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浙江省嘉兴市南湖区北京师范大学南湖附属学校2025-2026学年八年级下学期数学期中检测试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若二次根式有意义，则的值可以是（　　）
A． B． C． D．
3．在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列计算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．一元二次方程配方后，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图是某次测试成绩的箱线图．根据图中的信息，下列判断错误的是（　　）
A．本次测试的最高分是99分
B．本次测试的平均分是79分
C．本次测试成绩的上四分位数是88分
D．本次测试成绩在65~88分的人数占了50%
7．根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．中国明代数学家程大位编写的数学名著<算法统宗>中记载道：“平地秋千未起，路板一尺离地：送行二步与人齐，五尺人高曾记：仕女佳人争蹴，终朝笑语欢姐；良工高士素好奇，算出索长有几？”其大意是：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（约为10尺）时，此时踏板升高，离地5尺，秋千的绳累始终拉的很直，问秋干绳索有多长？”如图，若设秋千的绳索OA长为x尺，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在平行四边形中，，是的中点，作于点，连接、，则以下结论：①；②；③；④，一定成立的是（　　）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②④
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的外角和为　 　．
12．若1，，3，4众数为4，则此数据的下四分位数为　 　．
13．袁隆平率领的科研团队在“中国超级稻育种计划”的第二期实现超级稻亩产量800千克的目标，第四期实现超级稻亩产量1000千克的目标．如果第三、四期亩产量的增长率相同，设每期亩产量的平均增长率为，可列方程为　 　．
14．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为　 　米．（结果保留根号）
15．若，是一元二次方程的两个实数根，则　 　．
16．如图1，在平行四边形纸片中，，对角线，且，作于，将纸片沿，剪开后得到纸片①②③．如图2，先让②③两张纸片的较大锐角完全重叠，再让①③的长直角边重叠且保证，两点重合，最后摆成了“”型图，若图2中纸片①的斜边恰好经过纸片②的顶点，则的长度为　 　，的长度为　 　．
三、解答题（本题共8小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．化简：
（1）；
（2）．
18．解方程：
（1）；
（2）．
19．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形．
（1）在图1中画一个平行四边形，使边长为（点、都在格点上）；
（2）在图2中画一个平行四边形，使点是它的对称中心．
20．我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2）
初中部 c 8.5 b
高中部 8.5 a 8.5 1.6
（1）根据图示计算出　 　，　 　，　 　；
（2）计算初中代表队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队成绩较为稳定．
21．如图，在中，是对角线，作于点E，于点F．
（1）求证：；
（2）若，，时，求的周长．
22．已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根．
（1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当为何值时，为直角三角形，并求出的面积．
23．综合与实践：设计商品最优定价方案
【素材】某经销商计划销售一款新的枕头，根据试售统计，若每个枕头的售价定为50元时，每月可销售100个；若每个枕头的售价每降价1元，则每月可多销售10个，每个枕头的进价为20元，假设枕头全部售完（销售量进货量），设每个枕头降价元（为整数），回答下列问题：
【问题】
（1）任务1：一个枕头的实际售价为　 　（用含的代数式表示）元，枕头的销售量为　 　（用含的代数式表示）个；
（2）任务2：若经销商计划进货不超过200个，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时枕头的售价；反之，请说明理由．
（3）任务3：根据试售数据，若该经销商想让每月利润达到最大值，求此时枕头的售价．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点为坐标原点，顶点在轴的正半轴上，，在第一象限内，，且，，．
（1）顶点的坐标为　 　，顶点的坐标为　 　；
（2）如图2，若直线过点，且把平行四边形的面积分成两部分，求直线的函数表达式；
（3）如图3，设对角线，交于点，在轴上，有一个长为个单位长度的可以左右平移的线段，点在点的左侧，连接，，则的最小值为　 　．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】轴对称图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，据此解答即可．
2．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
∴的值可以是．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A．，是一元二次方程，符合题意；
B．，方程含有和两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C．，分母中含有未知数，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D．，展开整理得，未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，未知数的最高次数是2次的整式方程是一元二次方程”逐项判断解答即可.
4．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：，∴ A计算错误；
，∴ B计算正确；
，∴ C计算错误；
与不是同类二次根式，不能合并，∴ D计算错误.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质化简、二次根式的乘法、除法和加法法则逐项判断解答即可.
5．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
．
故答案为：C.
【分析】根据移项、添加一次项系数一半的平方，左边写成完全平方式的形式解答即可.
6．【答案】B
【知识点】箱线图
【解析】【解答】解：A项：由图可知，箱线图最上方的横线（上须末端）对应的数值是99，这代表数据的最大值，故A项判断正确，不符合题意；
B项：箱线图中间的横线代表中位数，而非平均数，图中显示中位数为79，平均数需要所有数据之和除以数据个数，仅凭箱线图无法直接得出平均数，故B项判断错误，符合题意；
C项：由图可知，图中箱体上沿的横线表示本次测试成绩的上四分位数，即为88分，故C项判断正确，不符合题意；
D项：箱线图的箱体部分（从下四分位数到上四分位数）包含了数据集中间的数值，图中下四分位数为65，上四分位数为88，这意味着成绩在65分到88分之间的数据占总人数的，故D项判断正确，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据箱线图的数据逐项判断解答即可．
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，四边形不是平行四边形，不符合题意；
B、只有一组对边平行不能确定四边形是平行四边形，不符合题意；
C、一组对边平行且相等，是平行四边形，符合题意；
D、不能判断出任何一组对边是平行的，所以四边形不一定是平行四边形，不符合题意．
故选：C．
【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接E、F两点，过点E作于点M，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴的边上的高与的边上的高相等，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∵，，
∴，
故阴影部分的面积为．
故答案为：B.
【分析】根据三角形的面积公式可得△的面积，连接E、F两点，即可得到，，进而可得，，即可得到四边形的面积就是．据此解答即可．
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；列一元二次方程
【解析】【解答】解：如图，
根据题意，得OA=OB=x，AC=1，BD=EC=5，BE=CD=10，∠OEB=90°，
∴EA=EC-AC=5-1=4，
∴OE=OA-EA=x-4，
在中，有，
∴可列方程，
故答案为：D.
【分析】先求出EA=4，BE=10，OB=x，∠OEB=90°，从而得OE=x-4，然后在中，利用勾股定理即可列出方程.
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-ASA；三角形的中线
【解析】【解答】 解：①∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，故①正确；
②延长交的延长线于点，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
在中，为中点，
∴，故②正确；
③由②知，，
∴，， ，
∴， ，
∴，故③错误；
由①知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的是①②④．
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质AF=FD=DC=AB，即可得到，然后根据三角形的内角和定理计算判断①；延长交的延长线于点，根据ASA得到△AEF≌△DGF，即可得到，然后根据直角三角形斜边中线的性质判断②；然后根据中线分出的来那个三角形的面积相等，和平行四边形的面积公式判断③，再根据等边对等角以及三角形的内角和得到判断④解答即可.
11．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：八边形的外角和为．
故答案为：.
【分析】任意多边形的外角和都为360°，多边形的外角和与多边形的边数无关，据此可得答案.
12．【答案】2
【知识点】众数；四分位数
【解析】【解答】解：由题意知，，
数据从小到大排列可得：，，，，
，，
∴其下四分位数为．
故答案为：2.
【分析】根据众数的定义求出x的值，然后根据四分位数的定义计算即可.
13．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意，可列方程为.
故答案为：.
【分析】根据平均增长率的公式列方程即可.
14．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
【分析】
根据题意可得，且，据此可以推出，之后就可以求解题目最终答案.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：将原方程整理为一般形式得：，
由根与系数的关系可得：，，
∴．
故答案为：.
【分析】利用根与系数的关系得到，，然后根据完全平方公式的变形，整体代入计算即可．
16．【答案】1；
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，设
如图1中，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在如图2中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
如图1中，在中，则有，
解得；
∴，
故答案为：；.
【分析】设，先证明，然后根据勾股定理求出x的值，然后根据线段的和差解答即可.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，然后运算加法解答即可；
（2）先化简二次根式，然后合并同类二次根式即可.
18．【答案】（1）解：
或
；
（2）解：
，即
解得：．

【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项，然后提取公因式x因式分解解一元二次方程即可；
（2）先移项，然后提取公因式(2x-1)因式分解解一元二次方程即可．
19．【答案】（1）解：如图所示，四边形即为所求；
（2）解：如图所示，四边形即为所求．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）取格点C、D，连接，则四边形ABCD即为所作；
（2）取格点C、D，连接，得到四边形是平行四边形，则四边形ABCD即为所作．
20．【答案】（1）8；8.5；8.5
（2）解：
∵，
∴初中代表队成绩较为稳定．
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】（1）解：高中部的成绩处于中间位置的是8，
∴，
初中部五个数据出现次数最多的是，出现2次，
∴，
；
故答案为：；
【分析】（1）根据中位数，众数，平均数的定义进行求解即可；
（2）根据方差公式求出初中代表队的方差，然后比较方差，根据方差小的成绩稳定解答即可．
21．【答案】（1）证明：在中，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
在中，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．

【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用AAS证明两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到，，即可得到是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AD和CD长，然后求出周长即可．
22．【答案】（1）解：在方程中，
，，，
∴，
∴无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解： ，
，
，
∴，，
即的两条边的长度为、，
若为直角三角形，
∵，故可能为斜边，也可能为斜边，
①当为斜边时，，即，且，即，
且，
化简得，
解得（舍去）或，
则，，
故直角边为和，
的面积为；
②当为斜边时，，即，
且，
解得，
则，，
故直角边为和，
的面积为；
综上，当时，的面积为；当时，的面积为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；勾股定理；分类讨论
【解析】【分析】（1）计算一元二次方程判别式的值，证明其恒大于0，得到结论即可；
（2）利用因式分解法求出，，然后分为5或k+2为斜边，利用勾股定理求出的值，然后利用三角形的面积公式计算即可．
23．【答案】（1）；
（2）解：根据题意得，，
整理得，，
解得，，，
∵进货不超过200个，
∴，
解得，，
∴，
∴此时枕头的售价为元；
（3）解：设利润为元，根据题意得：
，
∵，
∴当时，有最大值，为4000元；
∴当降价10元时，每月利润达到最大值，此时售价为元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：枕头的实际售价为元；
枕头的销售量为个；
故答案为：；；
【分析】（1）根据题意列代数式解答即可；
（2）根据“利润=（售价-进价）×销售量”列一元二次方程方程，求出x的值并检验解答即可；
（3）根据“利润=（售价-进价）×销售量”列利润与x之间的函数关系式，配方得到顶点式，得到最大值解答即可．
24．【答案】（1）；
（2）解：∵点在直线
∴，
∴直线解析式为：；
∵点在轴上，
∴设点，
∴，
∴，
∴，；
∵点在直线上，
∴设点，
∴，
∴；
∵点，点，，
∴，，，
直线把平行四边形的面积分成两部分，由图可得，分成两个高为的梯形，
∴，，
∴当，
∴，
解得：，
∴直线解析式为：；
当，，
解得：，
∴直线解析式为：；
综上所述：直线解析式为：或．
（3）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（1）解：过点作轴于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴点，
∵四边形是平行四边形
∴
∴点的横坐标为：
∴点；
故答案为：；
（3）解：将点向右平移两个单位长度，得到点，连接，
∴点，，
∵，点，在轴上，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，当点，，三点共线时，有最小值，最小值为，
∵点，点，
∴点，
过点作的延长线于点，
∴，，
∴，
∴的最小值为．
【分析】（1）过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出OH长，即可得到点的坐标，根据平行四边形的性质得到点的坐标解答即可；
（2）把点的坐标代入上求出；根据点在轴上，设点，求出点的坐标；根据点在直线上，设点，求出点的坐标，即可得到，，，根据直线把平行四边形的面积分成两部分，分为两种情况，根据梯形的面积公式列方程求出k的值即可；
（3）将点向右平移两个单位长度，得到点，连接，即可得到 四边形是平行四边形，进而可得，得到当点，，三点共线时，有最小值，最小值为，根据中点坐标公式求出点的坐标，过点作的延长线于点，根据勾股定理求出长解答即可．
1 / 1浙江省嘉兴市南湖区北京师范大学南湖附属学校2025-2026学年八年级下学期数学期中检测试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】轴对称图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，据此解答即可．
2．若二次根式有意义，则的值可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
∴的值可以是．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可.
3．在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A．，是一元二次方程，符合题意；
B．，方程含有和两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C．，分母中含有未知数，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D．，展开整理得，未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，未知数的最高次数是2次的整式方程是一元二次方程”逐项判断解答即可.
4．下列计算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：，∴ A计算错误；
，∴ B计算正确；
，∴ C计算错误；
与不是同类二次根式，不能合并，∴ D计算错误.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质化简、二次根式的乘法、除法和加法法则逐项判断解答即可.
5．一元二次方程配方后，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
．
故答案为：C.
【分析】根据移项、添加一次项系数一半的平方，左边写成完全平方式的形式解答即可.
6．如图是某次测试成绩的箱线图．根据图中的信息，下列判断错误的是（　　）
A．本次测试的最高分是99分
B．本次测试的平均分是79分
C．本次测试成绩的上四分位数是88分
D．本次测试成绩在65~88分的人数占了50%
【答案】B
【知识点】箱线图
【解析】【解答】解：A项：由图可知，箱线图最上方的横线（上须末端）对应的数值是99，这代表数据的最大值，故A项判断正确，不符合题意；
B项：箱线图中间的横线代表中位数，而非平均数，图中显示中位数为79，平均数需要所有数据之和除以数据个数，仅凭箱线图无法直接得出平均数，故B项判断错误，符合题意；
C项：由图可知，图中箱体上沿的横线表示本次测试成绩的上四分位数，即为88分，故C项判断正确，不符合题意；
D项：箱线图的箱体部分（从下四分位数到上四分位数）包含了数据集中间的数值，图中下四分位数为65，上四分位数为88，这意味着成绩在65分到88分之间的数据占总人数的，故D项判断正确，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据箱线图的数据逐项判断解答即可．
7．根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，四边形不是平行四边形，不符合题意；
B、只有一组对边平行不能确定四边形是平行四边形，不符合题意；
C、一组对边平行且相等，是平行四边形，符合题意；
D、不能判断出任何一组对边是平行的，所以四边形不一定是平行四边形，不符合题意．
故选：C．
【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
8．如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接E、F两点，过点E作于点M，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴的边上的高与的边上的高相等，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∵，，
∴，
故阴影部分的面积为．
故答案为：B.
【分析】根据三角形的面积公式可得△的面积，连接E、F两点，即可得到，，进而可得，，即可得到四边形的面积就是．据此解答即可．
9．中国明代数学家程大位编写的数学名著<算法统宗>中记载道：“平地秋千未起，路板一尺离地：送行二步与人齐，五尺人高曾记：仕女佳人争蹴，终朝笑语欢姐；良工高士素好奇，算出索长有几？”其大意是：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（约为10尺）时，此时踏板升高，离地5尺，秋千的绳累始终拉的很直，问秋干绳索有多长？”如图，若设秋千的绳索OA长为x尺，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；列一元二次方程
【解析】【解答】解：如图，
根据题意，得OA=OB=x，AC=1，BD=EC=5，BE=CD=10，∠OEB=90°，
∴EA=EC-AC=5-1=4，
∴OE=OA-EA=x-4，
在中，有，
∴可列方程，
故答案为：D.
【分析】先求出EA=4，BE=10，OB=x，∠OEB=90°，从而得OE=x-4，然后在中，利用勾股定理即可列出方程.
10．如图，在平行四边形中，，是的中点，作于点，连接、，则以下结论：①；②；③；④，一定成立的是（　　）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-ASA；三角形的中线
【解析】【解答】 解：①∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，故①正确；
②延长交的延长线于点，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
在中，为中点，
∴，故②正确；
③由②知，，
∴，， ，
∴， ，
∴，故③错误；
由①知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的是①②④．
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质AF=FD=DC=AB，即可得到，然后根据三角形的内角和定理计算判断①；延长交的延长线于点，根据ASA得到△AEF≌△DGF，即可得到，然后根据直角三角形斜边中线的性质判断②；然后根据中线分出的来那个三角形的面积相等，和平行四边形的面积公式判断③，再根据等边对等角以及三角形的内角和得到判断④解答即可.
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的外角和为　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：八边形的外角和为．
故答案为：.
【分析】任意多边形的外角和都为360°，多边形的外角和与多边形的边数无关，据此可得答案.
12．若1，，3，4众数为4，则此数据的下四分位数为　 　．
【答案】2
【知识点】众数；四分位数
【解析】【解答】解：由题意知，，
数据从小到大排列可得：，，，，
，，
∴其下四分位数为．
故答案为：2.
【分析】根据众数的定义求出x的值，然后根据四分位数的定义计算即可.
13．袁隆平率领的科研团队在“中国超级稻育种计划”的第二期实现超级稻亩产量800千克的目标，第四期实现超级稻亩产量1000千克的目标．如果第三、四期亩产量的增长率相同，设每期亩产量的平均增长率为，可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意，可列方程为.
故答案为：.
【分析】根据平均增长率的公式列方程即可.
14．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为　 　米．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
【分析】
根据题意可得，且，据此可以推出，之后就可以求解题目最终答案.
15．若，是一元二次方程的两个实数根，则　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：将原方程整理为一般形式得：，
由根与系数的关系可得：，，
∴．
故答案为：.
【分析】利用根与系数的关系得到，，然后根据完全平方公式的变形，整体代入计算即可．
16．如图1，在平行四边形纸片中，，对角线，且，作于，将纸片沿，剪开后得到纸片①②③．如图2，先让②③两张纸片的较大锐角完全重叠，再让①③的长直角边重叠且保证，两点重合，最后摆成了“”型图，若图2中纸片①的斜边恰好经过纸片②的顶点，则的长度为　 　，的长度为　 　．
【答案】1；
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，设
如图1中，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在如图2中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
如图1中，在中，则有，
解得；
∴，
故答案为：；.
【分析】设，先证明，然后根据勾股定理求出x的值，然后根据线段的和差解答即可.
三、解答题（本题共8小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，然后运算加法解答即可；
（2）先化简二次根式，然后合并同类二次根式即可.
18．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
或
；
（2）解：
，即
解得：．

【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项，然后提取公因式x因式分解解一元二次方程即可；
（2）先移项，然后提取公因式(2x-1)因式分解解一元二次方程即可．
19．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形．
（1）在图1中画一个平行四边形，使边长为（点、都在格点上）；
（2）在图2中画一个平行四边形，使点是它的对称中心．
【答案】（1）解：如图所示，四边形即为所求；
（2）解：如图所示，四边形即为所求．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）取格点C、D，连接，则四边形ABCD即为所作；
（2）取格点C、D，连接，得到四边形是平行四边形，则四边形ABCD即为所作．
20．我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2）
初中部 c 8.5 b
高中部 8.5 a 8.5 1.6
（1）根据图示计算出　 　，　 　，　 　；
（2）计算初中代表队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队成绩较为稳定．
【答案】（1）8；8.5；8.5
（2）解：
∵，
∴初中代表队成绩较为稳定．
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】（1）解：高中部的成绩处于中间位置的是8，
∴，
初中部五个数据出现次数最多的是，出现2次，
∴，
；
故答案为：；
【分析】（1）根据中位数，众数，平均数的定义进行求解即可；
（2）根据方差公式求出初中代表队的方差，然后比较方差，根据方差小的成绩稳定解答即可．
21．如图，在中，是对角线，作于点E，于点F．
（1）求证：；
（2）若，，时，求的周长．
【答案】（1）证明：在中，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
在中，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．

【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用AAS证明两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到，，即可得到是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AD和CD长，然后求出周长即可．
22．已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根．
（1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当为何值时，为直角三角形，并求出的面积．
【答案】（1）解：在方程中，
，，，
∴，
∴无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解： ，
，
，
∴，，
即的两条边的长度为、，
若为直角三角形，
∵，故可能为斜边，也可能为斜边，
①当为斜边时，，即，且，即，
且，
化简得，
解得（舍去）或，
则，，
故直角边为和，
的面积为；
②当为斜边时，，即，
且，
解得，
则，，
故直角边为和，
的面积为；
综上，当时，的面积为；当时，的面积为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；勾股定理；分类讨论
【解析】【分析】（1）计算一元二次方程判别式的值，证明其恒大于0，得到结论即可；
（2）利用因式分解法求出，，然后分为5或k+2为斜边，利用勾股定理求出的值，然后利用三角形的面积公式计算即可．
23．综合与实践：设计商品最优定价方案
【素材】某经销商计划销售一款新的枕头，根据试售统计，若每个枕头的售价定为50元时，每月可销售100个；若每个枕头的售价每降价1元，则每月可多销售10个，每个枕头的进价为20元，假设枕头全部售完（销售量进货量），设每个枕头降价元（为整数），回答下列问题：
【问题】
（1）任务1：一个枕头的实际售价为　 　（用含的代数式表示）元，枕头的销售量为　 　（用含的代数式表示）个；
（2）任务2：若经销商计划进货不超过200个，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时枕头的售价；反之，请说明理由．
（3）任务3：根据试售数据，若该经销商想让每月利润达到最大值，求此时枕头的售价．
【答案】（1）；
（2）解：根据题意得，，
整理得，，
解得，，，
∵进货不超过200个，
∴，
解得，，
∴，
∴此时枕头的售价为元；
（3）解：设利润为元，根据题意得：
，
∵，
∴当时，有最大值，为4000元；
∴当降价10元时，每月利润达到最大值，此时售价为元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：枕头的实际售价为元；
枕头的销售量为个；
故答案为：；；
【分析】（1）根据题意列代数式解答即可；
（2）根据“利润=（售价-进价）×销售量”列一元二次方程方程，求出x的值并检验解答即可；
（3）根据“利润=（售价-进价）×销售量”列利润与x之间的函数关系式，配方得到顶点式，得到最大值解答即可．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点为坐标原点，顶点在轴的正半轴上，，在第一象限内，，且，，．
（1）顶点的坐标为　 　，顶点的坐标为　 　；
（2）如图2，若直线过点，且把平行四边形的面积分成两部分，求直线的函数表达式；
（3）如图3，设对角线，交于点，在轴上，有一个长为个单位长度的可以左右平移的线段，点在点的左侧，连接，，则的最小值为　 　．
【答案】（1）；
（2）解：∵点在直线
∴，
∴直线解析式为：；
∵点在轴上，
∴设点，
∴，
∴，
∴，；
∵点在直线上，
∴设点，
∴，
∴；
∵点，点，，
∴，，，
直线把平行四边形的面积分成两部分，由图可得，分成两个高为的梯形，
∴，，
∴当，
∴，
解得：，
∴直线解析式为：；
当，，
解得：，
∴直线解析式为：；
综上所述：直线解析式为：或．
（3）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（1）解：过点作轴于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴点，
∵四边形是平行四边形
∴
∴点的横坐标为：
∴点；
故答案为：；
（3）解：将点向右平移两个单位长度，得到点，连接，
∴点，，
∵，点，在轴上，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，当点，，三点共线时，有最小值，最小值为，
∵点，点，
∴点，
过点作的延长线于点，
∴，，
∴，
∴的最小值为．
【分析】（1）过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出OH长，即可得到点的坐标，根据平行四边形的性质得到点的坐标解答即可；
（2）把点的坐标代入上求出；根据点在轴上，设点，求出点的坐标；根据点在直线上，设点，求出点的坐标，即可得到，，，根据直线把平行四边形的面积分成两部分，分为两种情况，根据梯形的面积公式列方程求出k的值即可；
（3）将点向右平移两个单位长度，得到点，连接，即可得到 四边形是平行四边形，进而可得，得到当点，，三点共线时，有最小值，最小值为，根据中点坐标公式求出点的坐标，过点作的延长线于点，根据勾股定理求出长解答即可．
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