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四川南充市嘉陵区2026年九年级数学第一次模拟测试试卷
1．如图，在数轴上，点P表示的数可能是（　　）
A．-2.5 B．-1.5 C．-0.5 D．1.5
【答案】B
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：如图直线上点P表示的数是-1.5，
故答案为：B.
【分析】通过观察点P在数轴上的位置，确定它所表示的数值.
2．如图，在正六边形ABCDEF中，点M、N分别为CD、DE边上的点，且AN∥BM，若∠BAN=80°，则∠BMC的度数为（　　）
A．80° B．60° C．40° D．20°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴，
∵AN//BM，且∠BAN=80°，
∴∠ABM=180°-∠BAN=100°，
∴∠CBM=120°-∠ABM=20°，
∴∠BMC=180°-120°-20°=40°
故答案为：C.
【分析】根据正六边形的性质可得∠ABC=∠BCD=120°，利用平行线的性质可得∠ABM=100°，求得∠CBM=20°，然后利用三角形的内角和定理计算可得答案.
3．中国民族乐器多种多样，历史悠久，每个朝代都有独特的民族乐器，是传承我国优秀传统文化的重要载体.某校开展了唢呐、二胡、古筝、笛子四种民族乐器兴趣班，小乐同学准备在四种民族乐器中随机选择一种学习，则小乐刚好选中“笛子”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：依题意得：小乐刚好选中“笛子”的概率为
故答案为：D.
【分析】根据概率公式即可求解.
4．计算的结果等于（　　）
A．-2 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式
=-2
故答案为：A.
【分析】先利用分式基本性质统一分母，再合并分子后约分即可得到结果.
5．如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD为半径画弧，交AB于E，连结AC、DE交于F，若AB=6，EF：DF=2：3，则BC=（　　）
A．5 B． C．4 D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由作图可得AD=AE，
∵ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD=BC，AB=CD=6，
∴△AEF∽△CDF，
∴AE：CD=EF：DE=2：3，
∴AE=4，
∴AD=BC=4，
故答案为：C.
【分析】根据作图和矩形的性质可得AD=AE=BC，AB∥CD，即可得到△AEF∽△CDF，根据对应边成比例求出AE长解答即可.
6．中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问醇、行酒各得几何 ”其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少 设买醇酒x斗，行酒y斗，据题意可得方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设醇酒为x斗，行酒为y斗，
根据题意得：
故答案为：B.
【分析】设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据“醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒”，列出二元一次方程组即可.
7．日常生活中的“盐水”，是指含有氯化钠的水溶液.如图，用三个点分别表示甲、乙、丙三瓶盐水的浓度与盐水的质量的对应关系（盐水处于不饱和状态），其中甲、丙两点恰好在反比例函数（k＞0，k为常数）的图象上.若甲、乙、丙三瓶盐水中含氯化钠的质量分别为a、b、c，f则其大小关系为（　　）（提示：盐水的浓度=×100%）
A．b>a=c B．a=c>b C．c>a>b D．b>a>c
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，可知氯化钠的质量为xy，
由图可知，描述甲、丙两瓶盐水情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴甲、丙两瓶盐水中氯化钠的质量相同
∵乙在反比例函数的图象上方
∴含氯化钠质量最多的是乙
∴b>a=c
故答案为：A.
【分析】根据题意可知氯化钠的质量为xy，根据各个点与反比例函数图象的关系，即可求解.
8．已知m、n满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵
∴原等式变形为，
移项得，
交义相乘得，(m-n)2=mn，即m2-2mn+n2=mn，
整理得，m2+n2=3mn，
两边平方得：
将m2+n2=3mn代入得：
∴
故答案为：D.
【分析】先对已知等式通分化简，得到m2+n2与mn的关系，再对所求式子变形，利用完全平方公式变形后代入求值，最后开方得到结果.
9．如图，在正方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径画弧，交以AB为直径的半圆于点M，连接DM并延长，交BC于点N，若AB=8，则MN的长为（　　）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点E，连接DE，AM，EN，EM，DE和AM交于点F，
由题意可知：DA=DM，AE=EM，EM=EB，.
∵DE=DE，
∴△DAE △DME(SSS)
∴∠DAE=∠DME，∠ADE=∠MDE，∠AED=∠MED，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAE=∠DME=∠EBN=90°
∵∠ADE=∠MDE，DA=DM=8，
∴AM⊥DE.
∴∠DFA=∠DFM=90°
∴在Rt△DAE中，根据勾股定理得：，
∴在Rt△DAE中，根据，
得：
∴在Rt△DAF中，根据勾股定理得：，
∴
∵∠DME=∠EMN=∠EBN=90°，EM=EB，EN=EN，
∴Rt△EMN Rt△EBN(HL)，
∴∠MEN=∠BEN，
∵∠AED=∠MED，
∴∠MEN+∠MED=∠BEN+∠AED，
∴，
∴∠DEN=∠DFM=90°
∴FM//EN，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】取AB的中点E，连接DE，AM，EN，EM，DE和AM交于点F，根据正方形的性质和圆的性质证明△DAE △DME，得到对应角相等，根据等腰三角形的性质得到AM⊥DE，根据勾股定理得到DE、DF的长度，通过证明Rt△EMN Rt△EBN，得到对应角相等，继而证明∠DEN=∠DFM=90°，FM//EN，根据平行线分线段成比例得到，继而得到MN的长度.
10．已知点P（x1，y1）、Q（x2，y2）分别在抛物线（且x1x2≠0）上.若是一个与x无关的定值k时，则k的值为（　　）
A．-3 B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P(x1，y1)在抛物线y=mx2+2mx上，Q(x2，y2)在抛物线y=2x2-3x上
∴，，
∵x1y2=3x2y1，
∴，则x1x2(2x2-3)=3x1x2(mx1+2m)
∵x1x2≠0，则2x2-3=3mx1+6m，
∴
∴
∵k与x1无关的定值，
∴6m+3=0，
∴
∴
故答案为：C.
【分析】根据题意，易得，，代入整理可得，从而，再根据定值k与x1无关，可得6m+3=0，即可求出m和k.
11．若72·7m=76，则m的值为　 　.
【答案】4
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵72·7m=72+m=76
∴2+m=6
∴m=4
故答案为：4.
【分析】根据同底数幂的乘法法则运算即可求解.
12．某校为全面落实《深化新时代教育评价改革总体方案》，大力提升学生核心素养，对学生实施综合评价，评价分学习成绩、体育成绩和艺术成绩三部分，分别按5：3：2计入综合评价.若小张同学的学习成绩为94分，体育成绩为90分，艺术成绩为85分，则他的综合评价得分为　 　.
【答案】91分
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：(分)
故答案为：91分.
【分析】根据加权平均数公式即可求解.
13．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧分别交于M，N两点，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠CBD的度数为　 　.
【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作图可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=40°
∵△ABC为等腰三角形，
∴
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°
故答案为：30°.
【分析】先根据作图确定直线MN是A8的垂直平分线，得出AD=BD，进而得到∠A=∠ABD，再利用等腰三角形两底角相等求出∠ABC的度数，最后通过角的差求出∠CBD的度数.
14．关于x的一元一次方程的解为　 　.
【答案】x=-2
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：根据一元一次方程的定义，得|m|=1，且m-1≠0，
解得m=-1，
将m=-1代入原方程，得(-1-1)x-1=4+(-1)，
整理得-2x-1=3，
移项得-2x=4，
系数化为1得x=-2.
故答案为：x=-2.
【分析】根据一元一次方程的定义求出参数m的值，再代入原方程求解未知数即可.
15．如图，在平面直角坐标系中，一束光线经过点A（6，2）照射在x轴上的平面镜上的点P（2，0）处，反射光线经过点B（m，n），则的值为　 　.
【答案】2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的性质；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵入射角等于反射角，
∴∠APE=∠BPO，
作点A(6，2)关于x轴对称点A'(6，-2)，连接PA'，
∴∠A'PE=∠APE，
∴∠A'PE=∠BPO，
∴点A'，点P和点B在一条直线上，
设直线A'P的解析式为y=kx+b，
把A'(6，-2)，P(2，0)代入y=kx+b，
∴
解得
则直线A'P的解析式为，
∵点B(m，n)在直线A'P上，
∴，
∴m+2n=2
∴
故答案为：2.
【分析】由入射角等于反射角得出∠APE=∠BPO，作点A(6，2)关于x轴对称点A'(6，-2)，连接PA'，进一步得出点A'，点P和点B在一条直线上，通过待定系数法求出直线A'P的解析式为，把点B(m，n)代入解析式，得出m+2n=2，然后将m+2n=2代入变形后的式子求解即可.
16．如图，在正方形ABCD中，点E在AB的延长线上，BE=AB=10，DE与BC交于点F，点P是对角线BD上一动点（不与端点B，D重合），过点P作GP∥AB，与AD交于点G，点Q为BG的中点.下列结论：
①CF=BF；②当BG平分∠ABD时，PQ⊥BG；
；④PQ的最小值为
其中正确的结论是　 　.（填写序号）
【答案】①②④
【知识点】正方形的性质；三角形的中位线定理；四边形的综合；求正切值；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：①在正方形ABCD中，BC//AD，
又∵AB=BE，
∴CF=BF；故①正确；
②∵BG平分∠ABD时，
∴∠ABG=∠DBG，
∵GP//AB，
∴∠ABG=∠BGP，
∴∠DBG=∠BGP
∴PG=PB
又∵点Q为BG的中点，
∴PQ⊥BG；故②正确；
③作BM⊥DE于点M
则△DCF∽△BME，
∴
∴
∴，
∴
∴；故③错误；
④延长GP交DE于H，连接BH，
∵GH//AE，
∴
又∵AB=BE，
∴GP=PH
∵Q为GB的中点，
∴PQ为△GBH的中位线
∴
故当BH⊥DE时，BH有最小值.
由③可知
∴.故④正确；
综上可知，正确结论有①②④.
故答案为：①②④.
【分析】根据正方形的性质即可判断①；根据角平分线的概念与平行线的性质即可判断②；作BM⊥DE于点M，利用相似三角形的判定与性质即可判断③；延长GP交DE于H，连接BH，利用对应边成比例可得GP=PH，再根据三角形的中位线可得，当BH⊥DE时，BH有最小值，进而即可判断④.
17．已知：，求的值.
【答案】解：原式
=5ab-a
∴a=-2，b=3
∴原式=5×（-2）×3-（-2）
=-30+2
=-28
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据单项式乘以多项式，完全平方公式，分式的约分化简，再根据非负数的性质求出a与b的值，然后代入计算即可.
18．如图，在 ABCD中，将△ABD沿对角线BD翻折得到△A'BD，A'B与CD交于点E.
（1）求证：△A'DE≌△CBE；
（2）点O为BD中点，连接OE，∠BDE=35°.求∠BEO的度数.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠A=∠C.
由折叠可得：A'D=AD，∠A'=∠A.
∴A'D=CB，∠A'=∠C.
在△A'DE和△CBE中，
，
∴≌
（2）解：∵△A'DE≌△CBE，
∴ED=EB.
∴∠DBE=∠DBE=35°.
∵点O为BD中点，
∴EO⊥BD，
∴∠BOE=90°.
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)根据平行四边形和折叠的性质得A'D=CB，∠A'=∠C，利用AAS证明△A'DE≌△CBE；
(2)由(1)得ED=E8，得∠DBE=∠BDE=35"，结合点O为BD中点，根据等三角形三线合一得∠BOE=90°，进而计算即可得∠BEO的度数.
19．为筑牢食品安全防线，某初中校组织全校学生参加了“食安小卫士”的食品安全知识科普竞赛活动，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分分别记为10分，9分，8分，7分，竞赛结束后两个年级各抽取50名学生的竞赛成绩进行整理分析.部分信息如下：
信息一：七、八年级学生竞赛成绩统计表
年级 平均分 中位数 众数 方差
七年级 8.76 m 9 1.06
八年级 8.76 8 n 1.38
信息二：七、八年级学生竞赛成绩统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中m=　 　，n=　 　，七、八年级学生竞赛成绩更稳定的是　 　年级；
（2）若该校七年级有400人，八年级有500人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人
（3）现从七年级学生竞赛成绩为满分同学中已经选出了甲、乙、丙、丁四名同学，再从这四名同学中随机选取两名作为食品安全宣传员，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲同学、而没选中乙同学的概率.
【答案】（1）9；10；七
（2）解：（人）.
答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有528人
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 　 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） 　 （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） 　 （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 　
由上表可知，可能出现等可能的结果共有12种，其中选中甲没选中乙同学的结果有4种.
【知识点】用样本估计总体；用列表法或树状图法求概率；中位数；众数
【解析】【解答】解：(1)∵七年级成绩的中位数为从小到大排列第25个人和第26个人的成绩的平均数，这两个
人都成绩都为B等级，
∴m=9，
由扇形图可知：44%>36%>16%>4%，
∴八年级成绩人数最多的为A等级，
∴n=10，
∵七、八年级平均分相同，七年级方差小于八年级方差，
∴七、八年级学生竞赛成绩更稳定的是七年级；
故答案为：9，10，七.
【分析】(1)利用中位数的特点求m，利用众数的特点求n，根据方差进行解答即可；
(2)利用总数乘以所占比例进行解答即可；
(3)用列表法求概率即可.
20．已知关于x的一元二次方程（其中a、b、c为常数，a≠0）.
（1）当a+b+c=0时，求证：方程总有实数根；
（2）若a、b、c、k均为正数，且方程的两实根之和为，两实根之积为，探究以a、b、c为边长的三角形的形状，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵a+b+c=0，∴c=-a-b.
∴方程总有实数根
（2）解：以a、b、c为边长的三角形是直角三角形.
由一元二次方程根于系数的关系可得
②-①得：即所以即
∴以a、b、c为边长的三角形是直角三角形
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】(1)将已知条件：a+b+c=0变形得到c=-a-b，代入判别式后通过完全平方公式配方，得到完全平方式，利用完全平方非负的性质直接得证；
(2)利用韦达定理，将题目给出的两根和、两根积的表达式转化为关于a、b、c的比例关系；对两个比例等式分别做平方运算，通过两式相减消去参数k，得到a、b、c三者的平方关系；结合勾股定理逆定理，直接判定三角形的形状为直角三角形.
21．如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于点B（-2，3），与y轴正半轴交于点A，OA=2.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）点C是AB延长线上一点，过点C作CE⊥x轴于点E，交反比例函数的图象于点D，当CB=AB时，求的值.
【答案】（1）解：将点B（-2，3）代入，得：m=-2×3=-6.
∴反比例函数的解析式为
∵OA=2，∴A（0，2），
将点A（0，2），B（-2，3）代入y=kx+b，
得：
解得：
∴一次函数的解析式为
（2）解：过点B、C分别作BN⊥y轴于N，CM⊥y轴于M.
则
∴CM=2BN=4，∴C（-4，4），
∵CE⊥x轴，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)根据待定系数法，即可求解；
(2)过点B、C分别作BN⊥y轴于N，CM⊥y轴于M，易得△ABN∽△ACM，从而可求点C、D和E的坐标，进而，CE=4，再根据三角形面积之间的关系，即可求解.
22．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O，交BC于点E，过A点作AD⊥AB交BC延长线于点D，过点C作⊙O的切线CF，交AD于点F.
（1）求证：FC=FD；
（2）若BC=8，tanD=求sin∠CAD的值.
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB.
∵AD⊥AB，
∴∠B+∠D=90°.
∵CF为⊙O的切线，
∴AC⊥CF，
∴∠ACF=90°.
∴∠ACB+∠FCD=90°.
∴∠FCD=∠D.
∴FC=FD
（2）解：连接AE.
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°.
∵∠CAE+∠ACE=90°，∠D+∠ACE=90°，
∴∠CAE=∠D.
在Rt△ACE中，
在Rt△ADE中，
设FC=FD=x，则
，解得
在Rt△ACF中，
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)利用等角的余角相等证明∠FCD=∠D，即可得到FC=FD；
(2)连接AE，利用圆周角定理结合等腰三角形的性质得到，在Rt△ACE和Rt△ADE中解直角三角形求得AE=8，DE=16，设FC=FD=x，利用勾股定理列式计算求得，再在Rt△ACF 中，利用正弦函数的定义求解即可.
23．某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升。每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：m=5x+80.结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表：
销售价格x（元/升） 4 5 …… 10
市场需求量n（升） 120 110 …… 60
经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升。
（1）求n与x的函数关系式；
（2）①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润；
②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润；
（3）当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润 最大利润为多少元
【答案】（1）解：设n与x的函数关系式为n=kx+b，
由题意，得
∴n=-10x+160（4≤x≤10）
（2）解：①当x=5时，m=5×5+80=105，n=-10×5+160=110，
∵105<110，
∴基底原液可全部卖完.
故销售基底原液利润为：（5-2）×105=315（元）
②当x=8时，m=5×8+80=120，n=-10×8+160=80，
∵120>80，
∴基底原液无法卖完.
故销售基底原液利润为：（8-2）×80-2×（120-80）=400（元）
（3）解：设奶茶小店每天获得的利润为w元
①当每天的产量不大于市场需求量时，得m≤n，
即5x+80≤-10x+160，解得x≤6，∴4≤x≤6；
w=（x-2）（5x+80）=5（x+7）2-405
∵5>0，对称轴为直线x=-7，
∴当4≤x≤6时，w随x的增大而增大，
∴当x=6时，（元）.
②当每天的产量大于市场需求时，m>n，
即5x+80>-10x+160，解得x>6，∴6w=（x-2）（-10x+160）-2[（5x+80）-（-10x+160）]
=-10x2+150x-160=-10（x-7.5）2+402.5
∵-10<0，对称轴直线：x=7.5.∴当x=7.5时，=402.5（元）.
∵440>402.5∴原液定价为6元/升时，每天可获得最大利润为440元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据待定系数法，即可求解；
(2)①先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量可以卖完，再根据“总利润=单升利润×自制产量”，即可求解；
②先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量没有卖完，再根据“总利润=单升利润×市场需求量-未卖出的成本”，即可求解；
(3)设奶茶小店每天获得的利润为w元，根据m和n的大小分类讨论，分别列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质和x的取值范围，分别求出w的最大值，最后进行比较即可求解.
24．如图1，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P为AB边上一点（不与A，B重合），PQ⊥PE交AD于点Q，AB=6，BC=8.
（1）若，求证：PQ=PE；
（2）当点P在AB边上运动时，求AQ的最大值；
（3）如图2，连接CQ，当时，求BP的值.
【答案】（1）证明：∵点E是BC的中点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°.
∴∠APQ+∠AQP=90°.
∵PQ⊥PE，
∴∠APQ+∠BPE=90°.
∴∠AQP=∠BPE.
在△APQ和△BEP中，
∴△APQ≌△BEP（AAS）
∴PQ=PE.
（2）解：设BP=x，则AP=6-x
∵∠A=∠B，∠AQP=∠BPE，
∴△APQ∽△BEP.
当x=3时，
（3）如图，设CE的中点为点F，过点作FG⊥BC交AD于点G，在GF上截取OF=2EF=4连接OE，以点O为圆心OE为半径作⊙O，交AD于点Q，连接OQ，OC.
则
∵OE=OC，FG⊥BC，
∴∠EOF=∠COE.
∴∠CQE=∠EOF.
在Rt△OEF中，
即当时，点Q为⊙O交AD的交点.
∵∠GFB=∠A=∠B=90°，∴四边形ABFG是矩形，
∴∠QGO=90°，GF=AB=6.∴GO=GF-OF=2.∴GO=FE.
又OQ=EQ，∴△OGQ≌△EFO（HL）
∴GQ=FO=4.∴AQ=AG-GQ=2.
设BP=x，则AP=6-x
由（2）知：
整理得：x2-6x+8=0，解得x=2或4
经检验：x=2或4都是原方程的根
∴x=2或4.∴BP=2或4，即BP的长为2或4
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；同侧一线三垂直全等模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用一线三垂直模型，证明△APQ≌△BEP(AAS)，从而得出PQ=PE；
(2)根据勾股定理和一元二次函数模型求AQ的最大值；
(3)利用三角函数定义以及相似三角形的性质构建分式方程求解线段BP的值.
25．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A（-1，0）、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点D是BC上方抛物线上一点，连接AD交BC于点E，设△ACE的面积为S1，△BDE的面积为S2，当时，求点D的坐标.
（3）如图2，已知点T（0，t）（t>2），TF与抛物线有唯一交点F（点F在y轴左侧），点P在第一象限的抛物线上，射线TP与抛物线另一个交点为Q，连接FP、FQ，分别交y轴于M、N.当FM=3PM时，探究FN与NQ的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：由题意可得：得：
解得：
∴二次函数的解析式为：
（2）解：过点D作DH⊥OB于H，
抛物线交y轴于点C（0，2）.
∵A（-1，0）、B关于直线对称，
∴B（4，0）
设
，即
整理得：
解得：d1=1，d2=2.
抛物线对称轴为直线x=1.
∴点D的坐标为（1，3）或（2，3）
（3）解：FN与NQ的数量关系为：QN=3FN.
理由如下：
设直线TF的解析式为：，
把T（0，t）代入可得，b1=t∴y=kx+t1
联立直线TF的与抛物线得，
，整理得
∵TF与抛物线有唯一交点F，
设直线TP的解析式为：把T（0，t）代入可得，b2=t∴y=k2x+t
联立直线TP的与抛物线得，
整理得
，即
过点P作PI⊥y轴于I，过点F作FJ⊥y轴于J，过点Q作QK⊥y轴于K.
则：
同理可得：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)根据待定系数法求解即可；
(2)过点D作DH⊥OB于H，根据抛物线的对称性求出B(4，0)，设，根据S2-S1=2，得出S△ABD-S△ABC=2，则，解方程得d1=1，d2=2，即可求解；
(3)结合T(0，t)可求直线TF的解析式y=k1x+t，联立直线TF与抛物线可得x2+(2k1-3)x+2t-4=0，结合TF与抛物线有唯一交点F，可求出，同法求出直线TP的解析式为y=k2x+1，联立直线TP与抛物线可得x2+(2k2-3)x+2t-4=0，进而xP·xQ=2t-4，得出，过点P作PI⊥y轴于I，过点F作FJ⊥y轴于J， 过点Q作QK⊥y轴于K，证明△MPI∽△MFJ，得出，进而求出，同理得出，进而求出，即可求解.
1 / 1四川南充市嘉陵区2026年九年级数学第一次模拟测试试卷
1．如图，在数轴上，点P表示的数可能是（　　）
A．-2.5 B．-1.5 C．-0.5 D．1.5
2．如图，在正六边形ABCDEF中，点M、N分别为CD、DE边上的点，且AN∥BM，若∠BAN=80°，则∠BMC的度数为（　　）
A．80° B．60° C．40° D．20°
3．中国民族乐器多种多样，历史悠久，每个朝代都有独特的民族乐器，是传承我国优秀传统文化的重要载体.某校开展了唢呐、二胡、古筝、笛子四种民族乐器兴趣班，小乐同学准备在四种民族乐器中随机选择一种学习，则小乐刚好选中“笛子”的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．计算的结果等于（　　）
A．-2 B．2 C． D．
5．如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD为半径画弧，交AB于E，连结AC、DE交于F，若AB=6，EF：DF=2：3，则BC=（　　）
A．5 B． C．4 D．
6．中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问醇、行酒各得几何 ”其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少 设买醇酒x斗，行酒y斗，据题意可得方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．日常生活中的“盐水”，是指含有氯化钠的水溶液.如图，用三个点分别表示甲、乙、丙三瓶盐水的浓度与盐水的质量的对应关系（盐水处于不饱和状态），其中甲、丙两点恰好在反比例函数（k＞0，k为常数）的图象上.若甲、乙、丙三瓶盐水中含氯化钠的质量分别为a、b、c，f则其大小关系为（　　）（提示：盐水的浓度=×100%）
A．b>a=c B．a=c>b C．c>a>b D．b>a>c
8．已知m、n满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径画弧，交以AB为直径的半圆于点M，连接DM并延长，交BC于点N，若AB=8，则MN的长为（　　）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
10．已知点P（x1，y1）、Q（x2，y2）分别在抛物线（且x1x2≠0）上.若是一个与x无关的定值k时，则k的值为（　　）
A．-3 B．3 C． D．
11．若72·7m=76，则m的值为　 　.
12．某校为全面落实《深化新时代教育评价改革总体方案》，大力提升学生核心素养，对学生实施综合评价，评价分学习成绩、体育成绩和艺术成绩三部分，分别按5：3：2计入综合评价.若小张同学的学习成绩为94分，体育成绩为90分，艺术成绩为85分，则他的综合评价得分为　 　.
13．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧分别交于M，N两点，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠CBD的度数为　 　.
14．关于x的一元一次方程的解为　 　.
15．如图，在平面直角坐标系中，一束光线经过点A（6，2）照射在x轴上的平面镜上的点P（2，0）处，反射光线经过点B（m，n），则的值为　 　.
16．如图，在正方形ABCD中，点E在AB的延长线上，BE=AB=10，DE与BC交于点F，点P是对角线BD上一动点（不与端点B，D重合），过点P作GP∥AB，与AD交于点G，点Q为BG的中点.下列结论：
①CF=BF；②当BG平分∠ABD时，PQ⊥BG；
；④PQ的最小值为
其中正确的结论是　 　.（填写序号）
17．已知：，求的值.
18．如图，在 ABCD中，将△ABD沿对角线BD翻折得到△A'BD，A'B与CD交于点E.
（1）求证：△A'DE≌△CBE；
（2）点O为BD中点，连接OE，∠BDE=35°.求∠BEO的度数.
19．为筑牢食品安全防线，某初中校组织全校学生参加了“食安小卫士”的食品安全知识科普竞赛活动，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分分别记为10分，9分，8分，7分，竞赛结束后两个年级各抽取50名学生的竞赛成绩进行整理分析.部分信息如下：
信息一：七、八年级学生竞赛成绩统计表
年级 平均分 中位数 众数 方差
七年级 8.76 m 9 1.06
八年级 8.76 8 n 1.38
信息二：七、八年级学生竞赛成绩统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中m=　 　，n=　 　，七、八年级学生竞赛成绩更稳定的是　 　年级；
（2）若该校七年级有400人，八年级有500人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人
（3）现从七年级学生竞赛成绩为满分同学中已经选出了甲、乙、丙、丁四名同学，再从这四名同学中随机选取两名作为食品安全宣传员，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲同学、而没选中乙同学的概率.
20．已知关于x的一元二次方程（其中a、b、c为常数，a≠0）.
（1）当a+b+c=0时，求证：方程总有实数根；
（2）若a、b、c、k均为正数，且方程的两实根之和为，两实根之积为，探究以a、b、c为边长的三角形的形状，并说明理由.
21．如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于点B（-2，3），与y轴正半轴交于点A，OA=2.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）点C是AB延长线上一点，过点C作CE⊥x轴于点E，交反比例函数的图象于点D，当CB=AB时，求的值.
22．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O，交BC于点E，过A点作AD⊥AB交BC延长线于点D，过点C作⊙O的切线CF，交AD于点F.
（1）求证：FC=FD；
（2）若BC=8，tanD=求sin∠CAD的值.
23．某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升。每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：m=5x+80.结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表：
销售价格x（元/升） 4 5 …… 10
市场需求量n（升） 120 110 …… 60
经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升。
（1）求n与x的函数关系式；
（2）①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润；
②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润；
（3）当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润 最大利润为多少元
24．如图1，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P为AB边上一点（不与A，B重合），PQ⊥PE交AD于点Q，AB=6，BC=8.
（1）若，求证：PQ=PE；
（2）当点P在AB边上运动时，求AQ的最大值；
（3）如图2，连接CQ，当时，求BP的值.
25．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A（-1，0）、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点D是BC上方抛物线上一点，连接AD交BC于点E，设△ACE的面积为S1，△BDE的面积为S2，当时，求点D的坐标.
（3）如图2，已知点T（0，t）（t>2），TF与抛物线有唯一交点F（点F在y轴左侧），点P在第一象限的抛物线上，射线TP与抛物线另一个交点为Q，连接FP、FQ，分别交y轴于M、N.当FM=3PM时，探究FN与NQ的数量关系，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：如图直线上点P表示的数是-1.5，
故答案为：B.
【分析】通过观察点P在数轴上的位置，确定它所表示的数值.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴，
∵AN//BM，且∠BAN=80°，
∴∠ABM=180°-∠BAN=100°，
∴∠CBM=120°-∠ABM=20°，
∴∠BMC=180°-120°-20°=40°
故答案为：C.
【分析】根据正六边形的性质可得∠ABC=∠BCD=120°，利用平行线的性质可得∠ABM=100°，求得∠CBM=20°，然后利用三角形的内角和定理计算可得答案.
3．【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：依题意得：小乐刚好选中“笛子”的概率为
故答案为：D.
【分析】根据概率公式即可求解.
4．【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式
=-2
故答案为：A.
【分析】先利用分式基本性质统一分母，再合并分子后约分即可得到结果.
5．【答案】C
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由作图可得AD=AE，
∵ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD=BC，AB=CD=6，
∴△AEF∽△CDF，
∴AE：CD=EF：DE=2：3，
∴AE=4，
∴AD=BC=4，
故答案为：C.
【分析】根据作图和矩形的性质可得AD=AE=BC，AB∥CD，即可得到△AEF∽△CDF，根据对应边成比例求出AE长解答即可.
6．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设醇酒为x斗，行酒为y斗，
根据题意得：
故答案为：B.
【分析】设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据“醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒”，列出二元一次方程组即可.
7．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，可知氯化钠的质量为xy，
由图可知，描述甲、丙两瓶盐水情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴甲、丙两瓶盐水中氯化钠的质量相同
∵乙在反比例函数的图象上方
∴含氯化钠质量最多的是乙
∴b>a=c
故答案为：A.
【分析】根据题意可知氯化钠的质量为xy，根据各个点与反比例函数图象的关系，即可求解.
8．【答案】D
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵
∴原等式变形为，
移项得，
交义相乘得，(m-n)2=mn，即m2-2mn+n2=mn，
整理得，m2+n2=3mn，
两边平方得：
将m2+n2=3mn代入得：
∴
故答案为：D.
【分析】先对已知等式通分化简，得到m2+n2与mn的关系，再对所求式子变形，利用完全平方公式变形后代入求值，最后开方得到结果.
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点E，连接DE，AM，EN，EM，DE和AM交于点F，
由题意可知：DA=DM，AE=EM，EM=EB，.
∵DE=DE，
∴△DAE △DME(SSS)
∴∠DAE=∠DME，∠ADE=∠MDE，∠AED=∠MED，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAE=∠DME=∠EBN=90°
∵∠ADE=∠MDE，DA=DM=8，
∴AM⊥DE.
∴∠DFA=∠DFM=90°
∴在Rt△DAE中，根据勾股定理得：，
∴在Rt△DAE中，根据，
得：
∴在Rt△DAF中，根据勾股定理得：，
∴
∵∠DME=∠EMN=∠EBN=90°，EM=EB，EN=EN，
∴Rt△EMN Rt△EBN(HL)，
∴∠MEN=∠BEN，
∵∠AED=∠MED，
∴∠MEN+∠MED=∠BEN+∠AED，
∴，
∴∠DEN=∠DFM=90°
∴FM//EN，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】取AB的中点E，连接DE，AM，EN，EM，DE和AM交于点F，根据正方形的性质和圆的性质证明△DAE △DME，得到对应角相等，根据等腰三角形的性质得到AM⊥DE，根据勾股定理得到DE、DF的长度，通过证明Rt△EMN Rt△EBN，得到对应角相等，继而证明∠DEN=∠DFM=90°，FM//EN，根据平行线分线段成比例得到，继而得到MN的长度.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P(x1，y1)在抛物线y=mx2+2mx上，Q(x2，y2)在抛物线y=2x2-3x上
∴，，
∵x1y2=3x2y1，
∴，则x1x2(2x2-3)=3x1x2(mx1+2m)
∵x1x2≠0，则2x2-3=3mx1+6m，
∴
∴
∵k与x1无关的定值，
∴6m+3=0，
∴
∴
故答案为：C.
【分析】根据题意，易得，，代入整理可得，从而，再根据定值k与x1无关，可得6m+3=0，即可求出m和k.
11．【答案】4
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵72·7m=72+m=76
∴2+m=6
∴m=4
故答案为：4.
【分析】根据同底数幂的乘法法则运算即可求解.
12．【答案】91分
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：(分)
故答案为：91分.
【分析】根据加权平均数公式即可求解.
13．【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作图可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=40°
∵△ABC为等腰三角形，
∴
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°
故答案为：30°.
【分析】先根据作图确定直线MN是A8的垂直平分线，得出AD=BD，进而得到∠A=∠ABD，再利用等腰三角形两底角相等求出∠ABC的度数，最后通过角的差求出∠CBD的度数.
14．【答案】x=-2
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：根据一元一次方程的定义，得|m|=1，且m-1≠0，
解得m=-1，
将m=-1代入原方程，得(-1-1)x-1=4+(-1)，
整理得-2x-1=3，
移项得-2x=4，
系数化为1得x=-2.
故答案为：x=-2.
【分析】根据一元一次方程的定义求出参数m的值，再代入原方程求解未知数即可.
15．【答案】2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的性质；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵入射角等于反射角，
∴∠APE=∠BPO，
作点A(6，2)关于x轴对称点A'(6，-2)，连接PA'，
∴∠A'PE=∠APE，
∴∠A'PE=∠BPO，
∴点A'，点P和点B在一条直线上，
设直线A'P的解析式为y=kx+b，
把A'(6，-2)，P(2，0)代入y=kx+b，
∴
解得
则直线A'P的解析式为，
∵点B(m，n)在直线A'P上，
∴，
∴m+2n=2
∴
故答案为：2.
【分析】由入射角等于反射角得出∠APE=∠BPO，作点A(6，2)关于x轴对称点A'(6，-2)，连接PA'，进一步得出点A'，点P和点B在一条直线上，通过待定系数法求出直线A'P的解析式为，把点B(m，n)代入解析式，得出m+2n=2，然后将m+2n=2代入变形后的式子求解即可.
16．【答案】①②④
【知识点】正方形的性质；三角形的中位线定理；四边形的综合；求正切值；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：①在正方形ABCD中，BC//AD，
又∵AB=BE，
∴CF=BF；故①正确；
②∵BG平分∠ABD时，
∴∠ABG=∠DBG，
∵GP//AB，
∴∠ABG=∠BGP，
∴∠DBG=∠BGP
∴PG=PB
又∵点Q为BG的中点，
∴PQ⊥BG；故②正确；
③作BM⊥DE于点M
则△DCF∽△BME，
∴
∴
∴，
∴
∴；故③错误；
④延长GP交DE于H，连接BH，
∵GH//AE，
∴
又∵AB=BE，
∴GP=PH
∵Q为GB的中点，
∴PQ为△GBH的中位线
∴
故当BH⊥DE时，BH有最小值.
由③可知
∴.故④正确；
综上可知，正确结论有①②④.
故答案为：①②④.
【分析】根据正方形的性质即可判断①；根据角平分线的概念与平行线的性质即可判断②；作BM⊥DE于点M，利用相似三角形的判定与性质即可判断③；延长GP交DE于H，连接BH，利用对应边成比例可得GP=PH，再根据三角形的中位线可得，当BH⊥DE时，BH有最小值，进而即可判断④.
17．【答案】解：原式
=5ab-a
∴a=-2，b=3
∴原式=5×（-2）×3-（-2）
=-30+2
=-28
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据单项式乘以多项式，完全平方公式，分式的约分化简，再根据非负数的性质求出a与b的值，然后代入计算即可.
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠A=∠C.
由折叠可得：A'D=AD，∠A'=∠A.
∴A'D=CB，∠A'=∠C.
在△A'DE和△CBE中，
，
∴≌
（2）解：∵△A'DE≌△CBE，
∴ED=EB.
∴∠DBE=∠DBE=35°.
∵点O为BD中点，
∴EO⊥BD，
∴∠BOE=90°.
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)根据平行四边形和折叠的性质得A'D=CB，∠A'=∠C，利用AAS证明△A'DE≌△CBE；
(2)由(1)得ED=E8，得∠DBE=∠BDE=35"，结合点O为BD中点，根据等三角形三线合一得∠BOE=90°，进而计算即可得∠BEO的度数.
19．【答案】（1）9；10；七
（2）解：（人）.
答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有528人
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 　 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） 　 （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） 　 （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 　
由上表可知，可能出现等可能的结果共有12种，其中选中甲没选中乙同学的结果有4种.
【知识点】用样本估计总体；用列表法或树状图法求概率；中位数；众数
【解析】【解答】解：(1)∵七年级成绩的中位数为从小到大排列第25个人和第26个人的成绩的平均数，这两个
人都成绩都为B等级，
∴m=9，
由扇形图可知：44%>36%>16%>4%，
∴八年级成绩人数最多的为A等级，
∴n=10，
∵七、八年级平均分相同，七年级方差小于八年级方差，
∴七、八年级学生竞赛成绩更稳定的是七年级；
故答案为：9，10，七.
【分析】(1)利用中位数的特点求m，利用众数的特点求n，根据方差进行解答即可；
(2)利用总数乘以所占比例进行解答即可；
(3)用列表法求概率即可.
20．【答案】（1）证明：∵a+b+c=0，∴c=-a-b.
∴方程总有实数根
（2）解：以a、b、c为边长的三角形是直角三角形.
由一元二次方程根于系数的关系可得
②-①得：即所以即
∴以a、b、c为边长的三角形是直角三角形
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】(1)将已知条件：a+b+c=0变形得到c=-a-b，代入判别式后通过完全平方公式配方，得到完全平方式，利用完全平方非负的性质直接得证；
(2)利用韦达定理，将题目给出的两根和、两根积的表达式转化为关于a、b、c的比例关系；对两个比例等式分别做平方运算，通过两式相减消去参数k，得到a、b、c三者的平方关系；结合勾股定理逆定理，直接判定三角形的形状为直角三角形.
21．【答案】（1）解：将点B（-2，3）代入，得：m=-2×3=-6.
∴反比例函数的解析式为
∵OA=2，∴A（0，2），
将点A（0，2），B（-2，3）代入y=kx+b，
得：
解得：
∴一次函数的解析式为
（2）解：过点B、C分别作BN⊥y轴于N，CM⊥y轴于M.
则
∴CM=2BN=4，∴C（-4，4），
∵CE⊥x轴，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)根据待定系数法，即可求解；
(2)过点B、C分别作BN⊥y轴于N，CM⊥y轴于M，易得△ABN∽△ACM，从而可求点C、D和E的坐标，进而，CE=4，再根据三角形面积之间的关系，即可求解.
22．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB.
∵AD⊥AB，
∴∠B+∠D=90°.
∵CF为⊙O的切线，
∴AC⊥CF，
∴∠ACF=90°.
∴∠ACB+∠FCD=90°.
∴∠FCD=∠D.
∴FC=FD
（2）解：连接AE.
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°.
∵∠CAE+∠ACE=90°，∠D+∠ACE=90°，
∴∠CAE=∠D.
在Rt△ACE中，
在Rt△ADE中，
设FC=FD=x，则
，解得
在Rt△ACF中，
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)利用等角的余角相等证明∠FCD=∠D，即可得到FC=FD；
(2)连接AE，利用圆周角定理结合等腰三角形的性质得到，在Rt△ACE和Rt△ADE中解直角三角形求得AE=8，DE=16，设FC=FD=x，利用勾股定理列式计算求得，再在Rt△ACF 中，利用正弦函数的定义求解即可.
23．【答案】（1）解：设n与x的函数关系式为n=kx+b，
由题意，得
∴n=-10x+160（4≤x≤10）
（2）解：①当x=5时，m=5×5+80=105，n=-10×5+160=110，
∵105<110，
∴基底原液可全部卖完.
故销售基底原液利润为：（5-2）×105=315（元）
②当x=8时，m=5×8+80=120，n=-10×8+160=80，
∵120>80，
∴基底原液无法卖完.
故销售基底原液利润为：（8-2）×80-2×（120-80）=400（元）
（3）解：设奶茶小店每天获得的利润为w元
①当每天的产量不大于市场需求量时，得m≤n，
即5x+80≤-10x+160，解得x≤6，∴4≤x≤6；
w=（x-2）（5x+80）=5（x+7）2-405
∵5>0，对称轴为直线x=-7，
∴当4≤x≤6时，w随x的增大而增大，
∴当x=6时，（元）.
②当每天的产量大于市场需求时，m>n，
即5x+80>-10x+160，解得x>6，∴6w=（x-2）（-10x+160）-2[（5x+80）-（-10x+160）]
=-10x2+150x-160=-10（x-7.5）2+402.5
∵-10<0，对称轴直线：x=7.5.∴当x=7.5时，=402.5（元）.
∵440>402.5∴原液定价为6元/升时，每天可获得最大利润为440元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据待定系数法，即可求解；
(2)①先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量可以卖完，再根据“总利润=单升利润×自制产量”，即可求解；
②先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量没有卖完，再根据“总利润=单升利润×市场需求量-未卖出的成本”，即可求解；
(3)设奶茶小店每天获得的利润为w元，根据m和n的大小分类讨论，分别列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质和x的取值范围，分别求出w的最大值，最后进行比较即可求解.
24．【答案】（1）证明：∵点E是BC的中点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°.
∴∠APQ+∠AQP=90°.
∵PQ⊥PE，
∴∠APQ+∠BPE=90°.
∴∠AQP=∠BPE.
在△APQ和△BEP中，
∴△APQ≌△BEP（AAS）
∴PQ=PE.
（2）解：设BP=x，则AP=6-x
∵∠A=∠B，∠AQP=∠BPE，
∴△APQ∽△BEP.
当x=3时，
（3）如图，设CE的中点为点F，过点作FG⊥BC交AD于点G，在GF上截取OF=2EF=4连接OE，以点O为圆心OE为半径作⊙O，交AD于点Q，连接OQ，OC.
则
∵OE=OC，FG⊥BC，
∴∠EOF=∠COE.
∴∠CQE=∠EOF.
在Rt△OEF中，
即当时，点Q为⊙O交AD的交点.
∵∠GFB=∠A=∠B=90°，∴四边形ABFG是矩形，
∴∠QGO=90°，GF=AB=6.∴GO=GF-OF=2.∴GO=FE.
又OQ=EQ，∴△OGQ≌△EFO（HL）
∴GQ=FO=4.∴AQ=AG-GQ=2.
设BP=x，则AP=6-x
由（2）知：
整理得：x2-6x+8=0，解得x=2或4
经检验：x=2或4都是原方程的根
∴x=2或4.∴BP=2或4，即BP的长为2或4
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；同侧一线三垂直全等模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用一线三垂直模型，证明△APQ≌△BEP(AAS)，从而得出PQ=PE；
(2)根据勾股定理和一元二次函数模型求AQ的最大值；
(3)利用三角函数定义以及相似三角形的性质构建分式方程求解线段BP的值.
25．【答案】（1）解：由题意可得：得：
解得：
∴二次函数的解析式为：
（2）解：过点D作DH⊥OB于H，
抛物线交y轴于点C（0，2）.
∵A（-1，0）、B关于直线对称，
∴B（4，0）
设
，即
整理得：
解得：d1=1，d2=2.
抛物线对称轴为直线x=1.
∴点D的坐标为（1，3）或（2，3）
（3）解：FN与NQ的数量关系为：QN=3FN.
理由如下：
设直线TF的解析式为：，
把T（0，t）代入可得，b1=t∴y=kx+t1
联立直线TF的与抛物线得，
，整理得
∵TF与抛物线有唯一交点F，
设直线TP的解析式为：把T（0，t）代入可得，b2=t∴y=k2x+t
联立直线TP的与抛物线得，
整理得
，即
过点P作PI⊥y轴于I，过点F作FJ⊥y轴于J，过点Q作QK⊥y轴于K.
则：
同理可得：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)根据待定系数法求解即可；
(2)过点D作DH⊥OB于H，根据抛物线的对称性求出B(4，0)，设，根据S2-S1=2，得出S△ABD-S△ABC=2，则，解方程得d1=1，d2=2，即可求解；
(3)结合T(0，t)可求直线TF的解析式y=k1x+t，联立直线TF与抛物线可得x2+(2k1-3)x+2t-4=0，结合TF与抛物线有唯一交点F，可求出，同法求出直线TP的解析式为y=k2x+1，联立直线TP与抛物线可得x2+(2k2-3)x+2t-4=0，进而xP·xQ=2t-4，得出，过点P作PI⊥y轴于I，过点F作FJ⊥y轴于J， 过点Q作QK⊥y轴于K，证明△MPI∽△MFJ，得出，进而求出，同理得出，进而求出，即可求解.
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