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湖南省常德市临澧县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1．在平面直角坐标系中，点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是（　　）
A． B． C． D．
3．我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（　　）
A．是轴对称图形
B．是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
4．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．，， B．
C．， D．
5．如图所示，已知，，则的理由是（　　）
A． B． C． D．
6．一支签字笔的单价为2.5元，小涵同学拿了50元钱去购买了支该型号的签字笔，写出所剩余的钱y与x间的关系式是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D，若，则点D到直线的距离是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．对于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．它的图象与轴交于点
B．随的增大而减小
C．当时，
D．它的图象经过第一、二、三象限
9．如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（　　）
A．当时，是菱形
B．当时，是菱形
C．当时，是矩形
D．当时，是正方形
10．如图，动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的规律运动，则第2025次运动到点（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．五边形从某一个顶点出发可以引　 　条对角线．
12．如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后测出AC，BC的中点D，E，并测出DE的长约为18m，由此估测A，B之间的距离约　 　m．
13．在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为　 　．
14．王老师对本班40个学生所穿校服尺码的数据统计如下：
尺码 S M L XL XXL XXL
频率 0.05 0.1 0.2 0.325 0.3 0.025
则该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有　 　个．
15．如图，的对角线、相交于点O，，若，则四边形的周长为　 　．
16．座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背的长度为，当椅背与椅面的夹角从调节到时，人的头部支撑点向后水平推移了　 　．
17．周末时，达瓦在体育公园骑自行车锻炼身体，他匀速骑行了一段时间后停车休息，之后继续以原来的速度骑行．路程s（单位：千米）与时间t（单位：分钟）的关系如图所示，则图中的a＝　 　．
18．如图，已知四边形是边长为6的正方形，为延长线上一点，以为边，在直线上方作正方形，连接，取的中点，连接．若，则　 　 ．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．已知y与x成正比例，且当时，．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当时，求y的值．
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
（1）在图中作出关于轴对称的；
（2）请直接写出的坐标：______；______；______．
21．某班体育课进行了一次体能测试，如图是反映该班测试成绩（得分为整数）的频数分布直方图．
（1）该班共有多少名学生参加了体能测试？
（2）若分以上为优秀，求该班这次测试的优秀率．
（3）从图中你还能获得哪些信息？（写出一条即可）
22．如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，，______ ．
请从“①，②，③”这三组条件中选1个作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形是矩形；
（2）在（1）的条件下，若，求的长．
23．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
（1）求的长；
（2）如图2，若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离．
24．在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点的“美好点”是．
（1）①点的“美好点“坐标是 _______ ；
②若点P的“美好点”为，则点P的坐标是 _______ ；
（2）若点的“美好点”在直线上，求a的值．
25．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在中，已知，平行四边形的面积为．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为．
（1）如图1，若点恰好落在上时．
①若，则_______ （用含的式子表示）；
②求证：四边形为菱形；
（2）如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长．
26．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴和y轴于A，B两点，点A坐标为，点B坐标为．点在直线上．
（1）求直线的表达式；
（2）点D是x轴上的一个动点，当时，求点D坐标；
（3）如图2，点E坐标为，连接，在直线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴点在第二象限，
故答案为：B．
【分析】根据在平面直角坐标系中，四个象限的坐标符号特征分别为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，由此即可得到答案.
2．【答案】D
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是，
故答案为：D．
【分析】本题考查了频数与频率，利用了频率公式 ： 频率=频数÷数据总和， 用单词“”中字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案．
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：由题意得是中心对称图形，但不是轴对称图形
故答案为：B
【分析】根据中心对称图形的定义（绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形）；轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形），进而即可求解。
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，，，∴，∴是直角三角形，故A不符合题意；
∵，∴，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
∵，，
∴，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
∵，
∴可设，，，
∴，
解得，
∴，，，
∴不是直角三角形，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理分别对四个选项计算，再作出判断即可．
5．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：在和中，
，
，
故选：B
【分析】
结合图形对应已知条件，题目已经给出两个直角三角形的斜边和一组锐角对应相等，同时是两个三角形共有的公共边，满足全等判定的定理，据此即可推得结论.
6．【答案】B
【知识点】函数解析式；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：y与x之间的关系式是．
故答案为：B．
【分析】利用“剩余费用=总费用-已经使用的费用”列出函数解析式即可.
7．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据作图得到是的角平分线，
如图所示，过点作，则是点D到直线的距离，
∵，即，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据作图过程可得AD是∠BAC的角平分线，过点D作DE⊥AB，由角平分线上的点到角两边的距离相等得出DC=DE=3，从而即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、一次函数y=2x-1中x=0得y=-1，∴y=2x-1与y轴的交点坐标为（0，-1），所以A正确；
B、因为2＞0，所以y随x的增大而增大，所以B错误；
C、当x=时，y=2×-1=0，所以当x＞时，y＞0，所以C错误；
D、因为k=2＞0，所以图象经过一三象限，因为-1＜0，所以图象经过三，四，所以图象经过一三四象限，所以、D不正确.
故答案为：A.
【分析】首先令x=0，求得直线与y轴的交点坐标，可得出A正确；根据函数的增减性可得出B不正确；根据函数的增减性，通过计算可得出C不正确；根据函数图象的位置与系数的关系可得出D不正确，故而得出答案.
9．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、当时，可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意；
B、当时，可根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意；
C、当时，可根据“有一个角为直角的平行四边形是矩形”可判定是矩形，故不符合题意；
D、当时，可根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定是矩形，不能得到是正方形，说法错误，故符合题意；
故选D．
【分析】
根据对应的判定定理逐一排除错误选项，得到最终结果.
10．【答案】D
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】 解：第1次从原点运动到点，
第2次运动到点，
第3次运动到点，
第4次从原点运动到点，
第5次运动到点，
第6运动到点，
……
按照这个规律总结可得：动点的运动每4次为一个循环周期，一个周期内点M的纵坐标按顺序为2、0、4、0，且每经过一次运动，点M的横坐标增加2；
因为，也就是第2025次运动对应一个周期内的第1次运动，纵坐标为2，横坐标为运动次数乘2；
因此，第次运动后到达点，即；
故答案为：D．
【分析】我们可以从已知点的坐标中得出，动点的运动每4次构成一个循环周期，每个周期内点M的纵坐标依次为2、0、4、0，并且每完成一次运动，点M的横坐标就会增加2，从而用2025除以4，余数是几就能找到第2025次运动对应一个周期内的第几次运动，从而确定出纵坐标，再用运动次数乘以2确定横坐标即可.
11．【答案】2
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：从五边形的一个顶点出发有5﹣3＝2条对角线.
故答案为：2.
【分析】从n边形的一个顶点出发有（n-3）条对角线，代入计算即可.
12．【答案】36
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵、分别是、的中点，
∴是的中位线．
∴∴．
故答案为： 36 ．
【分析】由三角形的中位线等于第三边的一半可得出AB=2DE=36m.
13．【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为，即，
故答案为：．
【分析】根据点的坐标平移规则“横坐标，左移减右移加；纵坐标，上移加下移减”直接求解即可.
14．【答案】8
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：由表可知尺码L的频率的0.2，又因为班级总人数为40，
所以该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有40 0.2=8.
故答案是：8.
【分析】直接用尺码L的频率乘以班级总人数即可求出答案.
15．【答案】8
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=3，BD=5，
∴，
∵，
∴四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED的周长，
故答案为：．
【分析】由平行四边形的对角线互相平分得出OC=1.5，OD=2.5，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形OCED是平行四边形，进而根据平行四边形的周长等于两邻边和的2倍可求出答案.
16．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点，点分别作的垂线，分别与的延长线相交于点、点，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
即人的头部支撑点向后水平推移了．
故答案为：．
【分析】过点，点分别作的垂线，分别与的延长线相交于点、点，根据含30°角的直角三角形性质可得AM，AN，再根据边之间的关系即可求出答案.
17．【答案】65
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由达瓦20分钟所走的路程为6千米，可得速度为6÷20=0.3（千米/分钟），
休息15分钟后又骑行了9千米所用时间为9÷0.3=30（分钟），
∴a=35+30=65．
故答案为：65．
【分析】
观察函数图象能够得到，达瓦一共用了20分钟走完6千米的路程，由此可以计算出他骑行的速度为620=0.3千米/分钟；另外从图象还能得到，达瓦在20分钟到35分钟这个时间段处于休息状态，计算出后续骑行完9千米路程所需要的时间就可以完成后续求解.
18．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接BF、DB，由正方形性质得出∠GBF=∠ABD=45°，BC=CD=6，由角的构成求出∠FBD=90°，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出MF=DM=BM，然后根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△FBM是等边三角形，由等边三角形三边相等得MF=BF，则DF=2BF，在Rt△BCD中利用勾股定理算出BD，再在Rt△BDF中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出BF的长，最后在Rt△BEF中，利用勾股定理算出BE即可.
19．【答案】（1）解：∵y与x成正比例，
∴设，
∵当时，，
∴，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为，
（2）解： 把代入得．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的图象
【解析】【分析】（1）根据正比例函数的定义，利用待定系数法可确定y与x之间的函数关系式；
（2）把x=-3代入（1）所求的解析式中，求解可得y的值.
（1）∵y与x成正比例，
∴设，
∵当时，，
∴，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为，
（2）把代入得．
20．【答案】（1）
（2），，
【知识点】点的坐标；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（2）依题意，，，．
故答案为：，，．
【分析】
（1）关于x轴对称的点的坐标特征（横坐标不变、纵坐标互为相反数），据此分别找出点，再连接成三角形．
（2）直接根据对称点的坐标特征写的坐标．
（1）解：依题意，如图所示：
（2）解：依题意，，，．
故答案为：，，．
21．【答案】（1）解：（名），
答：该班共有名学生参加了体能测试；
（2）解：该班这次测试的优秀率为；
（3）解：∵得分为整数，该班测试成绩人数最多的是第三组，
∴各组中，测试成绩在～分的人数最多（答案不唯一）．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图；数形结合
【解析】【分析】（1）根据直方图提供的信息，将各分数段的人数相加即可得出答案；
（2）根据直方图提供的信息，用分以上人数除以总人数，再乘以100%即可得出答案；
（3）开放性命题，答案不唯一，根据直方图提供的信息，说的合理即可．
（1）解：（名），
答：该班共有名学生参加了体能测试；
（2）解：该班这次测试的优秀率为；
（3）解：∵得分为整数，该班测试成绩人数最多的是第三组，
∴各组中，测试成绩在～分的人数最多（答案不唯一）．
22．【答案】（1）①或③
证明：选择①，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
选择②，
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
选择③，不能证明四边形是矩形，
（2）解：∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=3，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=6.
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）选择①，首先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得出四边形ABCD是平行四边形，然后根据“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”可得结论；选择②，首先根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出四边形ABCD是平行四边形，然后根据“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”可得结论；选择③，由一组对边平行，另一个组对边相等的四边形可能是等腰梯形可得不能一定判定四边形ABCD是平行四边形，
（2）根据含30°角直角三角形的性质得出AC=2AB=6，然后根据矩形对角线相等得BD=AC=6.
（1）解：选择①，
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
选择②，
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
选择③，不能证明四边形是矩形，
故答案为：①或②；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：，．
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
答：的长为；
（2）解：如图2，，，，
故
由物体C升高，则此时，
在中，由勾股定理得：，
∴，
答：滑块B向左滑动的距离为．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）设，则，在Rt△ABC中，利用勾股定理列出方程，求解即可；
（2）结合（1）的结论先算出DE=6dm，由题意得此时AB=10+7=17dm，在Rt△ABD中，利用勾股定理算出BD的长，最后根据BE=BD-ED可算出答案.
（1）解：，．
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
答：的长为；
（2）如图2，，，，
故
由物体C升高，则此时，
在中，由勾股定理得：，
∴，
答：滑块B向左滑动的距离为．
24．【答案】（1）①
②
（2）解∶ 点的“美好点”为，
把代入中得，
解得，
即a的值为．
【知识点】点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）解：①点的“美好点“坐标为（-3×2，2×2-1），即；
故答案为：；
②设P点坐标为，
由“美好点”定义得，，
解得，，
∴点P的坐标为；
故答案为：；
【分析】（1）①直接根据“美好点”的定义求解即可；
②设P点坐标为，再根据“美好点”的定义可得关于字母a、b的方程，然后解方程求出a、b，从而得到点P的坐标；
（2）先根据“美好点”的定义得到点的“美好点”为，然后根据直线上点的坐标特点，把代入直线y=3x-2得到关于字母a的方程，最后解关于a的方程即可．
（1）解：①点的“美好点“坐标为；
故答案为：；
②设P点坐标为，
根据题意得，，
解得，，
∴点P的坐标为；
故答案为：；
（2）解∶ 点的“美好点”为，
把代入中得，
解得，
即a的值为．
25．【答案】（1）①
②证明：由折叠的性质，可得：，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形为菱形．
（2）解：如图，延长AB'交CD于点H，
由折叠的性质，可得：，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在中，
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）①解：由折叠的性质，可得：，
，
，
．
故答案为：；
【分析】（1）①根据折叠的性质得∠AEB=∠AEB'=，然后根据平角的定义即可求解；
②由折叠的性质得AB=AB'，BE=B'E，∠BAE=∠B'AE，由平行四边形的对边平行得AB'∥BE，由二直线平行，内错角相等得∠B'AE=∠AEB=∠BAE，由等角对等边得出AB=BE=EB'=AB'，从而根据四边相等的四边形是菱形可得结论；
（2） 延长AB'交CD于点H，由折叠的性质得∠BAE=∠B'AE=45°，AB=AB'=10，由等边对等角及三角形内角和定理得∠ AB'B=45°；由平行四边形的性质得AB∥CD，AB=CD=10，由二直线平行，内错角相等得∠AHD=∠BAB'=90°，∠B'GH=∠ABB'=45°，由三角形内角和定理及等角对等边得出B'H=HG；根据平行四边形的面积等于底乘以高求出AH=12，进而根据线段和差求出B'H=2，在Rt△B'HG中，利用勾股定理算出B'G即可.
（1）①解：由折叠的性质，可得：，
，
，
．
故答案为：；
②证明：由折叠的性质，可得：，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形为菱形．
（2）解：如图，延长交于点，
由折叠的性质，可得：，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在中，．
26．【答案】（1）解：设直线的表达式为，
把，代入得：，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：把代入得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴D的坐标为或；
（3）解：在直线上存在一点P，使得，理由如下：
分以下两种情况讨论：
当P在下方时，过C作于H，过H作轴，过C作于M，过E作于N，如图：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
∵，，
∴，
解得，
∴，
由，可得直线解析式为，
联立，
解得，
∴；
当P在上方时，过C作于H，过H作轴，过C作于M，过E作于N，如图：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
∵，，
∴，
解得，
∴，
由，可得直线解析式为，
联立，
解得，
∴；
同理可得，
综上所述，P的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）用待定系数法求出直线AB的表达式即可；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特点，将点C(-2，m)代入直线AB的解析式算出m的值，从而可得点C的坐标；根据三角形面积公式及S△AOB=S△ACE列出方程，求解算出AD的长，从而即可得到点D的坐标；
（3）分两种情况：当P在CE下方时，过C作CH⊥PE于H，过H作MN∥y轴，过C作CM⊥MN于M，过E作EN⊥MN于N，易得△CEH是等腰直角三角形，则CH=EH，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得 ∠ CHM= ∠ HEN，从而用“AAS”判断出△CHM≌△HEN，由全等三角形的对应边相等得CM=HN，MH=EN，设，根据两点间的距离公式可得，求解的粗m、n的值，从而，利用待定系数法求出直线PE的解析式，连着直线PE与直线AB的解析式，求解即可得出点P的坐标；当P在CE上方时，同理可求点P的坐标，综上可得答案.
（1）解：设直线的表达式为，
把，代入得：，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：把代入得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴D的坐标为或；
（3）解：在直线上存在一点P，使得，理由如下：
分以下两种情况讨论：
当P在下方时，过C作于H，过H作轴，过C作于M，过E作于N，如图：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
∵，，
∴，
解得，
∴，
由，可得直线解析式为，
联立，
解得，
∴；
当P在上方时，过C作于H，过H作轴，过C作于M，过E作于N，如图：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
∵，，
∴，
解得，
∴，
由，可得直线解析式为，
联立，
解得，
∴；
同理可得，
综上所述，P的坐标为或．
1 / 1湖南省常德市临澧县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1．在平面直角坐标系中，点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴点在第二象限，
故答案为：B．
【分析】根据在平面直角坐标系中，四个象限的坐标符号特征分别为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，由此即可得到答案.
2．“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是，
故答案为：D．
【分析】本题考查了频数与频率，利用了频率公式 ： 频率=频数÷数据总和， 用单词“”中字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案．
3．我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（　　）
A．是轴对称图形
B．是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：由题意得是中心对称图形，但不是轴对称图形
故答案为：B
【分析】根据中心对称图形的定义（绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形）；轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形），进而即可求解。
4．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．，， B．
C．， D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，，，∴，∴是直角三角形，故A不符合题意；
∵，∴，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
∵，，
∴，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
∵，
∴可设，，，
∴，
解得，
∴，，，
∴不是直角三角形，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理分别对四个选项计算，再作出判断即可．
5．如图所示，已知，，则的理由是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：在和中，
，
，
故选：B
【分析】
结合图形对应已知条件，题目已经给出两个直角三角形的斜边和一组锐角对应相等，同时是两个三角形共有的公共边，满足全等判定的定理，据此即可推得结论.
6．一支签字笔的单价为2.5元，小涵同学拿了50元钱去购买了支该型号的签字笔，写出所剩余的钱y与x间的关系式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数解析式；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：y与x之间的关系式是．
故答案为：B．
【分析】利用“剩余费用=总费用-已经使用的费用”列出函数解析式即可.
7．如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D，若，则点D到直线的距离是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据作图得到是的角平分线，
如图所示，过点作，则是点D到直线的距离，
∵，即，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据作图过程可得AD是∠BAC的角平分线，过点D作DE⊥AB，由角平分线上的点到角两边的距离相等得出DC=DE=3，从而即可得出答案.
8．对于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．它的图象与轴交于点
B．随的增大而减小
C．当时，
D．它的图象经过第一、二、三象限
【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、一次函数y=2x-1中x=0得y=-1，∴y=2x-1与y轴的交点坐标为（0，-1），所以A正确；
B、因为2＞0，所以y随x的增大而增大，所以B错误；
C、当x=时，y=2×-1=0，所以当x＞时，y＞0，所以C错误；
D、因为k=2＞0，所以图象经过一三象限，因为-1＜0，所以图象经过三，四，所以图象经过一三四象限，所以、D不正确.
故答案为：A.
【分析】首先令x=0，求得直线与y轴的交点坐标，可得出A正确；根据函数的增减性可得出B不正确；根据函数的增减性，通过计算可得出C不正确；根据函数图象的位置与系数的关系可得出D不正确，故而得出答案.
9．如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（　　）
A．当时，是菱形
B．当时，是菱形
C．当时，是矩形
D．当时，是正方形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、当时，可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意；
B、当时，可根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意；
C、当时，可根据“有一个角为直角的平行四边形是矩形”可判定是矩形，故不符合题意；
D、当时，可根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定是矩形，不能得到是正方形，说法错误，故符合题意；
故选D．
【分析】
根据对应的判定定理逐一排除错误选项，得到最终结果.
10．如图，动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的规律运动，则第2025次运动到点（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】 解：第1次从原点运动到点，
第2次运动到点，
第3次运动到点，
第4次从原点运动到点，
第5次运动到点，
第6运动到点，
……
按照这个规律总结可得：动点的运动每4次为一个循环周期，一个周期内点M的纵坐标按顺序为2、0、4、0，且每经过一次运动，点M的横坐标增加2；
因为，也就是第2025次运动对应一个周期内的第1次运动，纵坐标为2，横坐标为运动次数乘2；
因此，第次运动后到达点，即；
故答案为：D．
【分析】我们可以从已知点的坐标中得出，动点的运动每4次构成一个循环周期，每个周期内点M的纵坐标依次为2、0、4、0，并且每完成一次运动，点M的横坐标就会增加2，从而用2025除以4，余数是几就能找到第2025次运动对应一个周期内的第几次运动，从而确定出纵坐标，再用运动次数乘以2确定横坐标即可.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．五边形从某一个顶点出发可以引　 　条对角线．
【答案】2
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：从五边形的一个顶点出发有5﹣3＝2条对角线.
故答案为：2.
【分析】从n边形的一个顶点出发有（n-3）条对角线，代入计算即可.
12．如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后测出AC，BC的中点D，E，并测出DE的长约为18m，由此估测A，B之间的距离约　 　m．
【答案】36
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵、分别是、的中点，
∴是的中位线．
∴∴．
故答案为： 36 ．
【分析】由三角形的中位线等于第三边的一半可得出AB=2DE=36m.
13．在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为，即，
故答案为：．
【分析】根据点的坐标平移规则“横坐标，左移减右移加；纵坐标，上移加下移减”直接求解即可.
14．王老师对本班40个学生所穿校服尺码的数据统计如下：
尺码 S M L XL XXL XXL
频率 0.05 0.1 0.2 0.325 0.3 0.025
则该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有　 　个．
【答案】8
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：由表可知尺码L的频率的0.2，又因为班级总人数为40，
所以该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有40 0.2=8.
故答案是：8.
【分析】直接用尺码L的频率乘以班级总人数即可求出答案.
15．如图，的对角线、相交于点O，，若，则四边形的周长为　 　．
【答案】8
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=3，BD=5，
∴，
∵，
∴四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED的周长，
故答案为：．
【分析】由平行四边形的对角线互相平分得出OC=1.5，OD=2.5，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形OCED是平行四边形，进而根据平行四边形的周长等于两邻边和的2倍可求出答案.
16．座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背的长度为，当椅背与椅面的夹角从调节到时，人的头部支撑点向后水平推移了　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点，点分别作的垂线，分别与的延长线相交于点、点，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
即人的头部支撑点向后水平推移了．
故答案为：．
【分析】过点，点分别作的垂线，分别与的延长线相交于点、点，根据含30°角的直角三角形性质可得AM，AN，再根据边之间的关系即可求出答案.
17．周末时，达瓦在体育公园骑自行车锻炼身体，他匀速骑行了一段时间后停车休息，之后继续以原来的速度骑行．路程s（单位：千米）与时间t（单位：分钟）的关系如图所示，则图中的a＝　 　．
【答案】65
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由达瓦20分钟所走的路程为6千米，可得速度为6÷20=0.3（千米/分钟），
休息15分钟后又骑行了9千米所用时间为9÷0.3=30（分钟），
∴a=35+30=65．
故答案为：65．
【分析】
观察函数图象能够得到，达瓦一共用了20分钟走完6千米的路程，由此可以计算出他骑行的速度为620=0.3千米/分钟；另外从图象还能得到，达瓦在20分钟到35分钟这个时间段处于休息状态，计算出后续骑行完9千米路程所需要的时间就可以完成后续求解.
18．如图，已知四边形是边长为6的正方形，为延长线上一点，以为边，在直线上方作正方形，连接，取的中点，连接．若，则　 　 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接BF、DB，由正方形性质得出∠GBF=∠ABD=45°，BC=CD=6，由角的构成求出∠FBD=90°，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出MF=DM=BM，然后根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△FBM是等边三角形，由等边三角形三边相等得MF=BF，则DF=2BF，在Rt△BCD中利用勾股定理算出BD，再在Rt△BDF中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出BF的长，最后在Rt△BEF中，利用勾股定理算出BE即可.
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．已知y与x成正比例，且当时，．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当时，求y的值．
【答案】（1）解：∵y与x成正比例，
∴设，
∵当时，，
∴，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为，
（2）解： 把代入得．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的图象
【解析】【分析】（1）根据正比例函数的定义，利用待定系数法可确定y与x之间的函数关系式；
（2）把x=-3代入（1）所求的解析式中，求解可得y的值.
（1）∵y与x成正比例，
∴设，
∵当时，，
∴，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为，
（2）把代入得．
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
（1）在图中作出关于轴对称的；
（2）请直接写出的坐标：______；______；______．
【答案】（1）
（2），，
【知识点】点的坐标；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（2）依题意，，，．
故答案为：，，．
【分析】
（1）关于x轴对称的点的坐标特征（横坐标不变、纵坐标互为相反数），据此分别找出点，再连接成三角形．
（2）直接根据对称点的坐标特征写的坐标．
（1）解：依题意，如图所示：
（2）解：依题意，，，．
故答案为：，，．
21．某班体育课进行了一次体能测试，如图是反映该班测试成绩（得分为整数）的频数分布直方图．
（1）该班共有多少名学生参加了体能测试？
（2）若分以上为优秀，求该班这次测试的优秀率．
（3）从图中你还能获得哪些信息？（写出一条即可）
【答案】（1）解：（名），
答：该班共有名学生参加了体能测试；
（2）解：该班这次测试的优秀率为；
（3）解：∵得分为整数，该班测试成绩人数最多的是第三组，
∴各组中，测试成绩在～分的人数最多（答案不唯一）．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图；数形结合
【解析】【分析】（1）根据直方图提供的信息，将各分数段的人数相加即可得出答案；
（2）根据直方图提供的信息，用分以上人数除以总人数，再乘以100%即可得出答案；
（3）开放性命题，答案不唯一，根据直方图提供的信息，说的合理即可．
（1）解：（名），
答：该班共有名学生参加了体能测试；
（2）解：该班这次测试的优秀率为；
（3）解：∵得分为整数，该班测试成绩人数最多的是第三组，
∴各组中，测试成绩在～分的人数最多（答案不唯一）．
22．如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，，______ ．
请从“①，②，③”这三组条件中选1个作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形是矩形；
（2）在（1）的条件下，若，求的长．
【答案】（1）①或③
证明：选择①，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
选择②，
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
选择③，不能证明四边形是矩形，
（2）解：∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=3，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=6.
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）选择①，首先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得出四边形ABCD是平行四边形，然后根据“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”可得结论；选择②，首先根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出四边形ABCD是平行四边形，然后根据“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”可得结论；选择③，由一组对边平行，另一个组对边相等的四边形可能是等腰梯形可得不能一定判定四边形ABCD是平行四边形，
（2）根据含30°角直角三角形的性质得出AC=2AB=6，然后根据矩形对角线相等得BD=AC=6.
（1）解：选择①，
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
选择②，
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
选择③，不能证明四边形是矩形，
故答案为：①或②；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
（1）求的长；
（2）如图2，若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离．
【答案】（1）解：，．
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
答：的长为；
（2）解：如图2，，，，
故
由物体C升高，则此时，
在中，由勾股定理得：，
∴，
答：滑块B向左滑动的距离为．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）设，则，在Rt△ABC中，利用勾股定理列出方程，求解即可；
（2）结合（1）的结论先算出DE=6dm，由题意得此时AB=10+7=17dm，在Rt△ABD中，利用勾股定理算出BD的长，最后根据BE=BD-ED可算出答案.
（1）解：，．
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
答：的长为；
（2）如图2，，，，
故
由物体C升高，则此时，
在中，由勾股定理得：，
∴，
答：滑块B向左滑动的距离为．
24．在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点的“美好点”是．
（1）①点的“美好点“坐标是 _______ ；
②若点P的“美好点”为，则点P的坐标是 _______ ；
（2）若点的“美好点”在直线上，求a的值．
【答案】（1）①
②
（2）解∶ 点的“美好点”为，
把代入中得，
解得，
即a的值为．
【知识点】点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）解：①点的“美好点“坐标为（-3×2，2×2-1），即；
故答案为：；
②设P点坐标为，
由“美好点”定义得，，
解得，，
∴点P的坐标为；
故答案为：；
【分析】（1）①直接根据“美好点”的定义求解即可；
②设P点坐标为，再根据“美好点”的定义可得关于字母a、b的方程，然后解方程求出a、b，从而得到点P的坐标；
（2）先根据“美好点”的定义得到点的“美好点”为，然后根据直线上点的坐标特点，把代入直线y=3x-2得到关于字母a的方程，最后解关于a的方程即可．
（1）解：①点的“美好点“坐标为；
故答案为：；
②设P点坐标为，
根据题意得，，
解得，，
∴点P的坐标为；
故答案为：；
（2）解∶ 点的“美好点”为，
把代入中得，
解得，
即a的值为．
25．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在中，已知，平行四边形的面积为．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为．
（1）如图1，若点恰好落在上时．
①若，则_______ （用含的式子表示）；
②求证：四边形为菱形；
（2）如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长．
【答案】（1）①
②证明：由折叠的性质，可得：，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形为菱形．
（2）解：如图，延长AB'交CD于点H，
由折叠的性质，可得：，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在中，
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）①解：由折叠的性质，可得：，
，
，
．
故答案为：；
【分析】（1）①根据折叠的性质得∠AEB=∠AEB'=，然后根据平角的定义即可求解；
②由折叠的性质得AB=AB'，BE=B'E，∠BAE=∠B'AE，由平行四边形的对边平行得AB'∥BE，由二直线平行，内错角相等得∠B'AE=∠AEB=∠BAE，由等角对等边得出AB=BE=EB'=AB'，从而根据四边相等的四边形是菱形可得结论；
（2） 延长AB'交CD于点H，由折叠的性质得∠BAE=∠B'AE=45°，AB=AB'=10，由等边对等角及三角形内角和定理得∠ AB'B=45°；由平行四边形的性质得AB∥CD，AB=CD=10，由二直线平行，内错角相等得∠AHD=∠BAB'=90°，∠B'GH=∠ABB'=45°，由三角形内角和定理及等角对等边得出B'H=HG；根据平行四边形的面积等于底乘以高求出AH=12，进而根据线段和差求出B'H=2，在Rt△B'HG中，利用勾股定理算出B'G即可.
（1）①解：由折叠的性质，可得：，
，
，
．
故答案为：；
②证明：由折叠的性质，可得：，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形为菱形．
（2）解：如图，延长交于点，
由折叠的性质，可得：，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在中，．
26．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴和y轴于A，B两点，点A坐标为，点B坐标为．点在直线上．
（1）求直线的表达式；
（2）点D是x轴上的一个动点，当时，求点D坐标；
（3）如图2，点E坐标为，连接，在直线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设直线的表达式为，
把，代入得：，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：把代入得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴D的坐标为或；
（3）解：在直线上存在一点P，使得，理由如下：
分以下两种情况讨论：
当P在下方时，过C作于H，过H作轴，过C作于M，过E作于N，如图：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
∵，，
∴，
解得，
∴，
由，可得直线解析式为，
联立，
解得，
∴；
当P在上方时，过C作于H，过H作轴，过C作于M，过E作于N，如图：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
∵，，
∴，
解得，
∴，
由，可得直线解析式为，
联立，
解得，
∴；
同理可得，
综上所述，P的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）用待定系数法求出直线AB的表达式即可；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特点，将点C(-2，m)代入直线AB的解析式算出m的值，从而可得点C的坐标；根据三角形面积公式及S△AOB=S△ACE列出方程，求解算出AD的长，从而即可得到点D的坐标；
（3）分两种情况：当P在CE下方时，过C作CH⊥PE于H，过H作MN∥y轴，过C作CM⊥MN于M，过E作EN⊥MN于N，易得△CEH是等腰直角三角形，则CH=EH，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得 ∠ CHM= ∠ HEN，从而用“AAS”判断出△CHM≌△HEN，由全等三角形的对应边相等得CM=HN，MH=EN，设，根据两点间的距离公式可得，求解的粗m、n的值，从而，利用待定系数法求出直线PE的解析式，连着直线PE与直线AB的解析式，求解即可得出点P的坐标；当P在CE上方时，同理可求点P的坐标，综上可得答案.
（1）解：设直线的表达式为，
把，代入得：，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：把代入得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴D的坐标为或；
（3）解：在直线上存在一点P，使得，理由如下：
分以下两种情况讨论：
当P在下方时，过C作于H，过H作轴，过C作于M，过E作于N，如图：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
∵，，
∴，
解得，
∴，
由，可得直线解析式为，
联立，
解得，
∴；
当P在上方时，过C作于H，过H作轴，过C作于M，过E作于N，如图：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
∵，，
∴，
解得，
∴，
由，可得直线解析式为，
联立，
解得，
∴；
同理可得，
综上所述，P的坐标为或．
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