，点E为的中点，连结，若四边形的面积为16，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．如图，四边形的对角线与相交于点O，已知，若要证明四边形为平行四边形，则还需要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，点O是对角线，的交点，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，小张想估测被池塘隔开的两处景观之间的距离，他先在外取一点，然后步测出的中点，并步测出的长约为，由此估测之间的距离约为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四边形中，对角线，且，则该四边形的面积是（ ）
A．30 B．54 C． D．60
9．如图，在四边形中，对角线交于点．（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．如图，在菱形中，对角线与交于点Ｏ，，垂足为E，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在矩形中，点、分别在边，上，且，，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，，过点作边的垂线交的延长线于点，点是垂足，连接、，交于点．则下列结论：四边形是正方形；，，正确的是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，桐桐从点出发，前进到点处后向右转，再前进3m到点处后又向右转，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点时，一共走了___________
14．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．

15．如图，用4根长度相等的木棒首尾顺次连接组成四边形中，，则该四边形的面积是___________．
16．如图，在正方形中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且，OC、EF交于点G．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的为___________．（将正确的序号都填入）
三、解答题
17．如图，中，点E，F分别是对角线上的两点，且．求证：．
18．如图，四边形的对角线和的长分别为4和6，，，，分别是，，，的中点．求四边形的周长．
19．如图，在四边形中，的平分线交于点E，已知，
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，四边形周长为32，求的长度．
20．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F，
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，求的度数．
21．如图，在和中，，，，为边上一点．
(1)求证：
(2)若点是的中点，求证：四边形是正方形．
22．如图，把边长为的等边三角形绕边的中点O旋转，得到．
(1)四边形是什么样的四边形？说明理由．
(2)求四边形的两条对角线的长度．
(3)求四边形的面积
试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页专题03【四边形】期末考点讲义（13大核心题型精析+实战练习）
2025-2026学年人教版八年级数学下学期
重点知识◆梳理
【知识点一、四边形及多边形的概念】
1.定义：四边形：由4条不在同一直线上的线段首尾顺次相接围成的封闭平面图形，叫四边形。内角和为360°；
2.特征：具有不稳定性，易发生形变，可用于伸缩门、晾衣架；区别于三角形的稳定性。
3.多边形：由n（n≥3，且n为整数）条不在同一直线上的线段首尾顺次相接围成的封闭平面图形。如下图的五边形
凸多边形：所有内角均小于180°，整体向外凸起；
凹多边形：至少存在一个内角大于180°。
4.正多边形：同时满足各边长度相等、各内角度数相等，二者缺一不可；
5..对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段。
多边形外角：多边形的一边与另一边的延长线组成的角，外角与相邻内角互补。
【知识点二、四边形及多边形主要公式】
1.n边形内角和公式：(n-2)×180°
2.任意多边形外角和：恒为360°，与边数无关
3.正n边形角度计算单个内角度数：
单个外角度数：
4.对角线相关计算:n边形总对角线条数：
5.从多边形一个顶点可引出(n-3)条对角线，将n边形分割为(n-2)个三角形。

【知识点三、图形周长与面积计算】
1.周长：多边形周长为各边长之和；正多边形周长=边长×边数。
2.网格中多边形面积
（1）割补法：将不规则图形分割为三角形、矩形等规则图形求和，或补成规则图形后减去多余部分；
（2）皮克定理：面积=内部格点数+边界格点数÷2 1。
【知识点四、高频考点题型及对应知识点】
1.多边形截角问题：一个n边形截去一个角后，边数存在三种变化：边数+1、边数不变、边数-1，内角和随边数变化。
2.多算、少算一个内角问题：根据多边形内角和取值范围，确定多边形边数，进而求解缺失内角度数。
3.复杂图形内角和求解：针对星形、组合图形等，采用分割法，拆分为三角形、四边形，利用基础图形内角和计算。
4.平面镶嵌（密铺）：拼接于同一点的各角度之和为360^\circ；可单独密铺的正多边形为正三角形、正方形、正六边形，其余正多边形无法单独密铺。
5.内外角综合计算：根据内角和与外角和的倍数关系、内外角度数比值，求解多边形边数。
6.外角和实际应用：沿多边形行走转向问题，总转向角度为外角和360°。
【知识点五、重难点归纳总结】
1.外角和为定值360°，是角度计算的简便突破口，可优先选用；
2.正多边形判定条件为双向约束，边长与内角需同时相等；
3.内角和公式适用于所有多边形，不受凹凸多边形形态限制；
4.平面镶嵌需紧扣拼接点角度和为360°这一核心条件；
5.外角与相邻内角互为补角，是角度换算的常用依据
题型梳理归纳
题型1.四边形不稳定性辨析 题型2.多边形概念、凸/凹多边形分类
题型3.正多边形概念辨析 题型4.多边形、正多边形周长计算
题型5.对角线条数计算，已知对角线求边数 题型6.对角线分割三角形个数问题
题型7.多边形截角后边数判断 题型8.多边形内角和基础计算
题型9.多边形多算或少算一个内角问题 题型10.正多边形外角计算，知外角求边数
题型11.网格中多边形面积 题型12.内角和与外角和综合计算
题型13. 平面镶嵌 实战演练
题型解析◆精准备考
题型1.四边形不稳定性辨析
1．下列生活实例中，运用到“四边形的不稳定性”的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】解：A、B、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性，不符合题意；
C选项伸缩门是用到了四边形的不稳定性，符合题意．
2．如图是学校门口的伸缩门，它利用的是________________．
【答案】四边形的不稳定性
【分析】根据四边形的不稳定性进行分析，即可得到答案．
【详解】解：学校门口的电子伸缩门，其中间部分都是四边形的结构，这是利用了四边形的不稳定性．
3．如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？

【答案】这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为
【分析】分两种情况进行讨论，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，分别求解即可．
【详解】由于B，C两处可以转动，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，它等于；当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，它等于．
答：这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的大小和形状就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
题型2.多边形概念、凸、凹多边形分类
1．白塔寺是廊坊永清县辽代时期典型的历史文化风貌体现，塔体平面为八边形．下列同为八边形的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【详解】解：根据图形可得：
A是七边形；B是八边形；C是九边形；D是五边形．
2．如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角．
【答案】 ，，，， 点 ，，，，
【分析】本题考查了多边形．根据多边形的定义解答即可．
【详解】解：在多边形中，，，，，是多边形的边；
点是多边形的顶点；
是多边形的对角线；
，，，，是多边形的内角．
故答案为：，，，，；点；； ，，，，．
3．三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？
【特别提示】n边形有n条边，n个内角，n个顶点．
【答案】见详解
【分析】本题考查了多边形的有关概念，解题关键是准确识别多边形，明确多边形的顶点和内角概念．
根据图形的特征作答即可．
【详解】解：如图所示，三角形有3个顶点，3条边，3个内角；
四边形有4个顶点，4条边，4个内角；
五边形有5个顶点，5条边，5个内角；
……
可发现，多边形的顶点个数和内角个数与边数相同；
n边形有n个顶点，n条边，n个内角．
题型3.正多边形概念辨析
1．下面图形中，是正多边形的是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【答案】C
【分析】本题考查四边形，解题的关键是理解正多边形的定义．
正多边形需所有边相等且所有角相等，矩形角相等但边不一定相等；菱形边相等但角不一定相等；梯形边和角都不一定相等；正方形所有边相等且所有角相等，符合正多边形定义．
【详解】解： 正多边形必须所有边相等且所有角相等，
A、矩形所有角相等但边不一定相等，故不一定是正多边形，不符合题意；
B、菱形所有边相等但角不一定相等，故不一定是正多边形，不符合题意；
C、正方形所有边相等且所有角相等，故是正多边形，符合题意；
D、梯形边和角都不一定相等，故不是正多边形，不符合题意；
故选：C．
2．如图，正六边形中包含__________个全等的等腰梯形．
【答案】
6
【分析】根据全等的性质来举例即可求解．
【详解】解：根据题意得图，
可知正六边形中每条边都相等，每个内角都相等
包含有6个等边三角形，
则三个相邻的等边三角形组成的四边形是等腰梯形，
则四边形,四边形,四边形,四边形,四边形,四边形都是等腰梯形，
则有6个全等的等腰梯形．
3．如图，六边形是正六边形，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)如图1，连接，画出一个以为边的等边三角形，且另一个顶点在六边形上；
(2)如图2，为边上一点，在边上找一点，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接、即可；
（2）连接、交于点J，连接，并延长交于点Q，即可求解.
【详解】（1）解：如图， 即为所求,
∵六边形是正六边形，
∴，，
∴ ，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：如图，点即为所求，
理由：∵六边形是正六边形，
∴，，，，
∵，
∴ ，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴ ，
∴.
题型4.多边形、正多边形周长计算
1．【图形的剪切】将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（ ）
A．减少 B．不变 C．增加 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了周长的求解，原正方形边长为30厘米，剪去四个角的小正方形后，虽然原边长被截短，但新增了与原截短部分等长的边，故周长不变．
【详解】解：如图：

因为剪去一个小正方形后，剪掉了与的长度，但又多出了与的长度，并且，
同样在其它的三个角剪正方形也是这样的，所以它的周长与原来相比不变，
故选：B．
2．如图是一块长方形皮影戏幕布，若它的长为，宽为，则这块幕布的周长为______．
【答案】28
【分析】根据长方形的周长公式列出算式，利用二次根式的性质化简各二次根式，再合并同类二次根式即可求解．
【详解】由题意得，这块幕布的周长为．
3．如图，已知六边形的6个内角均为，．试求这个六边形的周长．
【答案】
【分析】如图：延长，分别交直线于M、N，延长相交于点P，易得都是等边三角形，，即为等边三角形，可得，再根据线段的和差以及等量代换即可解答．
【详解】解：如图：延长，分别交直线于M、N，延长相交于点P，
∵六边形的6个内角均为，
∴，
∴都是等边三角形，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴这个六边形的周长．
题型5.对角线条数计算，已知对角线求边数
1．一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有（ ）条
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】设这个多边形的边数为，根据题意列方程求出这个多边形的边数，再根据以边形的一个顶点为端点的对角线有条求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
∵一个多边形的内角和与外角和的和是，多边形的外角和等于，
∴，
解得，
∴以这个多边形的一个顶点为端点的对角线条数为（条）．
2．一个正多边形的边长是3，从一个顶点可以引出4条对角线，则这个正多边形的周长是_________．
【答案】21
【分析】先求出多边形的边数，再计算正多边形的周长即可．
【详解】解：从一个顶点可以引出条对角线，
这个多边形的边数为，
该正多边形的边长为，
这个正多边形的周长为．
3．如果一个多边形每个内角都是，求这个多边形的边数和内角和，并直接写出该多边形对角线的条数．
【答案】边数为18，内角和为，对角线条数为135
【分析】先根据已知内角度数求出每个外角度数，利用任意多边形外角和为求出边数，再根据多边形内角和公式计算内角和，最后根据n边形对角线条数公式计算对角线的条数．
【详解】解：多边形每个内角为，
每个外角为
任意多边形的外角和为，
多边形的边数为，
根据多边形内角和公式，可得内角和为，
十八边形对角线条数为，
答：这个多边形的边数为18，内角和为，对角线共135条．
题型6.对角线分割三角形个数问题
1．从多边形的一个顶点引出的所有对角线将这个多边形分成13个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
【答案】A
【分析】本题考查多边形对角线分多边形得到三角形的个数规律，从边形的一个顶点引出所有对角线，分得三角形的个数为，利用该规律列方程即可求解.
【详解】解：设这个多边形的边数为.
从边形的一个顶点引出所有对角线，将多边形分成三角形的个数为 ，
根据题意得 .解得 .
2．如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上_______根木条．
【答案】
3
【分析】根据三角形具有稳定性，要使六边形木框稳定，需利用木条将其分割成三角形，从六边形的一个顶点出发引对角线即可确定所需木条数量.
【详解】 解：从六边形的一个顶点出发，连接该顶点与不相邻的顶点，可以引条对角线，这将把六边形分割成个三角形，从而使整个木框具有稳定性；
故至少要钉上根木条.
3．一个n边形的内角和为．
(1)求n的值；
(2)从该多边形一个顶点出发的所有对角线将这个多边形分成 个三角形．
【答案】(1)10
(2)8
【分析】（1）根据多边形内角和公式列出方程，解方程即可解答；
（2）利用从一个顶点出发的所有对角线将这个多边形分成个三角形，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据多边形内角和公式得：
解方程得：
所以n的值为10．
（2）解：从n边形一个顶点出发的所有对角线，能将多边形分成个三角形．
当时，分成的三角形个数为：．
题型7.多边形截角后边数判断
1．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ）
A．8或9 B．9或10 C．8或9或10 D．9或10或11
【答案】D
【分析】先根据多边形内角和公式求出新多边形的边数，再根据多边形截去一个角的三种情况，讨论得到原多边形的边数．
【详解】解：设内角和为的新多边形的边数是，根据多边形内角和公式可得
，
解得，
∵多边形截去一个角共有三种情况，
①截线不过原多边形顶点时，新多边形边数比原多边形多，
②截线过原多边形一个顶点时，新多边形边数与原多边形相等，
③截线过原多边形两个顶点时，新多边形边数比原多边形少，
∴原多边形边数为或或，即原来多边形的边数是或或．
2．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为______．
【答案】3
【分析】本题考查截一个多边形，一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条；当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3．
【详解】解：设原多边形边数为n；截去一个角后，边数变化有三种情况：①边数增加一条，则新边数为；②边数不变，则新边数为n；③边数减少一条，则新边数为；
已知新多边形为五边形，即新边数为5；
因此，，解得；或；或，解得；
所以原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3；
故答案为：3
3．如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形是几边形 请画出图形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了多边形．分情况，画出图形即可．
【详解】解：如答图①，剩下的新图形是三角形；如答图②，剩下的新图形是四边形；如答图③，剩下的新图形是五边形．
题型8.多边形内角和基础计算
1．文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度．如图，交通指示牌的停车让行标志是正八边形，它的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：正八边形的内角和．
2．多边形的外角和与内角和之比为，则该多边形的边数为_________．
【答案】5
【分析】根据任意多边形的外角和为，结合已知的外角和与内角和的比，求出该多边形的内角和度数，再利用边形内角和公式求解边数即可．
【详解】解：∵任意多边形的外角和为，多边形外角和与内角和之比为，
∴该多边形的内角和为，
设该多边形的边数为，由边形内角和公式得：
，
等式两边同时除以得 ，解得．
3．计算下方图形中的值．
【答案】
【分析】由四边形的内角和为360°即可列出关于x的等式，解出x即可求解．
【详解】解：依题意，
解得：
题型9.多边形多算或少算一个内角问题
1．小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】边形的内角和是，少计算了一个内角，结果得．则内角和是与的差一定小于180度，并且大于0度．
【详解】解：设多边形的边数为，小红少加的这个角的度数是，
则有，
则，
因为，
所以，
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式．解答此题的关键是把所求的角正确的分解为与一个正整数的积再减去一个小于的角的形式，再根据多边形的内角和公式即可求解．
2．粗心的小华在计算一个多边形的内角和时少算了一个内角，得出其余个内角的和为1900°．则这个多边形是_____边形．
【答案】十三
【分析】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于，并且小于
设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数和未知的那个内角的范围求解即可．
【详解】解：设这个内角度数为，边数为，则，
∴，
解得，
又∵，
，
，即
又∵为正整数，
，
故答案为：十三．
3．阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为．
小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角．
(1)这个“多加的锐角”是______度．
(2)小明求的是几边形内角和？
(3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？
【答案】(1)30
(2)十二边形
(3)
【分析】（1）根据多边形的内角和能被整除求解即可；
（2）根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可；
（3）根据正多边形的每个内角都相等进行计算即可．
【详解】（1）解：∵多边形内角和公式为，
∴多边形的内角和能被整除，
∵，
∵加了一个锐角，
∴这个“多加的锐角”是；
（2）解：设多边形为n边形，
∴，
∴，
∴小明求的是12边形的内角和；
（3）解：正十二边形的每一个内角为．
∴这个正多边形的一个内角是．
题型10.正多边形外角计算，知外角求边数
1．正边形的每一个外角的度数为，则的值是（ ）
A．七 B．八 C．九 D．十
【答案】D
【分析】 任意多边形的外角和为，正多边形每个外角的度数相等，因此用总外角和除以单个外角的度数，即可求出边数.
【详解】解：∵任意多边形的外角和为，正边形的每个外角都相等，且每个外角为
∴.
2．将一个正六边形与一个正五边形，按如图所示的位置摆放，使点A为公共顶点，顶点B、C、D、E都在直线上，则________．
【答案】84
【详解】解：∵正六边形每个内角为，每个外角为，正五边形每个内角为，每个外角为，
∴，
∴．
3．下面是正多边形M和正多边形N的对话：
(1)求正多边形M和正多边形N的边数；
(2)在计算正多边形N的每个内角的度数时，嘉嘉和淇淇的思路如下，请你任选一个思路进行解答：
嘉嘉：先计算内角和，再计算每个内角．
淇淇：先计算每个外角，再计算每个内角．
【答案】(1)M和N的边数分别是4和6；
(2)见解析
【分析】本题主要考查了多边形内角和与外角和的综合运用：
（1）分别设出两多边形的边数，再根据多边形内角和公式列方程求解即可；
（2）先计算每个外角，再计算每个内角即可．（也可以先计算正多边形的内角和，再计算每个内角度数）
【详解】（1）设M的边数为，N的边数为，由题意得：
解得：，
∴，，
∴M和N的边数分别是4和6；
（2）嘉嘉解法：．
淇淇解法：正六边形的每个外角为：；
故正六边形的每个内角为．
题型11.网格中多边形面积
1．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】D
【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可．
【详解】解：如图，
，
，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键．
2．如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______
【答案】9
【分析】本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解．
【详解】解：如下图，作，
六边形是正六边形，
，，
的面积为3，
，
四边形的面积为，
故答案为：9．
3．如图，已知网格中最小的正方形的边长为1．
(1)作关于轴对称的．
(2)求，，，构成图形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】本题主要考查了作轴对称图形、借助网格线计算图形的面积．
（1）分别作出点、、关于轴的对称点、、，连接点、、，得到；
（2）根据梯形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如下图所示，即为所求．
解：．
题型12.内角和与外角和综合计算
1．一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
【答案】B
【分析】利用多边形外角和为固定值，结合多边形内角和公式列方程求解边数，即可得到答案.
【详解】解：设这个正多边形的边数为，
∵任意多边形的外角和恒为，且该多边形内角和是外角和的倍，
∴该多边形内角和为 ，
又∵边形的内角和公式为，
∴列方程得 ，
解得 ，因此这个多边形是正六边形.
2．已知一个正多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个正多边形内角的度数为______．
【答案】/144度
【分析】先根据题意列方程求出正多边形的边数，再计算正多边形一个内角的度数．
【详解】解：设这个正多边形的边数为，
∴该正多边形的内角和为，
由题意得，
解得，
该正多边形的内角和为，
则这个正多边形一个内角的度数为．
3．已知：如图，分别为四边形的外角．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据邻补角定义得，再根据四边形内角和等于得，据此即可得出结论．
【详解】证明：∵分别为四边形的外角，
∴，
∴，
∵，
∴．
题型13. 平面镶嵌
1．如图中所示的是由三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，则这种正多边形是（ ）
A．三角形 B．正方形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【分析】利用周角定义求出正多边形内角，进而求出正多边形的外角，再根据多边形的外角和为，即可求解．
【详解】解：∵图中所示的是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形，
∴每个内角度数，
∴每个外角度数，
∵多边形的外角和为，
∴边数为：，
故这种正多边形是正六边形．
2．用一种或几种完全相同（全等形）的三角形或多边形无间隙且不重叠地覆盖（铺砌）平面的一部分，叫做平面镶嵌，平面镶嵌又称为“平面密铺”．如图所示，由边长相等的正方形和正六边形相间围成一圈，则中间的正多边形的边数为______．
【答案】
【详解】解：正方形的一个内角的度数为，正六边形每个内角的度数为，
∴中间的正多边形一个内角的度数为，
设中间的正多边形的边数为；
∴，
解得：．
3．【描述定义】用形状、大小完全相同的几种平面图形无空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面密铺（或称为平面镶嵌）．在生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理．
【知识储备】
(1)对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是 （用含的式子表示）；
(2)密铺的条件：公共顶点处所有角的和为 ，并使相等的边重合．
【任务一：寻找密铺】
(3)下列正多边形中，能够单独密铺平面的是 ；（多选）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形
D．正六边形 E．正八边形
(4)公园的一段通道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为__________．
【任务二：创作密铺】
(5)数学“挑战小组”提出同时用“正方形+正六边形”的密铺方案．请你思考并判断该方案是否可行，可进行如下验证：
验证方案：“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形个，正六边形个，得方程 ，发现方程 （填“有”或“无”）正整数解；
结论：由上可得，“挑战小组”方案 ．（填“可行”或“不可行”）
【任务三：资金预算】
(6)某小区广场计划用不同的正多边形地砖组合密铺（边长相同）．已有正三角形地砖，现打算购买正方形和正六边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．已知1块正六边形地砖成本20元，1块正方形地砖成本8元，1块正三角形地砖成本5元，且估算需要90块正方形地砖，请你设计出用三种正多边形共顶点组合密铺方案，并计算铺设广场的总成本．
【答案】(1)
(2)
(3)A，B，D
(4)
(5)，无，不可行
(6)铺设广场的总成本为1845元
【分析】（1）根据正多边形内角和可进行求解；
（2）根据周角的定义可进行求解；
（3）根据密铺的定义及正多边形的性质可进行求解；
（4）由题意易得五边形内角和，然后根据图形可进行求解；
（5）由题意易得方程，然后问题可求解；
（6）设正三角形个，正方形个，正六边形个，则，然后可得该图形由1个正三角形、2个正方形和1个正六边形组合密铺，进而问题可求解．
【详解】（1）解：对于正边形，每个内角都相等，度数是；
（2）解：密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合；
（3）解：A．正三角形的每个内角为，，且各边相等，能够单独密铺平面；
B．正方形的每个内角为，，且各边相等，能够单独密铺平面；
C．正五边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面；
D．正六边形的每个内角为且各边相等，，能够单独密铺平面；
E．正八边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面．
（4）解：五边形内角和：，
；
（5）解：“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形个，正六边形个，根据题意，可得方程；
发现方程无正整数解；结论：由上可得，“挑战小组”方案不可行；
（6）解：设正三角形个，正方形个，正六边形个，则，
，，为正整数，
，
故可由1个正三角形、2个正方形和1个正六边形组合密铺，如图，则三角形，正方形，正六边形的数量之比为，
需要90块正方形地砖，费用：（元），
需要正三角形数量：（块），费用：（元），
需要正六边形数量：（块），费用：（元），
总成本：（元），
答：铺设广场的总成本为1845元．
实战演练
一、单选题
1．已知正边形的每一个外角都是30°，则这个正边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．根据正多边形外角和为，结合每个外角为，求出边数n，再利用内角和公式计算即可．
【详解】解：这个正多边形的边数：，
所以这个正边形的内角和为：，
故选：D
2．如图，在四边形中，，，点E为的中点，连结，若四边形的面积为16，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，平行四边形的判定与性质，先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质与三角形的中线等分三角形的面积可得答案．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形的面积为16，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
故选B
3．如图，四边形的对角线与相交于点O，已知，若要证明四边形为平行四边形，则还需要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定，逐项分析即可判断．
【详解】解：A、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意；
B、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意；
C、因为，，所以四边形为平行四边形，符合题意；
D、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意；
故选：C．
4．如图，在中，点O是对角线，的交点，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．根据平行四边形的性质判断即可.
【详解】解：∵，
∴，，，
不一定成立，结论A错误，符合题意．
故选：A．
5．如图，在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，熟知是解题的关键．
根据求解即可．
【详解】由题知，，
．
故选：B．
6．如图，小张想估测被池塘隔开的两处景观之间的距离，他先在外取一点，然后步测出的中点，并步测出的长约为，由此估测之间的距离约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形中位线定理．
证明是的中位线，进而作答即可．
【详解】分别是的中点，
是的中位线，
．
故选B．
7．如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，
过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选C．
8．如图，在四边形中，对角线，且，则该四边形的面积是（ ）
A．30 B．54 C． D．60
【答案】B
【分析】设两对角线的交点为E，由即可完成．
【详解】设两对角线的交点为E
∵
=54
故选：B．
【点睛】本题考查了四边形面积的计算，关键是转化为两个直角三角形面积的和，体现了转化思想的应用．一般地，如果四边形的两条对角线相互垂直，则四边形的面积与菱形面积计算一样，等于两对角线乘积的一半．
9．如图，在四边形中，对角线交于点．（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】本题主要考查平行四边形，菱形，矩形的判定和性质，掌握菱形，矩形的判定和性质是关键．
根据题意得到，四边形是平行四边形，结合菱形，矩形的判定和性质求解即可．
【详解】
解：∵，
∴四边形是平行四边形，
A．若时，平行四边形是菱形，
不能判定，故不符合题意；
B．若时，平行四边形是菱形，
∴，故符合题意；
C．若时，平行四边形是矩形，
不能证明，故不符合题意；
D．若时，平行四边形是矩形，
不能证明，故不符合题意．
故选：B．
10．如图，在菱形中，对角线与交于点Ｏ，，垂足为E，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的性质，由菱形的性质可得，从而得出，再结合计算即可得解，熟练掌握菱形的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵在菱形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
11．如图，在矩形中，点、分别在边，上，且，，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是设出未知数使用勾股定理建立方程．
连接，设，则有，先由勾股定理求解出，再表示出，，再由勾股定理求解x的值，即可求解的长．
【详解】解：连接，如图，
设，则有，
在中，，
在中，，
在中，，
∵，即，
在中，，
即，解得，
∴．
故选：C．
12．如图，在中，，，过点作边的垂线交的延长线于点，点是垂足，连接、，交于点．则下列结论：四边形是正方形；，，正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先证明≌，得，再得四边形为平行四边形，进而由，得四边形是正方形，便可判断正误；
根据，进行推理说明便可；
根据正方形的性质，得出与互相垂直平分，然后利用等底等高的三角形面积相等即可解决问题．
【详解】∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴四边形是正方形，
故正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故正确；
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
故正确；
故选：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
二、填空题
13．如图，桐桐从点出发，前进到点处后向右转，再前进3m到点处后又向右转，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点时，一共走了___________
【答案】
【分析】本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和定理是解决问题的前提．根据多边形的外角和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再根据题意求出多边形的周长即可．
【详解】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个每条边都相等的多边形，
由于多边形的外角和是，且每一个外角为，
，
所以它是一个十八边形，且每条边都相等，
因此所走的路程为，
故答案为：．
14．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．

【答案】60
【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故答案为：60．
【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．
15．如图，用4根长度相等的木棒首尾顺次连接组成四边形中，，则该四边形的面积是___________．
【答案】16
【分析】本题主要考查了菱形的判定及性质，熟练掌握菱形的面积计算公式，是解题的关键．根据四边相等的四边形是菱形可得四边形是菱形，再由菱形的两条对角线，求出菱形的面积即可．
【详解】解：∵，
∴四边形是菱形，
∵，
∴该四边形的面积是：．
故答案为：16．
16．如图，在正方形中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且，OC、EF交于点G．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的为___________．（将正确的序号都填入）
【答案】①②③
【分析】利用正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理计算判断即可．
【详解】∵正方形，，
∴，
，
∴，，
∴，
∴，，
故①②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
故③正确；
∵正方形，
∴，
∴，
无法判定，
故④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
三、解答题
17．如图，中，点E，F分别是对角线上的两点，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质得到，，则可证明，得到．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
18．如图，四边形的对角线和的长分别为4和6，，，，分别是，，，的中点．求四边形的周长．
【答案】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，中点四边形的性质，掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
利用三角形中位线定理，推导中点四边形各边与原四边形对角线的数量关系，再计算周长．
【详解】解：，，，分别是，，，的中点，
，，
四边形的周长是．
19．如图，在四边形中，的平分线交于点E，已知，
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，四边形周长为32，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明可得结论；
（2）证明，可得结论．
本题考查平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：平行四边形的周长为32，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
．
20．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F，
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键．
（1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可．
（2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
∴四边形是矩形；
（2）解：由（1）得：四边形是矩形，
，，
，
在直角三角形中，，
．
21．如图，在和中，，，，为边上一点．
(1)求证：
(2)若点是的中点，求证：四边形是正方形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质：
（1）只需要证明，即可证明；
（2）根据直角三角形的性质得到，再由三线合一定理得到，再证明，即可证明四边形是正方形．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）证明：中，D是中点的，，
，
又，
，
四边形是菱形．
又，
四边形是正方形．
22．如图，把边长为的等边三角形绕边的中点O旋转，得到．
(1)四边形是什么样的四边形？说明理由．
(2)求四边形的两条对角线的长度．
(3)求四边形的面积．
【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析
(2)，．
(3)
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理．
（1）直接利用中心对称的性质，结合菱形的判定方法得出答案；
（2）直接利用中心对称的性质利用勾股定理得出答案；
（3）直接利用菱形面积对角线乘积的一半得出答案．
【详解】（1）解：四边形是菱形，
理由：把边长为的等边绕边的中点旋转，得到，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：把边长为的等边绕边的中点旋转，得到，
，，
，
，
四边形的两条对角线的长度分别为和；
（3）解：四边形的面积为：．
试卷第1页，共3页
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