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2026年湖南省娄底市九年级数学一模统考试卷
1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（　　）
A．2026 B． C． D．
2．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．将多项式分解因式，应提取的公因式是（　　）
A． B．y C． D．x
4． 下列运算正确的是（　　)。
A． B． C． D．
5．如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（　　）
A． B． C． D．
6．已知点与关于y轴对称，则x的值为（　　）
A． B．2 C． D．4
7．成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（　　）
A．水中捞月 B．旭日东升 C．水涨船高 D．一箭双雕
8．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（　　）
A．垂线段最短 B．线段可以度量
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
9．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，由六个正九边形中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．计算：= 　 　.
12．化简　 　．
13．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是　 　．
14．分式方程的解是　 　．
15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是　 　．
16．如果，其中m，k都是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．例如：，6为“矩数”，2为6的最佳拆分点．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s．若，则的值为　 　．
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知1只甲型玩偶和2只乙型玩偶的价格为160元，2只甲型玩偶和3只乙型玩偶价格为260元．
（1）求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？
（2）某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？
20．某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如图不完整的统计图．
（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；
（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩达到良好及以上等级的有多少名？
（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？
21．某手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，）
（1）如图2，、、三点共线，支杆与立杆之间的夹角为，且点距离地面的距离为，求此时滑动悬杆的长；
（2）调节支杆，悬杆，使得悬杆，，，如图3所示，求此时点到地面的高度．
22．如图，是的直径，点D是直径上（不与A，B重合的一点），过点D作，且，连接交于点F，在上取一点E，使．
（1）求证：是的切线；
（2）当D是的中点时，，求的长．
23．在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动：
【实践探究】
（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接、，则______；
【解决问题】
（2）将矩形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接，，．
①如图2，当时，求证：平分；
②如图3，当点落在上时，连接交于点，求的长．
24．在平面直角坐标系中，如图（1），抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与坐标轴交于M、N点．
（1）求抛物线解析式并求出M、N两点坐标；
（2）点E是抛物线上一点，连接、，当的面积最小时，求出点E的坐标并写出面积最小值；
（3）如图（2），点F是抛物线上横坐标为t的点，过点F分别作坐标轴的平行线交直线于点G，交x轴于点I，以、为边作矩形，设矩形的周长为L，直接写出当时t的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】判断两个数互为相反数
【解析】【解答】解：解：∵只有符号不同的两个数互为相反数，
∴的相反数是2026．
故答案为：A．
【分析】结合“只有符号不同的两个数互为相反数”这个定义，对选项逐一判断，即可得到正确结果.
2．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意；
B、此选项中的图形是中心对称图形，故符合题意；
C、此选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意；
D、此选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意.
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：∵xy+y中各项的公因式为y
∴将此多项式分解因式时，应提取的公因式为y.
即xy+y=y(x+1).
故答案为：B.
【分析】确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂，据此解答即可.
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、不是同类项，无法合并，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方法则逐项判断解答即可．
5．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看到的图形是一个长方形，靠近中间有两条横着的虚线，即看到的图形如下：
，
故答案为：C．
【分析】主视图就是从几何体的正面看得到的平面图形，能看见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，据此可得如图放置“空心卷纸”的主视图是一个长方形靠近中间有两条横着的虚线，据此判断得出答案.
6．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，又点与关于y轴对称，
．
故答案为：A.
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点“纵坐标相同，横坐标互为相反数”可直接得出x的值.
7．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、水中捞月是不可能发生的事件，属于不可能事件，故选项A不符合题意；
B、旭日东升是一定会发生的事件，属于必然事件，故选项B不符合题意；
C、水涨船高是一定会发生的事件，属于必然事件，故选项C不符合题意；
D、一箭双雕是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，故选项D符合题意.
故答案为：D．
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可逐一判断得出答案.
8．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短，
故选A．
【分析】
依据“直线外一点与直线上各点连接得到的所有线段中，垂线段最短”这一性质来解答题目.
9．【答案】D
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图标注
∵直尺的两边互相平行，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】由二直线平行，同位角相等得∠3=∠1=50°，再根据平角定义即可求出∠2的度数.
10．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
图中6个都是正九边形
正九边形的每个外角为
正九边形的每个内角为
即
．
故选：C．
【分析】正九边形两个外角的度数和．
11．【答案】4
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：原式===4．
故答案为：4
【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．
12．【答案】2x+8y
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：5(x+y)-3(x-y)
．
故答案为：2x+8y．
【分析】先去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再合并同类项即可.
13．【答案】k＜2026
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
解得．
故答案为：k＜2026.
【分析】反比例函数(k为常数，且k≠0)中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，据此结合题意列出关于字母k的不等式，求解即可得出k的取值范围.
14．【答案】x=-2
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：x=-2．
【分析】根据比例性质“两内项之积等于两外项之积”将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原分式方程的根.
15．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由方格纸特点得出BC∥AD，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ADE∽△BCE，根据相似三角形对应边成比例即可求出的值.
16．【答案】
【知识点】因式分解的应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意，“矩数”p的最佳拆分点为t，故；“矩数”q的最佳拆分点为s，故．
∵，代入得：，
即，
因式分解得：，
由于t和s均为正整数，故和均为整数，且，
∴可能因子对为或，
①当，时，联立方程解得，；
②当，时，联立方程解得，，不满足正整数条件，舍去，
故，，
∴．
故答案为：．
【分析】由“矩数”定义可设p=t(t+1)，q=s(s+1)，代入p-q=8后将左边先去括号，再利用分组分解法分解因式为(t-s)(t+s+1)=8，结合s与t都是正整数可得t-s，t+s+1均为整数，且s+t+1≥3，从而可得t-s=1，t+s+1=8或t-s=2，t+s+1=4，求解得t与s的值，从而即可求出s与t的比值.
17．【答案】解：
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】由零指数幂法则“a0=1(a≠0)”、算术平方根定义及特殊锐角三角函数值“”分别化简，再计算乘法，最后计算加减法得出答案.
18．【答案】解：原式，
当时，
原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】将括号内的整式1看成，利用同分母分式的减法法则计算括号内的部分，同时将除式的分母利用平方差公式分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法，约分化简，最后将x的值代入化简结果计算即可.
19．【答案】（1）解∶设甲型号玩偶单价为元，乙型号玩偶单价为元，
根据题意，得，
解得，
答：甲型号玩偶单价为40元，乙型号玩偶单价为60元；
（2）解：设采购个乙型玩偶，
根据题意，得，
解得，
答：最多可以采购30个乙型玩偶．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设甲型玩偶的单价为元，乙型玩偶的单价为元，结合题目给出的条件“购买1只甲型玩偶和2只乙型玩偶总共需要160元，购买2只甲型玩偶和3只乙型玩偶总共需要260元”，可以列出对应的二元一次方程组，求解该方程组就能得到两种玩偶的单价；
（2）设采购个乙型玩偶，根据题目要求“采购的总费用不超过3000元”，列出对应的一元一次不等式，解不等式即可得到结果.
（1）解∶设甲型号玩偶单价为元，乙型号玩偶单价为元，
根据题意，得，
解得，
答：甲型号玩偶单价为40元，乙型号玩偶单价为60元；
（2）解：设采购个乙型玩偶，
根据题意，得，
解得，
答：最多可以采购30个乙型玩偶．
20．【答案】（1）解：抽取的学生数：（名）；
抽取的学生中合格的人数：（名），
合格所占百分比：，
优秀人数：，
如图所示：
；
（2）解：成绩达到良好及以上的男生所占比例为：，
∴600名男生中成绩达到良好及以上等级的有名；
（3）解：如图：
，
可得一共有9种可能，甲、乙两人恰好分在同一组的有3种，
所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）通过“良好等级的人数÷良好人数对应的百分比”，计算出本次抽查的学生总人数，接着依次算出合格等级的人数、合格人数在总人数中的占比，再算出优秀等级的人数，最后补全统计图即可；
（2）先计算出样本中成绩达到良好及以上的男生占男生总人数的比例，再结合样本估计总体的思路，推算出全校成绩良好及以上的男生人数；
（3）通过画树状图列举出所有等可能的结果，再找出符合题目要求的结果数，结合概率公式计算出对应概率即可.
（1）解：抽取的学生数：（名）；
抽取的学生中合格的人数：（名），
合格所占百分比：，
优秀人数：，
如图所示：
；
（2）解：成绩达到良好及以上的男生所占比例为：，
∴600名男生中成绩达到良好及以上等级的有名；
（3）解：如图：
，
可得一共有9种可能，甲、乙两人恰好分在同一组的有3种，
所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率．
21．【答案】（1）解：过点作，垂足为，
点距离地面的距离为，即cm，AB=115cm，
cm，
在中，，
，

（2）解：过点作，过点作，过点作，则四边形ABFH是矩形，
，
，
，
在中，
，
在中，
，
点到地面的高度为119cm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点D作DP⊥AB，垂足为P，先根据线段和差求出BP=33cm，在Rt△DBE中，由∠ABC的余弦函数求出BD，进而根据CD=BD-BC可算出答案；
（2）过点C作CH⊥AH，过点D作DE⊥CH，过点B作BF⊥CH，由有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形ABFH是矩形，则∠ABF=90°，由角的构成求出∠CBF=53°，在Rt△CFB中，由∠CBF的正弦函数可求出CF，由直角三角形两锐角互余求出∠BCF=37°，再由角的构成求出∠ECD=60°，在Rt△CDE中，由∠ECD的余弦函数求出CE，根据线段和差，由EF=CF-CE求出EF，由EH=EF+FH算出EH，从而即可得出答案.
（1）解：过点作，垂足为，
点距离地面的距离为，即
在中，，
，
（2）过点作，过点作，过点作，
，
，
，
在中，
，
在中，
，
点到地面的高度为
22．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线．
（2）解：连接，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴BD=AB-AD=6，
∵，
∴，
∵，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接OF，根据垂直定义及直角三角形两锐角互余求出∠DBC+∠C=90°，由等边对等角得∠OBC=∠OFB，∠C=∠EFC，根据等式性质求出∠OFB+∠EFC=90°，由平角定义得出∠OFE=90°，根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）连接AF，由直径所对的圆周角为直角得出∠AFB=90°，由中点定义得出OD=DA=2，进而得出BD=6，在Rt△BCD中，利用勾股定理算出BC=10；由有两组角相等的两个三角形相似得△FBA∽△DBC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出BF的长.
（1）证明：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线．
（2）解：连接，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】（1）45
（2）①证明：，
，
四边形是矩形，
，
；
，
平分；
②解：过点作于点，
，，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，，，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（1）解：长方形纸片和是两个完全相同的长方形，
，AQ=BC，QG=AB，∠B=∠Q=90°，
∴△AQG≌△CBA，
∴∠BCA=∠QAG
∵∠BCA+∠BAC=90°，
∴∠QAG+∠BAC=90°，
∴∠GAC=180°-∠QAG-∠BAC=90°，
是等腰直角三角形，
；
故答案为：45；
【分析】（1）由全等图形的性质及矩形对角线相等得出AC=AG，AQ=BC，QG=AB，∠B=∠Q=90°，用“SSS”证△AQG≌△CBA，由全等三角形的对应角相等得出∠BCA=∠QAG，由直角三角形两锐角互余、等量代换得∠QAG+∠BAC=90°，由平角定义得∠GAC=90°，则△ACG是等腰直角三角形，从而可得答案；
（2）①根据矩形对边平行可得AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得，利用等边对等角得到，等量代换即可得证；
②过点B作BE⊥AF于点E，在Rt△ADF中，根据勾股定理可得DF的长，由线段和差得到CF的长；由平行线的性质及等边对等角可证得∠AFB=∠CFB=∠ABF，从而用“AAS”证明△BCF≌△BEF，由全等三角形的对应边相等得出EF=CF=2，BC=BE，由矩形对边相等及全等图形性质得出AQ=BC=BE，再由“AAS”证△AOQ≌△EOB，由全等三角形的对应边相等得到，即可得解．
24．【答案】（1）解：抛物线与轴交于，两点，
∴，
解得：，
抛物线的解析式为；
对于直线，当时，可得：，
点的坐标为，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标为；
（2）解：过点作轴，交直线于点P，
设点的坐标为，则点的坐标是，
，
，
，
，
当时，有最小值，最小值为，
当时，可得：，
点的坐标是，的面积最小值是4；
（3）解：当L为11时，或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（3）解：点是抛物线上横坐标为的点，
∴点的坐标为，
点的坐标为，点的纵坐标为，
点在直线上，
，
解得：，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
矩形的周长为，
当时，
解得：或，
当或时，，
可得方程，
整理得：
解得：或(不符合题意，舍去)；
当时，
可得方程，
整理可得：，
解得：或(不符合题意，舍去)；
综上所述，当或时，矩形的周长为.
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，分别令直线中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，从而可求出其与坐标轴的交点M、N的坐标；
（2）过点E作PE∥y轴，交直线MN于点P，根据点的坐标与图形性质，设点E的坐标为，则点P的坐标是，根据平面内两点间的距离公式表示出PE，根据可得，利用二次函数的性质求出△MNE面积的最小值和m的值，根据m的值求出点E的坐标；
（3）由点的坐标与图形性质，设点的坐标为，点的坐标为，点的纵坐标为，有平面直角坐标系中两点之间的距离表示出GH、GF，根据矩形的周长公式建立方程，令算出t的值得t=-1或t=4，然后分t＜-1或t＞4弧-1＜t＜4时分别求解得出符合题意的t的值即可.
（1）解：抛物线与轴交于，两点，
∴，
解得：，
抛物线的解析式为；
对于直线，当时，可得：，
点的坐标为，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标为；
（2）解：过点作轴，交直线于点P，
设点的坐标为，则点的坐标是，
，
，
，
，
当时，有最小值，最小值为，
当时，可得：，
点的坐标是，的面积最小值是；
（3）解：点是抛物线上横坐标为的点，
∴点的坐标为，
点的坐标为，点的纵坐标为，
点在直线上，
，
解得：，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
矩形的周长为，
当时，
解得：或，
当或时，，
可得方程，
整理得：
解得：或(不符合题意，舍去)；
当时，
可得方程，
整理可得：，
解得：或(不符合题意，舍去)；
综上所述，当或时，矩形的周长为.
1 / 12026年湖南省娄底市九年级数学一模统考试卷
1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（　　）
A．2026 B． C． D．
【答案】A
【知识点】判断两个数互为相反数
【解析】【解答】解：解：∵只有符号不同的两个数互为相反数，
∴的相反数是2026．
故答案为：A．
【分析】结合“只有符号不同的两个数互为相反数”这个定义，对选项逐一判断，即可得到正确结果.
2．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意；
B、此选项中的图形是中心对称图形，故符合题意；
C、此选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意；
D、此选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意.
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．将多项式分解因式，应提取的公因式是（　　）
A． B．y C． D．x
【答案】B
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：∵xy+y中各项的公因式为y
∴将此多项式分解因式时，应提取的公因式为y.
即xy+y=y(x+1).
故答案为：B.
【分析】确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂，据此解答即可.
4． 下列运算正确的是（　　)。
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、不是同类项，无法合并，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方法则逐项判断解答即可．
5．如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看到的图形是一个长方形，靠近中间有两条横着的虚线，即看到的图形如下：
，
故答案为：C．
【分析】主视图就是从几何体的正面看得到的平面图形，能看见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，据此可得如图放置“空心卷纸”的主视图是一个长方形靠近中间有两条横着的虚线，据此判断得出答案.
6．已知点与关于y轴对称，则x的值为（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，又点与关于y轴对称，
．
故答案为：A.
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点“纵坐标相同，横坐标互为相反数”可直接得出x的值.
7．成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（　　）
A．水中捞月 B．旭日东升 C．水涨船高 D．一箭双雕
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、水中捞月是不可能发生的事件，属于不可能事件，故选项A不符合题意；
B、旭日东升是一定会发生的事件，属于必然事件，故选项B不符合题意；
C、水涨船高是一定会发生的事件，属于必然事件，故选项C不符合题意；
D、一箭双雕是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，故选项D符合题意.
故答案为：D．
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可逐一判断得出答案.
8．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（　　）
A．垂线段最短 B．线段可以度量
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短，
故选A．
【分析】
依据“直线外一点与直线上各点连接得到的所有线段中，垂线段最短”这一性质来解答题目.
9．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图标注
∵直尺的两边互相平行，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】由二直线平行，同位角相等得∠3=∠1=50°，再根据平角定义即可求出∠2的度数.
10．如图，由六个正九边形中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
图中6个都是正九边形
正九边形的每个外角为
正九边形的每个内角为
即
．
故选：C．
【分析】正九边形两个外角的度数和．
11．计算：= 　 　.
【答案】4
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：原式===4．
故答案为：4
【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．
12．化简　 　．
【答案】2x+8y
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：5(x+y)-3(x-y)
．
故答案为：2x+8y．
【分析】先去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再合并同类项即可.
13．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是　 　．
【答案】k＜2026
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
解得．
故答案为：k＜2026.
【分析】反比例函数(k为常数，且k≠0)中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，据此结合题意列出关于字母k的不等式，求解即可得出k的取值范围.
14．分式方程的解是　 　．
【答案】x=-2
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：x=-2．
【分析】根据比例性质“两内项之积等于两外项之积”将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原分式方程的根.
15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由方格纸特点得出BC∥AD，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ADE∽△BCE，根据相似三角形对应边成比例即可求出的值.
16．如果，其中m，k都是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．例如：，6为“矩数”，2为6的最佳拆分点．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s．若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】因式分解的应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意，“矩数”p的最佳拆分点为t，故；“矩数”q的最佳拆分点为s，故．
∵，代入得：，
即，
因式分解得：，
由于t和s均为正整数，故和均为整数，且，
∴可能因子对为或，
①当，时，联立方程解得，；
②当，时，联立方程解得，，不满足正整数条件，舍去，
故，，
∴．
故答案为：．
【分析】由“矩数”定义可设p=t(t+1)，q=s(s+1)，代入p-q=8后将左边先去括号，再利用分组分解法分解因式为(t-s)(t+s+1)=8，结合s与t都是正整数可得t-s，t+s+1均为整数，且s+t+1≥3，从而可得t-s=1，t+s+1=8或t-s=2，t+s+1=4，求解得t与s的值，从而即可求出s与t的比值.
17．计算：．
【答案】解：
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】由零指数幂法则“a0=1(a≠0)”、算术平方根定义及特殊锐角三角函数值“”分别化简，再计算乘法，最后计算加减法得出答案.
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式，
当时，
原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】将括号内的整式1看成，利用同分母分式的减法法则计算括号内的部分，同时将除式的分母利用平方差公式分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法，约分化简，最后将x的值代入化简结果计算即可.
19．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知1只甲型玩偶和2只乙型玩偶的价格为160元，2只甲型玩偶和3只乙型玩偶价格为260元．
（1）求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？
（2）某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？
【答案】（1）解∶设甲型号玩偶单价为元，乙型号玩偶单价为元，
根据题意，得，
解得，
答：甲型号玩偶单价为40元，乙型号玩偶单价为60元；
（2）解：设采购个乙型玩偶，
根据题意，得，
解得，
答：最多可以采购30个乙型玩偶．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设甲型玩偶的单价为元，乙型玩偶的单价为元，结合题目给出的条件“购买1只甲型玩偶和2只乙型玩偶总共需要160元，购买2只甲型玩偶和3只乙型玩偶总共需要260元”，可以列出对应的二元一次方程组，求解该方程组就能得到两种玩偶的单价；
（2）设采购个乙型玩偶，根据题目要求“采购的总费用不超过3000元”，列出对应的一元一次不等式，解不等式即可得到结果.
（1）解∶设甲型号玩偶单价为元，乙型号玩偶单价为元，
根据题意，得，
解得，
答：甲型号玩偶单价为40元，乙型号玩偶单价为60元；
（2）解：设采购个乙型玩偶，
根据题意，得，
解得，
答：最多可以采购30个乙型玩偶．
20．某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如图不完整的统计图．
（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；
（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩达到良好及以上等级的有多少名？
（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？
【答案】（1）解：抽取的学生数：（名）；
抽取的学生中合格的人数：（名），
合格所占百分比：，
优秀人数：，
如图所示：
；
（2）解：成绩达到良好及以上的男生所占比例为：，
∴600名男生中成绩达到良好及以上等级的有名；
（3）解：如图：
，
可得一共有9种可能，甲、乙两人恰好分在同一组的有3种，
所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）通过“良好等级的人数÷良好人数对应的百分比”，计算出本次抽查的学生总人数，接着依次算出合格等级的人数、合格人数在总人数中的占比，再算出优秀等级的人数，最后补全统计图即可；
（2）先计算出样本中成绩达到良好及以上的男生占男生总人数的比例，再结合样本估计总体的思路，推算出全校成绩良好及以上的男生人数；
（3）通过画树状图列举出所有等可能的结果，再找出符合题目要求的结果数，结合概率公式计算出对应概率即可.
（1）解：抽取的学生数：（名）；
抽取的学生中合格的人数：（名），
合格所占百分比：，
优秀人数：，
如图所示：
；
（2）解：成绩达到良好及以上的男生所占比例为：，
∴600名男生中成绩达到良好及以上等级的有名；
（3）解：如图：
，
可得一共有9种可能，甲、乙两人恰好分在同一组的有3种，
所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率．
21．某手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，）
（1）如图2，、、三点共线，支杆与立杆之间的夹角为，且点距离地面的距离为，求此时滑动悬杆的长；
（2）调节支杆，悬杆，使得悬杆，，，如图3所示，求此时点到地面的高度．
【答案】（1）解：过点作，垂足为，
点距离地面的距离为，即cm，AB=115cm，
cm，
在中，，
，

（2）解：过点作，过点作，过点作，则四边形ABFH是矩形，
，
，
，
在中，
，
在中，
，
点到地面的高度为119cm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点D作DP⊥AB，垂足为P，先根据线段和差求出BP=33cm，在Rt△DBE中，由∠ABC的余弦函数求出BD，进而根据CD=BD-BC可算出答案；
（2）过点C作CH⊥AH，过点D作DE⊥CH，过点B作BF⊥CH，由有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形ABFH是矩形，则∠ABF=90°，由角的构成求出∠CBF=53°，在Rt△CFB中，由∠CBF的正弦函数可求出CF，由直角三角形两锐角互余求出∠BCF=37°，再由角的构成求出∠ECD=60°，在Rt△CDE中，由∠ECD的余弦函数求出CE，根据线段和差，由EF=CF-CE求出EF，由EH=EF+FH算出EH，从而即可得出答案.
（1）解：过点作，垂足为，
点距离地面的距离为，即
在中，，
，
（2）过点作，过点作，过点作，
，
，
，
在中，
，
在中，
，
点到地面的高度为
22．如图，是的直径，点D是直径上（不与A，B重合的一点），过点D作，且，连接交于点F，在上取一点E，使．
（1）求证：是的切线；
（2）当D是的中点时，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线．
（2）解：连接，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴BD=AB-AD=6，
∵，
∴，
∵，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接OF，根据垂直定义及直角三角形两锐角互余求出∠DBC+∠C=90°，由等边对等角得∠OBC=∠OFB，∠C=∠EFC，根据等式性质求出∠OFB+∠EFC=90°，由平角定义得出∠OFE=90°，根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）连接AF，由直径所对的圆周角为直角得出∠AFB=90°，由中点定义得出OD=DA=2，进而得出BD=6，在Rt△BCD中，利用勾股定理算出BC=10；由有两组角相等的两个三角形相似得△FBA∽△DBC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出BF的长.
（1）证明：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线．
（2）解：连接，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动：
【实践探究】
（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接、，则______；
【解决问题】
（2）将矩形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接，，．
①如图2，当时，求证：平分；
②如图3，当点落在上时，连接交于点，求的长．
【答案】（1）45
（2）①证明：，
，
四边形是矩形，
，
；
，
平分；
②解：过点作于点，
，，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，，，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（1）解：长方形纸片和是两个完全相同的长方形，
，AQ=BC，QG=AB，∠B=∠Q=90°，
∴△AQG≌△CBA，
∴∠BCA=∠QAG
∵∠BCA+∠BAC=90°，
∴∠QAG+∠BAC=90°，
∴∠GAC=180°-∠QAG-∠BAC=90°，
是等腰直角三角形，
；
故答案为：45；
【分析】（1）由全等图形的性质及矩形对角线相等得出AC=AG，AQ=BC，QG=AB，∠B=∠Q=90°，用“SSS”证△AQG≌△CBA，由全等三角形的对应角相等得出∠BCA=∠QAG，由直角三角形两锐角互余、等量代换得∠QAG+∠BAC=90°，由平角定义得∠GAC=90°，则△ACG是等腰直角三角形，从而可得答案；
（2）①根据矩形对边平行可得AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得，利用等边对等角得到，等量代换即可得证；
②过点B作BE⊥AF于点E，在Rt△ADF中，根据勾股定理可得DF的长，由线段和差得到CF的长；由平行线的性质及等边对等角可证得∠AFB=∠CFB=∠ABF，从而用“AAS”证明△BCF≌△BEF，由全等三角形的对应边相等得出EF=CF=2，BC=BE，由矩形对边相等及全等图形性质得出AQ=BC=BE，再由“AAS”证△AOQ≌△EOB，由全等三角形的对应边相等得到，即可得解．
24．在平面直角坐标系中，如图（1），抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与坐标轴交于M、N点．
（1）求抛物线解析式并求出M、N两点坐标；
（2）点E是抛物线上一点，连接、，当的面积最小时，求出点E的坐标并写出面积最小值；
（3）如图（2），点F是抛物线上横坐标为t的点，过点F分别作坐标轴的平行线交直线于点G，交x轴于点I，以、为边作矩形，设矩形的周长为L，直接写出当时t的值．
【答案】（1）解：抛物线与轴交于，两点，
∴，
解得：，
抛物线的解析式为；
对于直线，当时，可得：，
点的坐标为，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标为；
（2）解：过点作轴，交直线于点P，
设点的坐标为，则点的坐标是，
，
，
，
，
当时，有最小值，最小值为，
当时，可得：，
点的坐标是，的面积最小值是4；
（3）解：当L为11时，或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（3）解：点是抛物线上横坐标为的点，
∴点的坐标为，
点的坐标为，点的纵坐标为，
点在直线上，
，
解得：，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
矩形的周长为，
当时，
解得：或，
当或时，，
可得方程，
整理得：
解得：或(不符合题意，舍去)；
当时，
可得方程，
整理可得：，
解得：或(不符合题意，舍去)；
综上所述，当或时，矩形的周长为.
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，分别令直线中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，从而可求出其与坐标轴的交点M、N的坐标；
（2）过点E作PE∥y轴，交直线MN于点P，根据点的坐标与图形性质，设点E的坐标为，则点P的坐标是，根据平面内两点间的距离公式表示出PE，根据可得，利用二次函数的性质求出△MNE面积的最小值和m的值，根据m的值求出点E的坐标；
（3）由点的坐标与图形性质，设点的坐标为，点的坐标为，点的纵坐标为，有平面直角坐标系中两点之间的距离表示出GH、GF，根据矩形的周长公式建立方程，令算出t的值得t=-1或t=4，然后分t＜-1或t＞4弧-1＜t＜4时分别求解得出符合题意的t的值即可.
（1）解：抛物线与轴交于，两点，
∴，
解得：，
抛物线的解析式为；
对于直线，当时，可得：，
点的坐标为，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标为；
（2）解：过点作轴，交直线于点P，
设点的坐标为，则点的坐标是，
，
，
，
，
当时，有最小值，最小值为，
当时，可得：，
点的坐标是，的面积最小值是；
（3）解：点是抛物线上横坐标为的点，
∴点的坐标为，
点的坐标为，点的纵坐标为，
点在直线上，
，
解得：，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
矩形的周长为，
当时，
解得：或，
当或时，，
可得方程，
整理得：
解得：或(不符合题意，舍去)；
当时，
可得方程，
整理可得：，
解得：或(不符合题意，舍去)；
综上所述，当或时，矩形的周长为.
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