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2026年浙江省丽水市中考一模考试数学试题
1．的值是（　　）
A． B．2 C． D．
2．下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（　　）
A． B．
C． D．
3．某AI机器人在展厅为8位参观者作咨询服务，咨询时长（单位：分钟）如下：4，6，5，7，5，9，5，8，这组数据的众数是（　　）
A．9分钟 B．6分钟 C．5.5分钟 D．5分钟
4．以下运算结果等于的是（　　）
A． B． C． D．
5．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．将，，三根直木条按如图所示的位置摆放，且，，固定木条和，木条绕点顺时针旋转，则下列描述正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，由绕点P旋转得到，则点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，正方形的边长为4，将其无重叠、无空隙地剪拼成菱形，其中，分别为，的中点，则菱形的边长为（　　）
A．5 B．6 C． D．
9．龙泉青瓷工艺是世界级非物质文化遗产，“浙”赛区冠军奖杯采用龙泉青瓷工艺制作，如图，杯身高占总高的，杯身高与底座高之和是，杯顶高与杯身高之和是，设杯身高为，底座高为，则根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，四边形内接于，是直径，连接，若，，，则的长为（　　）
A．3 B． C． D．
11．已知： ，则 =　 　.
12．化简：　 　．
13．如图，电路图上有3个开关，，和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为　 　．
14．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为　 　．
15．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为　 　．
16．如图，在中，点在上，点关于直线的对称点落在内，延长交于点，交射线于点，延长交于点．当时，设，，则　 　（用含的代数式表示）．
17．解不等式：．
18．先化简，再求值：其中
19．如图，边长为1的小正方形组成的网格中，已知点，在网格的格点上．
（1）在图1中，画一个以为边，顶点都在格点上，面积为6的平行四边形；
（2）在图2中，画一个以为对角线，顶点都在格点上，面积为6的平行四边形．
20．某校为了解学生寒假在家期间进行体育锻炼的时间（单位：小时），随机抽取了本校部分学生进行问卷调查．要求抽取的学生在A，B，C，D，E五个选项中只选一项，并将抽查结果绘制成如下两幅统计图，请根据图中信息回答问题：
（1）求所抽取的学生总人数；
（2）若该校共有学生1800人，请估算该校学生进行体育锻炼的时间满足的人数．
21．【阅读理解】
对于两个函数，当自变量任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”．例如：与互为“关联函数”．
【初步探究】
（1）如图，函数经过点，求该函数的“关联函数”表达式；
【深入思考】
（2）在（1）条件下，函数图象的一段向上平移个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点．求的最小值．
22．如图，已知是半圆的直径，点，在半圆上，且平分，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的值．
23．已知二次函数的图象经过点和，点，是该二次函数图象上的两个动点，满足，且．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求的值；
（3）已知一条平行于轴的直线过点交于点，一条平行于轴的直线过点交函数图象于，两点，且，求的最大值及此时对应的值．
24．如图，在中，，，分别为，的中点，连接，为的中点，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连接，．
（1）若，求的长；
（2）证明：；
（3）当时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：．
故答案为：D.
【分析】先根据一个负数的绝对值等于其相反数进行化简，再根据去括号法则化简即可.
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、圆台的主视图和左视图都是梯形，本选项不符合题意；
B、圆柱的主视图是长方形，左视图是圆，本选项符合题意；
C、圆锥的主视图与左视图相同，都是等腰三角形，本选项不符合题意；
D、球的主视图和左视图相同，都是圆，本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据从正面和左面看到的几何图形逐项判断解题即可．
3．【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】解：5是这组数据中出现次数最多的数，即这组数据的众数是5分钟．
故答案为：D.
【分析】出现次数最多的数据是众数，据此解答即可．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不能合并，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，则选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
5．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是．
故答案为：(1，2).
【分析】由抛物线的顶点式y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h，k)可直接得出答案.
6．【答案】A
【知识点】旋转的性质；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：，木条绕点顺时针旋转，
可得旋转后，
，
，
．
故答案为：A.
【分析】根据旋转方向、旋转角及角的构成可知旋转后∠2=45°+55°=100°=∠1，然后根据同位角相等，两直线平行得出a∥b.
7．【答案】B
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】如图，作出和的垂直平分线，它们的交点即为P点．
根据作出的图形可知点P的坐标为．
故选B．
【分析】
旋转变换有这些性质：经过旋转后，图形上每一个点都会绕旋转中心沿相同方向转动相同角度，任意一对对应点和旋转中心的连线所形成的角都等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，同时旋转前后图形的对应角相等、对应线段也相等.
8．【答案】C
【知识点】菱形的性质；正方形的性质；图形的剪拼；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接EF交CD于点H，
由题意可得，
由此可得：，，
根据勾股定理可得：，
因此，即该菱形的边长为．
故答案为：C.
【分析】由图形剪拼可得△PDG≌△FHG，由全等三角形的对应边相等得DG=HG=DH=CD=1，PD=FH=AD=2，由勾股定理算出PG=FG=，最后根据PF=PG+FG即可得出答案.
9．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设杯身高为，底座高为，
根据杯身高与底座高之和是，可得：，
杯身高占总高的，
总高为，
杯顶高与杯身高之和是，
又杯顶高与杯身高之和是，
∴，
可列方程组为．
故答案为：A.
【分析】设杯身高为xcm，底座高为ycm，由杯身高与底座高之和是42cm可列出方程x+y=42①；由“ 杯身高占总高的”可得奖杯的总高为，则杯顶高与杯身高之和是，再由杯顶高与杯身高之和是49cm列出方程②，联立两方程即可.
10．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作于点H，连接，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∵，，
∴，；
又∵，
∴点O在DH上，
∴O、D、H三点共线，
在中，由勾股定理得，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】过点D作于点H，连接，由直径所对的圆周角为直角得到，在Rt△ABC中，由勾股定理可得，由等腰三角形的三线合一定理得到；根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上可得O、D、H三点共线，在Rt△BOH中，利用勾股定理算出OH，再由线段和差算出DH，进而再利用勾股定理依次算出CD与AD即可.
11．【答案】1.5
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为： 1.5。
【分析】根据比例式的两内项之积等于两外项之积得出 再代入代数式，合并同类项约分即可。
12．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：．
故答案为：x2-y2.
【分析】两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，这样的两个二项式相乘可以使用平方差公式，用完全相同项的平方减去互为相反数项的平方即可.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设为①，为②，为③，画出树状图如下：
共有6种等可能结果，其中小灯泡发光的结果有①②，①③，②①，③①，共4种，
∴若任意闭合电路上2个开关，则小灯泡发光的概率为：，
故答案为：．
【分析】
先通过树状图或列表列举出该事件所有可能出现的结果总数，再找出满足题目要求的结果数量，由于所有结果发生的可能性相等，最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到对应概率.
14．【答案】2026
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
①-②得2x-2y=2m+6，即x-y=m+3，
∵x-y=2029，
∴m+3=2029，
∴m=2026.
故答案为：2026.
【分析】用方程组中的①方程减去②可得到x-y=m+3，结合x-y=2029可列出关于字母m的方程，求解即可.
15．【答案】3
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：过原点的直线与反比例函数的图象交于，，
，两点关于原点对称，
，，
，，
，，
则，解得．
故答案为：3.
【分析】根据反比例函数与正比例函数的对称性，可得点A与点B关于坐标原点对称，由关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数及互为相反数的两个数得和为零列出关于字母a、b得方程，求解得出a、b得值，进而即可求出点A、B得坐标，最后利用待定系数法即可求出k的值.
16．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，

设，
∵，
∴，，
∴，
由轴对称性质得
∵，即
∴
∴即
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
由轴对称性质得
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴即
∴
∵AD∥BC
∴
∴
∴
解得：
故答案为：.
【分析】延长AD、EQ交于点M，设CQ=a，CE=b，结合已知得DQ=an，BE=mb，则CD=(n+1)a，AD=BC=(m+1)b，由轴对称得AF=AB=(n+1)a；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△DQM∽△CQE，由相似三角形对应边成比例求出DM=bn；由平行四边形的对角相等得∠B=∠ADQ，由轴对称性质得∠AFE=∠B，由邻补角、等量代换得出∠AFQ+∠ADQ=180°，由四边形的内角和定理推出∠DAF+∠DQF=180°，由邻补角及同角的补角相等推出∠EQC=∠DAF，由二直线平行，内错角相等得∠DAF=∠FPE，则∠FPE=∠EQC，结合公共角∠FEP=∠CEQ，由有两组角相等的两个三角形相似得△FEP∽△CEQ，由相似三角形对应边成比例建立方程求出PF=ma；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AMF∽△PEF，由相似三角形对应边成比例建立方程即可用含m的式子表示出n.
17．【答案】解：去括号得，
移项合并得，
解得．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】先去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可.
18．【答案】解：原式
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据同分母分式的减法计算，然后分解因式约分化简，再代入a的值解答即可.
19．【答案】（1）解：如图1，四边形即为所作；
（2）解：如图2，四边形即为所作；
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）开放性命题，利用网格的特点、平行四边形定义及平行四边形面积公式，作一个底边为2，高为3且AB为边的平行四边形即可；
（2） 开放性命题，利用网格的特点、平行四边形定义及平行四边形面积公式， 作一个底边为2，高为3且AB为对角线的平行四边形即可．
（1）解：如图1，四边形即为所作；
；
（2）解：如图2，四边形即为所作；
．
20．【答案】（1）解：（人），
答：所抽取的学生总人数为60人
（2）解：样本中的人数有（人），
（人），
答：估算该校学生进行体育锻炼的时间满足的人数约有600人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用选择B选项的人数除以其所占百分比即可求出本次调查抽取的学生总人数；
（2）根据选择A、B、C、D、E五个选项的人数之和等于本次调查的总人数求出选择C选项的人数，然后用该学校学生总人数乘以样本中选择C选项的人数所占的百分比即可估算该校学生进行体育锻炼的时间满足40≤t＜60的人数.
（1）解：（人），
答：所抽取的学生总人数为60人；
（2）解：样本中的人数有（人），
（人），
答：估算该校学生进行体育锻炼的时间满足的人数约有600人．
21．【答案】解：（1）∵函数经过点，
∴将点代入函数：，即，
∴原函数为，
根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和为2，设关联函数为，
则：，
∴，
∴函数的“关联函数”表达式为；
（2）函数在上向上平移m个单位后，解析式为：，
它的“关联函数”为，
∵两个函数有交点，即方程在范围内有解，
解方程：，得，
∴，
解不等式：，得，
解不等式：，得，
∴的取值范围是，则的最小值为．
【知识点】解一元一次不等式组；待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将(1，2)代入y=kx算出k的值，可得原函数解析式，根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和为2，列式求解即可；
（2）根据依次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得出平移后函数解析式为y=2x+m(-2≤x≤0)，由平移后的函数与其关联函数图象有交点，可得方程2x+m=2-2x在-2≤x≤0范围内有解，从而将m作为常数解该方程，用含m的式子表示为，将其代入-2≤x≤0，求解即可得出m的取值范围，从而即可得出答案.
22．【答案】（1）证明：如图，连接．
，
．
平分，
，
．
．
，
，
又是的半径，
是的切线
（2）解：连接交于F，
是的直径，
，
，
，
，四边形为矩形，
，
．
在中，，由勾股定理，得
．
．
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；切线的判定；求余弦值；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OD，由等边对等角及角平分线的定义可得∠1=∠2=∠ADO，由内错角相等两直线平行得出AC∥OD，结合AE⊥DE可得OD⊥DE，从而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）连接BC交OD于点F，由直径所对的圆周角为直角得出∠ACB=90°，由二直线平行，同位角相等得∠OFB=90°，由垂径定理得出BC=2CF，由三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形ECFD为矩形，由矩形对边相等得CF=ED=4，从而可得BC=8，在Rt△ACB中，利用勾股定理建立方程求出AC的长，最后根据余弦函数的定义解答即可.
（1）证明：如图，连接．
，
．
平分，
，
．
．
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：连接交于F，
是的直径，
，
，
，
，四边形为矩形，
，
．
在中，，由勾股定理，得
．
．
23．【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过点和，
∴，
解得，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：∵点，是该二次函数图象上的两个动点，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，则，
∴，，
∴，；
设直线的表达式，
则，解得，
∴直线的表达式，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为6，
∵轴，
∴点B和点C关于对称轴对称，
∴点B和点C到对称轴的距离都为3，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴点B的横坐标为（不妨设点B在点C的左侧），
在中，当时，，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）将(4，0)与(1，3)两个点的坐标分别代入y=ax2+bx可得关于字母a、b的方程组，求解即可得出a、b的值，从而求出二次函数的解析式；
（2）将P、Q两点坐标分别代入（1）所求抛物线的解析式分别用含x1与x2的式子表示出y1与y2，整体代入化简整理即可得出答案；
（3）设，则，可求出，，则直线的表达式，进而得到，进一步可推出，故当时，有最大值，最大值为6，根据题意可得点B和点C关于对称轴对称，则点B和点C到对称轴的距离都为3，求出点B的横坐标，进而求出点B的纵坐标即可得到答案．
（1）解：∵二次函数的图象经过点和，
∴，
解得，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：∵点，是该二次函数图象上的两个动点，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，则，
∴，，
∴，；
设直线的表达式，
则，解得，
∴直线的表达式，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为6，
∵轴，
∴点B和点C关于对称轴对称，
∴点B和点C到对称轴的距离都为3，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴点B的横坐标为（不妨设点B在点C的左侧），
在中，当时，，
∴．
24．【答案】（1）解：为的中点，为的中点，为的中点，
是的中位线，，
，
，
；
（2）证明：连接，
为的中点，为的中点，
是的中位线，，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：为的中点，
，
为的中点，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）由中点定义得出，由三角形中位线等于第三边的一半得出，结合，即可求解；
（2）连接PD，由中点定义得出， 由三角形中位线等于第三边的一半得出，结合AB=AC推出，由等腰三角形的三线合一得出，由三角形的中位线平行于第三边得出PE∥CD，由二直线平行，内错角相等得，从而用“AAS”证明，根据全等三角形的对应边相等得出CD=PN；
（3）由同高三角形面积关系就是对应底之间的关系得到，，从而即可求出答案.
（1）解：为的中点，为的中点，为的中点，
是的中位线，，
，
，
；
（2）证明：连接，
为的中点，为的中点，
是的中位线，，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：为的中点，
，
为的中点，
，
．
1 / 12026年浙江省丽水市中考一模考试数学试题
1．的值是（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：．
故答案为：D.
【分析】先根据一个负数的绝对值等于其相反数进行化简，再根据去括号法则化简即可.
2．下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、圆台的主视图和左视图都是梯形，本选项不符合题意；
B、圆柱的主视图是长方形，左视图是圆，本选项符合题意；
C、圆锥的主视图与左视图相同，都是等腰三角形，本选项不符合题意；
D、球的主视图和左视图相同，都是圆，本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据从正面和左面看到的几何图形逐项判断解题即可．
3．某AI机器人在展厅为8位参观者作咨询服务，咨询时长（单位：分钟）如下：4，6，5，7，5，9，5，8，这组数据的众数是（　　）
A．9分钟 B．6分钟 C．5.5分钟 D．5分钟
【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】解：5是这组数据中出现次数最多的数，即这组数据的众数是5分钟．
故答案为：D.
【分析】出现次数最多的数据是众数，据此解答即可．
4．以下运算结果等于的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不能合并，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，则选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
5．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是．
故答案为：(1，2).
【分析】由抛物线的顶点式y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h，k)可直接得出答案.
6．将，，三根直木条按如图所示的位置摆放，且，，固定木条和，木条绕点顺时针旋转，则下列描述正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】旋转的性质；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：，木条绕点顺时针旋转，
可得旋转后，
，
，
．
故答案为：A.
【分析】根据旋转方向、旋转角及角的构成可知旋转后∠2=45°+55°=100°=∠1，然后根据同位角相等，两直线平行得出a∥b.
7．如图，在平面直角坐标系中，由绕点P旋转得到，则点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】如图，作出和的垂直平分线，它们的交点即为P点．
根据作出的图形可知点P的坐标为．
故选B．
【分析】
旋转变换有这些性质：经过旋转后，图形上每一个点都会绕旋转中心沿相同方向转动相同角度，任意一对对应点和旋转中心的连线所形成的角都等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，同时旋转前后图形的对应角相等、对应线段也相等.
8．如图，正方形的边长为4，将其无重叠、无空隙地剪拼成菱形，其中，分别为，的中点，则菱形的边长为（　　）
A．5 B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；正方形的性质；图形的剪拼；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接EF交CD于点H，
由题意可得，
由此可得：，，
根据勾股定理可得：，
因此，即该菱形的边长为．
故答案为：C.
【分析】由图形剪拼可得△PDG≌△FHG，由全等三角形的对应边相等得DG=HG=DH=CD=1，PD=FH=AD=2，由勾股定理算出PG=FG=，最后根据PF=PG+FG即可得出答案.
9．龙泉青瓷工艺是世界级非物质文化遗产，“浙”赛区冠军奖杯采用龙泉青瓷工艺制作，如图，杯身高占总高的，杯身高与底座高之和是，杯顶高与杯身高之和是，设杯身高为，底座高为，则根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设杯身高为，底座高为，
根据杯身高与底座高之和是，可得：，
杯身高占总高的，
总高为，
杯顶高与杯身高之和是，
又杯顶高与杯身高之和是，
∴，
可列方程组为．
故答案为：A.
【分析】设杯身高为xcm，底座高为ycm，由杯身高与底座高之和是42cm可列出方程x+y=42①；由“ 杯身高占总高的”可得奖杯的总高为，则杯顶高与杯身高之和是，再由杯顶高与杯身高之和是49cm列出方程②，联立两方程即可.
10．如图，四边形内接于，是直径，连接，若，，，则的长为（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作于点H，连接，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∵，，
∴，；
又∵，
∴点O在DH上，
∴O、D、H三点共线，
在中，由勾股定理得，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】过点D作于点H，连接，由直径所对的圆周角为直角得到，在Rt△ABC中，由勾股定理可得，由等腰三角形的三线合一定理得到；根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上可得O、D、H三点共线，在Rt△BOH中，利用勾股定理算出OH，再由线段和差算出DH，进而再利用勾股定理依次算出CD与AD即可.
11．已知： ，则 =　 　.
【答案】1.5
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为： 1.5。
【分析】根据比例式的两内项之积等于两外项之积得出 再代入代数式，合并同类项约分即可。
12．化简：　 　．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：．
故答案为：x2-y2.
【分析】两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，这样的两个二项式相乘可以使用平方差公式，用完全相同项的平方减去互为相反数项的平方即可.
13．如图，电路图上有3个开关，，和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设为①，为②，为③，画出树状图如下：
共有6种等可能结果，其中小灯泡发光的结果有①②，①③，②①，③①，共4种，
∴若任意闭合电路上2个开关，则小灯泡发光的概率为：，
故答案为：．
【分析】
先通过树状图或列表列举出该事件所有可能出现的结果总数，再找出满足题目要求的结果数量，由于所有结果发生的可能性相等，最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到对应概率.
14．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为　 　．
【答案】2026
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
①-②得2x-2y=2m+6，即x-y=m+3，
∵x-y=2029，
∴m+3=2029，
∴m=2026.
故答案为：2026.
【分析】用方程组中的①方程减去②可得到x-y=m+3，结合x-y=2029可列出关于字母m的方程，求解即可.
15．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为　 　．
【答案】3
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：过原点的直线与反比例函数的图象交于，，
，两点关于原点对称，
，，
，，
，，
则，解得．
故答案为：3.
【分析】根据反比例函数与正比例函数的对称性，可得点A与点B关于坐标原点对称，由关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数及互为相反数的两个数得和为零列出关于字母a、b得方程，求解得出a、b得值，进而即可求出点A、B得坐标，最后利用待定系数法即可求出k的值.
16．如图，在中，点在上，点关于直线的对称点落在内，延长交于点，交射线于点，延长交于点．当时，设，，则　 　（用含的代数式表示）．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，

设，
∵，
∴，，
∴，
由轴对称性质得
∵，即
∴
∴即
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
由轴对称性质得
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴即
∴
∵AD∥BC
∴
∴
∴
解得：
故答案为：.
【分析】延长AD、EQ交于点M，设CQ=a，CE=b，结合已知得DQ=an，BE=mb，则CD=(n+1)a，AD=BC=(m+1)b，由轴对称得AF=AB=(n+1)a；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△DQM∽△CQE，由相似三角形对应边成比例求出DM=bn；由平行四边形的对角相等得∠B=∠ADQ，由轴对称性质得∠AFE=∠B，由邻补角、等量代换得出∠AFQ+∠ADQ=180°，由四边形的内角和定理推出∠DAF+∠DQF=180°，由邻补角及同角的补角相等推出∠EQC=∠DAF，由二直线平行，内错角相等得∠DAF=∠FPE，则∠FPE=∠EQC，结合公共角∠FEP=∠CEQ，由有两组角相等的两个三角形相似得△FEP∽△CEQ，由相似三角形对应边成比例建立方程求出PF=ma；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AMF∽△PEF，由相似三角形对应边成比例建立方程即可用含m的式子表示出n.
17．解不等式：．
【答案】解：去括号得，
移项合并得，
解得．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】先去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可.
18．先化简，再求值：其中
【答案】解：原式
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据同分母分式的减法计算，然后分解因式约分化简，再代入a的值解答即可.
19．如图，边长为1的小正方形组成的网格中，已知点，在网格的格点上．
（1）在图1中，画一个以为边，顶点都在格点上，面积为6的平行四边形；
（2）在图2中，画一个以为对角线，顶点都在格点上，面积为6的平行四边形．
【答案】（1）解：如图1，四边形即为所作；
（2）解：如图2，四边形即为所作；
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）开放性命题，利用网格的特点、平行四边形定义及平行四边形面积公式，作一个底边为2，高为3且AB为边的平行四边形即可；
（2） 开放性命题，利用网格的特点、平行四边形定义及平行四边形面积公式， 作一个底边为2，高为3且AB为对角线的平行四边形即可．
（1）解：如图1，四边形即为所作；
；
（2）解：如图2，四边形即为所作；
．
20．某校为了解学生寒假在家期间进行体育锻炼的时间（单位：小时），随机抽取了本校部分学生进行问卷调查．要求抽取的学生在A，B，C，D，E五个选项中只选一项，并将抽查结果绘制成如下两幅统计图，请根据图中信息回答问题：
（1）求所抽取的学生总人数；
（2）若该校共有学生1800人，请估算该校学生进行体育锻炼的时间满足的人数．
【答案】（1）解：（人），
答：所抽取的学生总人数为60人
（2）解：样本中的人数有（人），
（人），
答：估算该校学生进行体育锻炼的时间满足的人数约有600人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用选择B选项的人数除以其所占百分比即可求出本次调查抽取的学生总人数；
（2）根据选择A、B、C、D、E五个选项的人数之和等于本次调查的总人数求出选择C选项的人数，然后用该学校学生总人数乘以样本中选择C选项的人数所占的百分比即可估算该校学生进行体育锻炼的时间满足40≤t＜60的人数.
（1）解：（人），
答：所抽取的学生总人数为60人；
（2）解：样本中的人数有（人），
（人），
答：估算该校学生进行体育锻炼的时间满足的人数约有600人．
21．【阅读理解】
对于两个函数，当自变量任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”．例如：与互为“关联函数”．
【初步探究】
（1）如图，函数经过点，求该函数的“关联函数”表达式；
【深入思考】
（2）在（1）条件下，函数图象的一段向上平移个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点．求的最小值．
【答案】解：（1）∵函数经过点，
∴将点代入函数：，即，
∴原函数为，
根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和为2，设关联函数为，
则：，
∴，
∴函数的“关联函数”表达式为；
（2）函数在上向上平移m个单位后，解析式为：，
它的“关联函数”为，
∵两个函数有交点，即方程在范围内有解，
解方程：，得，
∴，
解不等式：，得，
解不等式：，得，
∴的取值范围是，则的最小值为．
【知识点】解一元一次不等式组；待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将(1，2)代入y=kx算出k的值，可得原函数解析式，根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和为2，列式求解即可；
（2）根据依次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得出平移后函数解析式为y=2x+m(-2≤x≤0)，由平移后的函数与其关联函数图象有交点，可得方程2x+m=2-2x在-2≤x≤0范围内有解，从而将m作为常数解该方程，用含m的式子表示为，将其代入-2≤x≤0，求解即可得出m的取值范围，从而即可得出答案.
22．如图，已知是半圆的直径，点，在半圆上，且平分，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）证明：如图，连接．
，
．
平分，
，
．
．
，
，
又是的半径，
是的切线
（2）解：连接交于F，
是的直径，
，
，
，
，四边形为矩形，
，
．
在中，，由勾股定理，得
．
．
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；切线的判定；求余弦值；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OD，由等边对等角及角平分线的定义可得∠1=∠2=∠ADO，由内错角相等两直线平行得出AC∥OD，结合AE⊥DE可得OD⊥DE，从而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）连接BC交OD于点F，由直径所对的圆周角为直角得出∠ACB=90°，由二直线平行，同位角相等得∠OFB=90°，由垂径定理得出BC=2CF，由三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形ECFD为矩形，由矩形对边相等得CF=ED=4，从而可得BC=8，在Rt△ACB中，利用勾股定理建立方程求出AC的长，最后根据余弦函数的定义解答即可.
（1）证明：如图，连接．
，
．
平分，
，
．
．
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：连接交于F，
是的直径，
，
，
，
，四边形为矩形，
，
．
在中，，由勾股定理，得
．
．
23．已知二次函数的图象经过点和，点，是该二次函数图象上的两个动点，满足，且．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求的值；
（3）已知一条平行于轴的直线过点交于点，一条平行于轴的直线过点交函数图象于，两点，且，求的最大值及此时对应的值．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过点和，
∴，
解得，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：∵点，是该二次函数图象上的两个动点，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，则，
∴，，
∴，；
设直线的表达式，
则，解得，
∴直线的表达式，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为6，
∵轴，
∴点B和点C关于对称轴对称，
∴点B和点C到对称轴的距离都为3，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴点B的横坐标为（不妨设点B在点C的左侧），
在中，当时，，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）将(4，0)与(1，3)两个点的坐标分别代入y=ax2+bx可得关于字母a、b的方程组，求解即可得出a、b的值，从而求出二次函数的解析式；
（2）将P、Q两点坐标分别代入（1）所求抛物线的解析式分别用含x1与x2的式子表示出y1与y2，整体代入化简整理即可得出答案；
（3）设，则，可求出，，则直线的表达式，进而得到，进一步可推出，故当时，有最大值，最大值为6，根据题意可得点B和点C关于对称轴对称，则点B和点C到对称轴的距离都为3，求出点B的横坐标，进而求出点B的纵坐标即可得到答案．
（1）解：∵二次函数的图象经过点和，
∴，
解得，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：∵点，是该二次函数图象上的两个动点，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，则，
∴，，
∴，；
设直线的表达式，
则，解得，
∴直线的表达式，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为6，
∵轴，
∴点B和点C关于对称轴对称，
∴点B和点C到对称轴的距离都为3，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴点B的横坐标为（不妨设点B在点C的左侧），
在中，当时，，
∴．
24．如图，在中，，，分别为，的中点，连接，为的中点，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连接，．
（1）若，求的长；
（2）证明：；
（3）当时，求的值．
【答案】（1）解：为的中点，为的中点，为的中点，
是的中位线，，
，
，
；
（2）证明：连接，
为的中点，为的中点，
是的中位线，，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：为的中点，
，
为的中点，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）由中点定义得出，由三角形中位线等于第三边的一半得出，结合，即可求解；
（2）连接PD，由中点定义得出， 由三角形中位线等于第三边的一半得出，结合AB=AC推出，由等腰三角形的三线合一得出，由三角形的中位线平行于第三边得出PE∥CD，由二直线平行，内错角相等得，从而用“AAS”证明，根据全等三角形的对应边相等得出CD=PN；
（3）由同高三角形面积关系就是对应底之间的关系得到，，从而即可求出答案.
（1）解：为的中点，为的中点，为的中点，
是的中位线，，
，
，
；
（2）证明：连接，
为的中点，为的中点，
是的中位线，，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：为的中点，
，
为的中点，
，
．
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