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专题04【函数】期末考点讲义（10大核心题型精析+实战练习）
2025-2026学年人教版八年级数学下学期
重点知识◆梳理
【知识点一、函数相关概念】
1.常量与变量
常量：在某一固定变化过程中，数值始终保持不变的量。
变量：在某一固定变化过程中，数值可以发生改变的量。
特别提示：常量与变量具有相对性，二者不能脱离具体变化 过程单独判定。
2.自变量与因变量
自变量：主动发生变化的变量，常用字母 x表示；
因变量：随自变量的变化而被动变化的变量，常用字母y表示。
3.函数的定义:在一个变化过程中，存在两个变量x与y，如果对于自变量x取值范围内的每一个确定的值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数。
4.函数三大判定条件
（1）同一变化过程内，包含两个变量；（2）自变量x在规定范围内取值；（3）一个x只能对应唯一一个y。
5.函数值：当自变量x=a（a为常数）时，对应的y的数值，称为x=a时的函数值。
求解方法：将常数a直接代入函数解析式，计算即可得出对应函数值。
6.自变量的取值范围
（1）整式型：自变量取值为全体实数；示例：y=2x+3：
（2）分式型：分母含自变量：限制条件：分母≠0。 示例：y=，取值范围：x≠1；
(3)二次根式型：根号内含自变量，限制条件：被开方数≥0。 示例：y=，取值范围：x≥-2；
(4)实际应用型：在满足解析式基础规则之上，还需贴合客观实际。
常见要求：长度、路程≥0；人数、物品个数为非负整数。
【重点提醒】若解析式为分式与二次根式混合形式，须同时满足两项限制条件，取取值范围的交集。
【知识点二、 函数的三种表示方法】
函数共有解析法、列表法、图象法三种表示方式，三种形式可互相转化，是解决函数题型的基础工具。
1.三种表示方法对比
表示方法 定义 举例 优点 缺点
解析法 利用完整数学等式，直接反映自变量与函数值之间的对应关系 y=2x-1、y=x^2 表述严谨规范；覆盖全部取值；方便计算函数值，便于研究函数性质 抽象性较强；部分实际问题无法用解析式表示
列表法 通过表格罗列自变量与对应函数值，直观展示变量关系 统计表格、收费价目表 简单直白；可快速查询固定自变量对应的函数值，上手简单 只能展示有限数据，无法完整反映函数整体变化规律
图象法 平面直角坐标系中，以(x,y)描点连线，用图形表示函数关系 直线、曲线、分段折线 可视化强；直观判断函数增减性、特殊点及变化趋势 数值读取存在误差，仅适合定性分析，难以精准运算
2.函数图象绘制步骤
列表：在自变量取值范围内，选取若干具有代表性的数值，求出对应函数值，制作表格；
（2）描点：以每组(x,y)为坐标，在平面直角坐标系中精准描出对应点位；
（3）连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑直线或曲线依次连接所有点位；
（4）标注：完善图像信息，标注函数解析式、坐标轴名称、单位长度。
【知识点三、 常考题型与易错汇总】
1.核心常考题型
（1）根据定义判断两个变量是否构成函数关系；
（2）求解不同类型解析式自变量的取值范围；
（3）已知自变量求函数值、已知函数值反求自变量；
（4）完成解析法、列表法、图象法三者之间的相互转化。
2.高频易错点
（1）函数判定：混淆对应关系，误将“一对多”的变量关系判定为函数；
（2）取值范围：分式忽略分母不为0、根式忽略被开方数非负；
（3）实际问题：未结合客观实际，忽略自变量取值限制（负数、小数无实际义）；
（4）画图易错：关键点选取不全、连线顺序混乱、未标注图像基础信息。
核心题型精讲
题型1.函数概念辨析
1．对于下列问题中的两个变量，y不是x的函数的是（ ）
A．长方形的长一定，其面积y与宽x
B．乘坐垂直电梯上升的人离地面的高度y与时间x
C．购买每支3元的水性笔的总金额y与购买数量x
D．某款机器人的销售量y与进货数量x
【答案】D
【分析】在一个变化过程中，对于自变量x的每一个确定的值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，据此分析各选项即可．
【详解】解：A、长方形的长等于长方形的面积除以其宽，当长一定时，对于宽x的每一个确定的值，面积y都有唯一值与之对应，则y是x的函数，故此选项不符合题意；
B、对任意一个确定的时间x，人离地面的高度y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，故此选项不符合题意；
C、总金额，对任意一个确定的购买数量x，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，故此选项不符合题意；
D、给定一个确定的进货数量x，销售量y可以取多个不同的值，不满足y有唯一确定的值和x对应，则y不是x的函数，故此选项符合题意．
2．下列关于变量x，y的关系式：①；②；③，其中，y是x的函数的是_____（填写序号）．
【答案】①②
【分析】根据函数的定义逐个分析即可．
【详解】解：①，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数；
②，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数；
③，不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y不是x的函数；
综上所述，y是x的函数的是①②．
3．指出下列问题中的变量和常量：
(1)每本书的厚度为，现有n本书，把这些书摞在一起的总厚度为；
(2)李明用100元到餐饮店里买每碗价格为6元的小吃，买了x碗，还剩下y元．
【答案】(1)变量是h，n，常量是
(2)变量是x，y，常量是100，6
【分析】本题主要考查了变量与常量的概念：
（1）根据变量与常量的概念解答即可；
（2）根据变量与常量的概念解答即可
【详解】（1）解：（1）变量是h，n，常量是；
解：（2）变量是x，y，常量是100，6
题型2.求自变量的取值范围
1．函数中的自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列不等式求解即可得到结果．
【详解】解：∵二次根式中被开方数必须是非负数，函数才有意义，
∴，
解得．
2．函数中，自变量的取值范围是____．
【答案】且
【详解】解：根据题意，得且，
解得且．
3．已知等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为．
(1)求y关于x的解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当自变量时，求出函数值．
【答案】(1)
(2)
【分析】利用周长公式建立解析式，并用三角形三边关系确定自变量取值范围．
【详解】（1）解：等腰三角形周长为 ，腰长为 ，底边长为 ，
，
，
三角形两边之和大于第三边，
，即 ，
，
又 ，即 ，
，
自变量 的取值范围为 ；
解：当 时，．
题型3.求自变量的值或函数值
1．在物理学中，功的计算公式为（W为功，F为力，s为距离），若已知，则F的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵ ， ，
∴．
2．点______（填“在”或“不在”）函数的图象上．
【答案】在
【分析】判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算得到函数值后，与点的纵坐标比较，若二者相等，则点在函数图象上，否则点不在函数图象上，据此求解即可．
【详解】解：将代入函数解析式，得，
则点在函数的图象上．
3．一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题：
(1)汽车行驶后油箱里还有油_______L，汽车行驶后油箱里还有油________L；
(2)设汽车行驶的时间为，油箱里剩下的油为，请用含的式子表示；
(3)这辆汽车最多能行驶多少小时？
【答案】(1)37.5；25
(2)
(3)16小时
【分析】本题考查函数的概念，列函数表达式，求自变量的值，掌握函数的基础知识是解题的关键．
（1）基本关系：油箱剩下的油油箱里原有的油行驶过程中耗掉的油，据此可以求解；
（2）根据（1）中基本关系即可求解；
（3）当油箱中剩下的油为0时，汽车就不能行驶了，因此令，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：汽车行驶耗油，则油箱里还有油，汽车行驶耗油，则油箱里还有油；
（2）解：由题意得，；
（3）当时，，解得，
即这辆汽车最多能行驶16小时．
题型4.函数的三种表示方法综合应用
1．李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（ ）
金额
数量/升
单价/元/升
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和单价
【答案】C
【分析】本题考查常量与变量的概念，根据常量是固定不变的量，变量是变化的量，即可判断求解．
【详解】解：∵常量是一个变化过程中固定不变的量，变量是一个变化过程中可以发生变化的量，
在加油过程中，单价是固定不变的，金额随着加油数量的变化而变化，数量也会根据加油量改变，
∴只有单价是常量．
2．在广州乘坐公交车，刷羊城通每次收费3元，李明在羊城通中存入100元，此后他乘坐公交车x次，羊城通中的余额为y元，写出y与x的函数解析式为________．
【答案】/
【分析】找出羊城通余额与乘坐公交车次数之间的数量关系，即余额等于存入的钱数减去乘坐公交车的总花费．
【详解】解：∵刷羊城通每次收费3元，李明乘坐公交车x次，
∴乘坐公交车的总花费为元，
∵李明在羊城通中存入100元，
∴羊城通中的余额y等于存入的钱数100元减去乘坐公交车的总花费元，即，
∴y与x的函数解析式为．
3．阅读理解
我们可以用三种方式表示变量之间的关系，即表格、图象及解析式．
这三种表示方式各有优缺点，要互为补充才能更好地反映两个变量间的相互关系．
下面我们以一辆汽车以的速度在公路上匀速行驶为例，来说明这三种方式．
(1)用表格表示：
时间 0.5 1 1.5 2 2.5 3
路程 30 60 90 120 150 180
利用表格可以直观的看到汽车行驶的路程和时间的关系．当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为______．
(2)用图象表示：为更好的研究s随t的变化规律，它们之间的关系用图象表示为：
观察图象，并回答下列问题：
①当时，______．
②图中点A表示的意义是______
(3)用关系式表示：①设汽车行驶的时间为t，行驶的路程为s．求s关于t的解析式．
②利用关系式，我们可以方便的求出表格中没有给出的数值．如当时，所需时间______．
【答案】(1)120
(2)①150；②当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为
(3)①；②4
【分析】（1）由表格求解即可；
（2）①由图象求解即可；②由图象求解即可；
（3）①由表格中的数据求解即可；②将代入求解即可．
【详解】（1）解：由表格得，当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为；
（2）解：①当时，；
②图中点A表示的意义是当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为；
（3）解：①由表格得，，，
∴s关于t的解析式为；
②∵s关于t的解析式为
∴当时，
解得．
题型5.函数解析式
1．某车油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据剩余油量等于总存油量减去流出的油量列出函数关系式即可求解．
【详解】解：∵流速为升/分钟，流出时间为分钟，
∴分钟流出的油量为升，
又∵剩余油量总油量流出油量，
∴．
2．等腰三角形的一个底角为x度（），顶角为y度，则y与x的函数关系式为______．（不必写出自变量的取值范围）
【答案】
【详解】解：由题可知，
．
3．数学学习小组准备利用一根弹簧制作一个简易弹簧秤（用于称物体的质量），需在刻度盘上标注刻度．经过试验与测量，得到弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）（）之间的对应关系如下表：
物体的质量x/ 0 1 2 3 4
弹簧的长度y/ 8 10 12 14 16
根据上表，解决下列问题．
(1)在弹性限度内，直接写出y关于x的函数解析式；
(2)当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为多少？
(3)学习小组观察弹簧挂物体后的长度为，此时弹簧所挂物体质量为多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由表可知弹簧原长为，所挂物体每增加弹簧伸长，故可求出y关于x的函数关系式；
（2）令时，求出y的值即可；
（3）令时，求出x的值即可．
【详解】（1）解：由表可知，弹簧原长为，所挂物体每增加弹簧伸长，
y关于x的函数解析式．
（2）解：当时，，
当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为；
（3）解：当时，则，
解得，
此时弹簧所挂物体质量为．
题型6.函数图象识别
1．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义，对于的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，据此进行判断即可.
【详解】解：观察可知，只有选项C中对于的每一个值，有两个值与其对应，不符合函数的定义，不是函数，其余选项中，对于的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，是函数.
2．以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系：
①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系.
②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系.
③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系.
④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系.
用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是__________
【答案】①④②③
【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至；②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系；③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系；④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为．据此可以得到答案．
【详解】解：①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至0；
②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系；
③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系；
④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从0开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为0．
故顺序为①④②③．
故答案为：①④②③．
3．如图，甲、乙两人于某日下午从P地前往Q地，图中的折线和线段分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系.根据图象回答下列问题：
(1)两地相距______千米；
(2)甲出发______小时后，乙才开始出发；
(3)甲在段路程中的平均速度是______千米/小时；乙的平均速度是______千米/小时；
(4)根据图象上的数据，乙出发后经过多少小时追上甲．
【答案】(1)50
(2)1
(3)10，50
(4)0.5小时
【分析】本题主要考查了函数图象和一元一次方程，
（1）观察图象可得结论；
（2）观察图象可得结论；
（3）根据路程除以时间可得答案；
（4）设乙出发后经过t小时追上甲，再根据等量关系列出方程，求出解即可．
【详解】（1）乙2时出发，3时行驶50千米到达了Q地，所以两地相距50千米．
故答案为：50；
（2）甲1时出发，乙2时出发，所以甲出发1小时后，乙才开始出发．
故答案为：1；
（3）甲2时走到了20千米，4时走了40千米，
所以段路程中的平均速度是（千米/小时）；
乙的平均速度是（千米/小时）．
故答案为：10，50；
（4）解：设乙出发后经过t小时追上甲，依题意得，
，
解得，
∴乙出发后经过0.5小时追上甲．
题型7.描点法画函数图象
1．小温的家、图书馆、学校依次在同一直线上，他从学校出发匀速步行10分钟走了500米到图书馆，停留3分钟后再匀速步行5分钟走了300米到家．设小温离家的距离为s（米），所用时间为t（分钟），则下列图象中，能近似刻画s与t之间关系的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】根据所走的路程随时间t的增加而变化情况可得答案．
本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．
【详解】解：开始出发时，他所行走的路程从800米开始减少，故选项A、C、D不合题意；
步行到达图书馆的过程中，他所行走的路程不变，
在从图书馆回家过程中，路程随时间的增加而减少．
故选：B．
2．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格：
x … 0 1 2 3 …
… …
下列五个结论：
①该函数图象在x轴下方；
②该函数图象有最高点；
③该函数图象与直线只有一个公共点；
④若和是该函数图象上两点，则；
⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是．
其中正确的结论是______（填写序号）．
【答案】①③⑤
【分析】本题主要考查一次函数的图象与几何变换，一次函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，画出函数的图象；结合图象可从函数的增减性、对称性以及平移的规律进行判断．
【详解】解：画出函数的图象如图：
根据函数图象：
①该函数图象在x轴下方，①说法正确；
②该函数图象有最低点，②说法错误；
③该函数图象与直线只有一个公共点，③说法正确；
④由图象可知，图象是轴对称图形，图象的对称轴为直线，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，若和是该函数图象上两点，则到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，所以，④说法错误；
⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是，⑤说法正确．
故答案为：①③⑤．
3．已知用于爆破工程的炸药包的导火线长为，正常情况下，导火线每秒燃烧．
0 5 10 15 20 25
________ 80 ________ ________ 20 0
(1)写出导火线燃烧时的剩余长度l（单位：）与燃烧时间t（单位：）之间的解析式；
(2)点燃导火线________后炸药包爆炸，自变量t的取值范围是________；
(3)完成上表；
(4)根据表中的对应值画出这个函数的图象．
【答案】(1)；
(2)25；；
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）用总长减去每秒燃烧的长度乘以时间，列出函数关系式即可；
（2）求出时的自变量的值，即可得出结果；
（3）求出对应自变量下的函数值，填写表格即可；
（4）描点，连线，画出函数图象即可.
【详解】（1）解：由题意，；
（2）解：∵；
∴当时，，解得；
故点燃导火线秒后，炸药包爆炸，自变量t的取值范围是；
（3）解：∵；
∴当时，；当时，；当时，；
填表如下：
0 5 10 15 20 25
100 80 60 40 20 0
（4）解：画图如下：

题型8.从函数的图象获取信息
1．海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐．早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称潮汐．受潮汐影响，某港口从某日0时到12时的水深（单位：）随时间（单位：）变化的关系如图1所示，船舶可以根据吃水深度选择进出港口的时间．下列说法中正确的是（ ）
A．当时，该港口水深最深，水深为
B．当时，的值是2或4
C．3时到8时，海水水位一直在下降
D．某船吃水深度为，它可以在7时出入该港口
【答案】C
【分析】本题考查函数图象的实际应用，通过观察图象获取水深随时间变化的信息，结合题意及安全规定进行判断即可．
【详解】解：观察图象可知，当时，该港口水深最深，但纵坐标明显高于7，即，
故A错误；
当时，对应的值为1或5，
故B错误；
从到，图象呈下降趋势，即水深随时间增加而减小，
则从3时到8时，海水水位一直在下降，
故C正确；
由信息窗②可知，船舶进出港口时船底与港口水底间的距离不能小于，
则该船进出港口要求水深，
由图象可知，当时，，且当时，随的增大而减小，
则当时，，此时不可以进出该港口，
故D错误．
2．在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发，图中的折线段表示甲乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，则a的值是____．
【答案】1
【分析】本题考查函数图象，从函数图象中有效地获取信息，是解题的关键，由图象可知，乙车出发0.5小时后，甲车开始出发，根据乙车0.5小时行驶了30千米，求出乙车的速度，进而求出乙车到达A地所用的时间，进而求出甲车到达B地所用时间，求出甲车的速度，根据小时，两车相遇，进行求解即可．
【详解】解：由图象可知：乙车出发0.5小时后，甲车开始出发，乙车0.5小时行驶了千米，A地与B地之间的距离为100千米，小时后，两车相遇，
∴乙车的速度为（千米/小时）；
∴乙车到达A地所用时间为（小时），
∴乙车先到达地，
∴甲车从A地到B地所用时间为（小时），
∴甲车的速度为（千米/小时），
∴，解得；
故答案为：1．
3．小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后，继续散步了一段时间，然后回家．下图描述了小明在散步过程中离家的距离与散步所用时间之间的函数关系．你能根据图象说出小明散步过程中的一些具体信息吗？
【答案】小明先走了3分钟，到达离家250米处的一个公共阅报栏前看了5分钟报，又花2分钟向前走了200米，到达离家450米处后返回，走了6分钟到家
【分析】根据函数图象，从转折点考虑得到信息．
【详解】解：由图可得，小明看报的时间为；
看报继续向前走的路程为，所花时间为；
回家所花时间为，
答：小明先走了3分钟，到达离家250米处的一个公共阅报栏前看了5分钟报，又花2分钟向前走了200米，到达离家450米处后返回，走了6分钟到家．
题型9.动点问题的函数图象
1．如图1所示（图中各角均为直角），动点 P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积y随点 P运动的时间x（秒）变化的函数关系图象如图2所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，根据题意，得，延长交于点M，且，得到四边形，都是矩形，根据平行线的判定和性质，三角形的面积，求解即可；
【详解】解：当时，点P在上运动，此时，根据图象，得当时，，
设，根据题意，得，
，，
解得，
故，
A，B选项都是错误的；
图中各角均为直角，
，
，
，，
，
当时，点P在上运动，此时，，
根据图象，得时，，
根据图象，得点P在上运动了（秒），点P在上运动了（秒），
故，，
延长交于点M，且，
，
故四边形，都是矩形，
故，，
故选项C错误，选项D正确；
2．如图①，在中，，为的中点，动点从点出发沿运动到点，设点的运动路程为的面积为与的函数图象如图②所示，则的长为___________．
【答案】10
【分析】由题意可知，当点运动到点时，点到的距离最大，此时的面积有最大值12，此时，所以，再根据勾股定理求得即可．
【详解】解：由题意可知，当点运动到点时，点到的距离最大，此时的面积有最大值12．
点是的中点，
当点运动到点时，，
，
，
．
3．如图①，在矩形中，，，点P从A出发，沿路线运动，到D停止，点P的速度为每秒，a秒时点P改变速度，变为每秒，图②是点P出发x秒后的面积与x（秒）的关系图象．
(1)参照图②，求a、b及图②中的c值；
(2)设点P离开点A的路程为，请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式，并求出点P到达中点时x的值；
(3)当点P出发多少秒后，的面积是矩形面积的．
【答案】(1)，，
(2)，
(3)当点P出发秒或秒后，的面积是矩形面积的
【分析】本题主要考查了动点及相关的函数图象分析，运用函数图象解决动点问题．
（1）根据，结合图象，得出当时，，由图象可知，8秒时，点P在B处，结合a的值求得b值，最后根据c表示的是运动总时间，求出c值；
（2）由点P在6秒后开始变速，变速后速度为每秒，可求得动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式；当点P运动到中点时，可知点P离开点A的路程为，将代入y与x的关系式，即可求得x的值；
（3）先求出矩形的面积以及的面积，再按照点P不同的运动阶段分类讨论，求出符合条件的值，具体分为三个阶段进行讨论，分别是：点P在上运动，点P在上运动，点P在上运动，其中：点P在上运动需要再分变速前和变速后两个阶段分别讨论．
【详解】（1）解：当P在边上时，由图得知：，
当时，
，
∴；
当，即动点P运动时间为6秒时，，
，
∴，；
（2）解：由题意得：，
P到达中点时，，
又∵，
∴，
即；
（3）解：∵在矩形中，，，
∴，
∵的面积是矩形面积的，
∴．
①P在段（），
当时，P从A向B匀速运动，速度为1单位/秒，
此时，
若，
则，即，不符合题意，舍去；
当时，P的速度为2单位/秒，
，
若，
则，即，符合题意；
②P在段，
此时，不符合题意．
③P在CD段，
此时，
即，
若，
则，即，符合题意；
综上： 或．
当点P出发秒或秒后，的面积是矩形面积的．
题型10.函数的三种表示方法
1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（ ）
0 1 2 3 4 5 6
12 12.5 13 13.5 14 14.5 15
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据表格数据，确定弹簧原长和每挂重物弹簧的伸长量，即可求出函数关系式．
【详解】解：观察表格数据可知，
当时，，即弹簧原长为，且x每增加，y增加，
∴弹簧总长与所挂重物之间的关系式为．
2．某文具店“六一”期间开展促销活动，销售总价与卖出笔记本数量的关系如表：
数量（件） 1 2 3 4 5 …
销售总价（元） 8 14 20 26 32 …
则售价与数量之间的关系式是______．
【答案】/ y=2+6x
【分析】观察表格，发现：当x每增大1，y就增大6，所以x件的销售总价y=8+6（x-1），化简即可．
【详解】解：观察表格，发现：当x每增大1，y就增大6，
∴y=8+6（x-1）=6x+2．
故答案为：y=6x+2．
【点睛】本题考查了函数的表示方法，根据表格，找到y随自变量x的变化规律，写出函数的关系式，这是解题的关键．
3．某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：．在固定工艺下，改变添加剂的添加浓度（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下：
添加剂浓度
保质期（天）
(1)以添加剂浓度为横坐标，保质期为纵坐标，在下面给定的平面直角坐标系中，分别画出，的图象；
(2)若要求面包保质期至少为天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂__________（或）．
当添加剂浓度相同时，添加剂的保质期至少比添加剂的保质期多天，则浓度的取值范围是__________．
(3)工厂分析发现，面包，每增加添加剂，成本增加元；若面包从生产到售出的时间为天，当保质期不足天时，每减少天会造成元的损失．当添加剂浓度为时，面包的额外成本（添加剂成本与损失之和）为__________元．
【答案】(1)见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）根据表格数据和函数解析式画图即可．
（2）根据题意，当时，，当时，，根据图象可得，当时，，即可求解．
（3）根据“额外成本添加剂成本损失”求解即可．
【详解】（1）解：，的图象如图．
令，则，令，则，则过，画图如下：
（2）解：对添加剂A，根据图象可得在时，，即可达到；
对添加剂，令，解得，
∴满足要求的浓度更低，选添加剂．
根据题意，
当时，，
当时，，
根据图象可得，当时，，
∴的范围是．
（3）解：根据题意可得：额外成本添加剂成本损失，
添加剂成本：浓度，每增加元，
∴成本为元；
损失：当添加剂A浓度为时，保质期天，
比要求的7天少天，损失元；
总额外成本：元．
实战演练
一、单选题
1．有以下关于x，y的等式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查函数的定义，判断每个等式是否满足函数的定义，即对于每一个x值，只能有一个y值与之对应．
【详解】解：∵ ① 可化为，对于每一个x值，y有唯一确定值，
∴ ①y是x的函数；
∵ ②，例如当时，或，一个x对应两个y，
∴ ②y不是x的函数；
∵ ③，例如当时，或，一个x对应两个y，
∴ ③y不是x的函数；
∵ ④可化为（），对于每一个非零x值，y有唯一确定值，
∴ ④y是x的函数；
∴ ①和④是函数，共2个，
故选：B．
2．函数中，自变量的取值范围为（）
A． B． C． D．且
【答案】D
【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握“求解函数自变量的取值范围的方法”是解本题的关键．
函数解析式中有分式和二次根式，需保证分母不为零且二次根式的被开方数为非负数，求解即可．
【详解】解：∵分子要求，
∴；
∵分母，
∴；
∴x的取值范围为且．
故选D．
3．激光测距仪L 发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L 收到目标M反射回的激光束，则测距仪L 到目标 M 的距离d(单位：)与时间t(单位：s)的关系式为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查列函数关系式，根据题意利用速度乘以时间求出总路程，再除以2即为测距仪L 到目标 M 的距离d，进行求解即可．
【详解】解：由题意，；
故选D．
4．某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了函数的图象，弄清量的变化与函数图象的关系是解题的关键．
应根据时间的不断变化，来反映离出发点的远近，特别是“休息了一段时间后又按原路返回，再前进”，再运用图象反映出来即可．
【详解】解：因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A；
又按原路返回，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D；
C选项虽然离出发点近了，但，不符合题意．
故选：B．
5．有下面四个点：，，，．其中在函数的图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将每个点的坐标代入函数计算值，若与给定坐标一致，则该点在图象上．
本题主要考查点在函数图象上的含义，点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式．
【详解】解：A 、当时，，故不在图象上，不符合题意；
B、 当时，，故在图象上，符合题意；
C、当时，，故不在图象上，不符合题意；
D、当时，，故不在图象上，不符合题意；
故选：B．
6．李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如下所示是所用的加油机上的数据显示情况，则其中的常量是（ ）
金额元
数量
单价元
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【答案】C
【分析】本题考查常量与变量的概念．常量是固定不变的量，变量是变化的量．在加油过程中，单价是固定值，而金额和数量随加油量变化，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：依题意，单价7.54元/升是固定不变的，而金额和数量会随加油量变化而变化，
∴常量是单价，
故选：C．
7．下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了判断图像是否为函数，熟练掌握如何判断是解题的关键．
根据函数的定义进行判断即可 ．
【详解】解：根据函数的定义“对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应”即可得知，
选项D的图像不符合；
故选： D．
8．在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数图象的分析，正确分析解析式，得出函数图象的情况是解题的关键．
根据，得到当且时，，函数图象在轴下方，当时，，函数图象在轴上方，即可得到答案．
【详解】解：函数，
当且时，，函数图象在轴下方，
当时，，函数图象在轴上方，
小红得到的图象是
故选：A．
9．甲、乙选择不同的交通方式去旅行，两人此次的出发地与目的地相同．甲乘大巴车先出发，后乙自驾出行，中途乙在农家乐用过午餐后再次出发，刚好和甲同时到达目的地．若大巴车与自驾轿车都匀速行驶，甲、乙与目的地的距离s（单位：）关于甲出发的时间（单位：h）的函数图象如图所示．观察下列结论：①甲乘坐的大巴车速度是，乙午餐前的自驾速度是；②乙出发后2小时第一次追上甲；③若乙午餐后的自驾速度为，那么他的用餐时间为；④在整个过程中甲乙有3次刚好相距．其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④
【答案】A
【分析】本题主要考查了从函数图象中获得信息，解题的关键是数形结合，熟练掌握速度公式．①根据函数图象结合速度公式进行求解即可；②设乙出发后x小时第一次追上甲，根据路程相同列出方程，解方程即可；③根据乙午餐后的自驾速度为，列出算式进行计算即可；④分四种情况：甲出发后，乙还没出发时，乙出发后，还没有追上甲时，乙第一次追上甲后，乙停下来吃午饭，甲还没有到达乙吃饭点时，分别求出具体时间，再根据当甲超过乙吃饭点，如果乙还没有出发，甲、乙之间的距离也可能为；当乙吃饭后，甲、乙间的距离也可能相距；从而得出甲、乙间的距离相距，至少有4处．
【详解】解：①甲乘坐的大巴车速度是：
，
乙午餐前的自驾速度是：
，故此项正确；
②设乙出发后x小时第一次追上甲，根据题意得：
，
解得：，
即乙出发后2小时第一次追上甲，故此项正确；
③若乙午餐后的自驾速度为，那么他的用餐时间为：
，故此项错误；
④甲出发后，乙还没出发时，，
即甲出发后时，甲、乙相距；
乙出发后，还没有追上甲时，设甲出发时间为y小时后，甲、乙相距，根据题意得：
，
解得：，
即甲出发后时，甲、乙相距；
乙第一次追上甲后，设甲出发时间为z小时后，甲、乙相距，根据题意得：
，
解得：，
即甲出发后时，甲、乙相距；
乙停下来吃午饭，甲还没有到达乙吃饭点时，，
即甲出发时，甲、乙相距；
当甲超过乙吃饭点，如果乙还没有出发，甲、乙之间的距离也可能为；当乙吃饭后，甲、乙间的距离也可能相距；
所以甲、乙间的距离相距，至少有4处，故此项错误；
综上，正确的有①②．
故选：A．
10．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表：
数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ……
0 2 4 6 8 ……
2 2.8 3.6 4.2 5.2 ……
下列说法错误的是（　　）
A．在实验开始时，漏刻水位是
B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是
C．第7次数据记录时，漏刻水位应为
D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是
【答案】D
【分析】本题考查的是列函数关系式，从表格中获取信息，通过分析漏刻水位随时间的变化规律，判断各选项的正确性即可.
【详解】解：选项A：当时，，符合表格数据，不符合题意；
选项B：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加，
当时，对应
∴第4次数据是不准确的；选项B不符合题意
选项C：修正第4次数据后，每2分钟水位仍增加，第7次对应，水位为，选项C不符合题意；
4. 选项D：由题意可得水位与时间的函数关系式为，
当时，，而非，选项D符合题意；
故选：D
11．如图，在中，，且，，点是线段上一个动点，由向以移动，运动至点停止，则的面积随点的运动时间之间的关系式为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据是一个动点，由向以匀速移动，求出的底，即可求得的面积随点的运动时间之间的关系式．
【详解】解：是一个动点，由向以匀速移动，
，
，
；
故选：C．
【点睛】本题考查了函数关系式，求出的底是解题的关键．
12．如图1，在长方形中，动点P从点A出发，沿运动，至点D处停止．点P运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是（　　）
A．4 B．4或12 C．4或16 D．5或12
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
根据图象求出和，再分析当点P在上运动时，当点P在上运动时的的高为4，据此求出x的值即可．
【详解】解：当点P运动到点B处时，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
当点P在上运动时，，
∴，
∴，
当点P在上运动时，，
∴，
∴，
综上，x的值为4或12．
故选：B．
二、填空题
13．函数的自变量x的取值范围是________________
【答案】且
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件解答即可．
【详解】解： 由题意可得：，
解得：，
故答案为：且．
14．若函数，则当自变量时，函数值________．
【答案】3
【分析】本题主要考查了求函数值．把代入，即可求解．
【详解】解：当自变量时，
函数值．
故答案为：3
15．如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，已知链条总长度是链条节数（节）的函数，则当时，的值为_____．
【答案】
【分析】本题主要考查了求函数关系式，图形类的规律探索，正确理解题意是解题的关键．
通过观察图形可知，x节链条的长度包括以及一个重叠的圆，据此求解即可．
【详解】解：∵某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，
∴，
∵，
∴，
解得
故答案为：．
16．在运动会200米跑比赛中，运动员甲因为起步摔跤，导致晚出发了几秒钟，甲．乙两人的路程与时间的关系如图所示．下列说法①乙的速度为； ②甲在时追上了乙；③甲的速度为；④甲比乙晚出发了3s．其中正确的是______．（填序号）
【答案】①②④
【分析】本题考查从函数图象获取信息的能力，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．
①根据速度路程时间计算即可；
②由图象可知，当乙的路程为时被甲追上，根据乙的时间=乙的路程÷乙的速度计算即可；
③根据②，利用速度路程时间计算即可；
④根据时间路程速度求出甲追上乙时所用的时间，从而求出甲比乙晚出发的时间．
【详解】解：乙的速度为，故①正确；
甲追上乙所用时间为，故②正确；
甲的速度为，故③错误；
甲比乙晚出发了，故④正确．
综上，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
三、解答题
17．请按要求在如下图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象．
(1)列表．
… 0 1 2 …
… …
(2)描点、连线．

(3)判断点，是否在函数的图象上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)点不在图象上，点在图象上．
【分析】（1）将，，，，，分别代入解析式即可得的值；
（2）描点、连线，画出函数图象即可；
（3）把点的横坐标代入函数解析式，计算结果等于纵坐标的值，则点在该函数图象上，否则不在．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
列表．
… 0 1 2 …
… …
（2）解：如图所示：

（3）解：当时，；
当时，．
故点不在函数的图象上，点在函数的图象上．
【点睛】本题考查了函数的图象以及函数图象上点的坐标特征，熟练掌握画函数图象的方法及步骤是解题的关键．
18．电业部门每月都按时取居民家查电表，电表读数与上次读数的差就是这段时间内用电的千瓦时数．月初小亮家电表显示的度数为300，本月初电表显示的读数为．
(1)小亮家上月用电多少千瓦时？
(2)如果每千瓦时的电费为元，全月的电费为（元），那么上月小亮家应缴费电费是多少？
(3)在问题（2）中，哪些量是常量？哪些量是变量？是哪个变量的函数？
【答案】(1)千瓦时
(2)元
(3)常量：，300；变量：；是的函数
【分析】本题考查了函数的实际应用，根据电表读数方法得出度数与电费之间的关系是解题关键．
（1）根据“上月用电量本月初电表读数上月初电表读数”解答即可；
（2）根据“电费电费单价用电量”解答即可；
（3）根据常量，变量，函数的定义即可得出答案．
【详解】（1）解：由“上月用电量本月初电表读数上月初电表读数”可知小亮家上月用电千瓦时．
（2）解：根据“电费电费单价用电量”可知上月小亮家应缴费电费是元．
（3）解：由（2）可知，其中的常量：，300；变量：；是变量的函数．
19．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离 0 5 10 …
(1)自变量是 ，因变量是 ；
(2)当刹车时车速为时，刹车距离是 ；
(3)观察表中数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加多少米？该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是多少？
【答案】(1)刹车时车速；刹车距离
(2)10
(3)当刹车时车速每增加时，刹车距离增加；该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是
【分析】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关键．
（1）根据自变量和因变量的定义解答即可；
（2）根据表格数据可得答案；
（3）根据表格中的数据可知当刹车时车速每增加时，刹车距离增加，由此可得，代入求出v的值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离．
故答案为：刹车时车速；刹车距离；
（2）解：由表格中的数据可知，当刹车时车速为时，刹车距离是；
故答案为：10；
（3）解：由表格中的数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加，
∴，
∴当时，则，
解得，
∴当刹车时车速每增加时，刹车距离增加，该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是．
20．将一张长方形的纸对折，如图①，可得到1条折痕，继续对折，对折时每条折痕与上次的折痕保持平行，如图②．连续对折3次后，可以得到7条折痕，如图③．
回答下列问题：
(1)对折4次可以得到__________条折痕．
(2)写出折痕的条数与对折次数之间的函数关系式．
(3)求出对折10次后的折痕条数．
【答案】(1)15
(2)
(3)1023
【分析】（1）通过分析对折次数与折痕数的规律，计算对折次的折痕数；
（2）总结对折次数与折痕数的数量关系，推导函数关系式；
（3）将代入函数关系式计算折痕数．
【详解】（1）解：观察规律：
对折次，折痕数：；
对折次，折痕数：；
对折次，折痕数：；
∴对折次，折痕数：．
（2）解：由上述规律可得，折痕数与对折次数的函数关系式为：
（为正整数）．
（3）解：当时，代入函数关系式：
∴对折 次后的折痕条数为．
【点睛】本题考查了规律探究与函数关系式的应用，解题关键是通过观察前几次对折的折痕数，总结出规律．
21．从有关方面获悉，某市农村已经实行了农民新型合作医疗保险制度，享受医保的农民可在规定的医院就医，并按规定标准报销部分医疗费用．下表是医疗费用报销的标准．
住院医疗费用x元
每年报销比例标准
（说明：住院医疗费用的报销分段计算，如：某人住院医疗费用共30000元，则5000元按报销，15000元按报销，余下的10000元按报销．自付住院医疗费用住院医疗费用按标准报销的金额）
(1)某农民一年中住院医疗费用15000元，则他在这一年中自付住院医疗费用为______元．
(2)当时，设自付住院医疗费用为y元，试求出y与x的函数关系式．
(3)若某农民一年内本人自付住院医疗费17000元，则该农民当年住院医疗费用为多少元？
【答案】(1)9500
(2)
(3)29000元
【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，列函数关系式，求函数的自变量的值，正确理解题意是解题的关键．
（1）分别计算出5000元报销的费用，超过5000元部分的报销费用，再根据自费住院医疗费用计算公式求解即可；
（2）分别计算出5000元报销的费用，超过5000元不超过20000元部分的报销费用和超过20000元部分的报销费用，再根据自费住院医疗费用计算公式求解即可；
（3）可推出该农民一年中住院医疗费用一定超过20000元，再把代入（2）所求函数关系式中求出x的值即可得到答案．
【详解】（1）解：
元，
∴他在这一年中自付住院医疗费用为9500元；
（2）解：由题意得，
；
（3）解：，
∴该农民一年中住院医疗费用一定超过20000元，
在中，当时，，解得，
答：该农民当年住院医疗费用为29000元．
22．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉．下图中的线段和折线分别表示乌龟和兔子赛跑时路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系．请你根据图象解决下列问题：
(1)乌龟每分钟爬行多少米？
(2)乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？
(3)兔子醒来后，以的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了．兔子中间停下睡觉用了多少分钟？
【答案】(1)乌龟每分钟爬行
(2)乌龟用了追上了正在睡觉的兔子
(3)兔子中间停下睡觉用了
【分析】（1）根据点实际意义可知乌龟的速度；
（2）利用兔子睡觉前行驶的路程是米，结合乌龟的速度求出所用的时间；
（3）根据比乌龟晚到了分钟求出兔子走完全程的时间，再得出兔子醒来后奔跑所用时间，求解可得．
【详解】（1）解：，
即乌龟每分钟爬行．
（2），
即乌龟用了追上了正在睡觉的兔子．
（3），
，
即兔子中间停下睡觉用了．
【点睛】本题考查函数的图象，解答时认真分析函数图象意义是解答本题的关键．
23．如图，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动（点不与重合），设运动时间为秒，的面积为．
(1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)请结合你所画的函数图象，直接写出当时的值．（保留一位小数，误差不超过）
【答案】(1)
(2)见解析
(3)1或
【分析】（1）根据，为中点，得到，根据题意，得，当时，；当时，；解答即可．
（2）根据两点确定一条直线，画图即可，根据图象，写出一条性质即可；
（3）根据两种解析式，分类计算即可．
【详解】（1）解：∵，为中点，
∴，
根据题意，得，
当时，；
当时，；
综上所述，．
（2）解：根据题意，得，
画图如下：
当时，S随t的增大而减小；当时，S随t的增大而增大．
（3）解：当时，根据题意，得，
解得；
符合题意；
当时，根据题意，得，
解得；
符合题意；
故t的值 1或．
【点睛】本题考查了三角形的面积计算，画函数图形，获取函数的性质，分类计算，函数的解析式，熟练掌握性质，解析式是解题的关键．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页专题04【函数】期末考点讲义（10大核心题型精析+实战练习）
2025-2026学年人教版八年级数学下学期
重点知识◆梳理
【知识点一、函数相关概念】
1.常量与变量
常量：在某一固定变化过程中，数值始终保持不变的量。
变量：在某一固定变化过程中，数值可以发生改变的量。
特别提示：常量与变量具有相对性，二者不能脱离具体变化 过程单独判定。
2.自变量与因变量
自变量：主动发生变化的变量，常用字母 x表示；
因变量：随自变量的变化而被动变化的变量，常用字母y表示。
3.函数的定义:在一个变化过程中，存在两个变量x与y，如果对于自变量x取值范围内的每一个确定的值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数。
4.函数三大判定条件
（1）同一变化过程内，包含两个变量；（2）自变量x在规定范围内取值；（3）一个x只能对应唯一一个y。
5.函数值：当自变量x=a（a为常数）时，对应的y的数值，称为x=a时的函数值。
求解方法：将常数a直接代入函数解析式，计算即可得出对应函数值。
6.自变量的取值范围
（1）整式型：自变量取值为全体实数；示例：y=2x+3：
（2）分式型：分母含自变量：限制条件：分母≠0。 示例：y=，取值范围：x≠1；
(3)二次根式型：根号内含自变量，限制条件：被开方数≥0。 示例：y=，取值范围：x≥-2；
(4)实际应用型：在满足解析式基础规则之上，还需贴合客观实际。
常见要求：长度、路程≥0；人数、物品个数为非负整数。
【重点提醒】若解析式为分式与二次根式混合形式，须同时满足两项限制条件，取取值范围的交集。
【知识点二、 函数的三种表示方法】
函数共有解析法、列表法、图象法三种表示方式，三种形式可互相转化，是解决函数题型的基础工具。
1.三种表示方法对比
表示方法 定义 举例 优点 缺点
解析法 利用完整数学等式，直接反映自变量与函数值之间的对应关系 y=2x-1、y=x^2 表述严谨规范；覆盖全部取值；方便计算函数值，便于研究函数性质 抽象性较强；部分实际问题无法用解析式表示
列表法 通过表格罗列自变量与对应函数值，直观展示变量关系 统计表格、收费价目表 简单直白；可快速查询固定自变量对应的函数值，上手简单 只能展示有限数据，无法完整反映函数整体变化规律
图象法 平面直角坐标系中，以(x,y)描点连线，用图形表示函数关系 直线、曲线、分段折线 可视化强；直观判断函数增减性、特殊点及变化趋势 数值读取存在误差，仅适合定性分析，难以精准运算
2.函数图象绘制步骤
列表：在自变量取值范围内，选取若干具有代表性的数值，求出对应函数值，制作表格；
（2）描点：以每组(x,y)为坐标，在平面直角坐标系中精准描出对应点位；
（3）连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑直线或曲线依次连接所有点位；
（4）标注：完善图像信息，标注函数解析式、坐标轴名称、单位长度。
【知识点三、 常考题型与易错汇总】
1.核心常考题型
（1）根据定义判断两个变量是否构成函数关系；
（2）求解不同类型解析式自变量的取值范围；
（3）已知自变量求函数值、已知函数值反求自变量；
（4）完成解析法、列表法、图象法三者之间的相互转化。
2.高频易错点
（1）函数判定：混淆对应关系，误将“一对多”的变量关系判定为函数；
（2）取值范围：分式忽略分母不为0、根式忽略被开方数非负；
（3）实际问题：未结合客观实际，忽略自变量取值限制（负数、小数无实际义）；
（4）画图易错：关键点选取不全、连线顺序混乱、未标注图像基础信息。
核心题型精讲
题型1.函数概念辨析
1．对于下列问题中的两个变量，y不是x的函数的是（ ）
A．长方形的长一定，其面积y与宽x
B．乘坐垂直电梯上升的人离地面的高度y与时间x
C．购买每支3元的水性笔的总金额y与购买数量x
D．某款机器人的销售量y与进货数量x
2．下列关于变量x，y的关系式：①；②；③，其中，y是x的函数的是_____（填写序号）．
3．指出下列问题中的变量和常量：
(1)每本书的厚度为，现有n本书，把这些书摞在一起的总厚度为；
(2)李明用100元到餐饮店里买每碗价格为6元的小吃，买了x碗，还剩下y元．
题型2.求自变量的取值范围
1．函数中的自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．函数中，自变量的取值范围是____．
3．已知等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为．
(1)求y关于x的解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当自变量时，求出函数值．
题型3.求自变量的值或函数值
1．在物理学中，功的计算公式为（W为功，F为力，s为距离），若已知，则F的值为（ ）
A． B． C． D．
2．点______（填“在”或“不在”）函数的图象上．
3．一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题：
(1)汽车行驶后油箱里还有油_______L，汽车行驶后油箱里还有油________L；
(2)设汽车行驶的时间为，油箱里剩下的油为，请用含的式子表示；
(3)这辆汽车最多能行驶多少小时？
题型4.函数的三种表示方法综合应用
1．李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（ ）
金额
数量/升
单价/元/升
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和单价
2．在广州乘坐公交车，刷羊城通每次收费3元，李明在羊城通中存入100元，此后他乘坐公交车x次，羊城通中的余额为y元，写出y与x的函数解析式为________．
3．阅读理解
我们可以用三种方式表示变量之间的关系，即表格、图象及解析式．
这三种表示方式各有优缺点，要互为补充才能更好地反映两个变量间的相互关系．
下面我们以一辆汽车以的速度在公路上匀速行驶为例，来说明这三种方式．
(1)用表格表示：
时间 0.5 1 1.5 2 2.5 3
路程 30 60 90 120 150 180
利用表格可以直观的看到汽车行驶的路程和时间的关系．当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为______．
(2)用图象表示：为更好的研究s随t的变化规律，它们之间的关系用图象表示为：
观察图象，并回答下列问题：
①当时，______．
②图中点A表示的意义是______
(3)用关系式表示：①设汽车行驶的时间为t，行驶的路程为s．求s关于t的解析式．
②利用关系式，我们可以方便的求出表格中没有给出的数值．如当时，所需时间______．
题型5.函数解析式
1．某车油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
2．等腰三角形的一个底角为x度（），顶角为y度，则y与x的函数关系式为______．（不必写出自变量的取值范围）
3．数学学习小组准备利用一根弹簧制作一个简易弹簧秤（用于称物体的质量），需在刻度盘上标注刻度．经过试验与测量，得到弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）（）之间的对应关系如下表：
物体的质量x/ 0 1 2 3 4
弹簧的长度y/ 8 10 12 14 16
根据上表，解决下列问题．
(1)在弹性限度内，直接写出y关于x的函数解析式；
(2)当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为多少？
(3)学习小组观察弹簧挂物体后的长度为，此时弹簧所挂物体质量为多少？
题型6.函数图象识别
1．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C． D．
2．以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系：
①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系.
②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系.
③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系.
④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系.
用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是__________
3．如图，甲、乙两人于某日下午从P地前往Q地，图中的折线和线段分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系.根据图象回答下列问题：
(1)两地相距______千米；
(2)甲出发______小时后，乙才开始出发；
(3)甲在段路程中的平均速度是______千米/小时；乙的平均速度是______千米/小时；
(4)根据图象上的数据，乙出发后经过多少小时追上甲．
题型7.描点法画函数图象
1．小温的家、图书馆、学校依次在同一直线上，他从学校出发匀速步行10分钟走了500米到图书馆，停留3分钟后再匀速步行5分钟走了300米到家．设小温离家的距离为s（米），所用时间为t（分钟），则下列图象中，能近似刻画s与t之间关系的是（ ）
A．B．C． D．
2．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格：
x … 0 1 2 3 …
… …
下列五个结论：
①该函数图象在x轴下方；
②该函数图象有最高点；
③该函数图象与直线只有一个公共点；
④若和是该函数图象上两点，则；
⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是．
其中正确的结论是______（填写序号）．
3．已知用于爆破工程的炸药包的导火线长为，正常情况下，导火线每秒燃烧．
0 5 10 15 20 25
________ 80 ________ ________ 20 0
(1)写出导火线燃烧时的剩余长度l（单位：）与燃烧时间t（单位：）之间的解析式；
(2)点燃导火线________后炸药包爆炸，自变量t的取值范围是________；
(3)完成上表；
(4)根据表中的对应值画出这个函数的图象．
题型8.从函数的图象获取信息
1．海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐．早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称潮汐．受潮汐影响，某港口从某日0时到12时的水深（单位：）随时间（单位：）变化的关系如图1所示，船舶可以根据吃水深度选择进出港口的时间．下列说法中正确的是（ ）
A．当时，该港口水深最深，水深为
B．当时，的值是2或4
C．3时到8时，海水水位一直在下降
D．某船吃水深度为，它可以在7时出入该港口
2．在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发，图中的折线段表示甲乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，则a的值是____．
3．小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后，继续散步了一段时间，然后回家．下图描述了小明在散步过程中离家的距离与散步所用时间之间的函数关系．你能根据图象说出小明散步过程中的一些具体信息吗？
题型9.动点问题的函数图象
1．如图1所示（图中各角均为直角），动点 P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积y随点 P运动的时间x（秒）变化的函数关系图象如图2所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图①，在中，，为的中点，动点从点出发沿运动到点，设点的运动路程为的面积为与的函数图象如图②所示，则的长为___________．
3．如图①，在矩形中，，，点P从A出发，沿路线运动，到D停止，点P的速度为每秒，a秒时点P改变速度，变为每秒，图②是点P出发x秒后的面积与x（秒）的关系图象．
(1)参照图②，求a、b及图②中的c值；
(2)设点P离开点A的路程为，请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式，并求出点P到达中点时x的值；
(3)当点P出发多少秒后，的面积是矩形面积的．
题型10.函数的三种表示方法
1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（ ）
0 1 2 3 4 5 6
12 12.5 13 13.5 14 14.5 15
A． B． C． D．
2．某文具店“六一”期间开展促销活动，销售总价与卖出笔记本数量的关系如表：
数量（件） 1 2 3 4 5 …
销售总价（元） 8 14 20 26 32 …
则售价与数量之间的关系式是______．
3．某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：．在固定工艺下，改变添加剂的添加浓度（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下：
添加剂浓度
保质期（天）
(1)以添加剂浓度为横坐标，保质期为纵坐标，在下面给定的平面直角坐标系中，分别画出，的图象；
(2)若要求面包保质期至少为天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂__________（或）．
当添加剂浓度相同时，添加剂的保质期至少比添加剂的保质期多天，则浓度的取值范围是__________．
(3)工厂分析发现，面包，每增加添加剂，成本增加元；若面包从生产到售出的时间为天，当保质期不足天时，每减少天会造成元的损失．当添加剂浓度为时，面包的额外成本（添加剂成本与损失之和）为__________元．
实战演练
一、单选题
1．有以下关于x，y的等式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．函数中，自变量的取值范围为（）
A． B． C． D．且
3．激光测距仪L 发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L 收到目标M反射回的激光束，则测距仪L 到目标 M 的距离d(单位：)与时间t(单位：s)的关系式为 （ ）
A． B．
C． D．
4．某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（ ）
A．B．C． D．
5．有下面四个点：，，，．其中在函数的图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
6．李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如下所示是所用的加油机上的数据显示情况，则其中的常量是（ ）
金额元
数量
单价元
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
7．下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
8．在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（ ）
A．B．C． D．
9．甲、乙选择不同的交通方式去旅行，两人此次的出发地与目的地相同．甲乘大巴车先出发，后乙自驾出行，中途乙在农家乐用过午餐后再次出发，刚好和甲同时到达目的地．若大巴车与自驾轿车都匀速行驶，甲、乙与目的地的距离s（单位：）关于甲出发的时间（单位：h）的函数图象如图所示．观察下列结论：①甲乘坐的大巴车速度是，乙午餐前的自驾速度是；②乙出发后2小时第一次追上甲；③若乙午餐后的自驾速度为，那么他的用餐时间为；④在整个过程中甲乙有3次刚好相距．其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④
10．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表：
数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ……
0 2 4 6 8 ……
2 2.8 3.6 4.2 5.2 ……
下列说法错误的是（　　）
A．在实验开始时，漏刻水位是
B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是
C．第7次数据记录时，漏刻水位应为
D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是
11．如图，在中，，且，，点是线段上一个动点，由向以移动，运动至点停止，则的面积随点的运动时间之间的关系式为（ ）

A． B． C． D．
12．如图1，在长方形中，动点P从点A出发，沿运动，至点D处停止．点P运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是（　　）
A．4 B．4或12 C．4或16 D．5或12
二、填空题
13．函数的自变量x的取值范围是________________
14．若函数，则当自变量时，函数值________．
15．如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，已知链条总长度是链条节数（节）的函数，则当时，的值为_____．
16．在运动会200米跑比赛中，运动员甲因为起步摔跤，导致晚出发了几秒钟，甲．乙两人的路程与时间的关系如图所示．下列说法①乙的速度为； ②甲在时追上了乙；③甲的速度为；④甲比乙晚出发了3s．其中正确的是______．（填序号）
三、解答题
17．请按要求在如下图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象．
(1)列表．
… 0 1 2 …
… …
(2)描点、连线．

(3)判断点，是否在函数的图象上．
18．电业部门每月都按时取居民家查电表，电表读数与上次读数的差就是这段时间内用电的千瓦时数．月初小亮家电表显示的度数为300，本月初电表显示的读数为．
(1)小亮家上月用电多少千瓦时？
(2)如果每千瓦时的电费为元，全月的电费为（元），那么上月小亮家应缴费电费是多少？
(3)在问题（2）中，哪些量是常量？哪些量是变量？是哪个变量的函数？
19．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离 0 5 10 …
(1)自变量是 ，因变量是 ；
(2)当刹车时车速为时，刹车距离是 ；
(3)观察表中数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加多少米？该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是多少？
20．将一张长方形的纸对折，如图①，可得到1条折痕，继续对折，对折时每条折痕与上次的折痕保持平行，如图②．连续对折3次后，可以得到7条折痕，如图③．
回答下列问题：
(1)对折4次可以得到__________条折痕．
(2)写出折痕的条数与对折次数之间的函数关系式．
(3)求出对折10次后的折痕条数．
21．从有关方面获悉，某市农村已经实行了农民新型合作医疗保险制度，享受医保的农民可在规定的医院就医，并按规定标准报销部分医疗费用．下表是医疗费用报销的标准．
住院医疗费用x元
每年报销比例标准
（说明：住院医疗费用的报销分段计算，如：某人住院医疗费用共30000元，则5000元按报销，15000元按报销，余下的10000元按报销．自付住院医疗费用住院医疗费用按标准报销的金额）
(1)某农民一年中住院医疗费用15000元，则他在这一年中自付住院医疗费用为______元．
(2)当时，设自付住院医疗费用为y元，试求出y与x的函数关系式．
(3)若某农民一年内本人自付住院医疗费17000元，则该农民当年住院医疗费用为多少元？
22．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉．下图中的线段和折线分别表示乌龟和兔子赛跑时路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系．请你根据图象解决下列问题：
(1)乌龟每分钟爬行多少米？
(2)乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？
(3)兔子醒来后，以的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了．兔子中间停下睡觉用了多少分钟？
23．如图，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动（点不与重合），设运动时间为秒，的面积为．
(1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)请结合你所画的函数图象，直接写出当时的值．（保留一位小数，误差不超过）
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