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湖南省岳阳市汨罗市2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷
一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分．在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）
1．下面四幅图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． 科克曲
B． 笛卡尔心形线
C． 赵爽弦图
D． 斐波那契螺旋线
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项B符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】在平面内，沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．
2．“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是，
故答案为：D．
【分析】本题考查了频数与频率，利用了频率公式 ： 频率=频数÷数据总和， 用单词“”中字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案．
3．下列命题错误的是（　　）.
A．平行四边形的对边相等
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．矩形的对角线相等
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】平行四边形的性质有平行四边形的对边相等，故A选项错误；平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项错误；对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项正确；矩形的性质有矩形的对角线相等，故D选项错误；故选C．
【分析】根据平行四边形的性质即可判断A；根据平行四边形的判定即可判断B；根据矩形的判定即可判断C；根据矩形的性质即可判断D．
4．关于直线，下列说法正确的是（　　）
A．直线与轴的交点为 B．直线经过第二、三、四象限
C．随的增大而增大 D．点在直线l上
【答案】B
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、直线y=-2x-3中，当时，，
∴直线l与y轴的交点为，故该选项说法错误，不符合题意；
B、直线y=-2x-3中，，直线经过第二、三、四象限正确，故该选项说法正确，符合题意；
C、直线y=-2x-3中，，随的增大而减小，故该选项说法错误，不符合题意；
D、直线y=-2x-3中，当时，，点不在直线l上，选项说法错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特点，将x=0与x=2分别代入y=-2x-3算出对应的函数值，可判断A、D选项；由一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)中，当k＞0时，函数值y随x值的增大而增大，当k＜0时，函数值y随x值的增大而减小，据此可判断C选项；由一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)图象与系数的关系得当k＜0，且b＜0时，图象经过第二、三、四象限，可判断B选项.
5．如图，在中，，，是边的中点，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，推导出是等腰三角形，从而建立角之间的数量关系.
6．某班将安全知识竞赛成绩整理后绘制成如图所示的频数分布直方图（每组不包括最小值，包括最大值，也没有满分），图中从左至右前四组的频数占总人数的百分比分别为，，，，且第五组的频数是8，下列结论不正确的是（　　）
A．第五组的频率为
B．该班有50名同学参赛
C．分的同学有22名
D．80分以上的同学记为优秀，则这个班的优秀率为
【答案】C
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：的百分比是，的百分比是，的百分比是，的百分比是，
∴的百分比是，即第五组的频率为0.16，A选项正确，不符合题意；
∵的频数是，百分比是，
∴该班参加竞赛的人数为：名，B选项正确，不符合题意；
∵的百分比是，
∴70~80分的人数为：名，C选项不正确，符合题意；
分以上的学生有名名，则这个班的优秀率为，D选项正确，不符号题意．
故答案为：C．
【分析】根据五个组的百分比之和等于1，故已知其中前四个组的百分比，即可求出第五组的百分比，从而可判断A选项；用第五组的频数除以其所占即可得到该班参加竞赛的人数，从而可判断B选项；用成绩70~80分的人数所占百分比乘以该班参赛的总人数即可得到成绩为70~80分的人数，从而可判断C选项；用成绩在80分以上的人数除以该班参赛的总人数，再乘以100%可得优秀率，从而可判断D选项.
7．为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点B作垂直底面于点D，
，
，
点O为跷跷板的中点，
是的中位线，
，
，
故答案为：B．
【分析】 过点B作BD垂直底面于点D，由同一平面垂直同一直线的两条直线互相平行得出BD∥OC，然后根据过三角形一边中点且平行于第三边的直线一定平分第三边得出点C为AD的中点，然后根据三角形中位线等于第三边的一半得出BD=2OC=1m.
8．已知轴，，且，则点的坐标为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；分类讨论
【解析】【解答】解：由题知，因为点P(2，1)，PQ平行x轴，
所以点Q的纵坐标为1，
又因为PQ=3，
所以点Q与点P的横坐标距离为3，
分两种情况计算点Q的横坐标：
点Q在点P左侧时，横坐标为2-3=-1；点Q在点P右侧时，横坐标为2+3=5，
因此点Q的坐标为(-1，1)或(5，1)．
故答案为：D．
【分析】利用“平行于x轴的直线上点的纵坐标相等”可得点点Q的纵坐标为1，然后分点Q在点P左侧时，点Q在点P右侧时，结合线段长度计算点Q横坐标即可求解.
9．如图，已知菱形的周长为40，对角线，则菱形的面积为（　　）
A．24 B．48 C．96 D．192
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为40，对角线AC=12，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由菱形的四边相等几何周长可求出AB=10，由菱形的对角线互相垂直平分得OA=AC=6，BD=2OB，AC⊥BD，在Rt△AOB中，利用勾股定理算出OB，从而得到BD的长，最后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半可得答案.
10．如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点E，若，则的长为（　　）
A．10 B． C． D．5
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，AB=4
，，，
，，
的平分线和的平分线交于上一点
，
，，
，
故答案为：B．
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得AB∥CD，AD∥BC，AB=CD=4，AD=BC，由平行线性质得∠DAE=∠AEB，∠ADE=∠CED，∠BAD+∠ADC=180°，结合角平分线的定义可得∠BAE=∠AEB，∠CDE=∠CED，∠EAD=∠BAD，∠EDA=∠ADC，由等角对等边得出BE=AB=4，CD=CE=4，则AD=BC=BE+CE=8，∠EAD+∠EDA=90°，由三角形内角和定理得∠AED=90°，从而在Rt△AED中，利用勾股定理算出ED即可.
二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分）
11．若点向下平移3个单位，则它的像坐标为　 　．
【答案】(-1，-1)
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点向下平移3个单位，则它的像A'坐标为，即．
故答案为：(-1，-1)．
【分析】由点的坐标平移规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”直接求解即可.
12．如图是某公园的一滑梯侧面图，已知，滑梯架的高为，则滑梯长为　 　．
【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：根据题意，，
∴在中，，
∴，
故答案为：6 ．
【分析】根据含角的直角三角形的性质可得，由此即可求解含角的直角三角形的性质，
13．如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A、B两点的坐标分别为，则叶杆“底部”点C的坐标为　 　．
【答案】(4，-1)
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：如图所示，
∴，
故答案为：(4，-1)．
【分析】利用方格纸的特点及点A的坐标，以点A下方4个单位长度处的点作为坐标原点，以过这点的水平直线与竖直直线作为x轴与y轴，向右及向上的方向作为正方向，一个小方格的边长作为单位长度1建立出平面直角坐标系，然后再根据点C在坐标平面内的位置写出其坐标即可.
14．已知一次函数，如果，则的值是　 　．
【答案】15
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：∵且，
∴，
∴，
故答案为：15．
【分析】此题实质就是告知当x=a时，对应的函数值为2，故把f(a)=2代入一次函数，求解即可.
15．若一次函数的图象过点，则　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象过点，
∴把代入得到，
∴，
故答案为：．
【分析】
先将点坐标代入一次函数解析式，可以得到关系式，再将这个关系式整理后整体代入待求式计算，就可以得到结果.
16．将一次函数（b为常数）的图象向下平移3个单位后，经过点，则b的值为　 　．
【答案】5
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据直线的平移规律：平移后的直线为，
再将点代入，
得，
解得，
故答案为：5．
【分析】根据一次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得出平移后直线解析式为y=-x+b-3，然后将点(2，0)代入算出b的值即可.
17．如图，正方形的边长为12，点E，F分别在边，上，且，连接，和，与相交于点O，点H为的中点，连接，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点H为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由正方形的性质得∠BAE=∠D=90°，AB=AD=CD=BC=12，然后根据线段构成及等式性质推出AE=DF，然后利用“SAS”证△ABE≌△DAF，由全等三角形的对应角相等得∠ABE=∠DAF，由直角三角形两锐角互余及等量代换推出∠DAF+∠BEA=90°，由三角形内角和定理得出∠AOE=∠BOF=90°，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可知，最后利用勾股定理算出BF即可得出答案.
18．如图，一次函数的图象经过正方形的顶点和，则正方形的面积为　 　．
【答案】10
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
设点，
，，
，，
，
一次函数的图象经过正方形的顶点和，
，解得：，
，
，
正方形的面积为，
故答案为：．
【分析】
过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点，结合正方形OABC的性质可以证明。设点，结合全等三角形对应边相等，即可得到点，再把点A和点C的坐标代入一次函数解析式，求出、的值后，进一步求出的长，即可得到最终结果.
三、解答题（本大题共8道小题，满分66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少，求：这个多边形是几边形？
【答案】解：设这个多边形的边数为，
由题意可得：，
解得：，
答：这个多边形是九边形
【知识点】多边形内角与外角；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设这个多边形的边数为n，则该多边形内角和为(n-2)×180°，由于任何多边形的外角和都等于360°，故结合“ 多边形的内角和比它的外角和的4倍少180°”列出一元一次方程，求解即可得出答案.
20．如图，四边形对角线，交于点．，，请你添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形（只填一种情况即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：添加条件：，理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】开放性命题，答案不唯一；添加OA=OC，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形.
21．为了解某校全体学生在校午餐所用时间，调查了若干名学生在校午餐所用时间（用x表示，单位：分钟），将数据进行统计后得到如下不完整的频数分布表和如图1，图2所示两幅不完整的统计图，已知D，E两组人数相同．
组别 A B C D E
午餐所用时间
人数（频数） 4 8
（1）此次调查的样本容量为______；
（2）补全频数分布表和频数分布直方图；
（3）求“D”对应的扇形圆心角的度数；
（4）在既考虑学生午餐用时需求，又考虑食堂尽量缩短供餐时间的情况下，你认为多少分钟作为午餐时间为宜？请说明理由．
【答案】（1）40
（2）解：C组的人数为（人）
∴D组和E组的人数和为（人）
∵D，E两组人数相同
∴D组和E组的人数都是2人
∴补全频数分布表如下：
组别 A B C D E
午餐所用时间
人数（频数） 4 8 24 2 2
补全频数分布直方图如下：
（3）解：“D”对应的扇形圆心角的度数为；
（4）解： 20分钟合适；因为样本中有36人能在20分钟内完成用餐，占比，所以可以鼓励20分钟没有完成用餐的同学适当加快用餐速度，有利于食堂缩短供餐时间.
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）样本容量为；
故答案为：40；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用B组的人数除以其所占百分比即可求出调查的学生总人数，从而得出此次调查的样本容量 ；
（2）用本次调查的总人数乘以C组所占的百分比即可求出C组的频数，根据各组频数之和等于本次调查的总人数可求出D组和E组的人数和，再结合D，E两组人数相同即可求出D、E两组的人数，从而补全频数分布表及直方图；
（3）用360°乘以D组所占百分比即可求出“D”对应的扇形圆心角的度数；
（4）开放性命题，答案不唯一，根据统计图表提供的信息，说的合理就行.
（1）样本容量为；
（2）C组的人数为（人）
∴D组和E组的人数和为（人）
∵D，E两组人数相同
∴D组和E组的人数都是2人
∴补全频数分布表如下：
组别 A B C D E
午餐所用时间
人数（频数） 4 8 24 2 2
补全频数分布直方图如下：
（3）“D”对应的扇形圆心角的度数为；
（4）20分钟合适；（答案和理由合理即可）
理由：样本中有36人能在20分钟内完成用餐，占比，可以鼓励20分钟没有完成用餐的同学适当加快用餐速度，有利于食堂缩短供餐时间．
22．如图，一次函数与的图象相交于点．
（1）求点的坐标；
（2）若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积；
【答案】（1）解：联立两函数解析式得，
解得：，
∴点A的坐标为（1， 3）；
（2）解： 当y1＝0时，即 x 2＝0，解得：x＝ 2，
∴B（ 2，0），
当y2＝0时，即x 4＝0，解得：x＝4，
∴C（4，0），
∴CB＝6，
∴△ABC的面积为：×6×3＝9．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1) 点A是两个函数图象的交点，因此将两个函数的解析式联立得到方程组，求解方程组就能得到点A的坐标；
(2) 先根据给出的条件，分别求出点B和点C的坐标，得到BC的长度以及点A到BC边的高，再利用三角形面积公式即可计算出△ABC的面积.
（1）解：联立两函数解析式得，
解得：，
∴点A的坐标为（1， 3）；
（2）当y1＝0时，即 x 2＝0，解得：x＝ 2，
∴B（ 2，0），
当y2＝0时，即x 4＝0，解得：x＝4，
∴C（4，0），
∴CB＝6，
∴△ABC的面积为：×6×3＝9．
23．据中国地震台网测定，2025年3月28日在缅甸发生7.9级地震．中国救援队紧急集结赴缅甸开展地震救援．某救援队利用无人机勘测灾情，从地面升起一架无人机，匀速上升，上升到处，悬停拍照，又匀速下降到处，悬停拍照，然后匀速返回地面，无人机的高度和时间的函数图象如图所示．
（1）填空：无人机上升时的速度是________，________；
（2）求段的函数表达式；
（3）无人机从地面升起到回到地面共用时多长时间？
【答案】（1）8；17
（2）解：设直线为，
将，代入，
得，
解得，
；
（3）解：令，即，
．
答：无人机从地面升起到回到地面共用时20.2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：无人机上升时的速度是_，，
故答案为：8；17；
【分析】（1）根据图象提供的信息，可得无人机用时7分钟上升到56米处，从而根据速度等于路程除以时间可求出无人机上升时的速度；由图象可得无人机下降到距离地面32米处时，总用时14分钟，CD段无人机的高度没有变化，应该是悬停3分钟拍照，从而可得n=14+3=17；
（2）根据点D（17，32），M（18，22），用待定系数法即可求出DE段的函数解析式；
（3）令（2）中所求表达式y=0，算出对应自变量x的值，即可得到答案.
（1）解：无人机上升时的速度是_，，
故答案为：8；17；
（2）解：设直线为，
将，代入，
得，
解得，
；
（3）解：令，即，
．
答：无人机从地面升起到回到地面共用时20.2．
24．一文具店购进甲、乙两种品牌的书包共80个，其进价与售价情况如下表所示：
　 甲品牌 乙品牌
进价（元/件） 60 56
售价（元/件） 80 72
设购进甲品牌书包个，销售完这80个书包所获得的总利润是元．
（1）求与的函数关系式；
（2）该文具店是否会获得利润1406元？说明理由；
（3）若该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的一半，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）解：，
与的函数关系式为．

（2）解：该文具店不会获得利润1406元．理由如下：
当时，得，
解得．
为整数，
该文具店不会获得利润1406元．
（3）解：该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的一半，
．
．
在中，随的增大而增大，
为整数，
当时，该文具店获得利润最大，最大利润为1384元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润和单件利润的数量关系，推导得到y与x的函数解析式；
（2）当时，可以得到一个关于x的一元一次方程，求解得到x后再结合条件判断结果是否符合要求即可；
（3）题目给出条件“甲品牌书包的购进数量不超过乙品牌书包数量的一半”，根据这个条件可以列出不等式得到x的取值范围，最后结合一次函数的增减性就可以求出最大利润，得到对应的进货方案.
（1）解：，
与的函数关系式为．
（2）解：该文具店不会获得利润1406元．理由如下：
当时，得，
解得．
为整数，
该文具店不会获得利润1406元．
（3）解：该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的一半，
．
．
在中，随的增大而增大，
为整数，
当时，该文具店获得利润最大，最大利润为1384元．
25．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
（1）如图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为c的小正方形，请借助图1来验证勾股定理．证明：由等面积法知：
∴_____；
∴_____，得证．
（2）应用勾股定理
①应用一：在数轴上画出表示无理数的点
如图2，在数轴上找出表示2的点G，过点G作直线l垂直于数轴，在l上取点F，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点E表示的数是_____；
②应用二：最短路径问题
如图3，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是_____；
③应用三：解决实际问题．
如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
【答案】（1），
（2）①
②
解：③∵，，
∴．
设秋千的绳索长为，根据题意可得，
利用勾股定理可得．
解得：．
答：绳索的长为．
【知识点】勾股定理；勾股定理的证明；勾股定理的实际应用-最短路径问题；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】（1）证明：由等面积法知：S大正方形=S小正方形+4S直角三角形，
∴，
∴，得证．
故答案为：，；
（2）解：①在中，
∵，
∴，
∴点E表示的数是，
故答案为：；
②连接，
∵圆柱的底面半径为，
∴，
在中，，
，
即蚂蚁爬行的最短路径长为．
故答案为：；
【分析】（1）由S大正方形=S小正方形+4S直角三角形，结合正方形及直角三角形面积公式，列出等式，然后再整理即可得出勾股定理的结论；
（2）①首先在Rt△OFG中，根据勾股定理求出OF=，根据同圆半径相等得出OE=OF=，进而根据数轴上的点所表示数的特点即可得出点E所表示的书；
②首先将圆柱侧面沿过点A的高展开，连接AB，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，底面圆的周长，再在Rt△ABC中利用勾股定理算出AB的长即可；
③设秋千的绳索长为，根据题意可得，在Rt△ADC中，利用勾股定理建立方程，求解即可得到答案．
（1）证明：由等面积法知：
∴，
∴，得证．
故答案为：，；
（2）解：①在中，
∵，
∴，
∴点E表示的数是，
故答案为：；
②连接，
∵圆柱的底面半径为，
∴，
在中，，
，
即蚂蚁爬行的最短路径长为．
故答案为：；
③∵，，
∴．
设秋千的绳索长为，根据题意可得，
利用勾股定理可得．
解得：．
答：绳索的长为．
26．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）用三角板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______．（填写序号）
（2）如图⑤，已知矩形，延长至点E，使，过点E作交延长线于点F．请你判断四边形是否为邻等对补四边形，并说明理由．
（3）如图⑥，在中，，，，，N为上一点，且四边形是邻等对补四边形，连接，则的长为______．
【答案】（1）②④
（2）解：四边形是邻等对补四边形，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是邻等对补四边形；
（3）
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（1）解：观察可知，图①既不存在一组邻边相等，也不存在对角互补，所以不是邻等对补四边形；图③虽然存在一组邻边相等，但不存在对角互补，所以不是邻等对补四边形；
图②和图④存在对角互补且邻边相等，所以②和④是邻等对补四边形；
故答案为：②④；
（3）解：如图，在中，，
∴．
根据勾股定理，得．
∵，
∴，
∴．
∵四边形是邻等对补四边形，则，
∴，
∴．
过点N作，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）根据三角板的特征和邻等对补四边形的定义逐个判断即可；
（2）先根据矩形的性质得到，再根据垂直定义、直角三角形两锐角互余及同角的补角相等得到，从而“ASA”证明△ADE≌△ECF，由全等三角形的对应边相等可得AE=EF，然后根据邻等对补四边形的定义解答；
（3）首先根据含30°角直角三角形的性质求出AB=4，然后利用勾股定理算出BC，再结合已知，根据线段和差求出CM，然后根据邻等对补四边形定义，结合∠ABC=90°可求出∠ANM=∠CNM=90°，再根据含30°角直角三角形的性质求出MN，接下来根据勾股定理求出CN；过点N作NH⊥CM于点H，根据含30°角直角三角形的性质求出NH、MH，由线段和差求出BH，最后在Rt△BHN中，利用勾股定理算出BN即可.
（1）解：观察可知，图①和图③不存在对角互补，所以不符合题意；图②和图④存在对角互补且邻边相等，所以②和④是邻等对补四边形；
故答案为：②④；
（2）解：四边形是邻等对补四边形，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是邻等对补四边形；
（3）解：如图，在中，，
∴．
根据勾股定理，得．
∵，
∴，
∴．
∵四边形是邻等对补四边形，则，
∴，
∴．
过点N作，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
1 / 1湖南省岳阳市汨罗市2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷
一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分．在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）
1．下面四幅图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． 科克曲
B． 笛卡尔心形线
C． 赵爽弦图
D． 斐波那契螺旋线
2．“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是（　　）
A． B． C． D．
3．下列命题错误的是（　　）.
A．平行四边形的对边相等
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．矩形的对角线相等
4．关于直线，下列说法正确的是（　　）
A．直线与轴的交点为 B．直线经过第二、三、四象限
C．随的增大而增大 D．点在直线l上
5．如图，在中，，，是边的中点，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．某班将安全知识竞赛成绩整理后绘制成如图所示的频数分布直方图（每组不包括最小值，包括最大值，也没有满分），图中从左至右前四组的频数占总人数的百分比分别为，，，，且第五组的频数是8，下列结论不正确的是（　　）
A．第五组的频率为
B．该班有50名同学参赛
C．分的同学有22名
D．80分以上的同学记为优秀，则这个班的优秀率为
7．为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（　　）
A． B． C． D．
8．已知轴，，且，则点的坐标为（　　）
A． B． C．或 D．或
9．如图，已知菱形的周长为40，对角线，则菱形的面积为（　　）
A．24 B．48 C．96 D．192
10．如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点E，若，则的长为（　　）
A．10 B． C． D．5
二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分）
11．若点向下平移3个单位，则它的像坐标为　 　．
12．如图是某公园的一滑梯侧面图，已知，滑梯架的高为，则滑梯长为　 　．
13．如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A、B两点的坐标分别为，则叶杆“底部”点C的坐标为　 　．
14．已知一次函数，如果，则的值是　 　．
15．若一次函数的图象过点，则　 　．
16．将一次函数（b为常数）的图象向下平移3个单位后，经过点，则b的值为　 　．
17．如图，正方形的边长为12，点E，F分别在边，上，且，连接，和，与相交于点O，点H为的中点，连接，则的长为　 　．
18．如图，一次函数的图象经过正方形的顶点和，则正方形的面积为　 　．
三、解答题（本大题共8道小题，满分66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少，求：这个多边形是几边形？
20．如图，四边形对角线，交于点．，，请你添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形（只填一种情况即可）．
21．为了解某校全体学生在校午餐所用时间，调查了若干名学生在校午餐所用时间（用x表示，单位：分钟），将数据进行统计后得到如下不完整的频数分布表和如图1，图2所示两幅不完整的统计图，已知D，E两组人数相同．
组别 A B C D E
午餐所用时间
人数（频数） 4 8
（1）此次调查的样本容量为______；
（2）补全频数分布表和频数分布直方图；
（3）求“D”对应的扇形圆心角的度数；
（4）在既考虑学生午餐用时需求，又考虑食堂尽量缩短供餐时间的情况下，你认为多少分钟作为午餐时间为宜？请说明理由．
22．如图，一次函数与的图象相交于点．
（1）求点的坐标；
（2）若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积；
23．据中国地震台网测定，2025年3月28日在缅甸发生7.9级地震．中国救援队紧急集结赴缅甸开展地震救援．某救援队利用无人机勘测灾情，从地面升起一架无人机，匀速上升，上升到处，悬停拍照，又匀速下降到处，悬停拍照，然后匀速返回地面，无人机的高度和时间的函数图象如图所示．
（1）填空：无人机上升时的速度是________，________；
（2）求段的函数表达式；
（3）无人机从地面升起到回到地面共用时多长时间？
24．一文具店购进甲、乙两种品牌的书包共80个，其进价与售价情况如下表所示：
　 甲品牌 乙品牌
进价（元/件） 60 56
售价（元/件） 80 72
设购进甲品牌书包个，销售完这80个书包所获得的总利润是元．
（1）求与的函数关系式；
（2）该文具店是否会获得利润1406元？说明理由；
（3）若该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的一半，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？
25．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
（1）如图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为c的小正方形，请借助图1来验证勾股定理．证明：由等面积法知：
∴_____；
∴_____，得证．
（2）应用勾股定理
①应用一：在数轴上画出表示无理数的点
如图2，在数轴上找出表示2的点G，过点G作直线l垂直于数轴，在l上取点F，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点E表示的数是_____；
②应用二：最短路径问题
如图3，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是_____；
③应用三：解决实际问题．
如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
26．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）用三角板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______．（填写序号）
（2）如图⑤，已知矩形，延长至点E，使，过点E作交延长线于点F．请你判断四边形是否为邻等对补四边形，并说明理由．
（3）如图⑥，在中，，，，，N为上一点，且四边形是邻等对补四边形，连接，则的长为______．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项B符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】在平面内，沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．
2．【答案】D
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是，
故答案为：D．
【分析】本题考查了频数与频率，利用了频率公式 ： 频率=频数÷数据总和， 用单词“”中字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案．
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】平行四边形的性质有平行四边形的对边相等，故A选项错误；平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项错误；对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项正确；矩形的性质有矩形的对角线相等，故D选项错误；故选C．
【分析】根据平行四边形的性质即可判断A；根据平行四边形的判定即可判断B；根据矩形的判定即可判断C；根据矩形的性质即可判断D．
4．【答案】B
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、直线y=-2x-3中，当时，，
∴直线l与y轴的交点为，故该选项说法错误，不符合题意；
B、直线y=-2x-3中，，直线经过第二、三、四象限正确，故该选项说法正确，符合题意；
C、直线y=-2x-3中，，随的增大而减小，故该选项说法错误，不符合题意；
D、直线y=-2x-3中，当时，，点不在直线l上，选项说法错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特点，将x=0与x=2分别代入y=-2x-3算出对应的函数值，可判断A、D选项；由一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)中，当k＞0时，函数值y随x值的增大而增大，当k＜0时，函数值y随x值的增大而减小，据此可判断C选项；由一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)图象与系数的关系得当k＜0，且b＜0时，图象经过第二、三、四象限，可判断B选项.
5．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，推导出是等腰三角形，从而建立角之间的数量关系.
6．【答案】C
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：的百分比是，的百分比是，的百分比是，的百分比是，
∴的百分比是，即第五组的频率为0.16，A选项正确，不符合题意；
∵的频数是，百分比是，
∴该班参加竞赛的人数为：名，B选项正确，不符合题意；
∵的百分比是，
∴70~80分的人数为：名，C选项不正确，符合题意；
分以上的学生有名名，则这个班的优秀率为，D选项正确，不符号题意．
故答案为：C．
【分析】根据五个组的百分比之和等于1，故已知其中前四个组的百分比，即可求出第五组的百分比，从而可判断A选项；用第五组的频数除以其所占即可得到该班参加竞赛的人数，从而可判断B选项；用成绩70~80分的人数所占百分比乘以该班参赛的总人数即可得到成绩为70~80分的人数，从而可判断C选项；用成绩在80分以上的人数除以该班参赛的总人数，再乘以100%可得优秀率，从而可判断D选项.
7．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点B作垂直底面于点D，
，
，
点O为跷跷板的中点，
是的中位线，
，
，
故答案为：B．
【分析】 过点B作BD垂直底面于点D，由同一平面垂直同一直线的两条直线互相平行得出BD∥OC，然后根据过三角形一边中点且平行于第三边的直线一定平分第三边得出点C为AD的中点，然后根据三角形中位线等于第三边的一半得出BD=2OC=1m.
8．【答案】D
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；分类讨论
【解析】【解答】解：由题知，因为点P(2，1)，PQ平行x轴，
所以点Q的纵坐标为1，
又因为PQ=3，
所以点Q与点P的横坐标距离为3，
分两种情况计算点Q的横坐标：
点Q在点P左侧时，横坐标为2-3=-1；点Q在点P右侧时，横坐标为2+3=5，
因此点Q的坐标为(-1，1)或(5，1)．
故答案为：D．
【分析】利用“平行于x轴的直线上点的纵坐标相等”可得点点Q的纵坐标为1，然后分点Q在点P左侧时，点Q在点P右侧时，结合线段长度计算点Q横坐标即可求解.
9．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为40，对角线AC=12，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由菱形的四边相等几何周长可求出AB=10，由菱形的对角线互相垂直平分得OA=AC=6，BD=2OB，AC⊥BD，在Rt△AOB中，利用勾股定理算出OB，从而得到BD的长，最后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半可得答案.
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，AB=4
，，，
，，
的平分线和的平分线交于上一点
，
，，
，
故答案为：B．
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得AB∥CD，AD∥BC，AB=CD=4，AD=BC，由平行线性质得∠DAE=∠AEB，∠ADE=∠CED，∠BAD+∠ADC=180°，结合角平分线的定义可得∠BAE=∠AEB，∠CDE=∠CED，∠EAD=∠BAD，∠EDA=∠ADC，由等角对等边得出BE=AB=4，CD=CE=4，则AD=BC=BE+CE=8，∠EAD+∠EDA=90°，由三角形内角和定理得∠AED=90°，从而在Rt△AED中，利用勾股定理算出ED即可.
11．【答案】(-1，-1)
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点向下平移3个单位，则它的像A'坐标为，即．
故答案为：(-1，-1)．
【分析】由点的坐标平移规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”直接求解即可.
12．【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：根据题意，，
∴在中，，
∴，
故答案为：6 ．
【分析】根据含角的直角三角形的性质可得，由此即可求解含角的直角三角形的性质，
13．【答案】(4，-1)
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：如图所示，
∴，
故答案为：(4，-1)．
【分析】利用方格纸的特点及点A的坐标，以点A下方4个单位长度处的点作为坐标原点，以过这点的水平直线与竖直直线作为x轴与y轴，向右及向上的方向作为正方向，一个小方格的边长作为单位长度1建立出平面直角坐标系，然后再根据点C在坐标平面内的位置写出其坐标即可.
14．【答案】15
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：∵且，
∴，
∴，
故答案为：15．
【分析】此题实质就是告知当x=a时，对应的函数值为2，故把f(a)=2代入一次函数，求解即可.
15．【答案】
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象过点，
∴把代入得到，
∴，
故答案为：．
【分析】
先将点坐标代入一次函数解析式，可以得到关系式，再将这个关系式整理后整体代入待求式计算，就可以得到结果.
16．【答案】5
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据直线的平移规律：平移后的直线为，
再将点代入，
得，
解得，
故答案为：5．
【分析】根据一次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得出平移后直线解析式为y=-x+b-3，然后将点(2，0)代入算出b的值即可.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点H为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由正方形的性质得∠BAE=∠D=90°，AB=AD=CD=BC=12，然后根据线段构成及等式性质推出AE=DF，然后利用“SAS”证△ABE≌△DAF，由全等三角形的对应角相等得∠ABE=∠DAF，由直角三角形两锐角互余及等量代换推出∠DAF+∠BEA=90°，由三角形内角和定理得出∠AOE=∠BOF=90°，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可知，最后利用勾股定理算出BF即可得出答案.
18．【答案】10
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
设点，
，，
，，
，
一次函数的图象经过正方形的顶点和，
，解得：，
，
，
正方形的面积为，
故答案为：．
【分析】
过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点，结合正方形OABC的性质可以证明。设点，结合全等三角形对应边相等，即可得到点，再把点A和点C的坐标代入一次函数解析式，求出、的值后，进一步求出的长，即可得到最终结果.
19．【答案】解：设这个多边形的边数为，
由题意可得：，
解得：，
答：这个多边形是九边形
【知识点】多边形内角与外角；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设这个多边形的边数为n，则该多边形内角和为(n-2)×180°，由于任何多边形的外角和都等于360°，故结合“ 多边形的内角和比它的外角和的4倍少180°”列出一元一次方程，求解即可得出答案.
20．【答案】（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：添加条件：，理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】开放性命题，答案不唯一；添加OA=OC，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形.
21．【答案】（1）40
（2）解：C组的人数为（人）
∴D组和E组的人数和为（人）
∵D，E两组人数相同
∴D组和E组的人数都是2人
∴补全频数分布表如下：
组别 A B C D E
午餐所用时间
人数（频数） 4 8 24 2 2
补全频数分布直方图如下：
（3）解：“D”对应的扇形圆心角的度数为；
（4）解： 20分钟合适；因为样本中有36人能在20分钟内完成用餐，占比，所以可以鼓励20分钟没有完成用餐的同学适当加快用餐速度，有利于食堂缩短供餐时间.
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）样本容量为；
故答案为：40；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用B组的人数除以其所占百分比即可求出调查的学生总人数，从而得出此次调查的样本容量 ；
（2）用本次调查的总人数乘以C组所占的百分比即可求出C组的频数，根据各组频数之和等于本次调查的总人数可求出D组和E组的人数和，再结合D，E两组人数相同即可求出D、E两组的人数，从而补全频数分布表及直方图；
（3）用360°乘以D组所占百分比即可求出“D”对应的扇形圆心角的度数；
（4）开放性命题，答案不唯一，根据统计图表提供的信息，说的合理就行.
（1）样本容量为；
（2）C组的人数为（人）
∴D组和E组的人数和为（人）
∵D，E两组人数相同
∴D组和E组的人数都是2人
∴补全频数分布表如下：
组别 A B C D E
午餐所用时间
人数（频数） 4 8 24 2 2
补全频数分布直方图如下：
（3）“D”对应的扇形圆心角的度数为；
（4）20分钟合适；（答案和理由合理即可）
理由：样本中有36人能在20分钟内完成用餐，占比，可以鼓励20分钟没有完成用餐的同学适当加快用餐速度，有利于食堂缩短供餐时间．
22．【答案】（1）解：联立两函数解析式得，
解得：，
∴点A的坐标为（1， 3）；
（2）解： 当y1＝0时，即 x 2＝0，解得：x＝ 2，
∴B（ 2，0），
当y2＝0时，即x 4＝0，解得：x＝4，
∴C（4，0），
∴CB＝6，
∴△ABC的面积为：×6×3＝9．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1) 点A是两个函数图象的交点，因此将两个函数的解析式联立得到方程组，求解方程组就能得到点A的坐标；
(2) 先根据给出的条件，分别求出点B和点C的坐标，得到BC的长度以及点A到BC边的高，再利用三角形面积公式即可计算出△ABC的面积.
（1）解：联立两函数解析式得，
解得：，
∴点A的坐标为（1， 3）；
（2）当y1＝0时，即 x 2＝0，解得：x＝ 2，
∴B（ 2，0），
当y2＝0时，即x 4＝0，解得：x＝4，
∴C（4，0），
∴CB＝6，
∴△ABC的面积为：×6×3＝9．
23．【答案】（1）8；17
（2）解：设直线为，
将，代入，
得，
解得，
；
（3）解：令，即，
．
答：无人机从地面升起到回到地面共用时20.2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：无人机上升时的速度是_，，
故答案为：8；17；
【分析】（1）根据图象提供的信息，可得无人机用时7分钟上升到56米处，从而根据速度等于路程除以时间可求出无人机上升时的速度；由图象可得无人机下降到距离地面32米处时，总用时14分钟，CD段无人机的高度没有变化，应该是悬停3分钟拍照，从而可得n=14+3=17；
（2）根据点D（17，32），M（18，22），用待定系数法即可求出DE段的函数解析式；
（3）令（2）中所求表达式y=0，算出对应自变量x的值，即可得到答案.
（1）解：无人机上升时的速度是_，，
故答案为：8；17；
（2）解：设直线为，
将，代入，
得，
解得，
；
（3）解：令，即，
．
答：无人机从地面升起到回到地面共用时20.2．
24．【答案】（1）解：，
与的函数关系式为．

（2）解：该文具店不会获得利润1406元．理由如下：
当时，得，
解得．
为整数，
该文具店不会获得利润1406元．
（3）解：该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的一半，
．
．
在中，随的增大而增大，
为整数，
当时，该文具店获得利润最大，最大利润为1384元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润和单件利润的数量关系，推导得到y与x的函数解析式；
（2）当时，可以得到一个关于x的一元一次方程，求解得到x后再结合条件判断结果是否符合要求即可；
（3）题目给出条件“甲品牌书包的购进数量不超过乙品牌书包数量的一半”，根据这个条件可以列出不等式得到x的取值范围，最后结合一次函数的增减性就可以求出最大利润，得到对应的进货方案.
（1）解：，
与的函数关系式为．
（2）解：该文具店不会获得利润1406元．理由如下：
当时，得，
解得．
为整数，
该文具店不会获得利润1406元．
（3）解：该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的一半，
．
．
在中，随的增大而增大，
为整数，
当时，该文具店获得利润最大，最大利润为1384元．
25．【答案】（1），
（2）①
②
解：③∵，，
∴．
设秋千的绳索长为，根据题意可得，
利用勾股定理可得．
解得：．
答：绳索的长为．
【知识点】勾股定理；勾股定理的证明；勾股定理的实际应用-最短路径问题；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】（1）证明：由等面积法知：S大正方形=S小正方形+4S直角三角形，
∴，
∴，得证．
故答案为：，；
（2）解：①在中，
∵，
∴，
∴点E表示的数是，
故答案为：；
②连接，
∵圆柱的底面半径为，
∴，
在中，，
，
即蚂蚁爬行的最短路径长为．
故答案为：；
【分析】（1）由S大正方形=S小正方形+4S直角三角形，结合正方形及直角三角形面积公式，列出等式，然后再整理即可得出勾股定理的结论；
（2）①首先在Rt△OFG中，根据勾股定理求出OF=，根据同圆半径相等得出OE=OF=，进而根据数轴上的点所表示数的特点即可得出点E所表示的书；
②首先将圆柱侧面沿过点A的高展开，连接AB，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，底面圆的周长，再在Rt△ABC中利用勾股定理算出AB的长即可；
③设秋千的绳索长为，根据题意可得，在Rt△ADC中，利用勾股定理建立方程，求解即可得到答案．
（1）证明：由等面积法知：
∴，
∴，得证．
故答案为：，；
（2）解：①在中，
∵，
∴，
∴点E表示的数是，
故答案为：；
②连接，
∵圆柱的底面半径为，
∴，
在中，，
，
即蚂蚁爬行的最短路径长为．
故答案为：；
③∵，，
∴．
设秋千的绳索长为，根据题意可得，
利用勾股定理可得．
解得：．
答：绳索的长为．
26．【答案】（1）②④
（2）解：四边形是邻等对补四边形，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是邻等对补四边形；
（3）
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（1）解：观察可知，图①既不存在一组邻边相等，也不存在对角互补，所以不是邻等对补四边形；图③虽然存在一组邻边相等，但不存在对角互补，所以不是邻等对补四边形；
图②和图④存在对角互补且邻边相等，所以②和④是邻等对补四边形；
故答案为：②④；
（3）解：如图，在中，，
∴．
根据勾股定理，得．
∵，
∴，
∴．
∵四边形是邻等对补四边形，则，
∴，
∴．
过点N作，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）根据三角板的特征和邻等对补四边形的定义逐个判断即可；
（2）先根据矩形的性质得到，再根据垂直定义、直角三角形两锐角互余及同角的补角相等得到，从而“ASA”证明△ADE≌△ECF，由全等三角形的对应边相等可得AE=EF，然后根据邻等对补四边形的定义解答；
（3）首先根据含30°角直角三角形的性质求出AB=4，然后利用勾股定理算出BC，再结合已知，根据线段和差求出CM，然后根据邻等对补四边形定义，结合∠ABC=90°可求出∠ANM=∠CNM=90°，再根据含30°角直角三角形的性质求出MN，接下来根据勾股定理求出CN；过点N作NH⊥CM于点H，根据含30°角直角三角形的性质求出NH、MH，由线段和差求出BH，最后在Rt△BHN中，利用勾股定理算出BN即可.
（1）解：观察可知，图①和图③不存在对角互补，所以不符合题意；图②和图④存在对角互补且邻边相等，所以②和④是邻等对补四边形；
故答案为：②④；
（2）解：四边形是邻等对补四边形，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是邻等对补四边形；
（3）解：如图，在中，，
∴．
根据勾股定理，得．
∵，
∴，
∴．
∵四边形是邻等对补四边形，则，
∴，
∴．
过点N作，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
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