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吉林省长春市公主岭市2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列代数式是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：选项A： 是整式，无分母，不符合分式条件．
选项B： 分母为常数3，不含字母，属于整式．
选项C： 分母为，含字母，符合分式定义．
选项D： 分母为常数2，不含字母，属于整式．
综上，只有选项C是分式．
故答案为：C．
【分析】根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式．再对各选项逐一判断即可.
2．年，国产大模型凭借卓越的推理能力引发全球关注．该模型采用国产纳米制程芯片实现高效运算，展现了国产技术的综合实力．其中，纳米为米，这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：B．
【分析】绝对值小于1的正数可以用科学记数法的表示，一般形式为a×10-n的形式。其中|a|＜1，-n=原数左边第一个不为0的数字前面的0的个数的相反数.
3．如图，如果直线过图中的E、F两点，则以下结论正确的是（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由图可知直线经过一、二、四象限，
．
故选：D．
【分析】
根据给出的图像可以得到，直线经过第一、第二、第四象限，结合一次函数图象与系数的对应关系分析求解即可.
4．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，则的长为（　　）
A．4 B．6 C．10 D．14
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的性质和平行线的性质可推出，同时可求出AD的长，利用角平分线的定义可推出，然后利用等角对等边可求出AB的长.
5．如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】首先根据平行四边形的对边相等得到，然后根据菱形的四边相等得到，然后根据BE=BC-CE求解即可．
6．我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点作交延长线于E，如图，
∵正方形，
∴
∴
∴四边形是菱形，
∴
∴
∵
∴
∴
∴四边形的面积减少了，
故答案为：A．
【分析】本题首先证明四边形是菱形，然后利用直角三角形中“30度锐角对应的直角边是斜边的一半”，即可求得，然后用正方形的面积减去菱形的面积即可求出答案。
7．某校举办“汉字听写大赛”，7名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设3个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是(　　)
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：因为3位获奖者的分数肯定是7名参赛选手中最高的，
而且7个不同的分数按从小到大排序后，中位数之后的共有3个数，
故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．
故答案为：．
【分析】利用中位数的意义解答即可．
8．已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由，在同一个函数图象上，可知图象关于轴对称，故选项B、C不符合题意；
由，，可知在轴的左侧，随的增大而增大，故选项D不符合题意，选项A符合题意；
故答案为：A．
【分析】 首先根据点和关于y轴对称，得到函数图象关于y轴对称，排除不关于y轴对称的选项B、C；再结合y轴左侧两个点的横纵坐标关系，得到y轴左侧y随x增大而增大的单调性，排除不符合单调性的选项D，最终得到答案.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．计算：　 　．
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】先算乘方运算，然后算减法运算即可.
10．在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度，平移后的直线所对应的函数表达式为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移3个单位长度，平移后的直线所对应的函数表达式为，
故答案为：．
【分析】
利用一次函数图象平移“上加下减”的规律完成求解.
11．某校积极推进“阳光体育”工程，在男子1000米长跑训练中，老师根据训练成绩，计算出甲、乙两名同学成绩的方差分别是2和3.5，则　 　（填“甲”或“乙”）成绩比较稳定．
【答案】甲
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵甲、乙两名同学成绩的方差分别是2和3.5，甲的方差小于乙的方差，
∴甲的成绩更稳定，
故答案为：甲．
【分析】根据方差越小成绩越稳定，即可求解.
12．如图．菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连接．若，，则的长度为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解∶∵菱形中，，，
∴，，，
∴，
∵是中点，，
∴，
故答案为∶．
【分析】
先利用菱形的性质得到：，，且，再借助勾股定理计算出的长度，最后结合三角形中位线定理即可求出最终结果.
13．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴于点．且，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴于点M，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象在第四象限，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】利用已知条件可得到AM与BM的比值，根据反比例函数的几何意义可得到△AOM的面积，同时可表示出△BOM的面积，据此可得到关于k的方程，解方程求出符合题意的k的值.
14．如图所示：四边形是平行四边形，且交于点F，P是延长线上一点，下列结论：①平分；②平分；③点E，F，B，C为顶点的四边形的面积；④是等边三角形，其中正确的有 　 　 ．（填序号）
【答案】①②③
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴平分，故①正确；
②∵，，
∴，
∴平分，故②正确；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴菱形的面积，故③正确；
④∵，
∴B点一定在的垂直平分线上，即垂直平分，
∴，
∴是等腰三角形，故④错误．
∴正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【分析】
结合平行线的性质，再搭配线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，逐一分析选项得到答案.
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
∵，
∴原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先通分计算括号里的分式减法，同时将除法转化为乘法，约分化为最简分式，将x的值代入化简后的代数式进行计算.
16．列方程解应用题．
某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20％，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？
【答案】解：设引进新设备前工程队每天建造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米，
依题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：引进新设备前工程队每天建造道路30米．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】根据题意先求出 ， 再解方程即可。
17．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中以为边，画出一个是轴对称，但不是中心对称的四边形；
（2）在图②中以为边，画出一个是中心对称，但不是轴对称的四边形；
（3）在图③中以为边，画出一个既是中心对称，又是轴对称的四边形；
【答案】（1）解：如图，取格点C、D，连接四边形，四边形即为所求；
证明：由图可知，，
∴四边形是等腰梯形，
∵等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴四边形即为所求
（2）解：如图，线段向右移动两个格点得到线段，连接四边形，四边形即为所求；
证明：由图可知，
∴四边形是平行四边形，
∵平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，
∴四边形即为所求
（3）解：如图，取格点C、D，连接四边形，四边形即为所求；
证明：由图可知，
∴四边形是菱形，
∵菱形是轴对称图形和中心对称图形，
∴四边形即为所求
【知识点】菱形的判定与性质；作图﹣轴对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）画出符合要求的等腰梯形即可得到满足题意的图形；
（2）画出符合要求的平行四边形即可得到满足题意的图形；
（3）画出符合要求的菱形即可得到满足题意的图形.
（1）解：如图，取格点C、D，连接四边形，四边形即为所求；
证明：由图可知，，
∴四边形是等腰梯形，
∵等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴四边形即为所求；
（2）解：如图，线段向右移动两个格点得到线段，连接四边形，四边形即为所求；
证明：由图可知，
∴四边形是平行四边形，
∵平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，
∴四边形即为所求；
（3）解：如图，取格点C、D，连接四边形，四边形即为所求；
证明：由图可知，
∴四边形是菱形，
∵菱形是轴对称图形和中心对称图形，
∴四边形即为所求．
18．如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点．
（1）求一次函数的解析式：
（2）根据图象直接写出一次函数的值小于反比例函数值时的取值范围．
【答案】（1）解：∵反比例的图象过点，即，∴，
∴反比例函数的解析式为，
又∵点在函数的图象上，
∴，，
∴，
又∵一次函数过、两点，
即，
解之得．
∴一次函数的解析式为
（2）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）解：∵A（-2，1），B（1，-2）
∴由图像可知：当或时，一次函数的值小于反比例函数值．
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式，可求出m的值，可得到反比例函数解析式；同时可求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式.
（2）利用点A、B的横坐标，可求出一次函数的值小于反比例函数值时的取值范围.
（1）解：∵反比例的图象过点，即，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
又∵点在函数的图象上，
∴，，
∴，
又∵一次函数过、两点，
即，
解之得．
∴一次函数的解析式为；
（2）解：由图像可知：当或时，一次函数的值小于反比例函数值．
19．下表是某同学本学期体育素质历次测试成绩（百分制）如下表所示：
测试类别 平时测试 期中测试 期末测试
第1次 第2次 第3次
成绩 82 86 87 82 90
（1）该同学本学期五次测试成绩的众数为________，中位数为________；
（2）该同学本学期体育素质平时测试的平均成绩为________；
（3）如果本学期的总评成绩是将平时测验的平均成绩、期中测试成绩、期末测试成绩按照的比例计算所得，求该同学本学期体育素质的总评成绩．
【答案】（1）82分；86分
（2）85分
（3）该同学上学期数学学科的总评成绩为：
（分）
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：5次测试成绩82出现了2次，出现的次数最多，
∴众数是82分，
把5次成绩按照从小到大的顺序排列如下：
82，82，86，87，90，
排在最中间的数据是86，
∴中位数是86．
故答案为：82分；86分
（2）本学期体育素质平时测试的平均成绩为（分）
故答案为：85分
【分析】（1）众数就是一组数据中出现次数最多的数，据此可得到该同学本学期五次测试成绩的众数；把数据从小到大排列后，可得到最中间的数据，即可得到其中位数.
（2）利用算术平均数公式计算即可.
（3）利用加权平均数公式直接计算即可．
（1）解：5次测试成绩82出现了2次，出现的次数最多，
∴众数是82分，
把5次成绩按照从小到大的顺序排列如下：
82，82，86，87，90，
排在最中间的数据是86，
∴中位数是86．
故答案为：82分；86分
（2）本学期体育素质平时测试的平均成绩为（分）
故答案为：85分
（3）该同学上学期数学学科的总评成绩为：
（分）．
20．如图，在四边形中，点与点关于直线对称，连结交于点O，E为上一点，，连结、．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，，则的长为______．
【答案】（1）证明：∵点与点关于直线对称∴，，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形
（2）
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（2）解：∴点与点关于直线对称，
∴
∵，
∴，
∴，
∵四边形为菱形；
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）利用轴对称的性质可证得，，进而可知四边形为平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可证得结论.
（2）根据等边对等角求出∠EAD的度数，利用三角形的外角的性质即可得出的度数，结合菱形的性质推出是等边三角形，最后利用勾股定理计算出的长度，进而得到的长.
（1）证明：∵点与点关于直线对称
∴，，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
（2）解：∴点与点关于直线对称，
∴
∵，
∴，
∴，
∵四边形为菱形；
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
21．通过实验研究发现，初中生在课堂中的专注度随着上课时间的变化而变化，刚上课时，学生兴趣激增，10分钟后保持平稳一段时间，20分钟后注意力开始分散．若学生的专注度y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题：
（1）______．
（2）当时，求y与x的函数关系式．
（3）数学老师讲一道函数综合题需要25分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60？请说明理由．
【答案】（1）20
（2）解：由（1）可知，点C的坐标为，
设双曲线解析式为，
将代入，得：，解得，
将代入，得，
点A的坐标为，
由图可得点B的坐标为，
设时，求y与x的函数关系式为，
将，代入，得，
解得，
y与x的函数关系式为；

（3）解：经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60．
理由如下：
由题意得：，
解得，
，
经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60．
【知识点】一元一次不等式组的应用；反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】
（1）
解：20分钟后注意力开始分散，
，
故答案为：20；
【分析】
（1）结合题目给出的条件描述，就能直接得到对应的结果；
（2）先设出双曲线的解析式为，再将点C的坐标代入解析式计算出参数k的值，接着求出点D和点A的坐标，最后使用待定系数法，就可以求出y关于x的函数关系式；
（3）结合已经求出的一次函数解析式和反比例函数解析式，列出对应的不等式组，求解这个不等式组得到解集后，就可以对问题作出判断.
（1）解：20分钟后注意力开始分散，
，
故答案为：20；
（2）解：由（1）可知，点C的坐标为，
设双曲线解析式为，
将代入，得：，解得，
将代入，得，
点A的坐标为，
由图可得点B的坐标为，
设时，求y与x的函数关系式为，
将，代入，得，
解得，
y与x的函数关系式为；
（3）解：经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60．
理由如下：
由题意得：，
解得，
，
经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60．
22．【感知】如图①，在矩形中，，．为射线上一点，将沿直线翻折得到，点的对称点为点．若点在边上，则的长为 ．
【探究】如图②，图①中的点在矩形的内部，点在直线上，其它条件不变．
（1）求证：．
（2）的长为________．
【应用】如图③，当图①中的点在延长线上，且点在直线上时，其它条件不变．直接写出四边形的面积．
【答案】【感知】：；
【探究】：（1）证明：四边形是矩形
，，
由折叠可得：，
，
在和中
（2）2；应用：32
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】【感知】：解：四边形是矩形
，
将沿直线翻折得到且
，，
是等腰直角三角形
故答案为：．
【探究】：（2），，
故答案为：2．
【应用】：将沿直线翻折得到且
，，
解得：
四边形的面积
故答案为：32．
【分析】【感知】：根据矩形性质可得，，再根据折叠性质可得，，，根据角之间的关系可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，根据边之间的关系可得B'D，再根据勾股定理即可求出答案.
【探究】：（1）根据矩形性质可得，，，则，由折叠可得：，，则，，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，根据勾股定理可得CP，再根据边之间的关系即可求出答案.
【 应用 】根据折叠性质可得，，，根据勾股定理可得B'D，再根据边之间的关系可得，根据勾股定理建立方程，解方程可得，根据边之间的关系可得PB，再根据四边形的面积，结合三角形面积即可求出答案.
23．如图，在中，，连接，恰有，过点D作于点E．动点P从点D出发沿以的速度向终点运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为．
（1）　 　；
（2）连结，当时，判断与是否垂直，并说明理由；
（3）试判断是否存在的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（4）若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）解：，理由如下：如图1，
由题意得，当时，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
（3）解：存在，理由如下：
当为边时，
四边形是平行四边形，
，
，解得；
当为对角线时，
四边形是平行四边形，
，解得，
综上，t的值为或4
（4）解：t为或．
如图2，当点P的对称点在线段上时，过P点作于H，连接，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
由对称性质得，
，
是等边三角形，
，
，解得，
如图3，当点P的对称点在线段的延长线上时，过P点作于H，连接，
，
，
点P的对称点在线段的延长线上，
，
，
，
，
，
，解得；
综上，t为或
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
又
，
，
；
故答案为：；
【分析】（1）利用平行四边形的性质及含直角三角形性质求出AD的长，利用勾股定理求出长，再求长，然后利用勾股定理求出BE的长.
（2）由，可证得，再结合QE与PD平行的位置关系，即可证明四边形是矩形，进而得到结论.
（3）分情况讨论：为边时；CD为对角线时，分别列出关于t的方程，分别解方程求出t的值.
（4）分情况讨论：当点P的对称点在线段上时，过P点作于H，连接，，利用平行四边形的性质和平行线的性质可求出∠ADC，∠BCD的度数，利用轴对称的性质可求出∠QDC的度数，即可推出△CDQ是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得CD=CQ，据此可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当点P的对称点在线段的延长线上时，过P点作于H，连接，可求出∠PDP'的度数，利用对称性可求出∠CDQ的度数，利用等角对等边可求出CQ及BQ的长，据此可得到关于t的方程，解方程求出t的值，综上所述，可得到符合题意的t的值.
（1）解：四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
又
，
，
；
故答案为：；
（2）解：，理由如下：如图1，
由题意得，当时，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
；
（3）解：存在，理由如下：
当为边时，
四边形是平行四边形，
，
，解得；
当为对角线时，
四边形是平行四边形，
，解得，
综上，t的值为或4；
（4）解：t为或．
如图2，当点P的对称点在线段上时，过P点作于H，连接，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
由对称性质得，
，
是等边三角形，
，
，解得，
如图3，当点P的对称点在线段的延长线上时，过P点作于H，连接，
，
，
点P的对称点在线段的延长线上，
，
，
，
，
，
，解得；
综上，t为或．
24．在平面直角坐标系中，直线经过点，交轴于点．
（1）______；
（2）若点是轴上一点，连接．当的面积为5时，求点的坐标；
（3）已知线段的端点坐标分别为．
①直线与直线的交点坐标为______；
②当直线与线段有交点时，求的取值范围．
【答案】（1）1
（2）解：
由（1）可得直线l的解析式为，在中，当时，，
∴，
∵的面积为5，
∴，
∴，
∴，
∴点C的纵坐标为或，
∴点C的坐标为或
（3）①；
②∵直线与直线的交点坐标为，
∴当直线与线段有交点时，点在线段上，
∴或，
解不等式组得，
不等式组无解，
∴
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（1）解：∵直线经过点，
∴，
∴；
故答案为：1.
（3）解：①∵，
∴轴，
在中，当时，，
∴直线与直线的交点坐标为；
故答案为：.
【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，可求出b的值.
（2）利用函数解析式先求出点B坐标，利用三角形的面积公式可求出BC的长，即可得到点C的坐标.
（3）①根据点M、N的纵坐标相同，可证得轴，可求出直线与直线的交点坐标；②由①可得当直线与线段有交点时，点在线段上，则或，解不等式组求出m的取值范围．
（1）解：∵直线经过点，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得直线l的解析式为，
在中，当时，，
∴，
∵的面积为5，
∴，
∴，
∴，
∴点C的纵坐标为或，
∴点C的坐标为或；
（3）解：①∵，
∴轴，
在中，当时，，
∴直线与直线的交点坐标为；
②∵直线与直线的交点坐标为，
∴当直线与线段有交点时，点在线段上，
∴或，
解不等式组得，
不等式组无解，
∴．
1 / 1吉林省长春市公主岭市2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列代数式是分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．年，国产大模型凭借卓越的推理能力引发全球关注．该模型采用国产纳米制程芯片实现高效运算，展现了国产技术的综合实力．其中，纳米为米，这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，如果直线过图中的E、F两点，则以下结论正确的是（　　）
A．， B．， C．， D．，
4．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，则的长为（　　）
A．4 B．6 C．10 D．14
5．如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了（　　）
A． B． C． D．
7．某校举办“汉字听写大赛”，7名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设3个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是(　　)
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．计算：　 　．
10．在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度，平移后的直线所对应的函数表达式为　 　．
11．某校积极推进“阳光体育”工程，在男子1000米长跑训练中，老师根据训练成绩，计算出甲、乙两名同学成绩的方差分别是2和3.5，则　 　（填“甲”或“乙”）成绩比较稳定．
12．如图．菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连接．若，，则的长度为　 　．
13．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴于点．且，则的值为　 　．
14．如图所示：四边形是平行四边形，且交于点F，P是延长线上一点，下列结论：①平分；②平分；③点E，F，B，C为顶点的四边形的面积；④是等边三角形，其中正确的有 　 　 ．（填序号）
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．先化简，再求值：，其中．
16．列方程解应用题．
某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20％，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？
17．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中以为边，画出一个是轴对称，但不是中心对称的四边形；
（2）在图②中以为边，画出一个是中心对称，但不是轴对称的四边形；
（3）在图③中以为边，画出一个既是中心对称，又是轴对称的四边形；
18．如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点．
（1）求一次函数的解析式：
（2）根据图象直接写出一次函数的值小于反比例函数值时的取值范围．
19．下表是某同学本学期体育素质历次测试成绩（百分制）如下表所示：
测试类别 平时测试 期中测试 期末测试
第1次 第2次 第3次
成绩 82 86 87 82 90
（1）该同学本学期五次测试成绩的众数为________，中位数为________；
（2）该同学本学期体育素质平时测试的平均成绩为________；
（3）如果本学期的总评成绩是将平时测验的平均成绩、期中测试成绩、期末测试成绩按照的比例计算所得，求该同学本学期体育素质的总评成绩．
20．如图，在四边形中，点与点关于直线对称，连结交于点O，E为上一点，，连结、．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，，则的长为______．
21．通过实验研究发现，初中生在课堂中的专注度随着上课时间的变化而变化，刚上课时，学生兴趣激增，10分钟后保持平稳一段时间，20分钟后注意力开始分散．若学生的专注度y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题：
（1）______．
（2）当时，求y与x的函数关系式．
（3）数学老师讲一道函数综合题需要25分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60？请说明理由．
22．【感知】如图①，在矩形中，，．为射线上一点，将沿直线翻折得到，点的对称点为点．若点在边上，则的长为 ．
【探究】如图②，图①中的点在矩形的内部，点在直线上，其它条件不变．
（1）求证：．
（2）的长为________．
【应用】如图③，当图①中的点在延长线上，且点在直线上时，其它条件不变．直接写出四边形的面积．
23．如图，在中，，连接，恰有，过点D作于点E．动点P从点D出发沿以的速度向终点运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为．
（1）　 　；
（2）连结，当时，判断与是否垂直，并说明理由；
（3）试判断是否存在的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（4）若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．
24．在平面直角坐标系中，直线经过点，交轴于点．
（1）______；
（2）若点是轴上一点，连接．当的面积为5时，求点的坐标；
（3）已知线段的端点坐标分别为．
①直线与直线的交点坐标为______；
②当直线与线段有交点时，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：选项A： 是整式，无分母，不符合分式条件．
选项B： 分母为常数3，不含字母，属于整式．
选项C： 分母为，含字母，符合分式定义．
选项D： 分母为常数2，不含字母，属于整式．
综上，只有选项C是分式．
故答案为：C．
【分析】根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式．再对各选项逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：B．
【分析】绝对值小于1的正数可以用科学记数法的表示，一般形式为a×10-n的形式。其中|a|＜1，-n=原数左边第一个不为0的数字前面的0的个数的相反数.
3．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由图可知直线经过一、二、四象限，
．
故选：D．
【分析】
根据给出的图像可以得到，直线经过第一、第二、第四象限，结合一次函数图象与系数的对应关系分析求解即可.
4．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的性质和平行线的性质可推出，同时可求出AD的长，利用角平分线的定义可推出，然后利用等角对等边可求出AB的长.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】首先根据平行四边形的对边相等得到，然后根据菱形的四边相等得到，然后根据BE=BC-CE求解即可．
6．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点作交延长线于E，如图，
∵正方形，
∴
∴
∴四边形是菱形，
∴
∴
∵
∴
∴
∴四边形的面积减少了，
故答案为：A．
【分析】本题首先证明四边形是菱形，然后利用直角三角形中“30度锐角对应的直角边是斜边的一半”，即可求得，然后用正方形的面积减去菱形的面积即可求出答案。
7．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：因为3位获奖者的分数肯定是7名参赛选手中最高的，
而且7个不同的分数按从小到大排序后，中位数之后的共有3个数，
故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．
故答案为：．
【分析】利用中位数的意义解答即可．
8．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由，在同一个函数图象上，可知图象关于轴对称，故选项B、C不符合题意；
由，，可知在轴的左侧，随的增大而增大，故选项D不符合题意，选项A符合题意；
故答案为：A．
【分析】 首先根据点和关于y轴对称，得到函数图象关于y轴对称，排除不关于y轴对称的选项B、C；再结合y轴左侧两个点的横纵坐标关系，得到y轴左侧y随x增大而增大的单调性，排除不符合单调性的选项D，最终得到答案.
9．【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】先算乘方运算，然后算减法运算即可.
10．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移3个单位长度，平移后的直线所对应的函数表达式为，
故答案为：．
【分析】
利用一次函数图象平移“上加下减”的规律完成求解.
11．【答案】甲
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵甲、乙两名同学成绩的方差分别是2和3.5，甲的方差小于乙的方差，
∴甲的成绩更稳定，
故答案为：甲．
【分析】根据方差越小成绩越稳定，即可求解.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解∶∵菱形中，，，
∴，，，
∴，
∵是中点，，
∴，
故答案为∶．
【分析】
先利用菱形的性质得到：，，且，再借助勾股定理计算出的长度，最后结合三角形中位线定理即可求出最终结果.
13．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴于点M，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象在第四象限，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】利用已知条件可得到AM与BM的比值，根据反比例函数的几何意义可得到△AOM的面积，同时可表示出△BOM的面积，据此可得到关于k的方程，解方程求出符合题意的k的值.
14．【答案】①②③
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴平分，故①正确；
②∵，，
∴，
∴平分，故②正确；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴菱形的面积，故③正确；
④∵，
∴B点一定在的垂直平分线上，即垂直平分，
∴，
∴是等腰三角形，故④错误．
∴正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【分析】
结合平行线的性质，再搭配线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，逐一分析选项得到答案.
15．【答案】解：
，
∵，
∴原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先通分计算括号里的分式减法，同时将除法转化为乘法，约分化为最简分式，将x的值代入化简后的代数式进行计算.
16．【答案】解：设引进新设备前工程队每天建造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米，
依题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：引进新设备前工程队每天建造道路30米．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】根据题意先求出 ， 再解方程即可。
17．【答案】（1）解：如图，取格点C、D，连接四边形，四边形即为所求；
证明：由图可知，，
∴四边形是等腰梯形，
∵等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴四边形即为所求
（2）解：如图，线段向右移动两个格点得到线段，连接四边形，四边形即为所求；
证明：由图可知，
∴四边形是平行四边形，
∵平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，
∴四边形即为所求
（3）解：如图，取格点C、D，连接四边形，四边形即为所求；
证明：由图可知，
∴四边形是菱形，
∵菱形是轴对称图形和中心对称图形，
∴四边形即为所求
【知识点】菱形的判定与性质；作图﹣轴对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）画出符合要求的等腰梯形即可得到满足题意的图形；
（2）画出符合要求的平行四边形即可得到满足题意的图形；
（3）画出符合要求的菱形即可得到满足题意的图形.
（1）解：如图，取格点C、D，连接四边形，四边形即为所求；
证明：由图可知，，
∴四边形是等腰梯形，
∵等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴四边形即为所求；
（2）解：如图，线段向右移动两个格点得到线段，连接四边形，四边形即为所求；
证明：由图可知，
∴四边形是平行四边形，
∵平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，
∴四边形即为所求；
（3）解：如图，取格点C、D，连接四边形，四边形即为所求；
证明：由图可知，
∴四边形是菱形，
∵菱形是轴对称图形和中心对称图形，
∴四边形即为所求．
18．【答案】（1）解：∵反比例的图象过点，即，∴，
∴反比例函数的解析式为，
又∵点在函数的图象上，
∴，，
∴，
又∵一次函数过、两点，
即，
解之得．
∴一次函数的解析式为
（2）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）解：∵A（-2，1），B（1，-2）
∴由图像可知：当或时，一次函数的值小于反比例函数值．
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式，可求出m的值，可得到反比例函数解析式；同时可求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式.
（2）利用点A、B的横坐标，可求出一次函数的值小于反比例函数值时的取值范围.
（1）解：∵反比例的图象过点，即，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
又∵点在函数的图象上，
∴，，
∴，
又∵一次函数过、两点，
即，
解之得．
∴一次函数的解析式为；
（2）解：由图像可知：当或时，一次函数的值小于反比例函数值．
19．【答案】（1）82分；86分
（2）85分
（3）该同学上学期数学学科的总评成绩为：
（分）
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：5次测试成绩82出现了2次，出现的次数最多，
∴众数是82分，
把5次成绩按照从小到大的顺序排列如下：
82，82，86，87，90，
排在最中间的数据是86，
∴中位数是86．
故答案为：82分；86分
（2）本学期体育素质平时测试的平均成绩为（分）
故答案为：85分
【分析】（1）众数就是一组数据中出现次数最多的数，据此可得到该同学本学期五次测试成绩的众数；把数据从小到大排列后，可得到最中间的数据，即可得到其中位数.
（2）利用算术平均数公式计算即可.
（3）利用加权平均数公式直接计算即可．
（1）解：5次测试成绩82出现了2次，出现的次数最多，
∴众数是82分，
把5次成绩按照从小到大的顺序排列如下：
82，82，86，87，90，
排在最中间的数据是86，
∴中位数是86．
故答案为：82分；86分
（2）本学期体育素质平时测试的平均成绩为（分）
故答案为：85分
（3）该同学上学期数学学科的总评成绩为：
（分）．
20．【答案】（1）证明：∵点与点关于直线对称∴，，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形
（2）
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（2）解：∴点与点关于直线对称，
∴
∵，
∴，
∴，
∵四边形为菱形；
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）利用轴对称的性质可证得，，进而可知四边形为平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可证得结论.
（2）根据等边对等角求出∠EAD的度数，利用三角形的外角的性质即可得出的度数，结合菱形的性质推出是等边三角形，最后利用勾股定理计算出的长度，进而得到的长.
（1）证明：∵点与点关于直线对称
∴，，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
（2）解：∴点与点关于直线对称，
∴
∵，
∴，
∴，
∵四边形为菱形；
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
21．【答案】（1）20
（2）解：由（1）可知，点C的坐标为，
设双曲线解析式为，
将代入，得：，解得，
将代入，得，
点A的坐标为，
由图可得点B的坐标为，
设时，求y与x的函数关系式为，
将，代入，得，
解得，
y与x的函数关系式为；

（3）解：经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60．
理由如下：
由题意得：，
解得，
，
经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60．
【知识点】一元一次不等式组的应用；反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】
（1）
解：20分钟后注意力开始分散，
，
故答案为：20；
【分析】
（1）结合题目给出的条件描述，就能直接得到对应的结果；
（2）先设出双曲线的解析式为，再将点C的坐标代入解析式计算出参数k的值，接着求出点D和点A的坐标，最后使用待定系数法，就可以求出y关于x的函数关系式；
（3）结合已经求出的一次函数解析式和反比例函数解析式，列出对应的不等式组，求解这个不等式组得到解集后，就可以对问题作出判断.
（1）解：20分钟后注意力开始分散，
，
故答案为：20；
（2）解：由（1）可知，点C的坐标为，
设双曲线解析式为，
将代入，得：，解得，
将代入，得，
点A的坐标为，
由图可得点B的坐标为，
设时，求y与x的函数关系式为，
将，代入，得，
解得，
y与x的函数关系式为；
（3）解：经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60．
理由如下：
由题意得：，
解得，
，
经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60．
22．【答案】【感知】：；
【探究】：（1）证明：四边形是矩形
，，
由折叠可得：，
，
在和中
（2）2；应用：32
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】【感知】：解：四边形是矩形
，
将沿直线翻折得到且
，，
是等腰直角三角形
故答案为：．
【探究】：（2），，
故答案为：2．
【应用】：将沿直线翻折得到且
，，
解得：
四边形的面积
故答案为：32．
【分析】【感知】：根据矩形性质可得，，再根据折叠性质可得，，，根据角之间的关系可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，根据边之间的关系可得B'D，再根据勾股定理即可求出答案.
【探究】：（1）根据矩形性质可得，，，则，由折叠可得：，，则，，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，根据勾股定理可得CP，再根据边之间的关系即可求出答案.
【 应用 】根据折叠性质可得，，，根据勾股定理可得B'D，再根据边之间的关系可得，根据勾股定理建立方程，解方程可得，根据边之间的关系可得PB，再根据四边形的面积，结合三角形面积即可求出答案.
23．【答案】（1）
（2）解：，理由如下：如图1，
由题意得，当时，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
（3）解：存在，理由如下：
当为边时，
四边形是平行四边形，
，
，解得；
当为对角线时，
四边形是平行四边形，
，解得，
综上，t的值为或4
（4）解：t为或．
如图2，当点P的对称点在线段上时，过P点作于H，连接，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
由对称性质得，
，
是等边三角形，
，
，解得，
如图3，当点P的对称点在线段的延长线上时，过P点作于H，连接，
，
，
点P的对称点在线段的延长线上，
，
，
，
，
，
，解得；
综上，t为或
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
又
，
，
；
故答案为：；
【分析】（1）利用平行四边形的性质及含直角三角形性质求出AD的长，利用勾股定理求出长，再求长，然后利用勾股定理求出BE的长.
（2）由，可证得，再结合QE与PD平行的位置关系，即可证明四边形是矩形，进而得到结论.
（3）分情况讨论：为边时；CD为对角线时，分别列出关于t的方程，分别解方程求出t的值.
（4）分情况讨论：当点P的对称点在线段上时，过P点作于H，连接，，利用平行四边形的性质和平行线的性质可求出∠ADC，∠BCD的度数，利用轴对称的性质可求出∠QDC的度数，即可推出△CDQ是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得CD=CQ，据此可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当点P的对称点在线段的延长线上时，过P点作于H，连接，可求出∠PDP'的度数，利用对称性可求出∠CDQ的度数，利用等角对等边可求出CQ及BQ的长，据此可得到关于t的方程，解方程求出t的值，综上所述，可得到符合题意的t的值.
（1）解：四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
又
，
，
；
故答案为：；
（2）解：，理由如下：如图1，
由题意得，当时，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
；
（3）解：存在，理由如下：
当为边时，
四边形是平行四边形，
，
，解得；
当为对角线时，
四边形是平行四边形，
，解得，
综上，t的值为或4；
（4）解：t为或．
如图2，当点P的对称点在线段上时，过P点作于H，连接，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
由对称性质得，
，
是等边三角形，
，
，解得，
如图3，当点P的对称点在线段的延长线上时，过P点作于H，连接，
，
，
点P的对称点在线段的延长线上，
，
，
，
，
，
，解得；
综上，t为或．
24．【答案】（1）1
（2）解：
由（1）可得直线l的解析式为，在中，当时，，
∴，
∵的面积为5，
∴，
∴，
∴，
∴点C的纵坐标为或，
∴点C的坐标为或
（3）①；
②∵直线与直线的交点坐标为，
∴当直线与线段有交点时，点在线段上，
∴或，
解不等式组得，
不等式组无解，
∴
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（1）解：∵直线经过点，
∴，
∴；
故答案为：1.
（3）解：①∵，
∴轴，
在中，当时，，
∴直线与直线的交点坐标为；
故答案为：.
【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，可求出b的值.
（2）利用函数解析式先求出点B坐标，利用三角形的面积公式可求出BC的长，即可得到点C的坐标.
（3）①根据点M、N的纵坐标相同，可证得轴，可求出直线与直线的交点坐标；②由①可得当直线与线段有交点时，点在线段上，则或，解不等式组求出m的取值范围．
（1）解：∵直线经过点，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得直线l的解析式为，
在中，当时，，
∴，
∵的面积为5，
∴，
∴，
∴，
∴点C的纵坐标为或，
∴点C的坐标为或；
（3）解：①∵，
∴轴，
在中，当时，，
∴直线与直线的交点坐标为；
②∵直线与直线的交点坐标为，
∴当直线与线段有交点时，点在线段上，
∴或，
解不等式组得，
不等式组无解，
∴．
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