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四川省广元市旺苍县2025年 九年级第三次诊断性测试数学试卷
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共30分）
1．的倒数是（　　）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：，的倒数是；
故选：C．
【分析】
先计算绝对值，再求所得结果的倒数即可．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，故该选项不符合题意；
B：与不是同类项，无法合并，故该选项不符合题意；
C：，故该选项不符合题意；
D：，故该选项符合题意．
故选：D．
【分析】
根据同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方法则逐一验证即可．
3．在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于原点对称的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点为．
故选：D．
【分析】
根据原点对称的性质，两个对称点的横、纵坐标均互为相反数即可解答.
4．某校合唱团共有50名成员，她们的年龄分布如下表：
年龄/岁 12 13 14 15
人数 5 24 　 　
由于表格污损，14岁、15岁的人数看不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（　　）
A．平均数、众数 B．众数、中位数
C．平均数、中位数 D．中位数、方差
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：14岁和15岁的人数总和为人，13岁有24人，人数最多，故众数为13；
总人数50人，中位数为第25、26个数据的平均数，第25、26人均为13岁，故中位数为13；
14岁、15岁人数未知，总年龄和无法确定，故平均数和方差无法计算．
故选：B．
【分析】
根据众数和中位数的定义进行判断即可．
5．如图，在等边三角形中，，垂足为点，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴．
故选：B ．
【分析】
根据等边三角形的性质求出边长AB和的度数，利用三线合一的性质求出，再根据垂直平分线的定义求出BE的长，最后利用三角函数求解即可.
6．若将如图所示的平面图形围成正方体，则这个正方体可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：线段所在的面和线段所在的面在正方体中是相对的面，且与呈现异面垂直的位置关系，只有选项符合要求．
故选：B ．
【分析】
通过对平面展开图进行分析，利用正方体展开图中面与面的位置关系，找出相对面和相邻面的特征，从而判断各个选项是否符合即可.
7．如图，是四边形的外接圆，过点作，交于点．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A ．
【分析】
首先利用圆内接四边形对角互补的性质，由已知角求的度数；然后根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等），由求出即可.
8．在反比例函数（m为常数）的图象上有和两点，若，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数为，其中，
，
由于，故，即恒为正数，
∴当时，反比例函数图象位于第一、第三象限，
当时，；当时，；
点中，故，
点中，故，
由上述分析可知，．
故选：D．
【分析】
先对反比例函数的系数进行变形判断其正负，从而确定反比例函数所在象限，再根据A、B两点横坐标的正负，结合反比例函数的性质，判断y1、y2与0的大小关系.
9．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
，得：，
不等式整理可得：，
∴，
，
解得：．
故选：A ．
【分析】
先将方程组中的两个方程相加，得到4x+4y的表达式，再整理不等式8x+5y-3y-10。利用整体代入求出a的取值范围.
10．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线．给出下列结论：
①；
②；
③；
④关于x的方程一定有两个不相等的实数根；
⑤．
其中结论正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，
∴，
∵对称轴为，
∴，
∴，，故①②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确，
∵函数与直线有两个交点．
∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，故④正确；
∵，
∵，
∴，
∴，故⑤错误，
故选：C．
【分析】
利用抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置等，确定a，b，c的符号及相互关系，进而逐一判断各结论即可.
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．要使分式有意义，则应满足的条件是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式有意义，
，解得，
故答案为：．
【分析】
根据分式有意义的条件：分母不为零即可解答.
12．唐家河国家级自然保护区是以大熊猫及其栖息地为主要保护对象的自然保护区，总面积4万公顷，2021年9月30日经国务院批复成立大熊猫国家公园．已知1公顷平方米，则该自然保护区的总面积用科学记数法表示为　 　平方米．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4万公顷平方米平方米，
故答案为：．
【分析】
将4万顷用科学记数法的形式表达出来，其中，为整数．确定和a的值即可.
13．如图，在中，在边，，上分别取点，，，使得，点是边上任意一点，连接三点得到．重复上面过程，在的边上分别取点，使得，点是边上任意一点，连接三点得到，按此方式继续重复操作，直到得到．设的面积为1，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∴
同理可得
以此类推，的面积为
的面积为
故答案为：．
【分析】
【分析】
结合第一次操作，依据中位线的性质，以及平行线间距离相等的性质，先推出每次操作后得到的新三角形面积和原三角形面积之间的固定比例关系，再归纳出第n次操作后对应的面积通项公式，即可完成解答.
14．已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则　 　（填“”“”或“”）．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：，
∵二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为轴，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵关于轴对称的点为
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
先将原二次函数化为顶点式，根据平移规律得到抛物线C的解析式，再将点M、N的横坐标代入解析式求出y1、y2，最后比较大小即可.
15．如图，在中，，点为边上的动点，连接，过点作，交的延长线于点．当点从点运动到点时，线段的中点运动的路径长为　 　．
【答案】
【知识点】弧长的计算；解直角三角形；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∴
如图，设的中点为，连接，取的中点，连接，，
∴
∵，
∴
∴，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
取的中点，连接，
当与点重合时，重合，
∴
∵，
∴是等边三角形，则
∴，
∴当点从点运动到点时，线段的中点运动的路径长为
故答案为：．
【分析】
首先根据=90°，判断点M在以AB为直径的圆上运动，利用三角形中位线定理性质确定点N的轨迹也是一个圆弧，通过起点和终点的位置，计算出轨迹圆弧的圆心角和半径，最后利用弧长公式计算即可.
16．如图，在正方形纸片中，点E是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点B落在点P处，延长交于点Q，连接并延长，交于点F．给出以下结论：①；②点F为的中点；③；④．其中结论正确的是　 　（填序号）．
【答案】①②③
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：因为是由翻折得到，
所以，，
所以，
又因为点E是边的中点，
所以，
所以，
则为等腰三角形，即，
又因为，
所以，
所以为等腰三角形，
所以，①正确；
由①知，，
又因为是由翻折得到，
所以，
又因为是的外角，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
因为四边形为正方形，
所以，，
所以在和中，
由，则有，
所以，
因为点E是边的中点，
所以，
即，
所以可得点F为的中点，故②正确；
设，，
则，
，
由①知，，
所以，
所以，
在中，，
即，
整理可得，
解得，
所以，，，
所以有，即，③正确；
由③知，，，
在中，，④错误，
所以结论正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【分析】
通过证明，利用全等三角形的对应边相等来判断 ① ；先求出AF的表达式，再根据正方形的性质得到CD的长，进而判断F是否为CD的中点来判断 ② ； 设出，根据勾股定理可求解出与a的关系，即可判断③；根据③中边的关系即可判断④．
三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程，共96分）
17．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别计算负指数、特殊角的三角函数值、绝对值以及二次根式的化简，再根据实数的混合运算进行求解即可．
18．先化简，再求值：若，求代数式的值．
【答案】解：
；
，
，
∴原式．

【知识点】分式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将转化为，再整体代入计算可得．
19．如图，在矩形中，．
（1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线（要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）．
（2）在（1）的条件下，线段的垂直平分线分别交，于，两点，求的长．
【答案】（1）解：如图，直线即为所求，
（2）如图，连接，设与交于点．
在矩形中，
根据作图过程可知，是的垂直平分线，
，
．
在中，根据勾股定理，得，
解得．
在中，根据勾股定理，得
，
，．
又，
．

【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据题意作线段的垂直平分线，即可求解；
（2）通过作辅助线，根据勾股定理求得，在中，根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理，得，再根据条件即可证明，即可求解
（1）解：如图，直线即为所求，
（2）如图，连接，设与交于点．
在矩形中，
根据作图过程可知，是的垂直平分线，
，
．
在中，根据勾股定理，得，
解得．
在中，根据勾股定理，得
，
，．
又，
．
20．乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽取的游客总人数为______人，扇形统计图中m的值为______；
（2）请补全条形统计图；
（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．
【答案】（1）240，35
（2）解：“甜皮鸭”对应的人数为(人)，
补全图形如下：
（3）解：假设“麻辣烫”“跷脚牛肉”“钵钵鸡”“甜皮鸭”对应为“A、B、C、D”，
画树状图如图所示，
共有12种等可能的结果数，其中选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果数为2，
∴选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率是．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次抽取的游客总人数为(人)，
，
故答案为：240，35；
【分析】（1）根据：该项所占的百分比该项人数÷总人数．两图给出了“跷脚牛肉”的数据，代入即可算出抽取的游客总人数，然后再算出“钵钵鸡”的人数；
（2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出喜欢“甜皮鸭”的人数，再补全条形图；
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果数，找出恰好同时选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果数，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：本次抽取的游客总人数为(人)，
，
故答案为：240，35；
（2）“甜皮鸭”对应的人数为(人)，
补全图形如下：
（3）假设“麻辣烫”“跷脚牛肉”“钵钵鸡”“甜皮鸭”对应为“A、B、C、D”，
画树状图如图所示，
共有12种等可能的结果数，其中选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果数为2，
∴选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率是．
21．如图，点A是“某纪念碑”顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．某测量小组在纪念碑前水平地面的点M处架起测量仪，将测量仪镜头调到距离地面1米的点C处时，测得点A的仰角，然后将测量仪镜头再升高0.47米到点E处，测得点A的仰角．已知图中各点均在同一竖直平面内，请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：）．
【答案】解：如图，延长交于点H，延长交于点N，易得四边形为矩形，
．
设点A到地面的距离的长为h，
由题意，得和均为直角三角形．
在中，，，
，
，
同理可得，
，
，
，
解得．
答：纪念碑顶部点A到地面的距离的长约为19米．
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长
【解析】【分析】
通过作辅助线构造两个直角三角形和，利用水平距离相等（CD=EF）及垂直高度差（AD-AF=CE）建立方程，代入参数数据解方程，最后加上仪器高度得到总高度即可.
22．某民宿有A，B两种客房，其中A种客房12间，B种客房10间．若全部入住，一天的营业额为3600元；若A，B两种客房均有5间入住，一天的营业额为1600元．
（1）A，B两种客房每间的定价分别是多少元？
（2）该民宿对一段时间内B种客房的入住情况进行调研后发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每间客房的定价每增加20元，就会有一间客房空闲．当B种客房每间的定价为多少元时，B种客房一天的营业额W最大？最大营业额为多少元？
【答案】（1）解：设A种客房每间的定价是x元，B种客房每间的定价是y元，
由题意，得
解得
答：A，B两种客房每间的定价分别是200元、120元．
（2）解：设B种客房每间的定价为a元，则：
∴当时，W取最大值，最大值为1280．
答：当B种客房每间的定价为160元时，B种客房一天的营业额W最大，最大营业额为1280元．
【知识点】二次函数的最值；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设A种客房每间的定价是x元，B种客房每间的定价是y元，根据题目给出的等量关系，建立二元一次方程组求解即可；
（2）设B种客房每间的定价为a元，根据题意建立W与a的关系式，再结合二次函数最值情况求解即可．
（1）解：设A种客房每间的定价是x元，B种客房每间的定价是y元，
由题意，得
解得
答：A，B两种客房每间的定价分别是200元、120元．
（2）解：设B种客房每间的定价为a元，则：
∴当时，W取最大值，最大值为1280．
答：当B种客房每间的定价为160元时，B种客房一天的营业额W最大，最大营业额为1280元．
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为，点B的坐标为．
（1）求这两个函数的解析式．
（2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集．
（3）在x轴上作一点P，使的值最大，并求出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵反比例函数过点，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
∵反比例函数过点，
∴，
∴．
∵一次函数过点，，
解得
∴一次函数的解析式为．
（2）或
（3）解：作点B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点P，
∴，
∴，
∴当三点共线时，的值最大，
∴如图所示，点P即为所求．
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为
令，则，
解得，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】
（2）解：由图象可知，关于x的不等式的解集为或．
【分析】
（1）利用交点坐标求出反比例函数系数k，进而求出点B的坐标，利用待定系数法求出一次函数表达式即可；
（2）首先理解不等式的几何意义，即一次函数图象位于反比例函数图象下方时对应x的取值范围；
（3）作点B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点P，则点P即为所求．由轴对称可得，根据待定系数法求出直线的解析式为，令，则可求出点P的坐标．
（1）解：∵反比例函数过点，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
∵反比例函数过点，
∴，
∴．
∵一次函数过点，，
解得
∴一次函数的解析式为．
（2）解：由图象可知，关于x的不等式的解集为或．
（3）解：作点B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点P，
∴，
∴，
∴当三点共线时，的值最大，
∴如图所示，点P即为所求．
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为
令，则，
解得，
∴．
24．如图，点在的边上，以为直径的交于点，交于点，连接，，，．
（1）求证：直线是的切线．
（2）若的半径，求的长．
【答案】（1）证明：是的直径，
．
．
，
．
，即．
又是的直径，
直线是的切线．
（2）解：在中，
，，
在中，
，，
是的直径，
．
，，
．
又，
．
即
解得即的长为．

【知识点】切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】
（1）利用直径所对的圆周角是直角，结合已知角相等，通过等量代换证明半径与直线垂直即可；
（2）由已知条件，根据勾股定理可求得，的长，进而求得，根据相似三角形的判定可证明，最后根据相似三角形的性质即可求解．
（1）证明：是的直径，
．
．
，
．
，即．
又是的直径，
直线是的切线．
（2）解：在中，
，，
在中，
，，
是的直径，
．
，，
．
又，
．
即
解得即的长为．
25．（1）已知和都是等腰直角三角形，．
①如图1，当点在线段上时，连接，请探究和之间的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点在线段的延长线上时，连接，请再次探究和之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图3，在等腰直角三角形中，，点在线段上，，点是延长线上的动点，连接，以为腰在的右侧作等腰直角三角形，，连接．当时，求的长．
【答案】解：（1）①如图，过点作，交的延长线于点，
由已知可得，，，
，
∴．
，．
，
．
．
．
．
为等腰直角三角形．
．
②如图，过点作，交的延长线于点，
由已知可得，，，
，
．
，．
，
．
．
．
．
为等腰直角三角形．
（2）如图3，过点作于点，过点作，交的延长线于点，
则为等腰直角三角形．
．
同（）可得，
，．
，
．
．
．
．
是等腰直角三角形．
．
又，
．
为直角三角形．
设，则．
∴
又，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系；已知正切值求边长
【解析】【分析】
（1）①如图，通过作辅助线，根据已知条件可证，即可得到BD=EH，AB=DH，再通过线段之间的转化即可解答；
②通过作辅助线，根据已知条件，证明，可得到BEG，AB=DG，再通过线段之间转化即可解答；
（2）过点作于点，过点作，交的延长线于点，由，可得是等腰直角三角形，再由为直角三角形，设，根据可得，再求解即可．
26．如图，二次函数的图象的顶点坐标为，与轴交于点，与轴分别交于点和点（点在点左侧），，为抛物线上的两点．
（1）求该二次函数的解析式和，两点的坐标．
（2）以为直径作圆，圆心为，求点与上的点的最短距离．
（3）设点的横坐标为，点的横坐标为，的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意，设，将代入，得，
∴，
∴该二次函数的解析式为，
把代入，得，
解得，，
∴，；
（2）解：如图，连接，
∵为的直径，，，
∴，，
∴的直径为，
∴半径为，
由勾股定理，得，
∴点与上的点的最短距离为；
（3）解：存在，
由（）得该二次函数的解析式为，
∵点的横坐标为，点的横坐标为，
∴点，点，
当直线轴时，
∴，解得：，
∴点，点，
∴，
当直线与轴不平行时，，如图，设直线交轴于点，
由点，点，
设解析式为，
∴，解得，
∴直线的函数解析式为，
令，则，
∴点的坐标为，
∴的面积
，
，
综上所述，的面积存在最小值，为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；圆的相关概念；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（）使用待定系数法求出抛物线的解析式，再进一步求解得到抛物线与x轴的交点坐标；
（）连接，已知AB是的直径，点A坐标为，点B坐标为，因此可得圆心的坐标为，直径AB的长度为4。结合勾股定理，可以计算得到，由此即可求出点C到上任意一点的最短距离；
（）设点P的横坐标为，由题意可知点Q的横坐标为，代入抛物线解析式可得到点坐标为，，分两种情况讨论：当直线轴时，当直线和x轴不平行时，分别进行分析求解即可.
（1）解：由题意，设，将代入，得，
∴，
∴该二次函数的解析式为，
把代入，得，
解得，，
∴，；
（2）解：如图，连接，
∵为的直径，，，
∴，，
∴的直径为，
∴半径为，
由勾股定理，得，
∴点与上的点的最短距离为；
（3）解：存在，
由（）得该二次函数的解析式为，
∵点的横坐标为，点的横坐标为，
∴点，点，
当直线轴时，
∴，解得：，
∴点，点，
∴，
当直线与轴不平行时，，如图，设直线交轴于点，
由点，点，
设解析式为，
∴，解得，
∴直线的函数解析式为，
令，则，
∴点的坐标为，
∴的面积
，
，
综上所述，的面积存在最小值，为．
1 / 1四川省广元市旺苍县2025年 九年级第三次诊断性测试数学试卷
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共30分）
1．的倒数是（　　）
A． B． C．4 D．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于原点对称的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．某校合唱团共有50名成员，她们的年龄分布如下表：
年龄/岁 12 13 14 15
人数 5 24 　 　
由于表格污损，14岁、15岁的人数看不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（　　）
A．平均数、众数 B．众数、中位数
C．平均数、中位数 D．中位数、方差
5．如图，在等边三角形中，，垂足为点，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．若将如图所示的平面图形围成正方体，则这个正方体可以是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，是四边形的外接圆，过点作，交于点．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．在反比例函数（m为常数）的图象上有和两点，若，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
9．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线．给出下列结论：
①；
②；
③；
④关于x的方程一定有两个不相等的实数根；
⑤．
其中结论正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．要使分式有意义，则应满足的条件是　 　．
12．唐家河国家级自然保护区是以大熊猫及其栖息地为主要保护对象的自然保护区，总面积4万公顷，2021年9月30日经国务院批复成立大熊猫国家公园．已知1公顷平方米，则该自然保护区的总面积用科学记数法表示为　 　平方米．
13．如图，在中，在边，，上分别取点，，，使得，点是边上任意一点，连接三点得到．重复上面过程，在的边上分别取点，使得，点是边上任意一点，连接三点得到，按此方式继续重复操作，直到得到．设的面积为1，则的面积为　 　．
14．已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则　 　（填“”“”或“”）．
15．如图，在中，，点为边上的动点，连接，过点作，交的延长线于点．当点从点运动到点时，线段的中点运动的路径长为　 　．
16．如图，在正方形纸片中，点E是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点B落在点P处，延长交于点Q，连接并延长，交于点F．给出以下结论：①；②点F为的中点；③；④．其中结论正确的是　 　（填序号）．
三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程，共96分）
17．计算：．
18．先化简，再求值：若，求代数式的值．
19．如图，在矩形中，．
（1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线（要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）．
（2）在（1）的条件下，线段的垂直平分线分别交，于，两点，求的长．
20．乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽取的游客总人数为______人，扇形统计图中m的值为______；
（2）请补全条形统计图；
（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．
21．如图，点A是“某纪念碑”顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．某测量小组在纪念碑前水平地面的点M处架起测量仪，将测量仪镜头调到距离地面1米的点C处时，测得点A的仰角，然后将测量仪镜头再升高0.47米到点E处，测得点A的仰角．已知图中各点均在同一竖直平面内，请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：）．
22．某民宿有A，B两种客房，其中A种客房12间，B种客房10间．若全部入住，一天的营业额为3600元；若A，B两种客房均有5间入住，一天的营业额为1600元．
（1）A，B两种客房每间的定价分别是多少元？
（2）该民宿对一段时间内B种客房的入住情况进行调研后发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每间客房的定价每增加20元，就会有一间客房空闲．当B种客房每间的定价为多少元时，B种客房一天的营业额W最大？最大营业额为多少元？
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为，点B的坐标为．
（1）求这两个函数的解析式．
（2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集．
（3）在x轴上作一点P，使的值最大，并求出点P的坐标．
24．如图，点在的边上，以为直径的交于点，交于点，连接，，，．
（1）求证：直线是的切线．
（2）若的半径，求的长．
25．（1）已知和都是等腰直角三角形，．
①如图1，当点在线段上时，连接，请探究和之间的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点在线段的延长线上时，连接，请再次探究和之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图3，在等腰直角三角形中，，点在线段上，，点是延长线上的动点，连接，以为腰在的右侧作等腰直角三角形，，连接．当时，求的长．
26．如图，二次函数的图象的顶点坐标为，与轴交于点，与轴分别交于点和点（点在点左侧），，为抛物线上的两点．
（1）求该二次函数的解析式和，两点的坐标．
（2）以为直径作圆，圆心为，求点与上的点的最短距离．
（3）设点的横坐标为，点的横坐标为，的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：，的倒数是；
故选：C．
【分析】
先计算绝对值，再求所得结果的倒数即可．
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，故该选项不符合题意；
B：与不是同类项，无法合并，故该选项不符合题意；
C：，故该选项不符合题意；
D：，故该选项符合题意．
故选：D．
【分析】
根据同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方法则逐一验证即可．
3．【答案】D
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点为．
故选：D．
【分析】
根据原点对称的性质，两个对称点的横、纵坐标均互为相反数即可解答.
4．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：14岁和15岁的人数总和为人，13岁有24人，人数最多，故众数为13；
总人数50人，中位数为第25、26个数据的平均数，第25、26人均为13岁，故中位数为13；
14岁、15岁人数未知，总年龄和无法确定，故平均数和方差无法计算．
故选：B．
【分析】
根据众数和中位数的定义进行判断即可．
5．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴．
故选：B ．
【分析】
根据等边三角形的性质求出边长AB和的度数，利用三线合一的性质求出，再根据垂直平分线的定义求出BE的长，最后利用三角函数求解即可.
6．【答案】B
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：线段所在的面和线段所在的面在正方体中是相对的面，且与呈现异面垂直的位置关系，只有选项符合要求．
故选：B ．
【分析】
通过对平面展开图进行分析，利用正方体展开图中面与面的位置关系，找出相对面和相邻面的特征，从而判断各个选项是否符合即可.
7．【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A ．
【分析】
首先利用圆内接四边形对角互补的性质，由已知角求的度数；然后根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等），由求出即可.
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数为，其中，
，
由于，故，即恒为正数，
∴当时，反比例函数图象位于第一、第三象限，
当时，；当时，；
点中，故，
点中，故，
由上述分析可知，．
故选：D．
【分析】
先对反比例函数的系数进行变形判断其正负，从而确定反比例函数所在象限，再根据A、B两点横坐标的正负，结合反比例函数的性质，判断y1、y2与0的大小关系.
9．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
，得：，
不等式整理可得：，
∴，
，
解得：．
故选：A ．
【分析】
先将方程组中的两个方程相加，得到4x+4y的表达式，再整理不等式8x+5y-3y-10。利用整体代入求出a的取值范围.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，
∴，
∵对称轴为，
∴，
∴，，故①②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确，
∵函数与直线有两个交点．
∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，故④正确；
∵，
∵，
∴，
∴，故⑤错误，
故选：C．
【分析】
利用抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置等，确定a，b，c的符号及相互关系，进而逐一判断各结论即可.
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式有意义，
，解得，
故答案为：．
【分析】
根据分式有意义的条件：分母不为零即可解答.
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4万公顷平方米平方米，
故答案为：．
【分析】
将4万顷用科学记数法的形式表达出来，其中，为整数．确定和a的值即可.
13．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∴
同理可得
以此类推，的面积为
的面积为
故答案为：．
【分析】
【分析】
结合第一次操作，依据中位线的性质，以及平行线间距离相等的性质，先推出每次操作后得到的新三角形面积和原三角形面积之间的固定比例关系，再归纳出第n次操作后对应的面积通项公式，即可完成解答.
14．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：，
∵二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为轴，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵关于轴对称的点为
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
先将原二次函数化为顶点式，根据平移规律得到抛物线C的解析式，再将点M、N的横坐标代入解析式求出y1、y2，最后比较大小即可.
15．【答案】
【知识点】弧长的计算；解直角三角形；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∴
如图，设的中点为，连接，取的中点，连接，，
∴
∵，
∴
∴，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
取的中点，连接，
当与点重合时，重合，
∴
∵，
∴是等边三角形，则
∴，
∴当点从点运动到点时，线段的中点运动的路径长为
故答案为：．
【分析】
首先根据=90°，判断点M在以AB为直径的圆上运动，利用三角形中位线定理性质确定点N的轨迹也是一个圆弧，通过起点和终点的位置，计算出轨迹圆弧的圆心角和半径，最后利用弧长公式计算即可.
16．【答案】①②③
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：因为是由翻折得到，
所以，，
所以，
又因为点E是边的中点，
所以，
所以，
则为等腰三角形，即，
又因为，
所以，
所以为等腰三角形，
所以，①正确；
由①知，，
又因为是由翻折得到，
所以，
又因为是的外角，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
因为四边形为正方形，
所以，，
所以在和中，
由，则有，
所以，
因为点E是边的中点，
所以，
即，
所以可得点F为的中点，故②正确；
设，，
则，
，
由①知，，
所以，
所以，
在中，，
即，
整理可得，
解得，
所以，，，
所以有，即，③正确；
由③知，，，
在中，，④错误，
所以结论正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【分析】
通过证明，利用全等三角形的对应边相等来判断 ① ；先求出AF的表达式，再根据正方形的性质得到CD的长，进而判断F是否为CD的中点来判断 ② ； 设出，根据勾股定理可求解出与a的关系，即可判断③；根据③中边的关系即可判断④．
17．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别计算负指数、特殊角的三角函数值、绝对值以及二次根式的化简，再根据实数的混合运算进行求解即可．
18．【答案】解：
；
，
，
∴原式．

【知识点】分式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将转化为，再整体代入计算可得．
19．【答案】（1）解：如图，直线即为所求，
（2）如图，连接，设与交于点．
在矩形中，
根据作图过程可知，是的垂直平分线，
，
．
在中，根据勾股定理，得，
解得．
在中，根据勾股定理，得
，
，．
又，
．

【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据题意作线段的垂直平分线，即可求解；
（2）通过作辅助线，根据勾股定理求得，在中，根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理，得，再根据条件即可证明，即可求解
（1）解：如图，直线即为所求，
（2）如图，连接，设与交于点．
在矩形中，
根据作图过程可知，是的垂直平分线，
，
．
在中，根据勾股定理，得，
解得．
在中，根据勾股定理，得
，
，．
又，
．
20．【答案】（1）240，35
（2）解：“甜皮鸭”对应的人数为(人)，
补全图形如下：
（3）解：假设“麻辣烫”“跷脚牛肉”“钵钵鸡”“甜皮鸭”对应为“A、B、C、D”，
画树状图如图所示，
共有12种等可能的结果数，其中选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果数为2，
∴选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率是．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次抽取的游客总人数为(人)，
，
故答案为：240，35；
【分析】（1）根据：该项所占的百分比该项人数÷总人数．两图给出了“跷脚牛肉”的数据，代入即可算出抽取的游客总人数，然后再算出“钵钵鸡”的人数；
（2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出喜欢“甜皮鸭”的人数，再补全条形图；
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果数，找出恰好同时选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果数，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：本次抽取的游客总人数为(人)，
，
故答案为：240，35；
（2）“甜皮鸭”对应的人数为(人)，
补全图形如下：
（3）假设“麻辣烫”“跷脚牛肉”“钵钵鸡”“甜皮鸭”对应为“A、B、C、D”，
画树状图如图所示，
共有12种等可能的结果数，其中选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果数为2，
∴选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率是．
21．【答案】解：如图，延长交于点H，延长交于点N，易得四边形为矩形，
．
设点A到地面的距离的长为h，
由题意，得和均为直角三角形．
在中，，，
，
，
同理可得，
，
，
，
解得．
答：纪念碑顶部点A到地面的距离的长约为19米．
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长
【解析】【分析】
通过作辅助线构造两个直角三角形和，利用水平距离相等（CD=EF）及垂直高度差（AD-AF=CE）建立方程，代入参数数据解方程，最后加上仪器高度得到总高度即可.
22．【答案】（1）解：设A种客房每间的定价是x元，B种客房每间的定价是y元，
由题意，得
解得
答：A，B两种客房每间的定价分别是200元、120元．
（2）解：设B种客房每间的定价为a元，则：
∴当时，W取最大值，最大值为1280．
答：当B种客房每间的定价为160元时，B种客房一天的营业额W最大，最大营业额为1280元．
【知识点】二次函数的最值；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设A种客房每间的定价是x元，B种客房每间的定价是y元，根据题目给出的等量关系，建立二元一次方程组求解即可；
（2）设B种客房每间的定价为a元，根据题意建立W与a的关系式，再结合二次函数最值情况求解即可．
（1）解：设A种客房每间的定价是x元，B种客房每间的定价是y元，
由题意，得
解得
答：A，B两种客房每间的定价分别是200元、120元．
（2）解：设B种客房每间的定价为a元，则：
∴当时，W取最大值，最大值为1280．
答：当B种客房每间的定价为160元时，B种客房一天的营业额W最大，最大营业额为1280元．
23．【答案】（1）解：∵反比例函数过点，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
∵反比例函数过点，
∴，
∴．
∵一次函数过点，，
解得
∴一次函数的解析式为．
（2）或
（3）解：作点B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点P，
∴，
∴，
∴当三点共线时，的值最大，
∴如图所示，点P即为所求．
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为
令，则，
解得，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】
（2）解：由图象可知，关于x的不等式的解集为或．
【分析】
（1）利用交点坐标求出反比例函数系数k，进而求出点B的坐标，利用待定系数法求出一次函数表达式即可；
（2）首先理解不等式的几何意义，即一次函数图象位于反比例函数图象下方时对应x的取值范围；
（3）作点B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点P，则点P即为所求．由轴对称可得，根据待定系数法求出直线的解析式为，令，则可求出点P的坐标．
（1）解：∵反比例函数过点，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
∵反比例函数过点，
∴，
∴．
∵一次函数过点，，
解得
∴一次函数的解析式为．
（2）解：由图象可知，关于x的不等式的解集为或．
（3）解：作点B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点P，
∴，
∴，
∴当三点共线时，的值最大，
∴如图所示，点P即为所求．
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为
令，则，
解得，
∴．
24．【答案】（1）证明：是的直径，
．
．
，
．
，即．
又是的直径，
直线是的切线．
（2）解：在中，
，，
在中，
，，
是的直径，
．
，，
．
又，
．
即
解得即的长为．

【知识点】切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】
（1）利用直径所对的圆周角是直角，结合已知角相等，通过等量代换证明半径与直线垂直即可；
（2）由已知条件，根据勾股定理可求得，的长，进而求得，根据相似三角形的判定可证明，最后根据相似三角形的性质即可求解．
（1）证明：是的直径，
．
．
，
．
，即．
又是的直径，
直线是的切线．
（2）解：在中，
，，
在中，
，，
是的直径，
．
，，
．
又，
．
即
解得即的长为．
25．【答案】解：（1）①如图，过点作，交的延长线于点，
由已知可得，，，
，
∴．
，．
，
．
．
．
．
为等腰直角三角形．
．
②如图，过点作，交的延长线于点，
由已知可得，，，
，
．
，．
，
．
．
．
．
为等腰直角三角形．
（2）如图3，过点作于点，过点作，交的延长线于点，
则为等腰直角三角形．
．
同（）可得，
，．
，
．
．
．
．
是等腰直角三角形．
．
又，
．
为直角三角形．
设，则．
∴
又，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系；已知正切值求边长
【解析】【分析】
（1）①如图，通过作辅助线，根据已知条件可证，即可得到BD=EH，AB=DH，再通过线段之间的转化即可解答；
②通过作辅助线，根据已知条件，证明，可得到BEG，AB=DG，再通过线段之间转化即可解答；
（2）过点作于点，过点作，交的延长线于点，由，可得是等腰直角三角形，再由为直角三角形，设，根据可得，再求解即可．
26．【答案】（1）解：由题意，设，将代入，得，
∴，
∴该二次函数的解析式为，
把代入，得，
解得，，
∴，；
（2）解：如图，连接，
∵为的直径，，，
∴，，
∴的直径为，
∴半径为，
由勾股定理，得，
∴点与上的点的最短距离为；
（3）解：存在，
由（）得该二次函数的解析式为，
∵点的横坐标为，点的横坐标为，
∴点，点，
当直线轴时，
∴，解得：，
∴点，点，
∴，
当直线与轴不平行时，，如图，设直线交轴于点，
由点，点，
设解析式为，
∴，解得，
∴直线的函数解析式为，
令，则，
∴点的坐标为，
∴的面积
，
，
综上所述，的面积存在最小值，为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；圆的相关概念；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（）使用待定系数法求出抛物线的解析式，再进一步求解得到抛物线与x轴的交点坐标；
（）连接，已知AB是的直径，点A坐标为，点B坐标为，因此可得圆心的坐标为，直径AB的长度为4。结合勾股定理，可以计算得到，由此即可求出点C到上任意一点的最短距离；
（）设点P的横坐标为，由题意可知点Q的横坐标为，代入抛物线解析式可得到点坐标为，，分两种情况讨论：当直线轴时，当直线和x轴不平行时，分别进行分析求解即可.
（1）解：由题意，设，将代入，得，
∴，
∴该二次函数的解析式为，
把代入，得，
解得，，
∴，；
（2）解：如图，连接，
∵为的直径，，，
∴，，
∴的直径为，
∴半径为，
由勾股定理，得，
∴点与上的点的最短距离为；
（3）解：存在，
由（）得该二次函数的解析式为，
∵点的横坐标为，点的横坐标为，
∴点，点，
当直线轴时，
∴，解得：，
∴点，点，
∴，
当直线与轴不平行时，，如图，设直线交轴于点，
由点，点，
设解析式为，
∴，解得，
∴直线的函数解析式为，
令，则，
∴点的坐标为，
∴的面积
，
，
综上所述，的面积存在最小值，为．
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