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湖南省怀化市2024-2025学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，于点O，，则（　　）
A． B． C． D．
6．下列说法错误的是（　　）
A．的平方根是 B．9的算术平方根是3
C．0的立方根是0 D．负数没有平方根
7．《全民健康生活方式行动方案（年）》强调了“三减三健”的重要性．某校为了解全校1000名学生的体重情况，从中抽取了50名学生测量体重，下列说法正确的是（　　）
A．总体是1000名学生 B．个体是50名学生的体重
C．该调查方式是全面调查 D．样本容量是50
8．小明计划在7天内阅读完一本68页的图书．如果第1天只阅读了5页，为了按时或提前完成，那么他在以后几天里平均每天至少要阅读多少页？设以后几天里平均每天要阅读页，根据题意可列不等式为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，某住宅小区有一长方形地块，若要在长方形地块内修筑同样宽的三条道路，道路宽为，余下部分绿化，则绿化的面积是（　　）
A． B． C． D．
10．观察下列等式：
；
．．．．．．
根据以上规律计算的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）
11．比较大小：　 　（填“”，“”或“”）．
12．已知am＝3，an＝2，则am+n＝　 　.
13．光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是光的折射现象．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，光线点为延长线上的一点，若，，则的度数为　 　．
14．若不等式的解集为，则的取值范围是．
15．如图，长方形纸片的边缘互相平行，将纸片沿折叠，使得点分别落在点处．若，则的度数为　 　．
16．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，使得点恰好落在边上，则旋转的角度为　 　．
17．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有　 　种具体的运输方案．
18．若关于的不等式组的解集中任何一个的值均不在的范围内，则的取值应满足的条件为　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：．
（2）求的值：
20．先化简再求值：，其中.
21．解不等式（组）
（1）解不等式：；
（2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
22．如图，已知，，，垂足为．
填空并在括号内填写理由：
（已知），
___________（　　）
（已知），
___________（等量代换）．
___________（　　）
（　　）
又（已知），
___________（垂直的定义）．
___________．
23．如图，是格点三角形（各顶点是网格线的交点），每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形．
（1）将向右平移6个单位长度，画出平移后的；
（2）将平移后的绕点顺时针旋转，画出旋转后的；
（3）将沿直线翻折，画出翻折后的．
24．近日，湖南省教育厅正式印发《湖南省初中学业水平体育与健康科目考试总体方案（试行）》，本方案自2026年起全面实施，鼓励有条件的地区先行先试，其中篮球、足球、排球为必设考试项目．某校在体育类活动中开设了四种运动项目：．羽毛球；．排球；．篮球；．足球．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如图尚不完整的统计图．
（1）本次调查的样本容量是___________，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“A．羽毛球”对应的扇形圆心角的度数是___________；
（3）若该校共有2500名学生，请你估计该校最喜欢“B．排球”的学生人数．
25．对任意的实数有如下规定：用表示不大于的最大整数，称为的整数部分，用表示的值，称为的小数部分．例如：，，请回答下列问题：
（1）___________，___________；
（2）当时，以下说法正确的是___________（填序号）；
①；
②；
③；
④若，则．
（3）当时，解不等式．
26．除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒．
（1）在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由；
（2）在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由；
（3）零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是负整数，是有理数，不是无理数，不符合题意；
B、是分数，是有理数，不是无理数，不符合题意；
C、是有限小数，是有理数，不是无理数，不符合题意；
D、开方开不尽的数，是无理数，符合题意.
故答案为：D．
【分析】实数分为有理数与无理数，有限小数与无限循环小数都是有理数数，有理数分为整数与分数；无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义，对各选项图案逐一判断：
选项A、B、D：无法找到一条直线，使图形沿该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，因此不是轴对称图形；选项C：能找到一条直线，使图形沿该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，因此是轴对称图形。
故选：C．
【分析】
本题考查轴对称图形的概念，解题的核心是紧扣定义，判断图形是否存在对称轴。轴对称图形的定义为：在平面内，一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误，不符合题意；
B、∵，此处，，∴， 故此选项正确，符合题意；
C、， 故此选项错误，不符合题意；
D、∵，∴， 故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】由完全平方公式的展开式是一个三项式可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断C、D选项.
4．【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：B．
【分析】由二直线平行，内错角相等得出∠A=∠1=50°.
5．【答案】C
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】先根据垂直的定义得到，从而得到，进而根据对顶角相等的性质求出的度数.
6．【答案】A
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、∵，4的平方根是±2，∴的平方根为±2，故原说法错误，此选项符合题意；
B、9的算术平方根是3，故原说法正确，此选项不符合题意；
C、0的立方根是0，故原说法正确，此选项不符合题意；
D、负数没有平方根，故原说法正确，此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】一个数x的平方等于a，则这个数x就是a的平方根，据此可判断A选项；一个正数x的平方等于a，则这个正数x就是a的算术平方根，0的算术平方根为0，据此可判断B选项； 一个数x的立方等于a，则这个数x就是a的立方根，据此可判断C选项；一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，0的平方根为0，由于没有一个数的平方为负数，故负数没有平方根，据此可判断D选项.
7．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：A、全校1000名学生的体重是总体，故原说法错误，此选项不符合题意；
B、个体是每名学生的体重， 故原说法错误，此选项不符合题意；
C、该调查方式是抽样调查调查， 故原说法错误，此选项不符合题意；
D、50是样本的容量， 故原说法正确，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象；从而结合题意找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量，据此可判断A、B、D选项；全面调查就是对所有调查对象一个不漏的调查，抽样调查就是随机抽取一部分调查对象进行调查，并用这部分结果的情况估计总体，据此可判断C选项.
8．【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设以后几天里平均每天要阅读页，
根据题意列不等式为，
故答案为：A．
【分析】设以后几天里平均每天要阅读x页，则后面几天读的页数为(7-1)x页，由“已经读的页数加上剩余天数读的页数不少于整本书的页数”列不等式即可.
9．【答案】D
【知识点】有理数混合运算的实际应用；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：由题意可得：绿化的面积是，
故答案为：D．
【分析】利用平移的思想可得绿化面积就是一个长为(32-2×2)米，宽为(20-2)米的长方形得面积，从而根据长方形面积公式列式计算即可.
10．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：∵；
；
；
……
；
，
当时，
∴．
故答案为：A．
【分析】通过观察前几个等式得出，然后将n=2025代入并根据一个因数等于积除以另一个因数可得，最后将x=-3代入计算可得答案.
11．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，且，
∴，
故答案为：．
【分析】对于两个正数，平方更大的数本身也更大，据此求出两个待比较数的平方，再根据平方的大小关系推导原数的大小即可.
12．【答案】6
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解： =3×2=6
故答案为：6.
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算即可.
13．【答案】20
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：20．
【分析】由二直线平行，内错角相等得∠MBC=∠1=60°，由对顶角相等得出∠MBD=∠2=50°，最后根据∠DBC=∠MBC-∠MBD可算出答案.
14．【答案】解：关于的不等式的解集为，
∴，
∴，
故答案为：．

【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】根据不等式的基本性质进行计算解答，解题的核心要点是掌握不等式的基本性质.
15．【答案】72
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：因为，
所以．
所以，
由折叠可知，
故答案为：72．
【分析】由二直线平行，同位角相等得∠QEC=∠2=36°，由邻补角求解∠QED=144°，进而根据折叠可得∠1=∠QEF=∠QED=72°.
16．【答案】50
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：在中，∵，
∴，
由旋转的性质得CA=CA'，∠A'=∠BAC=65°，
∴∠CAA'=CA'A=65°，
在中，∴，
∴是旋转的角度，为．
故答案为：50．
【分析】由直角三角形两锐角互余求出∠BAC=65°，由旋转性质得CA=CA'，∠A'=∠BAC=65°，由等边对等角得∠CAA'=CA'A=65°，最后由三角形的内角和定理求出∠A'CA=50°，从而即可得出旋转角的度数.
17．【答案】3
【知识点】一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个．
根据题意，得，
解不等式①，得；
解不等式②，得，
所以不等式组的解集为，
因为x取正整数，所以x取28，29，30，
当时，；当时，；当时，．
故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个；
方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个；
方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个．
故答案为：3．
【分析】设安排A中集装箱x个， 则安排B中集装箱(50-x)个， 则A型集装箱装载甲种货物35x吨，A型集装箱装载乙种货物15x吨，B型集装箱装载甲种货物25(50-x)吨，B型集装箱装载乙种货物35(50-x)吨，然后根据A、B两种集装箱装载的甲种货物的总重量不超过甲种货物的总量及A、B两种集装箱装载的乙种货物的总重量不超过乙种货物的总量列出关于字母x的不等式组，求出其整数解就可以确定装运方案 ．
18．【答案】或
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
∵解集中任意一个x的值都不在的范围内，
∴或，
解得或，
故答案为：或．
【分析】将a作为常数，根据解不等式的步骤分别确定出不等式组中每一个不等式的解集，然后根据“大小小大”中间找求出其解集为a＜x＜a+1，进而根据该不等式组解集中任意一个x的值都不在-5≤x≤-2的范围，可得a+1≤-5或a≥-2，求解即可得出a的取值范围.
19．【答案】解：（1）
；
（2）
，
，
，
【知识点】实数的混合运算（含开方）；利用开立方求未知数
【解析】【分析】（1）先根据乘方法则、立方根定义及绝对值的性质分别化简，再计算加减法即可；
（2）先将常数项移到方程的右边，再在方程两边同时除以未知数项的系数8将未知数项的系数化为1，然后再根据立方根定义求得x即可．
20．【答案】解：
当其中时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则和平方差公式把括号去掉，再化简、合并同类项。最后再把x、y的值代入化简后的式子中求出代数式的值即可.
21．【答案】（1）解；
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；数形结合
【解析】【分析】（1）先去分母（两边同时乘以4，右边的-1也要乘以4，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
（2）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
（1）解；
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
22．【答案】；两直线平行，内错角相等；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵（已知）
∴（垂直的定义）．
∴（等式的性质）．
故答案为：；两直线平行，内错角相等；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得∠BAE=∠AED，结合已知，由等量代换得出∠AED=∠EDC，由内错角相等，两直线平行得出AE∥CD，由两直线平行，同旁内角互补得∠EAD+∠CDA=180°，由垂直的定义得∠EAD=90°，从而即可求出∠ADC的度数.
23．【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）解：如图，为所作；
（3）解：如图，为所作；
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用网格特点和平移的性质分别画出点A，B，C向右平移6个单位长度后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质分别画出点A1、C1绕点B1顺时针旋转90°后的对应点A2、C2，再顺次连接 A2、B1、C2即可；
（3）利用网格特点和轴对称的性质作出点A关于BC的对称点A3，再顺次连接A3、B、C即可.
（1）解：如图，为所作；
（2）解：如图，为所作；
（3）解：如图，为所作；
24．【答案】（1）200
解：喜欢“B．排球”的人数为（名）．
补全条形统计图如图．
（2）
（3）解：（名）．
答：估计该校最喜欢“B．排球”的学生人数为名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：(名)，
故答案为：200；
（2）解：，
故答案为：；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用C项目运动的人数除以其所占百分比求出本次调查的样本容量 ，然后根据喜欢四种运动的人数之和等于本次调查的总人数计算出喜欢B项目的人数，进而补全条形统计图；
（2）用360°乘以喜欢A项目运动人数占总人数的比例即可求出扇形统计图中A项目对应的扇形圆心角的度数；
（3）用全校总人数乘样本中喜欢B项目运动的人数所占百分比即可估计该校最喜欢B项目运动的人数.
（1）解：(名)，
喜欢“B．排球”的人数为（名）．
补全条形统计图如图．
．
（2），
故答案为：．
（3）（名）．
答：估计该校最喜欢“B．排球”的学生人数为名．
25．【答案】（1）2，
（2）①②④
（3）解：，，
，
，
，
，
，
．
又∵，
∴0≤x≤.
【知识点】无理数的估值；解一元一次不等式；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】（1）解：，
，
，，
故答案为：，；
（2）解：表示的小数部分，
，故①正确；
根据定义可得，，故②正确；
表示的小数部分，
，故③错误
，
，
，
，即，故④正确
故答案为：①②④；
【分析】（1）根据几个正数越大的其立方根就越大可估算出，再根据新定义即可求解；
（2）根据新定义及不等式性质逐一判断即可；
（3）根据，不等式可变形为，整理得，再将代入，即可得5x-2x≤5，求解结合x≥0得出的取值范围.
（1）解：，
，
，，
故答案为：，；
（2）解：表示的小数部分，
，故①正确；
根据定义可得，，故②正确；
表示的小数部分，
，故③错误
，
，
，
，即，故④正确
故答案为：①②④；
（3）解：，，
，
，
，
，
，
∵
．
26．【答案】（1）解：存在，根据题意得：∠AQF=4t°，∠CPE=6t°，
如图，连接PQ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即存在某一时刻，使得，此时；
（2）解：存在，根据题意得 ∠AQF=4t°，∠CPE=6t°，
如图，设射线交于点G，过点G作，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：，
即存在某一时刻，使得，此时；
（3）解：存在，根据题意得：，，
当和相遇前时，，
∴，
解得：；
当和相遇后时，，
∴，
解得：；
综上所述，存在某一时刻，使得，此时或27．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的应用-求角度；平行公理的推论；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据根据旋转角度等于旋转时间乘以旋转速度可得∠AQF=4t°，∠CPE=6t°， 连接PQ，由二直线平行，内错角相等得∠PQF=∠QPE，∠AQP=∠DPQ，由角的构成及等量减去等量差相等得∠AQF=∠DPE，结合邻补角及等量代换得∠CPE+∠AQF=180°，从而整体代入可得关于字母t的方程，求解即可；
（2） 根据旋转角度等于旋转时间乘以旋转速度可得∠AQF=4t°，∠CPE=6t°， 设射线PE、QF交于点G，过点G作GH∥AB，由垂直定义得∠PGQ=90°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得GH∥AB∥CD，由二直线平行，同旁内角互补得∠AQF+∠QGH=180°及∠CPE+∠PGH=180°，将两式相加结合角的构成得∠AQF+∠CPE+∠PGQ=360°， 从而整体代入可得关于字母t的方程，求解即可；
（3）根据旋转角度等于旋转时间乘以旋转速度可得∠AQF=4t°，∠BQH=6t°， ∠FQH=90°；分两种情况讨论：当QF和QH相遇前时；由∠AQF+∠BQH+∠FQH=180°列出方程，求解即可；当QF和QH相遇后时，由 ∠AQF+∠BQH-∠FQH=180° 列出方程，求解即可，综上可得答案.
（1）解：存在，
根据题意得：，
如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即存在某一时刻，使得，此时；
（2）解：存在，
根据题意得：，
如图，设射线交于点G，过点G作，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：，
即存在某一时刻，使得，此时；
（3）解：存在，
根据题意得：，，
当和相遇前时，，
∴，
解得：；
当和相遇后时，，
∴，
解得：；
综上所述，存在某一时刻，使得，此时或27．
1 / 1湖南省怀化市2024-2025学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是负整数，是有理数，不是无理数，不符合题意；
B、是分数，是有理数，不是无理数，不符合题意；
C、是有限小数，是有理数，不是无理数，不符合题意；
D、开方开不尽的数，是无理数，符合题意.
故答案为：D．
【分析】实数分为有理数与无理数，有限小数与无限循环小数都是有理数数，有理数分为整数与分数；无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义，对各选项图案逐一判断：
选项A、B、D：无法找到一条直线，使图形沿该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，因此不是轴对称图形；选项C：能找到一条直线，使图形沿该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，因此是轴对称图形。
故选：C．
【分析】
本题考查轴对称图形的概念，解题的核心是紧扣定义，判断图形是否存在对称轴。轴对称图形的定义为：在平面内，一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误，不符合题意；
B、∵，此处，，∴， 故此选项正确，符合题意；
C、， 故此选项错误，不符合题意；
D、∵，∴， 故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】由完全平方公式的展开式是一个三项式可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断C、D选项.
4．如图，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：B．
【分析】由二直线平行，内错角相等得出∠A=∠1=50°.
5．如图，于点O，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】先根据垂直的定义得到，从而得到，进而根据对顶角相等的性质求出的度数.
6．下列说法错误的是（　　）
A．的平方根是 B．9的算术平方根是3
C．0的立方根是0 D．负数没有平方根
【答案】A
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、∵，4的平方根是±2，∴的平方根为±2，故原说法错误，此选项符合题意；
B、9的算术平方根是3，故原说法正确，此选项不符合题意；
C、0的立方根是0，故原说法正确，此选项不符合题意；
D、负数没有平方根，故原说法正确，此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】一个数x的平方等于a，则这个数x就是a的平方根，据此可判断A选项；一个正数x的平方等于a，则这个正数x就是a的算术平方根，0的算术平方根为0，据此可判断B选项； 一个数x的立方等于a，则这个数x就是a的立方根，据此可判断C选项；一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，0的平方根为0，由于没有一个数的平方为负数，故负数没有平方根，据此可判断D选项.
7．《全民健康生活方式行动方案（年）》强调了“三减三健”的重要性．某校为了解全校1000名学生的体重情况，从中抽取了50名学生测量体重，下列说法正确的是（　　）
A．总体是1000名学生 B．个体是50名学生的体重
C．该调查方式是全面调查 D．样本容量是50
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：A、全校1000名学生的体重是总体，故原说法错误，此选项不符合题意；
B、个体是每名学生的体重， 故原说法错误，此选项不符合题意；
C、该调查方式是抽样调查调查， 故原说法错误，此选项不符合题意；
D、50是样本的容量， 故原说法正确，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象；从而结合题意找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量，据此可判断A、B、D选项；全面调查就是对所有调查对象一个不漏的调查，抽样调查就是随机抽取一部分调查对象进行调查，并用这部分结果的情况估计总体，据此可判断C选项.
8．小明计划在7天内阅读完一本68页的图书．如果第1天只阅读了5页，为了按时或提前完成，那么他在以后几天里平均每天至少要阅读多少页？设以后几天里平均每天要阅读页，根据题意可列不等式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设以后几天里平均每天要阅读页，
根据题意列不等式为，
故答案为：A．
【分析】设以后几天里平均每天要阅读x页，则后面几天读的页数为(7-1)x页，由“已经读的页数加上剩余天数读的页数不少于整本书的页数”列不等式即可.
9．如图，某住宅小区有一长方形地块，若要在长方形地块内修筑同样宽的三条道路，道路宽为，余下部分绿化，则绿化的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数混合运算的实际应用；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：由题意可得：绿化的面积是，
故答案为：D．
【分析】利用平移的思想可得绿化面积就是一个长为(32-2×2)米，宽为(20-2)米的长方形得面积，从而根据长方形面积公式列式计算即可.
10．观察下列等式：
；
．．．．．．
根据以上规律计算的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：∵；
；
；
……
；
，
当时，
∴．
故答案为：A．
【分析】通过观察前几个等式得出，然后将n=2025代入并根据一个因数等于积除以另一个因数可得，最后将x=-3代入计算可得答案.
二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）
11．比较大小：　 　（填“”，“”或“”）．
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，且，
∴，
故答案为：．
【分析】对于两个正数，平方更大的数本身也更大，据此求出两个待比较数的平方，再根据平方的大小关系推导原数的大小即可.
12．已知am＝3，an＝2，则am+n＝　 　.
【答案】6
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解： =3×2=6
故答案为：6.
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算即可.
13．光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是光的折射现象．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，光线点为延长线上的一点，若，，则的度数为　 　．
【答案】20
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：20．
【分析】由二直线平行，内错角相等得∠MBC=∠1=60°，由对顶角相等得出∠MBD=∠2=50°，最后根据∠DBC=∠MBC-∠MBD可算出答案.
14．若不等式的解集为，则的取值范围是．
【答案】解：关于的不等式的解集为，
∴，
∴，
故答案为：．

【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】根据不等式的基本性质进行计算解答，解题的核心要点是掌握不等式的基本性质.
15．如图，长方形纸片的边缘互相平行，将纸片沿折叠，使得点分别落在点处．若，则的度数为　 　．
【答案】72
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：因为，
所以．
所以，
由折叠可知，
故答案为：72．
【分析】由二直线平行，同位角相等得∠QEC=∠2=36°，由邻补角求解∠QED=144°，进而根据折叠可得∠1=∠QEF=∠QED=72°.
16．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，使得点恰好落在边上，则旋转的角度为　 　．
【答案】50
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：在中，∵，
∴，
由旋转的性质得CA=CA'，∠A'=∠BAC=65°，
∴∠CAA'=CA'A=65°，
在中，∴，
∴是旋转的角度，为．
故答案为：50．
【分析】由直角三角形两锐角互余求出∠BAC=65°，由旋转性质得CA=CA'，∠A'=∠BAC=65°，由等边对等角得∠CAA'=CA'A=65°，最后由三角形的内角和定理求出∠A'CA=50°，从而即可得出旋转角的度数.
17．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有　 　种具体的运输方案．
【答案】3
【知识点】一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个．
根据题意，得，
解不等式①，得；
解不等式②，得，
所以不等式组的解集为，
因为x取正整数，所以x取28，29，30，
当时，；当时，；当时，．
故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个；
方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个；
方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个．
故答案为：3．
【分析】设安排A中集装箱x个， 则安排B中集装箱(50-x)个， 则A型集装箱装载甲种货物35x吨，A型集装箱装载乙种货物15x吨，B型集装箱装载甲种货物25(50-x)吨，B型集装箱装载乙种货物35(50-x)吨，然后根据A、B两种集装箱装载的甲种货物的总重量不超过甲种货物的总量及A、B两种集装箱装载的乙种货物的总重量不超过乙种货物的总量列出关于字母x的不等式组，求出其整数解就可以确定装运方案 ．
18．若关于的不等式组的解集中任何一个的值均不在的范围内，则的取值应满足的条件为　 　．
【答案】或
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
∵解集中任意一个x的值都不在的范围内，
∴或，
解得或，
故答案为：或．
【分析】将a作为常数，根据解不等式的步骤分别确定出不等式组中每一个不等式的解集，然后根据“大小小大”中间找求出其解集为a＜x＜a+1，进而根据该不等式组解集中任意一个x的值都不在-5≤x≤-2的范围，可得a+1≤-5或a≥-2，求解即可得出a的取值范围.
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：．
（2）求的值：
【答案】解：（1）
；
（2）
，
，
，
【知识点】实数的混合运算（含开方）；利用开立方求未知数
【解析】【分析】（1）先根据乘方法则、立方根定义及绝对值的性质分别化简，再计算加减法即可；
（2）先将常数项移到方程的右边，再在方程两边同时除以未知数项的系数8将未知数项的系数化为1，然后再根据立方根定义求得x即可．
20．先化简再求值：，其中.
【答案】解：
当其中时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则和平方差公式把括号去掉，再化简、合并同类项。最后再把x、y的值代入化简后的式子中求出代数式的值即可.
21．解不等式（组）
（1）解不等式：；
（2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）解；
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；数形结合
【解析】【分析】（1）先去分母（两边同时乘以4，右边的-1也要乘以4，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
（2）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
（1）解；
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
22．如图，已知，，，垂足为．
填空并在括号内填写理由：
（已知），
___________（　　）
（已知），
___________（等量代换）．
___________（　　）
（　　）
又（已知），
___________（垂直的定义）．
___________．
【答案】；两直线平行，内错角相等；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵（已知）
∴（垂直的定义）．
∴（等式的性质）．
故答案为：；两直线平行，内错角相等；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得∠BAE=∠AED，结合已知，由等量代换得出∠AED=∠EDC，由内错角相等，两直线平行得出AE∥CD，由两直线平行，同旁内角互补得∠EAD+∠CDA=180°，由垂直的定义得∠EAD=90°，从而即可求出∠ADC的度数.
23．如图，是格点三角形（各顶点是网格线的交点），每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形．
（1）将向右平移6个单位长度，画出平移后的；
（2）将平移后的绕点顺时针旋转，画出旋转后的；
（3）将沿直线翻折，画出翻折后的．
【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）解：如图，为所作；
（3）解：如图，为所作；
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用网格特点和平移的性质分别画出点A，B，C向右平移6个单位长度后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质分别画出点A1、C1绕点B1顺时针旋转90°后的对应点A2、C2，再顺次连接 A2、B1、C2即可；
（3）利用网格特点和轴对称的性质作出点A关于BC的对称点A3，再顺次连接A3、B、C即可.
（1）解：如图，为所作；
（2）解：如图，为所作；
（3）解：如图，为所作；
24．近日，湖南省教育厅正式印发《湖南省初中学业水平体育与健康科目考试总体方案（试行）》，本方案自2026年起全面实施，鼓励有条件的地区先行先试，其中篮球、足球、排球为必设考试项目．某校在体育类活动中开设了四种运动项目：．羽毛球；．排球；．篮球；．足球．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如图尚不完整的统计图．
（1）本次调查的样本容量是___________，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“A．羽毛球”对应的扇形圆心角的度数是___________；
（3）若该校共有2500名学生，请你估计该校最喜欢“B．排球”的学生人数．
【答案】（1）200
解：喜欢“B．排球”的人数为（名）．
补全条形统计图如图．
（2）
（3）解：（名）．
答：估计该校最喜欢“B．排球”的学生人数为名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：(名)，
故答案为：200；
（2）解：，
故答案为：；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用C项目运动的人数除以其所占百分比求出本次调查的样本容量 ，然后根据喜欢四种运动的人数之和等于本次调查的总人数计算出喜欢B项目的人数，进而补全条形统计图；
（2）用360°乘以喜欢A项目运动人数占总人数的比例即可求出扇形统计图中A项目对应的扇形圆心角的度数；
（3）用全校总人数乘样本中喜欢B项目运动的人数所占百分比即可估计该校最喜欢B项目运动的人数.
（1）解：(名)，
喜欢“B．排球”的人数为（名）．
补全条形统计图如图．
．
（2），
故答案为：．
（3）（名）．
答：估计该校最喜欢“B．排球”的学生人数为名．
25．对任意的实数有如下规定：用表示不大于的最大整数，称为的整数部分，用表示的值，称为的小数部分．例如：，，请回答下列问题：
（1）___________，___________；
（2）当时，以下说法正确的是___________（填序号）；
①；
②；
③；
④若，则．
（3）当时，解不等式．
【答案】（1）2，
（2）①②④
（3）解：，，
，
，
，
，
，
．
又∵，
∴0≤x≤.
【知识点】无理数的估值；解一元一次不等式；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】（1）解：，
，
，，
故答案为：，；
（2）解：表示的小数部分，
，故①正确；
根据定义可得，，故②正确；
表示的小数部分，
，故③错误
，
，
，
，即，故④正确
故答案为：①②④；
【分析】（1）根据几个正数越大的其立方根就越大可估算出，再根据新定义即可求解；
（2）根据新定义及不等式性质逐一判断即可；
（3）根据，不等式可变形为，整理得，再将代入，即可得5x-2x≤5，求解结合x≥0得出的取值范围.
（1）解：，
，
，，
故答案为：，；
（2）解：表示的小数部分，
，故①正确；
根据定义可得，，故②正确；
表示的小数部分，
，故③错误
，
，
，
，即，故④正确
故答案为：①②④；
（3）解：，，
，
，
，
，
，
∵
．
26．除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒．
（1）在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由；
（2）在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由；
（3）零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：存在，根据题意得：∠AQF=4t°，∠CPE=6t°，
如图，连接PQ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即存在某一时刻，使得，此时；
（2）解：存在，根据题意得 ∠AQF=4t°，∠CPE=6t°，
如图，设射线交于点G，过点G作，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：，
即存在某一时刻，使得，此时；
（3）解：存在，根据题意得：，，
当和相遇前时，，
∴，
解得：；
当和相遇后时，，
∴，
解得：；
综上所述，存在某一时刻，使得，此时或27．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的应用-求角度；平行公理的推论；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据根据旋转角度等于旋转时间乘以旋转速度可得∠AQF=4t°，∠CPE=6t°， 连接PQ，由二直线平行，内错角相等得∠PQF=∠QPE，∠AQP=∠DPQ，由角的构成及等量减去等量差相等得∠AQF=∠DPE，结合邻补角及等量代换得∠CPE+∠AQF=180°，从而整体代入可得关于字母t的方程，求解即可；
（2） 根据旋转角度等于旋转时间乘以旋转速度可得∠AQF=4t°，∠CPE=6t°， 设射线PE、QF交于点G，过点G作GH∥AB，由垂直定义得∠PGQ=90°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得GH∥AB∥CD，由二直线平行，同旁内角互补得∠AQF+∠QGH=180°及∠CPE+∠PGH=180°，将两式相加结合角的构成得∠AQF+∠CPE+∠PGQ=360°， 从而整体代入可得关于字母t的方程，求解即可；
（3）根据旋转角度等于旋转时间乘以旋转速度可得∠AQF=4t°，∠BQH=6t°， ∠FQH=90°；分两种情况讨论：当QF和QH相遇前时；由∠AQF+∠BQH+∠FQH=180°列出方程，求解即可；当QF和QH相遇后时，由 ∠AQF+∠BQH-∠FQH=180° 列出方程，求解即可，综上可得答案.
（1）解：存在，
根据题意得：，
如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即存在某一时刻，使得，此时；
（2）解：存在，
根据题意得：，
如图，设射线交于点G，过点G作，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：，
即存在某一时刻，使得，此时；
（3）解：存在，
根据题意得：，，
当和相遇前时，，
∴，
解得：；
当和相遇后时，，
∴，
解得：；
综上所述，存在某一时刻，使得，此时或27．
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