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吉林省长春市朝阳区2024—2025学年下学期八年级期末数学试题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．若分式的值为0，则x的值为（　　）
A． B． C． D．
2．下表是某饮品店统计了某段时间店内甲、乙、丙、丁四种口味饮品的销售情况．
口味 甲 乙 丙 丁
销售量（杯） 186 479 217 90
根据表中数据，该饮品店决定增加乙种口味饮品食材的购进数量，影响其决策的统计量是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
3．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
4．一次函数（k是常数，）一定经过（　　）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
5．如图，矩形的对角线和相交于点O，于点E，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，将“一个圆柱形的空玻璃杯固定在一个与其形状相同的无水鱼缸内”看作一个容器．现对准玻璃杯杯口匀速注水，直到容器注满为止，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部中央．则能刻画容器最高水位h（厘米）与注水时间t（分）的函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，若点P是矩形内部一点，连结、、、，则与的面积的和为（　　）
A．1.5 B．2 C．3 D．无法确定
8．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数．已知与之间的函数图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A． B．当，时，
C．当时， D．当时，
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．计算：　 　．
10．在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为　 　．
11．关于x的分式方程的解为　 　．
12．老师在计算学生每学期的总评成绩时，按照“平时成绩占，考试成绩占”的比例计算．若小明的平时成绩为95分，考试成绩为90分，则他的总评成绩为　 　分．
13．如图，菱形的对角线相交于点O，若，菱形的周长是52，则的长为　 　．
14．如图，在正方形纸片中，点P是边上一点，连结，将正方形沿折叠，点B落在点E处，延长交于点Q，连结，．给出以下结论：①≌；②；③与的面积相等；④若，则．上述结论中，正确结论的序号有　 　．
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15．先化简，再求值：，其中，．
16．供电局的电力维修工人要到30千米的郊区进行电力抢修，维修工人骑摩托车先从供电局出发，15分钟后，抢修车装载着所有的材料出发，沿着与维修工人相同的路线行驶，结果他们同时到达，已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．
17．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正比例函数（常数）的图象与反比例函数（常数）的图象交于A、B两点，且点A的坐标为．
（1）求反比例函数表达式，并直接写出点B的坐标．
（2）根据函数图象，直接写出满足方程的x的值．
18．如图，四边形是平行四边形．
（1）用圆规和无刻度的直尺作线段的垂直平分线，交于点O，交于点E、交于点F，连结、；（保留作图痕迹）
（2）求证：四边形是菱形．
19．2025年4月15日是第十个国家安全教育日．为了增强学生国家安全意识，某班组织学生举行国家安全法知识竞赛，现统计甲、乙两个小组每个小组的5名学生的成绩，根据甲组学生的成绩绘制了统计表，并给出了乙组学生的成绩方差的计算过程．
甲组学生的成绩统计表
学生 静静 婷婷 聪聪 慧慧 乐乐
成绩（分） 86 89 87 90 93
乙组学生的成绩直接代入方差公式，计算过程如下：
（分2）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲组5名学生成绩的平均数为______分，中位数为______分．
（2）你认为甲、乙两个小组中哪一组学生的成绩更好？请说明理由．
（3）将班级小明、小红和小亮的成绩与甲组5名学生的成绩一起组成一组新的数据，若这8个数据的平均数不低于90分，则小明、小红和小亮三名学生的成绩总和至少是______分．
20．图①、图②、图③均是的正方形网格，小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其顶点A、B、C、D均在格点上，且所作四边形的各边长均为无理数．
（1）在图①中，四边形是正方形，且面积为10．
（2）在图②中，四边形是菱形但不是正方形，且面积为8．
（3）在图③中，四边形是矩形，且面积为6．
21．我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），下表是若干次称重时所记录的一些数据：
x（厘米） 1 2 3 4 5 6
y（斤） 2
（1）请根据表中x与y的对应值，在给定的平面直角坐标系中描出相应的点；
（2）观察（1）中描出的各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上．如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由；
（3）某同学通过将秤杆上秤砣到秤纽的水平距离进行调整进行先后两次测量，若第二次测量时，秤砣到秤纽的水平距离比第一次测量时增加了2厘米，则第二次测量秤钩所挂物重比第一次测量时增加了______斤．
22．【问题呈现】小明在数学小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值．
【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】如图②，过点D、N分别作的平行线，并交于点P，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）求证：．
（2）的大小为______度，线段长度的最小值为______．
【方法运用】（3）如图③，在菱形中，，，点E、F分别在边上，且，则周长的最小值为______．
23．如图，在中，，对角线，且，点P是边上的一点（点P不与点B重合），作点A关于点P的对称点M，作点B关于点P的对称点N，连结，
（1）的面积为______．
（2）求证：四边形是平行四边形．
（3）当四边形为菱形时，求线段的长．
（4）当四边形为矩形时，连结，的面积为______．
24．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线（b为常数）与直线交点的横坐标为1，点P在直线上，点Q在直线上，且轴，设点P的横坐标为．
（1）求直线对应的函数表达式．
（2）当时，点Q的坐标为______，线段的长度为______．
（3）以为边作矩形，使，且点M、N在直线的下方．
①当四边形是正方形时，求m的值．
②当矩形被直线分成的两部分的面积比为时，直接写出m的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：若分式的值为0，则且，
∴，，
故选：D．
【分析】要使分式的值为0，需满足分子为0，分母不为0，据此求解即可．
2．【答案】B
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：众数 ：数据中出现次数最多的值， 乙销量479杯，最高 ，直接反映最受欢迎口味．
其他统计量：
平均数 （所有销量总和），无法突出乙的优势；
中位数 （销量排序后中间值），不能体现乙销量最高；
方差 （数据波动程度），与畅销度无关；
因此，饮品店基于众数（乙销量最高）做出决策，
故选：．
【分析】我们直接对比四种口味的销量就可以得到，乙口味销量最高，我们需要选择一个能代表“销量最高、最受欢迎”这个信息的统计量，也就是众数；平均数用来反映整体的平均水平；中位数用来体现数据的中间水平；方差用来衡量数据的波动稳定性，据此可求解.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，，相邻角相等无法保证对边平行或对角相等，不能判定为平行四边形，本选项不符合题意；
B、，，邻边相等可能形成筝形或菱形，但无法保证对边相等或平行，不能判定为平行四边形，本选项不符合题意；
C、，，两组对边分别相等，符合“两组对边相等的四边形是平行四边形”的判定定理，可判定为平行四边形，本选项符合题意；
D、，，一组对边平行且另一组对边相等可能形成等腰梯形，而非平行四边形，本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】此题需要结合平行四边形的判定定理，逐一分析每个选项是否满足判定条件即可.
4．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当时，一次函数的截距，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限；
当时，
∵，
此时一次函数的图象经过第二、三、四象限；
结合两种情况可以发现，无论k取不为0的任何常数，一次函数一定同时经过第三象限和第四象限，
故答案为：C．
【分析】分情况讨论：k大于0和k小于0两种情况，讨论一次函数y=kx-3经过的象限，即可得到结论.
5．【答案】B
【知识点】矩形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由对顶角相等得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用矩形的性质可证得，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OAD的度数，然后根据直角三角形的两个锐角互余求解即可得．
6．【答案】A
【知识点】函数的图象；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设圆柱形空玻璃杯的高度为厘米，注入水的速度为厘米/分，
根据注水过程，我们可以分三个阶段分析：
①在注满空玻璃杯之前，水全部注入玻璃杯中，容器（鱼缸）的水位高度随注水时间匀速上升，满足，对应图象是过原点的倾斜线段；
②当水刚好注满玻璃杯后，在鱼缸的水位还没没过玻璃杯高度之前，继续注入的水会从玻璃杯溢出到鱼缸，此时鱼缸的水位高度始终等于玻璃杯的高度，保持不变，即，对应图象是一段平行于轴的水平线段；
③当鱼缸的水位超过玻璃杯的高度之后，水需要填满整个鱼缸的横截面积，此时水位仍然随注水匀速上升，但因为鱼缸的底面积远大于玻璃杯的底面积，所以水位上升的速度比第一阶段更慢，对应图象仍是倾斜线段，但倾斜程度比第一阶段更小。
结合上述规律，可得符合条件的图象为选项A。
故答案为：A．
【分析】我们可以设空圆柱形玻璃杯的高度为厘米，注水速度为厘米/分钟，按照注水的三个不同阶段，分别分析容器内水面高度和注水时间的变化关系，即可判断对应函数图象。
7．【答案】C
【知识点】点的坐标；三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点作的平行线，分别交轴于点，交于点，
∵四边形是矩形，且点的坐标为，
∴，，，
∵，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴与的面积的和为
，
故选：C．
【分析】
过点作平行于的直线，这条直线分别交轴于点，交于点。首先根据已知条件可以得到，接下来可以证明四边形是矩形，根据矩形对边相等的性质，就可以得到，最后结合三角形的面积公式即可计算得出最终结果.
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设与之间的函数解析式为，
将点代入得：，
∴，则选项A错误；
当时，，则选项B错误；
当时，，
当时，，
∵在函数中，，
∴在第一象限内，随着的增大而减小，
∴当时，，则选项C错误；
当时，，则选项D正确；
故答案为：D．
【分析】利用函数图象可知反比例函数图象经过点（12，80），利用待定系数法求出反比例函数的解析式可对A作出判断；再将代入求出的值，可对B作出判断；然后将和代入求出的值，利用反比例函数的增减性可对C、D作出判断.
9．【答案】4
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解： ．
故答案为：4 ．
【分析】先算乘方运算，再算加法.
10．【答案】3
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：到y轴的距离是横坐标的绝对值，即．
故答案为：3．
【分析】 平面直角坐标系中，点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，根据这一性质即可求解.
11．【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：分式方程为，
去分母：，
去括号：，
移项合并同类项：，
检验：当时，，
所以原方程的解为 ．
故答案为： ．
【分析】 解分式方程的核心是先通过去分母将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，最后对所得的根进行检验即可.
12．【答案】92
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：总评成绩为：，
故答案为：．
【分析】利用总评成绩平时成绩考试成绩，列式计算即可.
13．【答案】10
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的周长是52，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：10．
【分析】
根据菱形的性质可以得到，再结合勾股定理计算出的长度，即可得出最终结果.
14．【答案】①②④
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵是由翻折得到，
∴，，
∴，
在正方形中，，
∴，
则在和中，
由，
可得≌，故①正确；
∵≌，
∴，
又∵是由翻折得到，
∴，
∴，故②正确；
过点C作交于点F，如图，
则与的高为，
则有，，
假设与的面积相等，
则有，
∵，
∴在和中，
由，
可知≌，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
由题目已知可得，不是正方形的对角线，
∴与已知矛盾，
∴，
∴与的面积相等，故③错误；
设正方形边长为a，的边长为x，
则有，，
∴，，
∴，
∴，
则在中，，
即，
则有，
解得，
∴，
∵，
∴，故④正确．
故答案为：①②④．
【分析】利用折叠的性质可证得，，利用正方形的性质可证得AD=AE，再利用HL可证得△AEQ≌△ADQ，可对①作出判断；利用全等三角形的性质可得到EQ=DQ，利用折叠的性质可知BP=PE，据此可对②作出判断；过点C作交于点F，利用三角形的面积公式可表示出△PEC和△QEC的面积，假设与的面积相等，可知PE=QE，利用SAS可证△AEP≌△AEQ，据此可证得，即可求出∠BAP的度数，可推出PE≠QE，可对③作出判断；设正方形边长为a，的边长为x，可表示出CQ、BP、PE、PQ的长，利用勾股定理可表示出CQ、DQ的长，据此可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
15．【答案】解：
，
当，时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】 先利用平方差公式和完全平方公式对原式约分化简，再将给定的、代入化简后的式子进行计算.
16．【答案】解：设摩托车的速度为x千米/小时
根据题意得：
经检验是方程的解
答：摩托车的速度是40千米/小时
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】根据题意设摩托车的速度为x千米/小时，可表示出抢修车的速度，然后根据时间之差为15分钟，可得到关于x的方程，解方程求解即可.
17．【答案】（1）解：因为点在反比例函数的图象上，
将，代入中，得到，即，
所以反比例函数表达式为，
B
（2）2和
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（1）由于正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，
点关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标都变为原来的相反数，
所以点B的坐标为
（2）解：因为正比例函数的图象与反比例函数（常数）的图象交于两点．
所以由图象知，满足方程的x的值为2和．
【分析】（1）利用待定系数法可求出反比例函数解析式，利用反比例函数的对称性可求出点B的坐标
（2）利用两函数交点的横坐标，可得到x的值.
（1）解：因为点在反比例函数的图象上，
将，代入中，得到，即，
所以反比例函数表达式为，
由于正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，
点关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标都变为原来的相反数，
所以点B的坐标为．
（2）解：因为正比例函数的图象与反比例函数（常数）的图象交于两点．
所以由图象知，满足方程的x的值为2和．
18．【答案】（1）解：以点B为圆心，大于线段一半的长度为半径画弧，
以点D为圆心，同样长度为半径画弧，两弧交于两点，
连接这两个交点，则直线即为所求：
（2）证明：∵是的垂直平分线，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，即，
∴，
∵，
在与中，
，
∴≌，
∴，
∴，
∴四边形是菱形
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图作垂直平分线的步骤作垂直平分线即可．
（2）利用垂直平分线的性质可证得，，利用平行四边形的性质和平行线的性质可推出∠EOB=∠FOD，利用ASA可证明≌，利用全等三角形的性质可证得BE=DF，据此可证得结论.
（1）解：以点B为圆心，大于线段一半的长度为半径画弧，
以点D为圆心，同样长度为半径画弧，两弧交于两点，
连接这两个交点，则直线即为所求：
（2）证明：因为是的垂直平分线，
所以，，，
因为四边形是平行四边形，即，
所以，
又因为，
则在与中，
则有，
所以≌，
所以，
所以，
所以四边形是菱形．
19．【答案】（1），；
（2）解：甲组学生的成绩更好，理由如下：甲组学生成绩的方差为，
由题意知，乙组学生成绩的平均数为分，方差为，方差大于甲组，
∴甲组学生成绩较为稳定，更好
（3）
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】（1）解：甲组5名学生成绩的平均数为：
（分），
将甲组5名学生成绩按从小到大的顺序排列为：，排在最中间的数为，
∴中位数为分，
故答案为：，；
（3）由题意知，小明、小红和小亮三名学生的成绩总和至少为：（分），
故答案为：．
【分析】（1）利用平均数和中位数的定义可求出甲组5名学生成绩的平均数和中位数.
（2）先求出甲组学生成绩的方差，再根据方差越小，成绩越稳定，可求解.
（3）根据题意，小明、小红和小亮三名学生的成绩总和至少为，计算即可.．
（1）解：甲组5名学生成绩的平均数为：
（分），
将甲组5名学生成绩按从小到大的顺序排列为：，排在最中间的数为，
∴中位数为分，
故答案为：，；
（2）解：甲组学生的成绩更好，理由如下：
甲组学生成绩的方差为，
由题意知，乙组学生成绩的平均数为分，方差为，方差大于甲组，
∴甲组学生成绩较为稳定，更好；
（3）解：由题意知，小明、小红和小亮三名学生的成绩总和至少为：（分），
故答案为：．
20．【答案】（1）解：如图①，正方形即为所求．
（2）解：如图①，菱形即为所求．
（3）解：如图③，矩形即为所求．
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的性质
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可知次正方形的边长为，因此画一个边长为的正方形即可；
（2）作出两条对角线长度分别为的菱形，即可满足要求；
（3）作出邻边长分别为的矩形，即可满足要求.
（1）解：如图①，正方形即为所求．
（2）解：如图①，菱形即为所求．
（3）解：如图③，矩形即为所求．
21．【答案】（1）解：描点如图：
（2）解：连线，发现这些点分布在同一条直线上，∴是的一次函数，
设这条直线对应的函数表达式为（为常数，且)，
将坐标和分别代入，得：
，
解得：，
∴这条直线对应的函数表达式为
（3）1.4
【知识点】描点法画函数图象；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（3）解：设第一次测量时秤砣到秤纽的水平距离为厘米，秤钩所挂物重为斤，第二次测量时秤砣到秤纽的水平距离为厘米，秤钩所挂物重为斤，依题意得：
，
由，得：，
，
，
∴第二次测量秤钩所挂物重比第一次测量时增加了斤．
故答案为：．
【分析】（1）按照题目给出的数据描出对应点.
（2）连接所有描出的点，根据图象的形状判断函数类型，再利用待定系数法求出函数解析式；
（3）分别设出两次测量时，秤砣到秤纽的水平距离与对应物重，结合得到的函数解析式列出两个等式，作差得到物重差与距离差的关系，代入已知的距离差即可求出物重的增加量.
（1）解：描点如图：
（2）解：连线，发现这些点分布在同一条直线上，
∴是的一次函数，
设这条直线对应的函数表达式为（为常数，且)，
将坐标和分别代入，得：
，
解得：，
∴这条直线对应的函数表达式为；
（3）解：设第一次测量时秤砣到秤纽的水平距离为厘米，秤钩所挂物重为斤，第二次测量时秤砣到秤纽的水平距离为厘米，秤钩所挂物重为斤，依题意得：
，
由，得：，
，
，
∴第二次测量秤钩所挂物重比第一次测量时增加了斤．
故答案为：．
22．【答案】（1）证明：过点分别作的平行线，并交于点，作射线，则四边形为平行四边形，如图：
∴，
∵，
∴
（2），
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】（2）解：∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴．
由题意：点为上一动点，
∴当时，取得最小值，
此时，
根据勾股定理可得：，
解得：，
∵，
∴线段长度的最小值为，
故答案为：，；
（3）解：过点分别作的平行线，并交于点，作射线，则四边形为平行四边形，如图：
∴，
∵，
∴，
∵四边形为菱形， ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
由题意：点为上一动点，
∴当时，取得最小值，
此时，
∴，
根据勾股定理可得：，
，
∴的最小值为，
周长，
周长的最小值为，
故答案为：．
【分析】（1）过点分别作的平行线，并交于点，作射线，利用平行四边形的判定与性质可证得，据此可证得结论；
（2）利用正方形的性质和平行线的性质可推出 ，据此可证得为等腰直角三角形，可推出；当时，取得最小值，此时CP=DP，利用勾股定理可求出DP的长，即可得到MN的最小值.
（3）过点分别作的平行线，并交于点，作射线，利用平行四边形的判定与性质推出，利用菱形的性质和平行线的性质可求出，即可证得为等边三角形，利用等边三角形的性质可证得∠FCP的度数；当时，取得最小值，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出CP的长，利用勾股定理求出DP的长，可得到EF的最小值，然后求出△DEF周长的最小值.．
23．【答案】（1）；
（2）证明：∵点，点关于点的对称，
，
∵点，点关于点的对称，
，
∴四边形是平行四边形
（3）解：∵四边形为菱形，
，，
在中，
，
，
，
（4）．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质；中心对称的性质
【解析】【解答】（1）解：， ，
，
的面积，
故答案为：；
（4）当四边形为矩形时，点与点重合，如图：
∴点在一条直线上，
为直角三角形，
∵四边形为矩形，
，，
∵四边形为平行四边形，
，
，
的面积，
故答案为：．
【分析】（1）根据勾股定理求出的长度，再利用平行四边形面积公式即可求解.
（2）根据对称的性质证得，，利用平行四边形的判定定理可证得结论.
（3）利用菱形的性质证得，再利用三角形面积公式可求出AP的长，即可得到AM的长.
（4）当四边形为矩形时，点与点重合，此时点在一条直线上，可证得D为直角三角形，再利用矩形和平行四边形的性质求出和的长度，再利用三角形面积公式求出△MBD的面积.
（1）解：， ，
，
的面积，
故答案为：；
（2）证明：∵点，点关于点的对称，
，
∵点，点关于点的对称，
，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：∵四边形为菱形，
，，
在中，
，
，
，
；
（4）解：当四边形为矩形时，点与点重合，如图：
∴点在一条直线上，
为直角三角形，
∵四边形为矩形，
，，
∵四边形为平行四边形，
，
，
的面积，
故答案为：．
24．【答案】（1）解：在中，令得：，
∴直线与直线交点坐标为，
把代入得：，
解得：，
∴直线对应的函数表达式为
（2），；
（3）解：①如图：
∵点在直线上，的横坐标为，
∴，
在中，令得：，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
解得：或
②的值为或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；矩形的性质；正方形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（2）解：如图：
当时，的纵坐标为，
，
∵轴，
∴在中，令得：，
∴，
，
故答案为：，；
（3）②设直线交于，此时，如图：
由①知，，，
∴，
∵，
∴，，
在中，令得：，
∴，
∴，
，
，
，
，
解得：，
设直线交于，此时，如图：
同理可得，，
∴，
∵，
∴，
在中，令得：，
∴，
∴，
，
∴，
，
解得：或（舍去），
综上所述，的值为或．
【分析】（1）利用已知条件求出两直线的交点坐标，再将点直线l1的函数解析式，可求出b的值，即可得到其函数解析式.
（2）将m的值代入直线的解析式可求出对应的y的值，可得到点P的坐标，再根据轴，求出点Q的坐标，即可求出的长.
（3）①由，，表示出PQ的长，再根据正方形的性质得到关于m的方程，解方程求出m的值；②分两种情况：设直线交于，此时， 设直线交于，此时，分别求解即可．
（1）解：在中，令得：，
∴直线与直线交点坐标为，
把代入得：，
解得：，
∴直线对应的函数表达式为；
（2）解：如图：
当时，的纵坐标为，
，
∵轴，
∴在中，令得：，
∴，
，
故答案为：，；
（3）解：①如图：
∵点在直线上，的横坐标为，
∴，
在中，令得：，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
解得：或；
②设直线交于，此时，如图：
由①知，，，
∴，
∵，
∴，，
在中，令得：，
∴，
∴，
，
，
，
，
解得：，
设直线交于，此时，如图：
同理可得，，
∴，
∵，
∴，
在中，令得：，
∴，
∴，
，
∴，
，
解得：或（舍去），
综上所述，的值为或．
1 / 1吉林省长春市朝阳区2024—2025学年下学期八年级期末数学试题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．若分式的值为0，则x的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：若分式的值为0，则且，
∴，，
故选：D．
【分析】要使分式的值为0，需满足分子为0，分母不为0，据此求解即可．
2．下表是某饮品店统计了某段时间店内甲、乙、丙、丁四种口味饮品的销售情况．
口味 甲 乙 丙 丁
销售量（杯） 186 479 217 90
根据表中数据，该饮品店决定增加乙种口味饮品食材的购进数量，影响其决策的统计量是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】B
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：众数 ：数据中出现次数最多的值， 乙销量479杯，最高 ，直接反映最受欢迎口味．
其他统计量：
平均数 （所有销量总和），无法突出乙的优势；
中位数 （销量排序后中间值），不能体现乙销量最高；
方差 （数据波动程度），与畅销度无关；
因此，饮品店基于众数（乙销量最高）做出决策，
故选：．
【分析】我们直接对比四种口味的销量就可以得到，乙口味销量最高，我们需要选择一个能代表“销量最高、最受欢迎”这个信息的统计量，也就是众数；平均数用来反映整体的平均水平；中位数用来体现数据的中间水平；方差用来衡量数据的波动稳定性，据此可求解.
3．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，，相邻角相等无法保证对边平行或对角相等，不能判定为平行四边形，本选项不符合题意；
B、，，邻边相等可能形成筝形或菱形，但无法保证对边相等或平行，不能判定为平行四边形，本选项不符合题意；
C、，，两组对边分别相等，符合“两组对边相等的四边形是平行四边形”的判定定理，可判定为平行四边形，本选项符合题意；
D、，，一组对边平行且另一组对边相等可能形成等腰梯形，而非平行四边形，本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】此题需要结合平行四边形的判定定理，逐一分析每个选项是否满足判定条件即可.
4．一次函数（k是常数，）一定经过（　　）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当时，一次函数的截距，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限；
当时，
∵，
此时一次函数的图象经过第二、三、四象限；
结合两种情况可以发现，无论k取不为0的任何常数，一次函数一定同时经过第三象限和第四象限，
故答案为：C．
【分析】分情况讨论：k大于0和k小于0两种情况，讨论一次函数y=kx-3经过的象限，即可得到结论.
5．如图，矩形的对角线和相交于点O，于点E，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由对顶角相等得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用矩形的性质可证得，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OAD的度数，然后根据直角三角形的两个锐角互余求解即可得．
6．如图，将“一个圆柱形的空玻璃杯固定在一个与其形状相同的无水鱼缸内”看作一个容器．现对准玻璃杯杯口匀速注水，直到容器注满为止，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部中央．则能刻画容器最高水位h（厘米）与注水时间t（分）的函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设圆柱形空玻璃杯的高度为厘米，注入水的速度为厘米/分，
根据注水过程，我们可以分三个阶段分析：
①在注满空玻璃杯之前，水全部注入玻璃杯中，容器（鱼缸）的水位高度随注水时间匀速上升，满足，对应图象是过原点的倾斜线段；
②当水刚好注满玻璃杯后，在鱼缸的水位还没没过玻璃杯高度之前，继续注入的水会从玻璃杯溢出到鱼缸，此时鱼缸的水位高度始终等于玻璃杯的高度，保持不变，即，对应图象是一段平行于轴的水平线段；
③当鱼缸的水位超过玻璃杯的高度之后，水需要填满整个鱼缸的横截面积，此时水位仍然随注水匀速上升，但因为鱼缸的底面积远大于玻璃杯的底面积，所以水位上升的速度比第一阶段更慢，对应图象仍是倾斜线段，但倾斜程度比第一阶段更小。
结合上述规律，可得符合条件的图象为选项A。
故答案为：A．
【分析】我们可以设空圆柱形玻璃杯的高度为厘米，注水速度为厘米/分钟，按照注水的三个不同阶段，分别分析容器内水面高度和注水时间的变化关系，即可判断对应函数图象。
7．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，若点P是矩形内部一点，连结、、、，则与的面积的和为（　　）
A．1.5 B．2 C．3 D．无法确定
【答案】C
【知识点】点的坐标；三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点作的平行线，分别交轴于点，交于点，
∵四边形是矩形，且点的坐标为，
∴，，，
∵，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴与的面积的和为
，
故选：C．
【分析】
过点作平行于的直线，这条直线分别交轴于点，交于点。首先根据已知条件可以得到，接下来可以证明四边形是矩形，根据矩形对边相等的性质，就可以得到，最后结合三角形的面积公式即可计算得出最终结果.
8．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数．已知与之间的函数图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A． B．当，时，
C．当时， D．当时，
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设与之间的函数解析式为，
将点代入得：，
∴，则选项A错误；
当时，，则选项B错误；
当时，，
当时，，
∵在函数中，，
∴在第一象限内，随着的增大而减小，
∴当时，，则选项C错误；
当时，，则选项D正确；
故答案为：D．
【分析】利用函数图象可知反比例函数图象经过点（12，80），利用待定系数法求出反比例函数的解析式可对A作出判断；再将代入求出的值，可对B作出判断；然后将和代入求出的值，利用反比例函数的增减性可对C、D作出判断.
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．计算：　 　．
【答案】4
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解： ．
故答案为：4 ．
【分析】先算乘方运算，再算加法.
10．在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为　 　．
【答案】3
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：到y轴的距离是横坐标的绝对值，即．
故答案为：3．
【分析】 平面直角坐标系中，点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，根据这一性质即可求解.
11．关于x的分式方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：分式方程为，
去分母：，
去括号：，
移项合并同类项：，
检验：当时，，
所以原方程的解为 ．
故答案为： ．
【分析】 解分式方程的核心是先通过去分母将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，最后对所得的根进行检验即可.
12．老师在计算学生每学期的总评成绩时，按照“平时成绩占，考试成绩占”的比例计算．若小明的平时成绩为95分，考试成绩为90分，则他的总评成绩为　 　分．
【答案】92
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：总评成绩为：，
故答案为：．
【分析】利用总评成绩平时成绩考试成绩，列式计算即可.
13．如图，菱形的对角线相交于点O，若，菱形的周长是52，则的长为　 　．
【答案】10
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的周长是52，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：10．
【分析】
根据菱形的性质可以得到，再结合勾股定理计算出的长度，即可得出最终结果.
14．如图，在正方形纸片中，点P是边上一点，连结，将正方形沿折叠，点B落在点E处，延长交于点Q，连结，．给出以下结论：①≌；②；③与的面积相等；④若，则．上述结论中，正确结论的序号有　 　．
【答案】①②④
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵是由翻折得到，
∴，，
∴，
在正方形中，，
∴，
则在和中，
由，
可得≌，故①正确；
∵≌，
∴，
又∵是由翻折得到，
∴，
∴，故②正确；
过点C作交于点F，如图，
则与的高为，
则有，，
假设与的面积相等，
则有，
∵，
∴在和中，
由，
可知≌，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
由题目已知可得，不是正方形的对角线，
∴与已知矛盾，
∴，
∴与的面积相等，故③错误；
设正方形边长为a，的边长为x，
则有，，
∴，，
∴，
∴，
则在中，，
即，
则有，
解得，
∴，
∵，
∴，故④正确．
故答案为：①②④．
【分析】利用折叠的性质可证得，，利用正方形的性质可证得AD=AE，再利用HL可证得△AEQ≌△ADQ，可对①作出判断；利用全等三角形的性质可得到EQ=DQ，利用折叠的性质可知BP=PE，据此可对②作出判断；过点C作交于点F，利用三角形的面积公式可表示出△PEC和△QEC的面积，假设与的面积相等，可知PE=QE，利用SAS可证△AEP≌△AEQ，据此可证得，即可求出∠BAP的度数，可推出PE≠QE，可对③作出判断；设正方形边长为a，的边长为x，可表示出CQ、BP、PE、PQ的长，利用勾股定理可表示出CQ、DQ的长，据此可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15．先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
，
当，时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】 先利用平方差公式和完全平方公式对原式约分化简，再将给定的、代入化简后的式子进行计算.
16．供电局的电力维修工人要到30千米的郊区进行电力抢修，维修工人骑摩托车先从供电局出发，15分钟后，抢修车装载着所有的材料出发，沿着与维修工人相同的路线行驶，结果他们同时到达，已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．
【答案】解：设摩托车的速度为x千米/小时
根据题意得：
经检验是方程的解
答：摩托车的速度是40千米/小时
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】根据题意设摩托车的速度为x千米/小时，可表示出抢修车的速度，然后根据时间之差为15分钟，可得到关于x的方程，解方程求解即可.
17．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正比例函数（常数）的图象与反比例函数（常数）的图象交于A、B两点，且点A的坐标为．
（1）求反比例函数表达式，并直接写出点B的坐标．
（2）根据函数图象，直接写出满足方程的x的值．
【答案】（1）解：因为点在反比例函数的图象上，
将，代入中，得到，即，
所以反比例函数表达式为，
B
（2）2和
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（1）由于正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，
点关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标都变为原来的相反数，
所以点B的坐标为
（2）解：因为正比例函数的图象与反比例函数（常数）的图象交于两点．
所以由图象知，满足方程的x的值为2和．
【分析】（1）利用待定系数法可求出反比例函数解析式，利用反比例函数的对称性可求出点B的坐标
（2）利用两函数交点的横坐标，可得到x的值.
（1）解：因为点在反比例函数的图象上，
将，代入中，得到，即，
所以反比例函数表达式为，
由于正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，
点关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标都变为原来的相反数，
所以点B的坐标为．
（2）解：因为正比例函数的图象与反比例函数（常数）的图象交于两点．
所以由图象知，满足方程的x的值为2和．
18．如图，四边形是平行四边形．
（1）用圆规和无刻度的直尺作线段的垂直平分线，交于点O，交于点E、交于点F，连结、；（保留作图痕迹）
（2）求证：四边形是菱形．
【答案】（1）解：以点B为圆心，大于线段一半的长度为半径画弧，
以点D为圆心，同样长度为半径画弧，两弧交于两点，
连接这两个交点，则直线即为所求：
（2）证明：∵是的垂直平分线，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，即，
∴，
∵，
在与中，
，
∴≌，
∴，
∴，
∴四边形是菱形
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图作垂直平分线的步骤作垂直平分线即可．
（2）利用垂直平分线的性质可证得，，利用平行四边形的性质和平行线的性质可推出∠EOB=∠FOD，利用ASA可证明≌，利用全等三角形的性质可证得BE=DF，据此可证得结论.
（1）解：以点B为圆心，大于线段一半的长度为半径画弧，
以点D为圆心，同样长度为半径画弧，两弧交于两点，
连接这两个交点，则直线即为所求：
（2）证明：因为是的垂直平分线，
所以，，，
因为四边形是平行四边形，即，
所以，
又因为，
则在与中，
则有，
所以≌，
所以，
所以，
所以四边形是菱形．
19．2025年4月15日是第十个国家安全教育日．为了增强学生国家安全意识，某班组织学生举行国家安全法知识竞赛，现统计甲、乙两个小组每个小组的5名学生的成绩，根据甲组学生的成绩绘制了统计表，并给出了乙组学生的成绩方差的计算过程．
甲组学生的成绩统计表
学生 静静 婷婷 聪聪 慧慧 乐乐
成绩（分） 86 89 87 90 93
乙组学生的成绩直接代入方差公式，计算过程如下：
（分2）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲组5名学生成绩的平均数为______分，中位数为______分．
（2）你认为甲、乙两个小组中哪一组学生的成绩更好？请说明理由．
（3）将班级小明、小红和小亮的成绩与甲组5名学生的成绩一起组成一组新的数据，若这8个数据的平均数不低于90分，则小明、小红和小亮三名学生的成绩总和至少是______分．
【答案】（1），；
（2）解：甲组学生的成绩更好，理由如下：甲组学生成绩的方差为，
由题意知，乙组学生成绩的平均数为分，方差为，方差大于甲组，
∴甲组学生成绩较为稳定，更好
（3）
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】（1）解：甲组5名学生成绩的平均数为：
（分），
将甲组5名学生成绩按从小到大的顺序排列为：，排在最中间的数为，
∴中位数为分，
故答案为：，；
（3）由题意知，小明、小红和小亮三名学生的成绩总和至少为：（分），
故答案为：．
【分析】（1）利用平均数和中位数的定义可求出甲组5名学生成绩的平均数和中位数.
（2）先求出甲组学生成绩的方差，再根据方差越小，成绩越稳定，可求解.
（3）根据题意，小明、小红和小亮三名学生的成绩总和至少为，计算即可.．
（1）解：甲组5名学生成绩的平均数为：
（分），
将甲组5名学生成绩按从小到大的顺序排列为：，排在最中间的数为，
∴中位数为分，
故答案为：，；
（2）解：甲组学生的成绩更好，理由如下：
甲组学生成绩的方差为，
由题意知，乙组学生成绩的平均数为分，方差为，方差大于甲组，
∴甲组学生成绩较为稳定，更好；
（3）解：由题意知，小明、小红和小亮三名学生的成绩总和至少为：（分），
故答案为：．
20．图①、图②、图③均是的正方形网格，小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其顶点A、B、C、D均在格点上，且所作四边形的各边长均为无理数．
（1）在图①中，四边形是正方形，且面积为10．
（2）在图②中，四边形是菱形但不是正方形，且面积为8．
（3）在图③中，四边形是矩形，且面积为6．
【答案】（1）解：如图①，正方形即为所求．
（2）解：如图①，菱形即为所求．
（3）解：如图③，矩形即为所求．
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的性质
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可知次正方形的边长为，因此画一个边长为的正方形即可；
（2）作出两条对角线长度分别为的菱形，即可满足要求；
（3）作出邻边长分别为的矩形，即可满足要求.
（1）解：如图①，正方形即为所求．
（2）解：如图①，菱形即为所求．
（3）解：如图③，矩形即为所求．
21．我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），下表是若干次称重时所记录的一些数据：
x（厘米） 1 2 3 4 5 6
y（斤） 2
（1）请根据表中x与y的对应值，在给定的平面直角坐标系中描出相应的点；
（2）观察（1）中描出的各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上．如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由；
（3）某同学通过将秤杆上秤砣到秤纽的水平距离进行调整进行先后两次测量，若第二次测量时，秤砣到秤纽的水平距离比第一次测量时增加了2厘米，则第二次测量秤钩所挂物重比第一次测量时增加了______斤．
【答案】（1）解：描点如图：
（2）解：连线，发现这些点分布在同一条直线上，∴是的一次函数，
设这条直线对应的函数表达式为（为常数，且)，
将坐标和分别代入，得：
，
解得：，
∴这条直线对应的函数表达式为
（3）1.4
【知识点】描点法画函数图象；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（3）解：设第一次测量时秤砣到秤纽的水平距离为厘米，秤钩所挂物重为斤，第二次测量时秤砣到秤纽的水平距离为厘米，秤钩所挂物重为斤，依题意得：
，
由，得：，
，
，
∴第二次测量秤钩所挂物重比第一次测量时增加了斤．
故答案为：．
【分析】（1）按照题目给出的数据描出对应点.
（2）连接所有描出的点，根据图象的形状判断函数类型，再利用待定系数法求出函数解析式；
（3）分别设出两次测量时，秤砣到秤纽的水平距离与对应物重，结合得到的函数解析式列出两个等式，作差得到物重差与距离差的关系，代入已知的距离差即可求出物重的增加量.
（1）解：描点如图：
（2）解：连线，发现这些点分布在同一条直线上，
∴是的一次函数，
设这条直线对应的函数表达式为（为常数，且)，
将坐标和分别代入，得：
，
解得：，
∴这条直线对应的函数表达式为；
（3）解：设第一次测量时秤砣到秤纽的水平距离为厘米，秤钩所挂物重为斤，第二次测量时秤砣到秤纽的水平距离为厘米，秤钩所挂物重为斤，依题意得：
，
由，得：，
，
，
∴第二次测量秤钩所挂物重比第一次测量时增加了斤．
故答案为：．
22．【问题呈现】小明在数学小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值．
【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】如图②，过点D、N分别作的平行线，并交于点P，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）求证：．
（2）的大小为______度，线段长度的最小值为______．
【方法运用】（3）如图③，在菱形中，，，点E、F分别在边上，且，则周长的最小值为______．
【答案】（1）证明：过点分别作的平行线，并交于点，作射线，则四边形为平行四边形，如图：
∴，
∵，
∴
（2），
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】（2）解：∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴．
由题意：点为上一动点，
∴当时，取得最小值，
此时，
根据勾股定理可得：，
解得：，
∵，
∴线段长度的最小值为，
故答案为：，；
（3）解：过点分别作的平行线，并交于点，作射线，则四边形为平行四边形，如图：
∴，
∵，
∴，
∵四边形为菱形， ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
由题意：点为上一动点，
∴当时，取得最小值，
此时，
∴，
根据勾股定理可得：，
，
∴的最小值为，
周长，
周长的最小值为，
故答案为：．
【分析】（1）过点分别作的平行线，并交于点，作射线，利用平行四边形的判定与性质可证得，据此可证得结论；
（2）利用正方形的性质和平行线的性质可推出 ，据此可证得为等腰直角三角形，可推出；当时，取得最小值，此时CP=DP，利用勾股定理可求出DP的长，即可得到MN的最小值.
（3）过点分别作的平行线，并交于点，作射线，利用平行四边形的判定与性质推出，利用菱形的性质和平行线的性质可求出，即可证得为等边三角形，利用等边三角形的性质可证得∠FCP的度数；当时，取得最小值，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出CP的长，利用勾股定理求出DP的长，可得到EF的最小值，然后求出△DEF周长的最小值.．
23．如图，在中，，对角线，且，点P是边上的一点（点P不与点B重合），作点A关于点P的对称点M，作点B关于点P的对称点N，连结，
（1）的面积为______．
（2）求证：四边形是平行四边形．
（3）当四边形为菱形时，求线段的长．
（4）当四边形为矩形时，连结，的面积为______．
【答案】（1）；
（2）证明：∵点，点关于点的对称，
，
∵点，点关于点的对称，
，
∴四边形是平行四边形
（3）解：∵四边形为菱形，
，，
在中，
，
，
，
（4）．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质；中心对称的性质
【解析】【解答】（1）解：， ，
，
的面积，
故答案为：；
（4）当四边形为矩形时，点与点重合，如图：
∴点在一条直线上，
为直角三角形，
∵四边形为矩形，
，，
∵四边形为平行四边形，
，
，
的面积，
故答案为：．
【分析】（1）根据勾股定理求出的长度，再利用平行四边形面积公式即可求解.
（2）根据对称的性质证得，，利用平行四边形的判定定理可证得结论.
（3）利用菱形的性质证得，再利用三角形面积公式可求出AP的长，即可得到AM的长.
（4）当四边形为矩形时，点与点重合，此时点在一条直线上，可证得D为直角三角形，再利用矩形和平行四边形的性质求出和的长度，再利用三角形面积公式求出△MBD的面积.
（1）解：， ，
，
的面积，
故答案为：；
（2）证明：∵点，点关于点的对称，
，
∵点，点关于点的对称，
，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：∵四边形为菱形，
，，
在中，
，
，
，
；
（4）解：当四边形为矩形时，点与点重合，如图：
∴点在一条直线上，
为直角三角形，
∵四边形为矩形，
，，
∵四边形为平行四边形，
，
，
的面积，
故答案为：．
24．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线（b为常数）与直线交点的横坐标为1，点P在直线上，点Q在直线上，且轴，设点P的横坐标为．
（1）求直线对应的函数表达式．
（2）当时，点Q的坐标为______，线段的长度为______．
（3）以为边作矩形，使，且点M、N在直线的下方．
①当四边形是正方形时，求m的值．
②当矩形被直线分成的两部分的面积比为时，直接写出m的值．
【答案】（1）解：在中，令得：，
∴直线与直线交点坐标为，
把代入得：，
解得：，
∴直线对应的函数表达式为
（2），；
（3）解：①如图：
∵点在直线上，的横坐标为，
∴，
在中，令得：，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
解得：或
②的值为或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；矩形的性质；正方形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（2）解：如图：
当时，的纵坐标为，
，
∵轴，
∴在中，令得：，
∴，
，
故答案为：，；
（3）②设直线交于，此时，如图：
由①知，，，
∴，
∵，
∴，，
在中，令得：，
∴，
∴，
，
，
，
，
解得：，
设直线交于，此时，如图：
同理可得，，
∴，
∵，
∴，
在中，令得：，
∴，
∴，
，
∴，
，
解得：或（舍去），
综上所述，的值为或．
【分析】（1）利用已知条件求出两直线的交点坐标，再将点直线l1的函数解析式，可求出b的值，即可得到其函数解析式.
（2）将m的值代入直线的解析式可求出对应的y的值，可得到点P的坐标，再根据轴，求出点Q的坐标，即可求出的长.
（3）①由，，表示出PQ的长，再根据正方形的性质得到关于m的方程，解方程求出m的值；②分两种情况：设直线交于，此时， 设直线交于，此时，分别求解即可．
（1）解：在中，令得：，
∴直线与直线交点坐标为，
把代入得：，
解得：，
∴直线对应的函数表达式为；
（2）解：如图：
当时，的纵坐标为，
，
∵轴，
∴在中，令得：，
∴，
，
故答案为：，；
（3）解：①如图：
∵点在直线上，的横坐标为，
∴，
在中，令得：，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
解得：或；
②设直线交于，此时，如图：
由①知，，，
∴，
∵，
∴，，
在中，令得：，
∴，
∴，
，
，
，
，
解得：，
设直线交于，此时，如图：
同理可得，，
∴，
∵，
∴，
在中，令得：，
∴，
∴，
，
∴，
，
解得：或（舍去），
综上所述，的值为或．
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