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重庆市南坪中学2025-2026学年高二下期5月月考数学试题
一、单选题
1．下列求导数运算正确的是
A． B． C． D．
2．对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）.

A．变量与呈现正相关，且
B．变量与呈现负相关，且
C．变量与呈现正相关，且
D．变量与呈现负相关，且
3．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有
A．24 B．30 C．40 D．60
4．下列说法错误的是（ ）
A．若随机变量，则
B．若，，，则事件与事件独立
C．若随机变量的方差，则
D．若随机变量服从正态分布，若，则
5．在南山上有三个奶茶店：店 店 店.根据平台数据，顾客选择店的概率分别为 .已知各店高峰期制作时间超过分钟的概率分别为：店店店.若小明随机选择一个奶茶店下单，他等待超过分钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．在某项芯片测试试验中，有5个不同的芯片欲组装到一个云计算的主机中，先将它们串联在一起统一测试，在串联电路中甲，乙两个芯片不相邻的前提下，丙，丁两个芯片相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知离散型随机变量分布列如下表所示（ ）
0 1 2
0.2
A． B． C． D．
10．已知的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（ ）
A． B．展开式的各项系数和为243
C．展开式中奇数项的二项式系数和为16 D．展开式中有理项一共有3项
11．2026年3月“伊以冲突”到达“白热化巅峰期”，伊朗平均每天进行2－3波反击，单波发射数十架无人机做诱饵压制防空，再利用发射若干导弹对目标进行摧毁，策略是打赢和打瘫．据统计，伊朗主要采用了两种导弹作战：加德尔常规导弹和海巴尔高精导弹．不妨将两种导弹分别记为，已知两种导弹命中目标的概率分别为，假设在某波反击中两种导弹各发射10枚，每次发射的结果相互独立，击中目标的个数分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．且且
C．若，则
D．若当且仅当时，取得最大值，则
三、填空题
12．五名志愿者全部去三个不同的镇参加志愿活动，每个镇至少去一名志愿者，则不同的方案有___________种.
13．某校高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布，现调查统计三个年级共1000名男生，按照该校学生处的统一规定：校国旗班男生身高不低于190cm．估计可以备选的男生人数约为_____人．（四舍五入取整数）
参考数据：若，则，
14．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_____.
四、解答题
15．已知函数.
(1)求在点处的切线方程.
(2)求的单调区间.
16．已知．
(1)求的值．
(2)求的值．
(3)求的值．
17．DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训．
(1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）．
18．2025年5月25日，多哈世界乒乓球锦标赛男单决赛，王楚钦战胜巴西选手雨果夺得冠军，夺得三大赛单打首冠；现有甲、乙两名乒乓球运动员进行日常训练.
(1)假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；
(2)若第一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若第一局甲失败，则下一局甲获胜的概率为，已知第一局甲获胜的概率为，在前两局比赛中，用X表示甲获胜的次数，求X的方差；
(3)如果每局比赛甲获胜的概率为P，且，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，对于甲选手来说，选择哪种赛制获胜概率更大？请说明理由.
19．已知函数，
(1)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围；
(2)当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值；
(3)若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围．
参考答案
1．C
【详解】因为,错;,错；，错；
因为,故选C.
2．D
【详解】对于图1，散点总体斜向上分布，故变量与呈现正相关，故排除B；
对于图2，散点总体斜向上分布，故变量与呈现负相关，故排除C；
图1中散点图分布较为集中，图2中的散点图分布较为分散，故，
故选：D.
3．A
【详解】按偶数字在个位分类：个位只能是2或者4，十位在余下4个中选择，百位在余下3个中选择．所以答案是2×4×3=24，故选A．
4．C
【详解】对A：随机变量，则，故A正确；
对B：，所以，即事件与事件独立，故B正确；
对C：随机变量的方差，则，故C错误；
对D：随机变量服从正态分布，，
则，故D正确．
5．C
【详解】设事件为“小明选择店”，事件为“小明选择店”，
事件为“小明选择店”，事件为“小明等待超过分钟”，
则根据题意，有，
，
则，
代入数据得，故C正确.
6．A
【详解】五个芯片的排列数为种，其中甲乙相邻的有种，所以甲乙不相邻的有72种，
绑定丙丁，再将甲乙插空有种，
所以在串联电路中甲，乙两个芯片不相邻的前提下，丙，丁两个芯片相邻的概率为.
故选：A.
7．A
【详解】由题意，由，可得
函数有两个极值点，即方程在内有两个不等实根，
即函数与在上有两个交点，
因，，，
所以，解得.
故选：A.
8．B
【详解】下落过程中，需要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，
落入③号球槽需向左4次，向右2次，则,
落入⑥号球槽需向左1次，向右5次，则，
则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为.
故选：B
9．ABC
【详解】由分布列的性质可知，，所以，
，，故ABC正确；
，故D错误.
故选：ABC
10．BCD
【详解】A选项，二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，即为奇数，
且与最大，所以，解得，A错误；
B选项，中，令得，，
故展开式的各项系数和为243，B正确；
C选项，展开式中的二项式系数和为，其中奇数项和偶数项的二项式系数和相等，
所以展开式中奇数项的二项式系数和为16，C正确；
D选项，展开式通项公式为，，且为整数，
当时，满足要求，当时，满足要求，当时，满足要求，
综上，展开式中有理项一共有3项，D正确.
故选：BCD
11．ACD
【详解】由题意可知，，，则，
因为，所以，故A正确；
且，
且，
则，
当时，，故B错误；
因为，
且函数在上单调递减，，
所以，故C正确；
，
则当时，
若，则；若，则，
因为当且仅当时，取得最大值，所以，
则，故D正确.
12．150
【详解】依题意，可以按照和两种方案进行分组分配.
当按照分组时，有种方案；
当按照分组时，有种方案.
故不同的方案有种.
13．23
【详解】因为高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布,
所以男生身高不低于190cm的概率为,
所以估计可以备选的男生人数约为人.
14．
【详解】对于函数，有，解得，
所以，函数的定义域为 ，
由，
可得，即，
可得，
令，其中，，所以，函数为上的增函数，
由，可得，
所以，，所以，，
令，其中，则，列表如下：
减 极小值 增
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，，故，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
15．(1)
(2)单调递增区间为：，单调递减区间为：
【详解】（1），得切点为，
，得，
得切线方程为：，即．
（2）函数的定义域为，
，
由，得；
由，得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为。
16．(1)
(2)0
(3)12
【详解】（1）由题意，可知为展开式中的系数，即，
故；
（2）在中，
令，得；再令，可得，
两式相减，得；
（3）由两边求导，
可得，
令，得.
17．(1)分布列见解析，期望为
(2)万元
【详解】（1）由题意可知，，
，，，
所以随机变量的分布列如下，
0 1 2
；
（2）设为经过培训合格的人数，，，不合格人数为，
员工为公司创造的利润为万元，
则万元，
公司的年利润为万元.
所以估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润为万元.
18．(1)
(2)
(3)五局三胜对甲有利，理由见解析
【详解】（1）设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”，
则.
（2）X的所有可能取值为0，1，2，
，，.
所以期望为；
方差为；
（3）采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率，
采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率：
.
令，
因为时，，所以，选择五局三胜对甲有利.
19．(1)
(2)1
(3)
【详解】（1）由题的定义域为，在恒成立，且的解不连续，
则，
所以的取值范围是；
（2）当时，不等式可化为，变形为，
令，求导得，所以在上是增函数，
故，即，即，
所以对任意，不等式恒成立，即对任意恒成立，
令，则，
所以当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减，
所以，即满足不等式的实数的取值范围为，
所以的最小值为1；
（3）因为存在两个不同的极值点，
所以由可得是方程的两根，
所以，且，，
所以，故，
又由可得，
而，
令，
则，
∵，∴，即，
则，所以在区间上单调递减，
所以有，即，
所以实数取值范围.

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