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吉林省四平市第三中学2024-2025学年下学期6月数学中考全真模拟试卷(二)
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．下列各式-1.6，0，3，，-7，0.8中，整数的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，其中用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值为（　　）
A．3 B． C． D．5
5．如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面（即），靠背与支架平行（即），前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当，时，人躺着最舒服，此时扶手与靠背的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．计算：　 　．
8．如果一元一次不等式（m+3）x＞m+3的解集为x＜1，则m的取值范围为　 　.
9．如图，，，若，则　 　．
10．从如图所示的7个小正方形中剪去一个小正方形，使剩余的6个小正方形折叠后能围成一个正方体，则剪去的小正方形上的字是　 　.
11．如图，在中剪去得到四边形，且，纸片中的度数为　 　．
三、解答题（本大题共11小题，共87分）
12．阅读下面的解题过程：
（1）感知：已知，求的值．
解：由知，所以，即
所以：
所以的值为__________．
该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题：
（2）应用：求，求的值；
（3）拓展：若，求的值．
13．高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案．
14．在一个不透明的布袋中有标有数字2，3，4的三个小球，除数字外其余完全相同．小明先从袋中随机地摸取一个，不放回，再随机地摸取一个．用画树状图或列表的方法，求两次摸取的球上数字均为偶数的概率．
15．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，按要求画图：
（1）在图①中以A为顶点作面积为4的菱形；（）
（2）在图②中以A为顶点作面积为5的正方形．
16．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．请结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题：
（1）点，在函数图象上，则______；（填“>”、“=”或“<”）
（2）当函数值时，自变量x的值为______；
（3）当2时，求的最大值和最小值；
（4）当关于x的方程有两个不同的解时，直接写出b的取值范围．
17．2025年4月15日是第十个国家安全教育日，树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的义务．为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级各200名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据整理、统计如下：
【数据收集】
七年级10名同学测试成绩统计如下：65，72，75，81，82，87，88，88，94，98
八年级10名同学测试成绩统计如下：75，77，78，79，83，83，85，87；88，95
【数据分析】两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 83 84.5 88
八年级 83 83
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）______；
（2）若测试成绩不低于85分可以被评定为优秀，请估计该学校七年级和八年级共有多少人被评定为优秀？
（3）为了使样本数据更精确的反映总体情况．每个年级又各随机抽调了5人测试，若七年级新抽调的5人成绩的平均数为80分，则七年级15名同学测试成绩的平均数为______；若八年级新抽调的5人成绩均为整数且互不相同，中位数为84，则八年级15名同学测试成绩的中位数为_____．
18．跳楼机是游乐园常见的大型机动游戏设备（如图①），小明同学想测算跳楼机的上升速度，将其抽象成如图②所示的示意图，跳楼机从地面处发射，前以的平均速度竖直上升到达处，此时小明在处观测跳楼机的仰角为．跳楼机以不同的速度再继续上升后到达处，此时小明在处测得跳楼机的仰角为，求跳楼机在段的平均速度（参考数据：）．
19．如图，在平面直角坐标系中，某抛物线的顶点为，并且经过点，点在此抛物线上，其横坐标为，过点作平行轴，且点的横坐标为，连接和，以和为边构造，设的面积为．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当时，求的值；
（3）作直线，当直线平分的面积时，求出的值；
（4）当时，连接、、、，设的面积为，的面积为，若，直接写出的取值范围．
20．【提出问题】（1）如图①，在中，，，为此三角形内的一点，且，，，将绕点顺时针旋转至，则两点间的距离为______，的度数为______．
【探究问题】（2）如图②，在四边形中，，，探究线段之间的数量关系，并写出解答过程．
【解决问题】（3）如图③是某圆形公园的设计示意图．已知四边形是内接四边形，为直径，，交于点，于点，于点，按设计要求，阴影部分是室内活动区，若，，则阴影部分的面积为______．
21．如图①，在四边形中，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒．
（1）求的长；
（2）当以，、、为顶点的四边形是平行四边形时，求的值；
（3）若点是边上的一点，且，如图②．
①当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值；
②是平面内一点，是否存在点、，使以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由．
22．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（为常数）的对称轴为直线，与轴交于点．点A是该抛物线上一点，点A在轴右侧，横坐标为；点是该抛物线上异于点的一点（点不与点重合），点的横坐标为．连接，以为边，点为对称中心作．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）当的一条边与轴平行时，求的值；
（3）当点在点的右侧时，设的边与抛物线交于点（点不与重合），若的面积是的面积的倍，求的值；
（4）当的顶点恰好落在同一象限内时，直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数及其分类
【解析】【解答】解：0，3，-7是整数，共3个，
故答案为：B.
【分析】利用整数的定义逐个分析判断即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：；
故选：C
【分析】科学记数法的一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不合题意；
、既是轴对称图形，又是中心对称图形，该选项符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不合题意；
、是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不合题意；
故选：B．
【分析】 若一个平面图形沿某条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合，该图形就是轴对称图形；
若将一个图形绕某一定点旋转一定角度后，能和自身完全重合，这个图形即为中心对称图形，这个定点便是它的对称中心.解题时只需依据这两个定义，逐个对图形进行辨析判断即可.
4．【答案】C
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有一个根是，
将代入得，
解得，
故选：C．
【分析】
已知一元二次方程的根求解参数，按照一元二次方程解的定义，只需将代入方程，即可得到，再解这个关于的一元一次方程就能得到最终结果.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在菱形中，，
，
，
，
，
，
故选：A．
【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理和直角三角形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，据此可得到，，且，再利用勾股定理求出的长度，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，在中，为中点，因此，即可得到的长度。
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】此题考查了平行线的性质，∠ODM和∠GOD为直线OE和DM被直线OF所截形成的内错角，可得，然后结合角的运算得，最后根据，即可作答．
7．【答案】2
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：
，
故答案为：2．
【分析】实数的混合运算，先根据负整数指数幂的性质和零指数幂的性质运算即可．
8．【答案】m＜﹣3
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵（m+3）x＞m+3的解集为x＜1，
∴m+3＜0，
解得m＜-3，
故答案为：m＜-3.
【分析】根据不等式的性质，当不等式两边同乘或除以一个不为0的数或式子，不等号方向改变，可得m+3＜0，再求m的范围即可.
9．【答案】36
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：36．
【分析】
依据“两直线平行，同旁内角互补”，得到，再进一步计算得到结果.
10．【答案】欢
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：根据正方体的展开图可得：要使剩余的个小正方形折叠后能围成一个正方体，应剪去标记为“欢”的小正方形．
故答案为：欢．
【分析】本题考查了正方体的展开图，识别正方体展开图的11种基本类型，判断多余的面.
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：在四边形中，，
∵，
，
，
故答案为：．
【分析】根据四边形内角和定理和角的和差，求出，则由三角形内角和定理可得，代入计算即可．
12．【答案】（1）解：∵，且，
∴，即
∴
∴；

（2）解：∵，且，
∴，
∴，
∴；
∴．

（3）解：∵，且
∴
∴
∵
∴．

【知识点】分式的化简求值-倒数法
【解析】【分析】
（1）依照题目给出的“倒数求值法”思路，就可以计算出对应结果；
（2）同样遵循“倒数求值法”的解题逻辑，就能求出该问的答案；
（3）按照“倒数求值法”的解题步骤推导，即可得到最终结果.
（1）解：∵，且，
∴，即
∴
∴；
（2）解：∵，且，
∴，
∴，
∴；
∴．
（3）解：∵，且
∴
∴
∵
∴．
13．【答案】（1）解：设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，
由题意得：，
解得：，
则，
答：“科普类”图书的单价为20元，则“文学类”图书的单价为16元；
（2）解：设“文学类”书购买a本，则“科普类”书购买本，
依题意得：，
解得：．
因为a是正整数，所以．
∴学校有3种购买方案：
①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本；
②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本；
③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本．
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）先设“科普类”图书的单价为x元，因为题目中给出两类图书的单价差为4元，所以“文学类”图书的单价为元，再结合购买两类图书的总花费为1240元，就可以列出关于x的一元一次方程，解这个方程就能得到两类图书各自的单价；
（2）接着设购买“文学类”图书的数量为a本，根据“总价单价数量”这一关系，结合题目要求总花费需要超过1790元，同时不超过1800元，就可以列出关于a的不等式组，解不等式组即可得到符合要求的购买方案.
（1）解：设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，
由题意得：，
解得：，
则，
答：“科普类”图书的单价为20元，则“文学类”图书的单价为16元；
（2）解：设“文学类”书购买a本，则“科普类”书购买本，
依题意得：，
解得：．
因为a是正整数，所以．
∴学校有3种购买方案：
①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本；
②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本；
③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本．
14．【答案】解：画树状图如下：
（两次数字均为偶数）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】 先根据题意画出树状图，借助树状图列出所有等可能的结果，再找出两次摸球数字都是偶数的情况数，最后套用概率公式，计算即可。
15．【答案】（1）解：如图所示，易得，，则四边形是面积为4的菱形；
（2）解：如图所示，易得，则四边形是面积为5的正方形．
【知识点】勾股定理的逆定理；菱形的判定；正方形的判定；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】
（1）画出一个对角线互相垂直平分，且两条对角线长度分别为2和4的四边形，即可得到满足要求的菱形；
（2）画出边长为的正方形，即可满足题目的要求.
（1）解：如图所示，易得，，则四边形是面积为4的菱形；
（2）解：如图所示，易得，则四边形是面积为5的正方形．
16．【答案】（1）
（2）或2
（3）由图可知，当时，；
当时，．
（4）
【知识点】分段函数；反比例函数的概念；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（1）解：∵点，在函数的图象上，且，∴；故答案为：＞；
（2）把代入得，把代入数得，故答案为：或2；
（4）当过点时，可得，解得，∴当方程有两个不同的解时，则b的取值范围为．
【分析】（1）借助反比例函数自身的性质推导得到对应结论；
（2）先将代入一次函数解析式，再将代入反比例函数解析式，求解方程就能得到对应结论；
（3）结合两个函数的函数图象，即可得到所需结论；
（4）根据函数图象的位置关系，就可以确定参数b的取值范围.
（1）解：∵点，在函数的图象上，且，
∴；
故答案为：＞；
（2）把代入得，
把代入数得，
故答案为：或2；
（3）由图可知，当时，；
当时，．
（4）当过点时，
可得，
解得，
∴当方程有两个不同的解时，
则b的取值范围为．
17．【答案】（1）
（2）解：七年级和八年级共有
（3）
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：出现次数最多，则；
（3）解：若七年级新抽调的5人成绩的平均数为80分，则七年级15名同学测试成绩的平均数为，
八年级新抽调的5人成绩均为整数且互不相同，中位数为84，
∴这人成绩从小到大排列第3人的成绩为，2人小于，人大于
∵八年级名同学测试成绩的中位数为，将第3人的成绩加入排序，则位于第
将人成绩加入，排序后，位于第，即八年级15名同学测试成绩的中位数为
故答案为：．
【分析】（1）根据众数的定义“ 一组数据中出现次数最多的那个数据，就是这组数据的众数”，即可求解；
（2）根据样本公式：“ 总体中某类数量=总体总数×样本中该类所占百分比 ”，即可求解；
（3）根据平均数的定义，求得七年级15名同学测试成绩的平均数，根据中位数的定义可得分在新数据中排在最中间，即可求解.
（1）解：出现次数最多，则
（2）解：七年级和八年级共有
（3）解：若七年级新抽调的5人成绩的平均数为80分，则七年级15名同学测试成绩的平均数为，
八年级新抽调的5人成绩均为整数且互不相同，中位数为84，
∴这人成绩从小到大排列第3人的成绩为，2人小于，人大于
∵八年级名同学测试成绩的中位数为，将第3人的成绩加入排序，则位于第
将人成绩加入，排序后，位于第，即八年级15名同学测试成绩的中位数为
故答案为：．
18．【答案】解：依题意，．
又，
．
∵，
，
，，
故跳楼机在段的平均速度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
先根据船只的航行速度和行驶时间，计算出航行路程的长度，再结合解直角三角形的三角函数知识计算出的长度，进一步即可得到的距离，最后结合速度公式即可计算出所求结果.
19．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式
（2）解：如图，
∵点在此抛物线上，其横坐标为，点的横坐标为，轴，
∴，即，
解得：或，
当时，，
∴，
∴；
当时，，
∴，
此时点与共线，不符合题意，
综上可知：当时，求的值为；
（3）解：如图，
设直线解析式为，
∵，，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∵直线平分的面积，
∴点在直线上，
∵点在此抛物线上，其横坐标为，点的横坐标为，轴，
∴，，
∴，整理得：，
解得：，，
∴的值为或；
（4）或且
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题；分类讨论
【解析】【解答】（4）解：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
当时，，
整理得，
解得：或；
当时，，
整理得，
解得：；
当时，共线，不符合题意，
∴，
综上可知：的取值范围为：或且．
【分析】
（）先设出抛物线的顶点式解析式为，再将点的坐标代入解析式，即可求出待定系数，得到抛物线解析式；
（）根据两点坐标可得到PQ的长度为，整理后即为，解这个绝对值方程可以得到或，再分两种情况讨论就可以得到对应的坐标结果；
（）先根据A、B两点的坐标求出直线的解析式为，根据平行四边形的中心对称性质，若直线平分平行四边形的面积，说明直线AB经过平行四边形的中心，因此点在直线上，再写出和的坐标，将点Q坐标代入直线解析式，最后解关于m的方程即可得到结果。
（）第一步我们先根据题意推导得到：
，，
。结合条件，整理后可以得到不等式。最后我们去掉绝对值符号求解不等式，分两种情况讨论：当时；当时，分别计算后即可得到最终结果.
（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式；
（2）解：如图，
∵点在此抛物线上，其横坐标为，点的横坐标为，轴，
∴，即，
解得：或，
当时，，
∴，
∴；
当时，，
∴，
此时点与共线，不符合题意，
综上可知：当时，求的值为；
（3）解：如图，
设直线解析式为，
∵，，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∵直线平分的面积，
∴点在直线上，
∵点在此抛物线上，其横坐标为，点的横坐标为，轴，
∴，，
∴，整理得：，
解得：，，
∴的值为或；
（4）解：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
当时，，
整理得，
解得：或；
当时，，
整理得，
解得：；
当时，共线，不符合题意，
∴，
综上可知：的取值范围为：或且．
20．【答案】（1），
（2）．理由如下：
延长至点，使，连接，如图，
∵，
∴，
∴四点在同一个圆上，
∴，
∴
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（3）2000
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；等腰直角三角形；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）如图，连接，
∵将绕点C沿顺时针方向旋转至，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：，；
（3）如图，延长至点，使，连接，如图，
结合（2）可知，平分，，为等腰直角三角形，
又∵，，
∴，
∵，，，
∴四边形为正方形，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2000．
【分析】
（1）由旋转的性质可以推出，且，再结合等腰直角三角形的性质与勾股定理的逆定理，即可得到对应结论；
（2）第一步辅助线为延长到点，使得，再连接，沿用第（1）问的解题方法，证明得到，再结合等腰直角三角形的性质即可推出结论；
（3）做辅助线延长到点，使，连接，参考第（2）问的思路，可以得到平分，，且是等腰直角三角形，先证明四边形是正方形，计算可得它的面积为。结合已知条件是等腰直角三角形，且，可以算出。再根据全等关系，可得两个三角形面积相等，即，由此不难推得四边形的面积和的面积相等，也就是。最后根据面积关系，代入数值计算就能得到最终答案.
21．【答案】（1）解：如图所示，过点作，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：点运动到点时，共用了，总共运动了，
当时，，
当时，，
综上，．
若四边形为平行四边形，
则，
根据题意得，，
当时，，
当时，，
综上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，或．
（3）①的值为或或；②存在，或或
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（3）解：①当点在线段上，且，
则，
∴，
，
当点在线段上，且，如图所示，过点作，
则，，
在中，根据勾股定理得，
，
，
解得，，
当点在线段的延长线上，且，如图所示，过点E作，
则，，
在中，根据勾股定理得，
，
，
解得，，
综上，当是以为腰的等腰三角形时，的值为 或或．
②当是菱形的边时，如图，
∴，
当时，如图，设交于点，
∴，，
∴，
如图，当是菱形的对角线时，
∵，
∴，
∴，
在中，，
综上所述，或或．
【分析】（1）过点作，根据四个角都是直角，证明四边形是矩形，得出对边相等，，根据勾股定理得，即可得；
（2）点运动到点时，共用了，总共运动了，分两种情况讨论：当时，进行计算即可得，当时，得出，若四边形为平行四边形，则对边相等，根据题意得，，分两种情况讨论：当时，当时，进行计算即可得；
（3）①根据等腰三角形的性质得，当点在线段上，且，则，进行计算即可得，当点在线段上，且，过点作，则，，在中，根据勾股定理得，，进行计算即可得，当点在线段的延长线上，且，过点作，则，，在中，根据勾股定理得，，进行计算即可得；
②分三种情况讨论，为 菱形的边时，=5；为 菱形的边时，根据菱形的性质，勾股定理，， 即可求解；或为对角线，画出图形，根据菱形的性质，勾股定理，．
（1）解：如图所示，过点作，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：点运动到点时，共用了，总共运动了，
当时，，
当时，，
综上，．
若四边形为平行四边形，
则，
根据题意得，，
当时，，
当时，，
综上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，或．
（3）解：①当点在线段上，且，
则，
∴，
，
当点在线段上，且，如图所示，过点作，
则，，
在中，根据勾股定理得，
，
，
解得，，
当点在线段的延长线上，且，如图所示，过点E作，
则，，
在中，根据勾股定理得，
，
，
解得，，
综上，当是以为腰的等腰三角形时，的值为 或或．
②当是菱形的边时，如图，
∴，
当时，如图，设交于点，
∴，，
∴，
如图，当是菱形的对角线时，
∵，
∴，
∴，
在中，，
综上所述，或或．
22．【答案】（1）解：由题意得，，解得：，∴抛物线对应的函数表达式为
（2）解：当轴时，点A的纵坐标等于点的纵坐标，
∵点A的横坐标为，点的横坐标为，
∴，，即，
∴，解得，
此时点重合，不合题意；
当轴时，点与点的纵坐标相等，
∵点C是点A关于点的对称点，设点，
∴，解得：
∴，同理可得：
∴，整理得：，
解得或
（3）解：由（2）可得：，，
如图：连接，M为的交点，连接，M为平行四边形的对称中心，分别过作的垂线，垂足为E，F，
∴，
∵的面积是的面积的倍，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图：过D作轴的平行线，过A作x的垂线，两线交于点G，过作，
即，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点N的横坐标为：，点N的纵坐标为：，即，
∵点N在抛物线上，
∴，
整理得：，
解得：或．
∴m的值为或
（4）解：∵点A是该抛物线上一点，点A在轴右侧，横坐标为，∴，
由（2）可得：，，
∵，
∴，即点C、D不可能同时在第一、四象限，
当在第二象限时，
有，解得：；
当在第三象限时，
有，解得该不等式无解；
综上，
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用对称轴方程和点M的坐标可求出b、c的值，即可得到二次函数解析式.
（2）当轴时，可表示出点A、B的坐标，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到此时点重合，不合题意；当轴时，点与点的纵坐标相等，可得到点C是点A关于点的对称点，设点，据此可表示出点C、D的坐标，即可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
（3）由（2）可表示出点A、B、C、D的坐标，如图：连接，M为的交点，连接，M为平行四边形的对称中心，分别过作的垂线，垂足为E，F，由的面积是的面积的倍可得的比值，再证明利用相似三角形的性质可得到，如图：过D作轴的平行线交过A作x的垂线与点G，过作，即，则；再证明，由此可得到HN、DH的坐标，即可得到点N的坐标，最后代入抛物线求得m的值即可；
（4）根据点A在轴右侧，横坐标为，可知排除在一、四象限的可能性，然后分在第二、三象限两种情况，分别列出关于m的不等式组，分别求出不等式组的解集，可得到m的取值范围.
（1）解：由题意得，，解得：，
∴抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：当轴时，点A的纵坐标等于点的纵坐标，
∵点A的横坐标为，点的横坐标为，
∴，，即，
∴，解得，
此时点重合，不合题意；
当轴时，点与点的纵坐标相等，
∵点C是点A关于点的对称点，设点，
∴，解得：
∴，同理可得：
∴，整理得：，
解得或；
（3）解：由（2）可得：，，
如图：连接，M为的交点，连接，M为平行四边形的对称中心，分别过作的垂线，垂足为E，F，
∴，
∵的面积是的面积的倍，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图：过D作轴的平行线，过A作x的垂线，两线交于点G，过作，
即，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点N的横坐标为：，点N的纵坐标为：，即，
∵点N在抛物线上，
∴，
整理得：，
解得：或．
∴m的值为或．
（4）解：∵点A是该抛物线上一点，点A在轴右侧，横坐标为，
∴，
由（2）可得：，，
∵，
∴，即点C、D不可能同时在第一、四象限，
当在第二象限时，
有，解得：；
当在第三象限时，
有，解得该不等式无解；
综上，．
1 / 1吉林省四平市第三中学2024-2025学年下学期6月数学中考全真模拟试卷(二)
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．下列各式-1.6，0，3，，-7，0.8中，整数的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】有理数及其分类
【解析】【解答】解：0，3，-7是整数，共3个，
故答案为：B.
【分析】利用整数的定义逐个分析判断即可.
2．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，其中用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：；
故选：C
【分析】科学记数法的一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不合题意；
、既是轴对称图形，又是中心对称图形，该选项符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不合题意；
、是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不合题意；
故选：B．
【分析】 若一个平面图形沿某条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合，该图形就是轴对称图形；
若将一个图形绕某一定点旋转一定角度后，能和自身完全重合，这个图形即为中心对称图形，这个定点便是它的对称中心.解题时只需依据这两个定义，逐个对图形进行辨析判断即可.
4．已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值为（　　）
A．3 B． C． D．5
【答案】C
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有一个根是，
将代入得，
解得，
故选：C．
【分析】
已知一元二次方程的根求解参数，按照一元二次方程解的定义，只需将代入方程，即可得到，再解这个关于的一元一次方程就能得到最终结果.
5．如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在菱形中，，
，
，
，
，
，
故选：A．
【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理和直角三角形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，据此可得到，，且，再利用勾股定理求出的长度，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，在中，为中点，因此，即可得到的长度。
6．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面（即），靠背与支架平行（即），前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当，时，人躺着最舒服，此时扶手与靠背的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】此题考查了平行线的性质，∠ODM和∠GOD为直线OE和DM被直线OF所截形成的内错角，可得，然后结合角的运算得，最后根据，即可作答．
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．计算：　 　．
【答案】2
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：
，
故答案为：2．
【分析】实数的混合运算，先根据负整数指数幂的性质和零指数幂的性质运算即可．
8．如果一元一次不等式（m+3）x＞m+3的解集为x＜1，则m的取值范围为　 　.
【答案】m＜﹣3
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵（m+3）x＞m+3的解集为x＜1，
∴m+3＜0，
解得m＜-3，
故答案为：m＜-3.
【分析】根据不等式的性质，当不等式两边同乘或除以一个不为0的数或式子，不等号方向改变，可得m+3＜0，再求m的范围即可.
9．如图，，，若，则　 　．
【答案】36
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：36．
【分析】
依据“两直线平行，同旁内角互补”，得到，再进一步计算得到结果.
10．从如图所示的7个小正方形中剪去一个小正方形，使剩余的6个小正方形折叠后能围成一个正方体，则剪去的小正方形上的字是　 　.
【答案】欢
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：根据正方体的展开图可得：要使剩余的个小正方形折叠后能围成一个正方体，应剪去标记为“欢”的小正方形．
故答案为：欢．
【分析】本题考查了正方体的展开图，识别正方体展开图的11种基本类型，判断多余的面.
11．如图，在中剪去得到四边形，且，纸片中的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：在四边形中，，
∵，
，
，
故答案为：．
【分析】根据四边形内角和定理和角的和差，求出，则由三角形内角和定理可得，代入计算即可．
三、解答题（本大题共11小题，共87分）
12．阅读下面的解题过程：
（1）感知：已知，求的值．
解：由知，所以，即
所以：
所以的值为__________．
该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题：
（2）应用：求，求的值；
（3）拓展：若，求的值．
【答案】（1）解：∵，且，
∴，即
∴
∴；

（2）解：∵，且，
∴，
∴，
∴；
∴．

（3）解：∵，且
∴
∴
∵
∴．

【知识点】分式的化简求值-倒数法
【解析】【分析】
（1）依照题目给出的“倒数求值法”思路，就可以计算出对应结果；
（2）同样遵循“倒数求值法”的解题逻辑，就能求出该问的答案；
（3）按照“倒数求值法”的解题步骤推导，即可得到最终结果.
（1）解：∵，且，
∴，即
∴
∴；
（2）解：∵，且，
∴，
∴，
∴；
∴．
（3）解：∵，且
∴
∴
∵
∴．
13．高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案．
【答案】（1）解：设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，
由题意得：，
解得：，
则，
答：“科普类”图书的单价为20元，则“文学类”图书的单价为16元；
（2）解：设“文学类”书购买a本，则“科普类”书购买本，
依题意得：，
解得：．
因为a是正整数，所以．
∴学校有3种购买方案：
①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本；
②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本；
③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本．
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）先设“科普类”图书的单价为x元，因为题目中给出两类图书的单价差为4元，所以“文学类”图书的单价为元，再结合购买两类图书的总花费为1240元，就可以列出关于x的一元一次方程，解这个方程就能得到两类图书各自的单价；
（2）接着设购买“文学类”图书的数量为a本，根据“总价单价数量”这一关系，结合题目要求总花费需要超过1790元，同时不超过1800元，就可以列出关于a的不等式组，解不等式组即可得到符合要求的购买方案.
（1）解：设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，
由题意得：，
解得：，
则，
答：“科普类”图书的单价为20元，则“文学类”图书的单价为16元；
（2）解：设“文学类”书购买a本，则“科普类”书购买本，
依题意得：，
解得：．
因为a是正整数，所以．
∴学校有3种购买方案：
①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本；
②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本；
③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本．
14．在一个不透明的布袋中有标有数字2，3，4的三个小球，除数字外其余完全相同．小明先从袋中随机地摸取一个，不放回，再随机地摸取一个．用画树状图或列表的方法，求两次摸取的球上数字均为偶数的概率．
【答案】解：画树状图如下：
（两次数字均为偶数）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】 先根据题意画出树状图，借助树状图列出所有等可能的结果，再找出两次摸球数字都是偶数的情况数，最后套用概率公式，计算即可。
15．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，按要求画图：
（1）在图①中以A为顶点作面积为4的菱形；（）
（2）在图②中以A为顶点作面积为5的正方形．
【答案】（1）解：如图所示，易得，，则四边形是面积为4的菱形；
（2）解：如图所示，易得，则四边形是面积为5的正方形．
【知识点】勾股定理的逆定理；菱形的判定；正方形的判定；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】
（1）画出一个对角线互相垂直平分，且两条对角线长度分别为2和4的四边形，即可得到满足要求的菱形；
（2）画出边长为的正方形，即可满足题目的要求.
（1）解：如图所示，易得，，则四边形是面积为4的菱形；
（2）解：如图所示，易得，则四边形是面积为5的正方形．
16．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．请结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题：
（1）点，在函数图象上，则______；（填“>”、“=”或“<”）
（2）当函数值时，自变量x的值为______；
（3）当2时，求的最大值和最小值；
（4）当关于x的方程有两个不同的解时，直接写出b的取值范围．
【答案】（1）
（2）或2
（3）由图可知，当时，；
当时，．
（4）
【知识点】分段函数；反比例函数的概念；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（1）解：∵点，在函数的图象上，且，∴；故答案为：＞；
（2）把代入得，把代入数得，故答案为：或2；
（4）当过点时，可得，解得，∴当方程有两个不同的解时，则b的取值范围为．
【分析】（1）借助反比例函数自身的性质推导得到对应结论；
（2）先将代入一次函数解析式，再将代入反比例函数解析式，求解方程就能得到对应结论；
（3）结合两个函数的函数图象，即可得到所需结论；
（4）根据函数图象的位置关系，就可以确定参数b的取值范围.
（1）解：∵点，在函数的图象上，且，
∴；
故答案为：＞；
（2）把代入得，
把代入数得，
故答案为：或2；
（3）由图可知，当时，；
当时，．
（4）当过点时，
可得，
解得，
∴当方程有两个不同的解时，
则b的取值范围为．
17．2025年4月15日是第十个国家安全教育日，树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的义务．为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级各200名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据整理、统计如下：
【数据收集】
七年级10名同学测试成绩统计如下：65，72，75，81，82，87，88，88，94，98
八年级10名同学测试成绩统计如下：75，77，78，79，83，83，85，87；88，95
【数据分析】两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 83 84.5 88
八年级 83 83
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）______；
（2）若测试成绩不低于85分可以被评定为优秀，请估计该学校七年级和八年级共有多少人被评定为优秀？
（3）为了使样本数据更精确的反映总体情况．每个年级又各随机抽调了5人测试，若七年级新抽调的5人成绩的平均数为80分，则七年级15名同学测试成绩的平均数为______；若八年级新抽调的5人成绩均为整数且互不相同，中位数为84，则八年级15名同学测试成绩的中位数为_____．
【答案】（1）
（2）解：七年级和八年级共有
（3）
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：出现次数最多，则；
（3）解：若七年级新抽调的5人成绩的平均数为80分，则七年级15名同学测试成绩的平均数为，
八年级新抽调的5人成绩均为整数且互不相同，中位数为84，
∴这人成绩从小到大排列第3人的成绩为，2人小于，人大于
∵八年级名同学测试成绩的中位数为，将第3人的成绩加入排序，则位于第
将人成绩加入，排序后，位于第，即八年级15名同学测试成绩的中位数为
故答案为：．
【分析】（1）根据众数的定义“ 一组数据中出现次数最多的那个数据，就是这组数据的众数”，即可求解；
（2）根据样本公式：“ 总体中某类数量=总体总数×样本中该类所占百分比 ”，即可求解；
（3）根据平均数的定义，求得七年级15名同学测试成绩的平均数，根据中位数的定义可得分在新数据中排在最中间，即可求解.
（1）解：出现次数最多，则
（2）解：七年级和八年级共有
（3）解：若七年级新抽调的5人成绩的平均数为80分，则七年级15名同学测试成绩的平均数为，
八年级新抽调的5人成绩均为整数且互不相同，中位数为84，
∴这人成绩从小到大排列第3人的成绩为，2人小于，人大于
∵八年级名同学测试成绩的中位数为，将第3人的成绩加入排序，则位于第
将人成绩加入，排序后，位于第，即八年级15名同学测试成绩的中位数为
故答案为：．
18．跳楼机是游乐园常见的大型机动游戏设备（如图①），小明同学想测算跳楼机的上升速度，将其抽象成如图②所示的示意图，跳楼机从地面处发射，前以的平均速度竖直上升到达处，此时小明在处观测跳楼机的仰角为．跳楼机以不同的速度再继续上升后到达处，此时小明在处测得跳楼机的仰角为，求跳楼机在段的平均速度（参考数据：）．
【答案】解：依题意，．
又，
．
∵，
，
，，
故跳楼机在段的平均速度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
先根据船只的航行速度和行驶时间，计算出航行路程的长度，再结合解直角三角形的三角函数知识计算出的长度，进一步即可得到的距离，最后结合速度公式即可计算出所求结果.
19．如图，在平面直角坐标系中，某抛物线的顶点为，并且经过点，点在此抛物线上，其横坐标为，过点作平行轴，且点的横坐标为，连接和，以和为边构造，设的面积为．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当时，求的值；
（3）作直线，当直线平分的面积时，求出的值；
（4）当时，连接、、、，设的面积为，的面积为，若，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式
（2）解：如图，
∵点在此抛物线上，其横坐标为，点的横坐标为，轴，
∴，即，
解得：或，
当时，，
∴，
∴；
当时，，
∴，
此时点与共线，不符合题意，
综上可知：当时，求的值为；
（3）解：如图，
设直线解析式为，
∵，，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∵直线平分的面积，
∴点在直线上，
∵点在此抛物线上，其横坐标为，点的横坐标为，轴，
∴，，
∴，整理得：，
解得：，，
∴的值为或；
（4）或且
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题；分类讨论
【解析】【解答】（4）解：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
当时，，
整理得，
解得：或；
当时，，
整理得，
解得：；
当时，共线，不符合题意，
∴，
综上可知：的取值范围为：或且．
【分析】
（）先设出抛物线的顶点式解析式为，再将点的坐标代入解析式，即可求出待定系数，得到抛物线解析式；
（）根据两点坐标可得到PQ的长度为，整理后即为，解这个绝对值方程可以得到或，再分两种情况讨论就可以得到对应的坐标结果；
（）先根据A、B两点的坐标求出直线的解析式为，根据平行四边形的中心对称性质，若直线平分平行四边形的面积，说明直线AB经过平行四边形的中心，因此点在直线上，再写出和的坐标，将点Q坐标代入直线解析式，最后解关于m的方程即可得到结果。
（）第一步我们先根据题意推导得到：
，，
。结合条件，整理后可以得到不等式。最后我们去掉绝对值符号求解不等式，分两种情况讨论：当时；当时，分别计算后即可得到最终结果.
（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式；
（2）解：如图，
∵点在此抛物线上，其横坐标为，点的横坐标为，轴，
∴，即，
解得：或，
当时，，
∴，
∴；
当时，，
∴，
此时点与共线，不符合题意，
综上可知：当时，求的值为；
（3）解：如图，
设直线解析式为，
∵，，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∵直线平分的面积，
∴点在直线上，
∵点在此抛物线上，其横坐标为，点的横坐标为，轴，
∴，，
∴，整理得：，
解得：，，
∴的值为或；
（4）解：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
当时，，
整理得，
解得：或；
当时，，
整理得，
解得：；
当时，共线，不符合题意，
∴，
综上可知：的取值范围为：或且．
20．【提出问题】（1）如图①，在中，，，为此三角形内的一点，且，，，将绕点顺时针旋转至，则两点间的距离为______，的度数为______．
【探究问题】（2）如图②，在四边形中，，，探究线段之间的数量关系，并写出解答过程．
【解决问题】（3）如图③是某圆形公园的设计示意图．已知四边形是内接四边形，为直径，，交于点，于点，于点，按设计要求，阴影部分是室内活动区，若，，则阴影部分的面积为______．
【答案】（1），
（2）．理由如下：
延长至点，使，连接，如图，
∵，
∴，
∴四点在同一个圆上，
∴，
∴
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（3）2000
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；等腰直角三角形；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）如图，连接，
∵将绕点C沿顺时针方向旋转至，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：，；
（3）如图，延长至点，使，连接，如图，
结合（2）可知，平分，，为等腰直角三角形，
又∵，，
∴，
∵，，，
∴四边形为正方形，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2000．
【分析】
（1）由旋转的性质可以推出，且，再结合等腰直角三角形的性质与勾股定理的逆定理，即可得到对应结论；
（2）第一步辅助线为延长到点，使得，再连接，沿用第（1）问的解题方法，证明得到，再结合等腰直角三角形的性质即可推出结论；
（3）做辅助线延长到点，使，连接，参考第（2）问的思路，可以得到平分，，且是等腰直角三角形，先证明四边形是正方形，计算可得它的面积为。结合已知条件是等腰直角三角形，且，可以算出。再根据全等关系，可得两个三角形面积相等，即，由此不难推得四边形的面积和的面积相等，也就是。最后根据面积关系，代入数值计算就能得到最终答案.
21．如图①，在四边形中，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒．
（1）求的长；
（2）当以，、、为顶点的四边形是平行四边形时，求的值；
（3）若点是边上的一点，且，如图②．
①当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值；
②是平面内一点，是否存在点、，使以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：如图所示，过点作，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：点运动到点时，共用了，总共运动了，
当时，，
当时，，
综上，．
若四边形为平行四边形，
则，
根据题意得，，
当时，，
当时，，
综上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，或．
（3）①的值为或或；②存在，或或
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（3）解：①当点在线段上，且，
则，
∴，
，
当点在线段上，且，如图所示，过点作，
则，，
在中，根据勾股定理得，
，
，
解得，，
当点在线段的延长线上，且，如图所示，过点E作，
则，，
在中，根据勾股定理得，
，
，
解得，，
综上，当是以为腰的等腰三角形时，的值为 或或．
②当是菱形的边时，如图，
∴，
当时，如图，设交于点，
∴，，
∴，
如图，当是菱形的对角线时，
∵，
∴，
∴，
在中，，
综上所述，或或．
【分析】（1）过点作，根据四个角都是直角，证明四边形是矩形，得出对边相等，，根据勾股定理得，即可得；
（2）点运动到点时，共用了，总共运动了，分两种情况讨论：当时，进行计算即可得，当时，得出，若四边形为平行四边形，则对边相等，根据题意得，，分两种情况讨论：当时，当时，进行计算即可得；
（3）①根据等腰三角形的性质得，当点在线段上，且，则，进行计算即可得，当点在线段上，且，过点作，则，，在中，根据勾股定理得，，进行计算即可得，当点在线段的延长线上，且，过点作，则，，在中，根据勾股定理得，，进行计算即可得；
②分三种情况讨论，为 菱形的边时，=5；为 菱形的边时，根据菱形的性质，勾股定理，， 即可求解；或为对角线，画出图形，根据菱形的性质，勾股定理，．
（1）解：如图所示，过点作，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：点运动到点时，共用了，总共运动了，
当时，，
当时，，
综上，．
若四边形为平行四边形，
则，
根据题意得，，
当时，，
当时，，
综上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，或．
（3）解：①当点在线段上，且，
则，
∴，
，
当点在线段上，且，如图所示，过点作，
则，，
在中，根据勾股定理得，
，
，
解得，，
当点在线段的延长线上，且，如图所示，过点E作，
则，，
在中，根据勾股定理得，
，
，
解得，，
综上，当是以为腰的等腰三角形时，的值为 或或．
②当是菱形的边时，如图，
∴，
当时，如图，设交于点，
∴，，
∴，
如图，当是菱形的对角线时，
∵，
∴，
∴，
在中，，
综上所述，或或．
22．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（为常数）的对称轴为直线，与轴交于点．点A是该抛物线上一点，点A在轴右侧，横坐标为；点是该抛物线上异于点的一点（点不与点重合），点的横坐标为．连接，以为边，点为对称中心作．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）当的一条边与轴平行时，求的值；
（3）当点在点的右侧时，设的边与抛物线交于点（点不与重合），若的面积是的面积的倍，求的值；
（4）当的顶点恰好落在同一象限内时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得，，解得：，∴抛物线对应的函数表达式为
（2）解：当轴时，点A的纵坐标等于点的纵坐标，
∵点A的横坐标为，点的横坐标为，
∴，，即，
∴，解得，
此时点重合，不合题意；
当轴时，点与点的纵坐标相等，
∵点C是点A关于点的对称点，设点，
∴，解得：
∴，同理可得：
∴，整理得：，
解得或
（3）解：由（2）可得：，，
如图：连接，M为的交点，连接，M为平行四边形的对称中心，分别过作的垂线，垂足为E，F，
∴，
∵的面积是的面积的倍，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图：过D作轴的平行线，过A作x的垂线，两线交于点G，过作，
即，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点N的横坐标为：，点N的纵坐标为：，即，
∵点N在抛物线上，
∴，
整理得：，
解得：或．
∴m的值为或
（4）解：∵点A是该抛物线上一点，点A在轴右侧，横坐标为，∴，
由（2）可得：，，
∵，
∴，即点C、D不可能同时在第一、四象限，
当在第二象限时，
有，解得：；
当在第三象限时，
有，解得该不等式无解；
综上，
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用对称轴方程和点M的坐标可求出b、c的值，即可得到二次函数解析式.
（2）当轴时，可表示出点A、B的坐标，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到此时点重合，不合题意；当轴时，点与点的纵坐标相等，可得到点C是点A关于点的对称点，设点，据此可表示出点C、D的坐标，即可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
（3）由（2）可表示出点A、B、C、D的坐标，如图：连接，M为的交点，连接，M为平行四边形的对称中心，分别过作的垂线，垂足为E，F，由的面积是的面积的倍可得的比值，再证明利用相似三角形的性质可得到，如图：过D作轴的平行线交过A作x的垂线与点G，过作，即，则；再证明，由此可得到HN、DH的坐标，即可得到点N的坐标，最后代入抛物线求得m的值即可；
（4）根据点A在轴右侧，横坐标为，可知排除在一、四象限的可能性，然后分在第二、三象限两种情况，分别列出关于m的不等式组，分别求出不等式组的解集，可得到m的取值范围.
（1）解：由题意得，，解得：，
∴抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：当轴时，点A的纵坐标等于点的纵坐标，
∵点A的横坐标为，点的横坐标为，
∴，，即，
∴，解得，
此时点重合，不合题意；
当轴时，点与点的纵坐标相等，
∵点C是点A关于点的对称点，设点，
∴，解得：
∴，同理可得：
∴，整理得：，
解得或；
（3）解：由（2）可得：，，
如图：连接，M为的交点，连接，M为平行四边形的对称中心，分别过作的垂线，垂足为E，F，
∴，
∵的面积是的面积的倍，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图：过D作轴的平行线，过A作x的垂线，两线交于点G，过作，
即，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点N的横坐标为：，点N的纵坐标为：，即，
∵点N在抛物线上，
∴，
整理得：，
解得：或．
∴m的值为或．
（4）解：∵点A是该抛物线上一点，点A在轴右侧，横坐标为，
∴，
由（2）可得：，，
∵，
∴，即点C、D不可能同时在第一、四象限，
当在第二象限时，
有，解得：；
当在第三象限时，
有，解得该不等式无解；
综上，．
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