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2026年四川省雅安市雨城中学九年级数学中考模拟二
1．下列各数是负数的是（　　）
A．0 B． C． D．
2．计算（　　）
A．1 B．0 C． D．
3．如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，直线，于点．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．若，则的值为（　　）
A．24 B．20 C．18 D．16
6．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．不等式组的解集为（　　）
A． B． C． D．
8．如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是(　　)
A． B． C． D．
9．一组数据1，2，2，3，5，将这组数据中的每一个数都加上 ，得到一组新数据 ， ， ， ， ，这两组数据的以下统计量相等的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
10．将直线向左平移个单位后，经过点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在中，是的中点，相交于点，（　　）
A． B． C． D．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0； ③8a+c＜0； ④5a+b+2c＞0，正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．②③
13．将因式分解后的结果为　 　．
14．要使代数式有意义，则x的取值范围为 　 　．
15．一个箱子装有除颜色外都相同的3个蓝球，3个灰球和一定数量的粉球．从中随机抽取1个球，被抽到粉球的概率是，那么箱内粉球有 　 　个．
16．已知m，n是方程的两个实数根，则的值是　 　．
17．如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，则　 　．
18．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
19．网络技术的发展对学生学习方式产生巨大的影响，某校为了解学生每周课余利用网络资源进行自主学习的时间，在本校随机抽取若干名学生进行问卷调查，现将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题．
组别 学习时间 频数（人数）
A 8
B 24
C 32
D n
E 4小时以上 4
（1）表中的 ，扇形统计图中B组对应的圆心角为 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）该校准备召开利用网络资源进行自主学习的交流会，计划在 E组学生中随机选出两人进行经验介绍，已知E组的四名学生中，七、八年级各有1人，九年级有2 人，请用画树状图法或列表法求抽取的两名学生都来自九年级的概率．
20．如图，点O为的对角线的中点，经过点O的直线分别交和于点E，F，交和的延长线于点G，H．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．成都世博会吉祥物为可爱的“桐妹儿”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色．五一假期，小明参观完世博会后，准备购买世博会纪念品送给同学，现有A，B两款吉祥物“桐妹儿”．若购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元．
（1）求每件A款吉祥物和每件B款吉祥物的价格；
（2）小明准备购买两款吉祥物共10件，若购买A款吉祥物数量为m件，购买A，B两款吉祥物总费用为W元，请写出总费用为W与数量m之间的函数关系式，并求出总费用最少为多少元？
22．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，连接，延长交反比例函数图象于点C．
（1）求一次函数的表达式与反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出自变量x的取值范围为______；
（3）点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标．
23．如图是的外接圆，，延长至点，连接，使得，交于．
（1）求证：与相切；
（2）若，．求的半径和的长度．
24．如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C．连接和，点P在抛物线上运动，连接，和．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（2）点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中（点P与点A，C不重合），作点P关于x轴的对称点，连接，，记的面积为，记的面积为，若满足，求的面积；
（3）在（2）的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正数、负数的概念与分类；相反数的意义与性质；立方根的性质
【解析】【解答】解：A、 0既不是正数也不是负数，不符合题意；
B、是正数，不符合题意；
C、是正数，不符合题意；
D、，是负数，符合题意.
故答案为：D．
【分析】先根据去括号法则将C选项中的式子化简，同时根据一个负数的立方根是一个负数将D选项的式子化简，最后根据实数分为正实数、负实数和零，正实数就是大于零的实数，负实数就是小于零的实数，0既不是正实数，也不是负实数，逐一判断即可.
2．【答案】D
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：根据乘方的定义，任意数的1次方满足，
，
故答案为：D．
【分析】根据乘方的意义，任何数的1次幂都等于其本身，故1作指数的时候通常省略不写，据此可得答案.
3．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看的图形为：，
故答案为：A．
【分析】根据三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，找到从正面看所得到的图形即可得出答案．
4．【答案】B
【知识点】垂线的概念；铅笔头模型；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点作直线．
，，
．
，
．
．
故选：B．
【分析】
过点作平行于的直线，再结合平行线的性质就可以求出对应结果.
5．【答案】D
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵a2-4a-12=0，
∴a2-4a=12，
∴原式=2（a2-4a）-8=2×12-8=16.
故答案为：D
【分析】利用已知可得到a2-4a的值，再将代数式转化为2（a2-4a）-8，然后整体代入求值.
6．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，无法合并，该选项错误，不符合题意；
B、，该选项正确，符合题意；
C、，该选项错误，不符合题意；
D、，该选项错误，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘可判断B选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
7．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
故答案为：D．
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
8．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】连接CO，且直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形中，，
∴，
∵点A与圆心O重合，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
故选：B．
【分析】
连接CO，让直线l和AO相交于点D，通过解直角三角形得到，据此可以求出扇形的面积，之后再计算出的面积，用扇形面积减去三角形面积（或根据对应面积关系）就可以得到阴影部分的面积.
9．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：将一组数据中的每一个数都加上a得到一组新的数据，那么这组数据的波动幅度保持不变，即方差不变，而平均数和众数、中位数均改变．
故答案为：D．
【分析】根据方差的意义及平均数、众数、中位数的定义求解可得．
10．【答案】D
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向左平移个单位后，所得函数解析式为，
∵平移后的直线经过点，
∴，
解得，
故选：．
【分析】
按照平移规则向上平移3个单位后，可得函数解析式为，再将点代入解析式计算就能求出对应结果.
11．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵是的中点，
∴DE=CD，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得出AB∥CD，AB=CD，由中点定义可求出，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△DEF∽△BAF，由相似三角形面积的比等于相似比的平方可得结论.
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；数形结合
【解析】【解答】解：抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，
＜
∵ 抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是
＞
函数图象与轴交于正半轴，
＞
＜ 故①不符合题意；
抛物线与轴有两个交点，
＞ 故②符合题意；
抛物线的对称轴为：
当时，＜
＜
＜故③符合题意；
当时，＞，
当时，＞，
两式相加可得：＞，故④符合题意；
故答案为：B.
【分析】由抛物线的开口方向判断A的正负，由抛物线与y轴交点的位置判断c的正负，由抛物线的对称轴直线公式结合对称性直线为x=1判断出b的正负，进而根据有理数乘法法则可判断①；由抛物线与x轴的交点个数，可判断②，由抛物线的对称轴直线方程可得b=-2a，结合图象可得当x=-2时，y=4a-2b+c＜0 可判断③，由图象可得当x=2时，y=4a+2b+c＞0，当x=-1时，y=a-b+c＞0，两式相加可判断④，从而可得答案．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
先提取公因式，再借助平方差公式完成分解即可.
14．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得．
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
15．【答案】6
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设箱内粉球有x个，
由题意得：，
解得：x=6，
经检验，x=6是原方程的解，
即箱内粉球有6个，
故答案为：6．
【分析】设箱内粉球有x个，根据概率公式列出方程即可求解．
16．【答案】2024
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：因为是方程的实数根，
∴，
∴，
∴
，
．
故答案为：2024.
【分析】由方程根的定义，将x=m代入原方程可得m2+4m=3；根据一元二次方程根与系数的关系可得m+n=-4，然后将待求式子拆项变形为(m2+4m)+(m+n)+2025，从而整体代入计算可得答案.
17．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于点，
设，则，
，为的中点，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
在中，，
，解得，（小于，舍去），
．
故答案为：．
【分析】连接CE，过点E作EF⊥BC于点F，设BD=x，则BC=x+2，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CE=AE=DE=AD，由等边对等角及三角形外角性质推出∠CED=2∠CAD，∠ECD=∠BEC=EDC，由有两组角相等的两个三角形相似得△ECD∽△BCE，由相似三角形对应边成比例建立方程得出CE2=2x+4；由相似三角形对应角相等得∠CED=∠CBE，由角平分线定义得∠CAB=2∠CAD，则推出∠CAB=∠CED=∠CBE，结合∠ACB=∠BFE=90°，由有两组角相等的两个三角形相似得△ABC∽△BEF，由相似三角形对应边成比例得；由等腰三角形的三线合一得出CF=DF=1，由三角形中位线等于第三边的一半得出AC=2EF，从而代入可得用含x的式子表示出EF2，最后在Rt△ECF中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，从而得到BD的长.
18．【答案】解：（1），
，
，
；
（2），
，
，
，
，
当时，原式．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先根据有理数乘方运算法则、绝对值性质、负整数指数幂法则“”及立方根定义分别计算，再计算加减法运算可得答案；
（2）把括号内的整式x+1看成分母为1的式子，通分计算括号内异分母分式的减法，同时根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，进而计算分式乘法，约分化简；根据特殊锐角三角函数值，将x的值化简后代入化简结果计算即可.
19．【答案】（1）12，
（2）解：如图所示：
（3）解：画树状图为：
共12种可能，抽取的两名学生都来自九年级的有2种可能，
∴P（两个学生都是九年级），
答：抽取的两名学生都来自九年级的概率为．

【知识点】频数（率）分布直方图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
(1)解：，，
B组对应的圆心角，
故答案为：12，108；
【分析】
（1）借助A组的频数和对应占比先计算出本次调查的总人数，接着结合D组的占比计算出的值，最后用乘B组在总体中所占的百分比，就能得到B组对应扇形圆心角的度数；
（2）结合频数分布表中给出的各组频数，就可以绘制出对应的频数分布直方图。
（3）通过画树状图列举出所有抽取的等可能结果，再找出其中两名学生都来自九年级的结果数，就可以计算出对应的概率。
20．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
∥，
，
∵是的中点，
，
又∵，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，即，
，
又，，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形对边平行的性质得到，再由平行线的内错角相等推出，结合平行四边形对角线互相平分得到OB=OD，再加对顶角相等，即可通过角边角判定定理证明，最后根据全等三角形对应边相等即可证得．
（2）先利用平行四边形对边平行的性质得到，再由平行线的内错角相等推出，结合平行四边形对角线互相平分得到OD=OB，再加对顶角相等，即可通过角角边判定定理证明，根据全等三角形对应边相等得到，结合第一问得到的OE=OF，即可计算求出的长度．
21．【答案】（1）解：设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元．
根据题意，得，
解得．
答：每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元
（2）解：，∵，
∴W随m的减小而减小，
∵，
∴当时，W值最小，．
答：总费用为W与数量m之间的函数关系式为，总费用最少为520元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）分别设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元，利用已知条件： 购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元，可列二元一次方程组，然后求出方程组的解.
（2）根据“总费用=每件A款吉祥物的价格×购买A款吉祥物数量+每件B款吉祥物的价格×购买B款吉祥物数量”，可得到W与m之间的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，可求出的最小值．
（1）解：设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元．
根据题意，得，
解得．
答：每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元；
（2）解：，
∵，
∴W随m的减小而减小，
∵，
∴当时，W值最小，．
答：总费用为W与数量m之间的函数关系式为，总费用最少为520元．
22．【答案】（1）解：（1）一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，
，
反比例函数解析式为，
，两点在一次函数图象上，
，解得，
一次函数解析式为．
（2）或
（3） 解：∵直线解析式为，
故直线与轴交点坐标为，与轴交点坐标为，
∴，
，
∴，
设点坐标为，点，
，
解得，
∴或

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】
（2）
由反比例函数对称轴性质可得点，
由图象可知，当时，自变量的取值范围为：或．
故答案为：或．
【分析】
（1）利用待定系数法即可求出两个函数的解析式；
（2）结合函数图象，即可直接写出不等式的解集；
（3）设点的坐标为，由题意得点，根据面积关系，代入对应数据求出的值，即可得到点的坐标.
（1）解：（1）一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，
，
反比例函数解析式为，
，两点在一次函数图象上，
，解得，
一次函数解析式为．
（2）由反比例函数对称轴性质可得点，
由图象可知，当时，自变量的取值范围为：或．
故答案为：或．
（3）∵直线解析式为，
故直线与轴交点坐标为，与轴交点坐标为，
∴，
，
∴，
设点坐标为，点，
，
解得，
∴或
23．【答案】（1）证明：连接，
，
，
又，
，
，
是的切线
（2）解： 如图，作于点，
设的半径为，则，
，
在中，，
， 解得，
，
，
，
在中，，
∵OH⊥AB
．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【分析】（1）连接OA，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠AOC=2∠ABC=90°，由二直线平行，同旁内角互补得出∠OAD=90°，从而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）作OH⊥AB于点H，设的半径为R，在Rt△AOE中，根据勾股定理建立方程可求出R=4，由等面积法求出OH的长，在Rt△AOH根据勾股定理算出AH的长，由垂径定理得出AB=2AH，从而即可得出答案.
（1）证明：连接，
，
，
又，
，
，
是的切线；
（2）解： 如图，作于点，
设的半径为，则，
，
在中，，
， 解得，
，
，
，
，
，
在中，，
．
24．【答案】（1）解：将点和代入抛物线可得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
∵，
∴该抛物线的顶点坐标为：．
（2）解：∵，∴点，
设点，则点，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的表达式为：，则点，
同理由点B、P的坐标得，直线PB的表达式为：，
如图：连接交于点E，设直线交y轴于点D，则点，
则，
同理可得：，
∴，解得：（舍去）或
∴点，
∴的面积为．
（3）解：存在，理由如下：由（2）知，；
由点C、P的坐标得，，
当点Q在点C的上方时，则，
由点C、P的坐标得，，
如图：过点Q作于点H，
∵
∴，
设，
∴，即，解得：，
∴
∴，解得：；
∴，
∴，
∴，
∴即点；
当点在点C下方时，
同理可得：，
∴点；
综上，或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形—边角关系；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数表达式，化成顶点式得到顶点坐标；
（2）先求出直线AC的解析式，设点，则点，点，然后表示S1，S2，即可得到关于m的方程，求出m值即可；
（3）当点Q在点C的上方时，则，利用正切求出长，即可求解；点在点C下方时，同理可解．
（1）解：将点和代入抛物线可得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：，
∵，
∴该抛物线的顶点坐标为：．
（2）解：∵，
∴点，
设点，则点，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的表达式为：，则点，
同理由点B、P的坐标得，直线PB的表达式为：，
如图：连接交于点E，设直线交y轴于点D，则点，
则，
同理可得：，
∴，解得：（舍去）或
∴点，
∴的面积为．
（3）解：存在，理由如下：
由（2）知，；
由点C、P的坐标得，，
当点Q在点C的上方时，则，
由点C、P的坐标得，，
如图：过点Q作于点H，
∵
∴，
设，
∴，即，解得：，
∴
∴，解得：；
∴，
∴，
∴，
∴即点；
当点在点C下方时，
同理可得：，
∴点；
综上，或．
1 / 12026年四川省雅安市雨城中学九年级数学中考模拟二
1．下列各数是负数的是（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【知识点】正数、负数的概念与分类；相反数的意义与性质；立方根的性质
【解析】【解答】解：A、 0既不是正数也不是负数，不符合题意；
B、是正数，不符合题意；
C、是正数，不符合题意；
D、，是负数，符合题意.
故答案为：D．
【分析】先根据去括号法则将C选项中的式子化简，同时根据一个负数的立方根是一个负数将D选项的式子化简，最后根据实数分为正实数、负实数和零，正实数就是大于零的实数，负实数就是小于零的实数，0既不是正实数，也不是负实数，逐一判断即可.
2．计算（　　）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：根据乘方的定义，任意数的1次方满足，
，
故答案为：D．
【分析】根据乘方的意义，任何数的1次幂都等于其本身，故1作指数的时候通常省略不写，据此可得答案.
3．如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看的图形为：，
故答案为：A．
【分析】根据三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，找到从正面看所得到的图形即可得出答案．
4．如图，直线，于点．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线的概念；铅笔头模型；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点作直线．
，，
．
，
．
．
故选：B．
【分析】
过点作平行于的直线，再结合平行线的性质就可以求出对应结果.
5．若，则的值为（　　）
A．24 B．20 C．18 D．16
【答案】D
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵a2-4a-12=0，
∴a2-4a=12，
∴原式=2（a2-4a）-8=2×12-8=16.
故答案为：D
【分析】利用已知可得到a2-4a的值，再将代数式转化为2（a2-4a）-8，然后整体代入求值.
6．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，无法合并，该选项错误，不符合题意；
B、，该选项正确，符合题意；
C、，该选项错误，不符合题意；
D、，该选项错误，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘可判断B选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
7．不等式组的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
故答案为：D．
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
8．如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】连接CO，且直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形中，，
∴，
∵点A与圆心O重合，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
故选：B．
【分析】
连接CO，让直线l和AO相交于点D，通过解直角三角形得到，据此可以求出扇形的面积，之后再计算出的面积，用扇形面积减去三角形面积（或根据对应面积关系）就可以得到阴影部分的面积.
9．一组数据1，2，2，3，5，将这组数据中的每一个数都加上 ，得到一组新数据 ， ， ， ， ，这两组数据的以下统计量相等的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：将一组数据中的每一个数都加上a得到一组新的数据，那么这组数据的波动幅度保持不变，即方差不变，而平均数和众数、中位数均改变．
故答案为：D．
【分析】根据方差的意义及平均数、众数、中位数的定义求解可得．
10．将直线向左平移个单位后，经过点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向左平移个单位后，所得函数解析式为，
∵平移后的直线经过点，
∴，
解得，
故选：．
【分析】
按照平移规则向上平移3个单位后，可得函数解析式为，再将点代入解析式计算就能求出对应结果.
11．如图，在中，是的中点，相交于点，（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵是的中点，
∴DE=CD，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得出AB∥CD，AB=CD，由中点定义可求出，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△DEF∽△BAF，由相似三角形面积的比等于相似比的平方可得结论.
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0； ③8a+c＜0； ④5a+b+2c＞0，正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．②③
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；数形结合
【解析】【解答】解：抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，
＜
∵ 抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是
＞
函数图象与轴交于正半轴，
＞
＜ 故①不符合题意；
抛物线与轴有两个交点，
＞ 故②符合题意；
抛物线的对称轴为：
当时，＜
＜
＜故③符合题意；
当时，＞，
当时，＞，
两式相加可得：＞，故④符合题意；
故答案为：B.
【分析】由抛物线的开口方向判断A的正负，由抛物线与y轴交点的位置判断c的正负，由抛物线的对称轴直线公式结合对称性直线为x=1判断出b的正负，进而根据有理数乘法法则可判断①；由抛物线与x轴的交点个数，可判断②，由抛物线的对称轴直线方程可得b=-2a，结合图象可得当x=-2时，y=4a-2b+c＜0 可判断③，由图象可得当x=2时，y=4a+2b+c＞0，当x=-1时，y=a-b+c＞0，两式相加可判断④，从而可得答案．
13．将因式分解后的结果为　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
先提取公因式，再借助平方差公式完成分解即可.
14．要使代数式有意义，则x的取值范围为 　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得．
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
15．一个箱子装有除颜色外都相同的3个蓝球，3个灰球和一定数量的粉球．从中随机抽取1个球，被抽到粉球的概率是，那么箱内粉球有 　 　个．
【答案】6
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设箱内粉球有x个，
由题意得：，
解得：x=6，
经检验，x=6是原方程的解，
即箱内粉球有6个，
故答案为：6．
【分析】设箱内粉球有x个，根据概率公式列出方程即可求解．
16．已知m，n是方程的两个实数根，则的值是　 　．
【答案】2024
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：因为是方程的实数根，
∴，
∴，
∴
，
．
故答案为：2024.
【分析】由方程根的定义，将x=m代入原方程可得m2+4m=3；根据一元二次方程根与系数的关系可得m+n=-4，然后将待求式子拆项变形为(m2+4m)+(m+n)+2025，从而整体代入计算可得答案.
17．如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，则　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于点，
设，则，
，为的中点，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
在中，，
，解得，（小于，舍去），
．
故答案为：．
【分析】连接CE，过点E作EF⊥BC于点F，设BD=x，则BC=x+2，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CE=AE=DE=AD，由等边对等角及三角形外角性质推出∠CED=2∠CAD，∠ECD=∠BEC=EDC，由有两组角相等的两个三角形相似得△ECD∽△BCE，由相似三角形对应边成比例建立方程得出CE2=2x+4；由相似三角形对应角相等得∠CED=∠CBE，由角平分线定义得∠CAB=2∠CAD，则推出∠CAB=∠CED=∠CBE，结合∠ACB=∠BFE=90°，由有两组角相等的两个三角形相似得△ABC∽△BEF，由相似三角形对应边成比例得；由等腰三角形的三线合一得出CF=DF=1，由三角形中位线等于第三边的一半得出AC=2EF，从而代入可得用含x的式子表示出EF2，最后在Rt△ECF中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，从而得到BD的长.
18．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：（1），
，
，
；
（2），
，
，
，
，
当时，原式．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先根据有理数乘方运算法则、绝对值性质、负整数指数幂法则“”及立方根定义分别计算，再计算加减法运算可得答案；
（2）把括号内的整式x+1看成分母为1的式子，通分计算括号内异分母分式的减法，同时根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，进而计算分式乘法，约分化简；根据特殊锐角三角函数值，将x的值化简后代入化简结果计算即可.
19．网络技术的发展对学生学习方式产生巨大的影响，某校为了解学生每周课余利用网络资源进行自主学习的时间，在本校随机抽取若干名学生进行问卷调查，现将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题．
组别 学习时间 频数（人数）
A 8
B 24
C 32
D n
E 4小时以上 4
（1）表中的 ，扇形统计图中B组对应的圆心角为 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）该校准备召开利用网络资源进行自主学习的交流会，计划在 E组学生中随机选出两人进行经验介绍，已知E组的四名学生中，七、八年级各有1人，九年级有2 人，请用画树状图法或列表法求抽取的两名学生都来自九年级的概率．
【答案】（1）12，
（2）解：如图所示：
（3）解：画树状图为：
共12种可能，抽取的两名学生都来自九年级的有2种可能，
∴P（两个学生都是九年级），
答：抽取的两名学生都来自九年级的概率为．

【知识点】频数（率）分布直方图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
(1)解：，，
B组对应的圆心角，
故答案为：12，108；
【分析】
（1）借助A组的频数和对应占比先计算出本次调查的总人数，接着结合D组的占比计算出的值，最后用乘B组在总体中所占的百分比，就能得到B组对应扇形圆心角的度数；
（2）结合频数分布表中给出的各组频数，就可以绘制出对应的频数分布直方图。
（3）通过画树状图列举出所有抽取的等可能结果，再找出其中两名学生都来自九年级的结果数，就可以计算出对应的概率。
20．如图，点O为的对角线的中点，经过点O的直线分别交和于点E，F，交和的延长线于点G，H．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
∥，
，
∵是的中点，
，
又∵，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，即，
，
又，，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形对边平行的性质得到，再由平行线的内错角相等推出，结合平行四边形对角线互相平分得到OB=OD，再加对顶角相等，即可通过角边角判定定理证明，最后根据全等三角形对应边相等即可证得．
（2）先利用平行四边形对边平行的性质得到，再由平行线的内错角相等推出，结合平行四边形对角线互相平分得到OD=OB，再加对顶角相等，即可通过角角边判定定理证明，根据全等三角形对应边相等得到，结合第一问得到的OE=OF，即可计算求出的长度．
21．成都世博会吉祥物为可爱的“桐妹儿”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色．五一假期，小明参观完世博会后，准备购买世博会纪念品送给同学，现有A，B两款吉祥物“桐妹儿”．若购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元．
（1）求每件A款吉祥物和每件B款吉祥物的价格；
（2）小明准备购买两款吉祥物共10件，若购买A款吉祥物数量为m件，购买A，B两款吉祥物总费用为W元，请写出总费用为W与数量m之间的函数关系式，并求出总费用最少为多少元？
【答案】（1）解：设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元．
根据题意，得，
解得．
答：每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元
（2）解：，∵，
∴W随m的减小而减小，
∵，
∴当时，W值最小，．
答：总费用为W与数量m之间的函数关系式为，总费用最少为520元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）分别设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元，利用已知条件： 购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元，可列二元一次方程组，然后求出方程组的解.
（2）根据“总费用=每件A款吉祥物的价格×购买A款吉祥物数量+每件B款吉祥物的价格×购买B款吉祥物数量”，可得到W与m之间的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，可求出的最小值．
（1）解：设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元．
根据题意，得，
解得．
答：每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元；
（2）解：，
∵，
∴W随m的减小而减小，
∵，
∴当时，W值最小，．
答：总费用为W与数量m之间的函数关系式为，总费用最少为520元．
22．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，连接，延长交反比例函数图象于点C．
（1）求一次函数的表达式与反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出自变量x的取值范围为______；
（3）点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标．
【答案】（1）解：（1）一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，
，
反比例函数解析式为，
，两点在一次函数图象上，
，解得，
一次函数解析式为．
（2）或
（3） 解：∵直线解析式为，
故直线与轴交点坐标为，与轴交点坐标为，
∴，
，
∴，
设点坐标为，点，
，
解得，
∴或

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】
（2）
由反比例函数对称轴性质可得点，
由图象可知，当时，自变量的取值范围为：或．
故答案为：或．
【分析】
（1）利用待定系数法即可求出两个函数的解析式；
（2）结合函数图象，即可直接写出不等式的解集；
（3）设点的坐标为，由题意得点，根据面积关系，代入对应数据求出的值，即可得到点的坐标.
（1）解：（1）一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，
，
反比例函数解析式为，
，两点在一次函数图象上，
，解得，
一次函数解析式为．
（2）由反比例函数对称轴性质可得点，
由图象可知，当时，自变量的取值范围为：或．
故答案为：或．
（3）∵直线解析式为，
故直线与轴交点坐标为，与轴交点坐标为，
∴，
，
∴，
设点坐标为，点，
，
解得，
∴或
23．如图是的外接圆，，延长至点，连接，使得，交于．
（1）求证：与相切；
（2）若，．求的半径和的长度．
【答案】（1）证明：连接，
，
，
又，
，
，
是的切线
（2）解： 如图，作于点，
设的半径为，则，
，
在中，，
， 解得，
，
，
，
在中，，
∵OH⊥AB
．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【分析】（1）连接OA，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠AOC=2∠ABC=90°，由二直线平行，同旁内角互补得出∠OAD=90°，从而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）作OH⊥AB于点H，设的半径为R，在Rt△AOE中，根据勾股定理建立方程可求出R=4，由等面积法求出OH的长，在Rt△AOH根据勾股定理算出AH的长，由垂径定理得出AB=2AH，从而即可得出答案.
（1）证明：连接，
，
，
又，
，
，
是的切线；
（2）解： 如图，作于点，
设的半径为，则，
，
在中，，
， 解得，
，
，
，
，
，
在中，，
．
24．如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C．连接和，点P在抛物线上运动，连接，和．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（2）点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中（点P与点A，C不重合），作点P关于x轴的对称点，连接，，记的面积为，记的面积为，若满足，求的面积；
（3）在（2）的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点和代入抛物线可得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
∵，
∴该抛物线的顶点坐标为：．
（2）解：∵，∴点，
设点，则点，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的表达式为：，则点，
同理由点B、P的坐标得，直线PB的表达式为：，
如图：连接交于点E，设直线交y轴于点D，则点，
则，
同理可得：，
∴，解得：（舍去）或
∴点，
∴的面积为．
（3）解：存在，理由如下：由（2）知，；
由点C、P的坐标得，，
当点Q在点C的上方时，则，
由点C、P的坐标得，，
如图：过点Q作于点H，
∵
∴，
设，
∴，即，解得：，
∴
∴，解得：；
∴，
∴，
∴，
∴即点；
当点在点C下方时，
同理可得：，
∴点；
综上，或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形—边角关系；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数表达式，化成顶点式得到顶点坐标；
（2）先求出直线AC的解析式，设点，则点，点，然后表示S1，S2，即可得到关于m的方程，求出m值即可；
（3）当点Q在点C的上方时，则，利用正切求出长，即可求解；点在点C下方时，同理可解．
（1）解：将点和代入抛物线可得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：，
∵，
∴该抛物线的顶点坐标为：．
（2）解：∵，
∴点，
设点，则点，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的表达式为：，则点，
同理由点B、P的坐标得，直线PB的表达式为：，
如图：连接交于点E，设直线交y轴于点D，则点，
则，
同理可得：，
∴，解得：（舍去）或
∴点，
∴的面积为．
（3）解：存在，理由如下：
由（2）知，；
由点C、P的坐标得，，
当点Q在点C的上方时，则，
由点C、P的坐标得，，
如图：过点Q作于点H，
∵
∴，
设，
∴，即，解得：，
∴
∴，解得：；
∴，
∴，
∴，
∴即点；
当点在点C下方时，
同理可得：，
∴点；
综上，或．
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