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浙江省台州市椒江区海山教育联盟2025-2026学年第二学期知识类拓展评估八年级数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，请选出一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不得分)
1．以下是四款常见的人工智能大模型的图标，其中是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A．该图形是中心对称图形，符合题意；
B．该图形不是中心对称图形，不符合题意；
C．该图形不是中心对称图形，不符合题意；
D．该图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
【分析】中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行逐项分析，即可作答．
2．下列式子属于最简二次根式的是（　　)。
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A . 满足两个条件，是最简二次根式；
B .，被开方数含分母，不是最简二次根式；
C .，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
D .，被开方数含分母，不是最简二次根式；
故答案为：A.
【分析】 根据最简二次根式定义“被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式”逐项判断解答即可.
3． 如图，已知在平行四边形ABCD中， ∠A+∠C=200°，则∠B的度数为（ ) 。
A．70° B．75° C．80° D．85°
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形对角相等可得，再根据两直线平行，同旁内角互补解答即可．
4．若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设这个多边形的边数为n，
∴（n-2）×180°=540°
解得n=5
故答案为：B．
【分析】根据内角和公式即可求解．
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法；求算术平方根
【解析】【解答】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算正确，故该选项符合题意；
故选：D．
【分析】
按照对应二次根式减法法则、二次根式除法法则、二次根式乘法法则，结合算术平方根的定义计算验证即可得到结果.
6．用配方法解方程 下列配方正确的是（　　)。
A．（x-2)2=1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据配方法可得：，
，
∴；
故答案为：B.
【分析】先移项，然后添加一次项系数一半的平方，把左边写成完全平方的形式解答即可.
7． 如图，在平行四边形ABCD中， BF平分∠ABC，交AD于点 F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB=6， EF=2，则BC的长为（　　) 。
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴且，
又、分别是和的角平分线，
∴，．
又，
∴，
是等腰三角形，即．
同理可证是等腰三角形．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义和平行四边形的性质得到、为等腰三角形，即可求出、的长，然后根据线段的和差解答即可．
8． 某市 2023年人均可支收入为 2.36万元， 2025年达到 2.7万元，若 2023年至 2025年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（　　)。
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意得，
，
故答案为：B.
【分析】设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据“ 2023年人均可支收入为 2.36万元， 2025年达到 2.7万元 ”列出一元二次方程即可．
9．如图， F是 ABCD的边CD上的点， Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE交于点 P，若 则阴影部分的面积为（　　)。
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵四边形为平行四边形，
，
，
∵是中点，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
即，
，
∴四边形为平行四边形，
，
∴阴影部分的面积．
故答案为B：.
【分析】连接，根据平行四边形的性质，利用AAS得到，即可得到，进而可得四边形为平行四边形，可得，然后推理得到四边形为平行四边形，可得，然后相加解答即可．
10．关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根 则下列成立的是（　　)。
A．若0C．若-3【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴原方程为，
解得，
∴，
若，则，即，则，
若，则，即，则，故A错误，不符合题意；
若，则，即，则，故C正确，符合题意；
若，则，即，故B、D错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】先根据方程根的情况根得，即可得到，原方程化为，解方程求出，计算可得，然后利用的取值范围与的符号关系解答即可．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分)
11．要使式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　。
【答案】x≥5
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x 5 0，解得x 5．
故答案为：x≥5.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可.
12．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　 　．
【答案】(-3，5)
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
【分析】关于原点对称的点的坐标：横、纵坐标分别互为相反数，据此解答即可.
13．已知二次根式 的值是整数，则正整数n的最小值为　 　。
【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：是整数，是正整数，
又，
是完全平方数，
最小的正整数的值为．
故答案为：3.
【分析】根据二次根式的被开方数是平方数解答即可．
14．如图，在△ABC中， ∠ABC=70°，将△ABC绕点A逆时针方向旋转，使点 B的对应点B'在BC边上，点C的对应点为C'，则∠CAC'=　 　。
【答案】40°
【知识点】三角形外角的概念及性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：将绕点逆时针方向旋转得到，
，，
点在边上，
，
在中，，
．
故答案为：40°.
【分析】根据旋转得到，，然后根据等边对等角和三角形内角和求出的度数解答即可．
15．关于x的方程 的解是 （a，m，b均为常数， a≠0)，则方程 的解是　 　。
【答案】x1=4，x2=5
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将已知方程整理得 ，其解为．
将待求解方程 变形为
令，则方程变为 ，可得，
即或，
解得．
故答案为：x1=4，x2=5.
【分析】先把方程化为，设，即可得到，根据已知方程可得y的解，然后代入求出x的值解答即可．
16．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的顶点 A（0，-1)，B（m，m+3)，C（4，1)，则对角线 BD 的最小值是　 　。
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；平行四边形的性质；坐标系中的两点距离公式；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：设点D的坐标为，
∵四边形是平行四边形，
∴与的中点坐标相同，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴对角线的最小值为．
故答案为：.
【分析】设点D的坐标为，利用平行四边形对角线互相平分和中点坐标公式可得，然后根据两点间距离公式得到，然后根据偶次方的非负性解答即可．
三、解答题（本题共有8小题,第17-21题每题8分,第22, 23题每题10分,第24题12分,共72分)
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算二次根式的除法、化简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据平方差公式计算即可．
18．解方程：
（1） （x-1)2=9；
（2）
【答案】（1）解：
∴或，
解得：，．
（2）解：
，
∴或，
解得：，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
19．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC三个顶点分别是A（-3，2)， B（0，4)， C（0，2) 。
（1）画出△ABC绕点C顺时针旋转90°所得的△A1B1C此时点A1坐标为 ▲ 。
（2）以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，此时点D坐标为 ▲ 。
【答案】（1）解：如图，绕点C顺时针旋转所得的，
A1（0，5）.
（2）解：（﹣3，4）或（﹣3，0）或（3，4）
【知识点】平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】（1）解：点坐标为．
故答案为：（0，5）.
（2）解：如图，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，
∴点D坐标为，，．
故答案为：（﹣3，4）或（﹣3，0）或（3，4）.
【分析】（1）根据旋转的性质作出点A，B关于点C的对应点，然后连接得到 ，即可写出点坐标；
（2）作出以点A、B、C、D为顶点的平行四边形，写出点D的坐标即可．
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点且AE=CF。
（1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形。
（2）若AB=CE， ∠BAC=82°， ∠ABE=25°，求∠EDF的度数。
【答案】（1）证明：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠AFD＝∠CEB，DF＝BE，
∴DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝82°，
∴AB＝CD＝CE，AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC＝82°，∠ABD＝∠CDB，
∴∠CED＝∠EDC＝（180°﹣∠DCE）＝49°，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴∠EBD＝∠FDB，
∴∠ABD﹣EBD＝∠CDB﹣∠FBD，
∴∠CDF＝∠ABE＝25°，
∴∠EDF＝EDC﹣∠CDF＝24°．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用SAS得到，即可得到，，进而可得，即可证明结论；
（2）根据平行四边形的性质可得，，根据两直线平行，内错角相等得到，，然后根据等边对等角和三角形的内角和求得，然后根据平行四边形的独角相等得到 ∠EBD＝∠FDB， 再根据角的和差解答即可．
21．已知关于x的方程
（1）求证：k取任何实数时，方程总有实数根。
（2）若Rt△ABC的斜边长c=3，另两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求 的面积。
【答案】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，
则k取任何实数值，方程总有实数根
（2）解：∵边长b，c恰好是这个方程的两个根，
∴，，（）
∵Rt△ABC斜边长a＝3，
∴a2＝b2+c2，
则9＝（b+c）2﹣2bc，
9＝（k+2）2﹣2×2k，
解得：k＝，
由＝k＝（不可能取负数），
故△ABC的面积S＝．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据求出一元二次方程根的判别式Δ＝（k﹣2）2≥0，即可得到方程根的情况；
（2）利用根与系数的关系可得，，然后根据勾股定理得到，然后根据完全平方公式变形，然后整体代入计算即可．
22．阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
如：将分母有理化，解：原式．
运用以上方法解决问题：
已知：，．
（1）化简m，n；
（2）求的值．
【答案】（1）解：；
；
（2） 解：原式
．

【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】
（1）按照分母有理化的方法对原式化简即可得到结果；
（2）依据二次根式的混合运算法则计算即可得出答案。
（1）解：；
；
（2）原式
．
23．某中学劳动教育实践活动中，同学们在一块100平方米的校园农场上种植玉米。经试验发现，每平方米种植6株时，每株产量是0.2千克；每平方米每增加1株，平均每株产量减少0.01千克；每平方米最多种植14株。设每平方米增加x株。
（1）增加后每平方米有　 　株，单株产量为　 　千克。（用含x的代数式表示)
（2）如果这块农场的玉米总产量为165千克，则每平方米应种植多少株
（3）用含x的式子表示这块农场玉米的总产量，如果这块农场的玉米总产量达到最大，求出此时x的值和最大的总产量。
【答案】（1）；
（2）解：根据题意得，，
解得：，
∵每平方米最多种植株，即，
解得，
∴，
此时每平方米应种植株；
（3）解：设总产量为千克，则：
，
由题意可知，，
解得，
又∵为增加的株数，即，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∵函数对称轴为，在范围内，
∴当时，玉米总产量最大为千克．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的其他应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）原来每平方米种株，增加株，所以是株；
原来每株产量千克，每增加株减少千克，增加株就减少千克，所以单株产量为千克；
故答案为：；；
【分析】（1）根据题意列代数式用表示出株数与单株产量即可；
（2）根据“总产量株数单株产量面积”列方程，求出x的值并检验解答即可；
（3）设总产量为千克，根据“总产量株数单株产量面积”列关系式，然后配方，根据偶次方的非负性求出最大值即可.
24．在平行四边形ABCD中，已知 的面积为12，将线段AB绕点 B 旋转一周，点A 的对应点为A'。
（1）如图1，当点A'恰好落在 BC上时，过点 B作 的平分线交AD于点E，连接A'E。求证：四边形 ABA'E为平行四边形。
（2）如图2，当旋转角为（ 时，连接AA'，并延长交CD于点 G.求线段A'G的长。
（3）连接AA'及A'D，当 为直角三角形时，求 A'D的长度（直接写出答案)。
【答案】（1）证明：∵线段AB绕点B旋转，点A的对应点为A'，
∴BA＝BA'
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA'∥AE
∴∠A'B E＝∠AEB，
∵BE平分∠AB A'
∴∠ABE=∠A'BE
∴∠ABE=∠AEB
∴AB=AE
∴AB'=AE
∵AB'∥AE
∴四边形ABA'E是平行四边形；
（2）解：如图2，连接BG，过点B作BH⊥AG
∵将AB沿点B旋转，点A的对应点为A'，
∴BA＝BA'，
∵∠ABA'＝60°，
∴△ABB'是等边三角形，AB＝
∴∠BAA'＝60°，AB＝AA'＝
∵BH⊥AG
∴AH=，BH，
∵S ABCD＝12，SΔABG＝S ABCD
∴SΔABG＝ AG BH＝6
∴AG＝，
∴A'G＝AG﹣AA'＝，
∴A'G=
（3）解：A'D＝2或4或或．
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】（3）解：当时，
如下图所示，
则有，，
，的面积为，
，
在中，，
，
由旋转可知，
，
；
如下图所示，作点关于的对称点，
则有，
；
当时，如下图所示，作于点，过点作，
由（2）可知，
作点关于的对称点，
在中，，
则有，，，
设，
则，，，
在中，，
，
解得：，（负值，舍去），
，，
，
，
，
解得：，
，
点是的中点，
是的垂直平分线，
，
当时，；
当时，如下图所示，作点关于直线的对称点，连接，延长交于点，
则，
，的面积为，
，
，
；
综上所述，当或或或时，为直角三角形．
故答案为：2或4或或．
【分析】（1）根据旋转可得BA＝BA'，根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得∠ABE=∠AEB，根据等角对等边得到，即可得到AB'=AE，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明结论即可；
（2）连接BG，过点B作BH⊥AG，即可得到SΔABG＝S ABCD=6，然后根据旋转可得△ABB'是等边三角形，然后根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出BH长，根据面积求出AG长，再根据线段的和差解答即可；
（3）分为 ，∠AA'D=90°，∠A'AD=90°三种情况，根据平行四边形的面积和勾股定理解答即可．
1 / 1浙江省台州市椒江区海山教育联盟2025-2026学年第二学期知识类拓展评估八年级数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，请选出一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不得分)
1．以下是四款常见的人工智能大模型的图标，其中是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
2．下列式子属于最简二次根式的是（　　)。
A． B． C． D．
3． 如图，已知在平行四边形ABCD中， ∠A+∠C=200°，则∠B的度数为（ ) 。
A．70° B．75° C．80° D．85°
4．若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．用配方法解方程 下列配方正确的是（　　)。
A．（x-2)2=1 B． C． D．
7． 如图，在平行四边形ABCD中， BF平分∠ABC，交AD于点 F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB=6， EF=2，则BC的长为（　　) 。
A．8 B．10 C．12 D．14
8． 某市 2023年人均可支收入为 2.36万元， 2025年达到 2.7万元，若 2023年至 2025年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（　　)。
A． B．
C． D．
9．如图， F是 ABCD的边CD上的点， Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE交于点 P，若 则阴影部分的面积为（　　)。
A． B． C． D．
10．关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根 则下列成立的是（　　)。
A．若0C．若-3二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分)
11．要使式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　。
12．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　 　．
13．已知二次根式 的值是整数，则正整数n的最小值为　 　。
14．如图，在△ABC中， ∠ABC=70°，将△ABC绕点A逆时针方向旋转，使点 B的对应点B'在BC边上，点C的对应点为C'，则∠CAC'=　 　。
15．关于x的方程 的解是 （a，m，b均为常数， a≠0)，则方程 的解是　 　。
16．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的顶点 A（0，-1)，B（m，m+3)，C（4，1)，则对角线 BD 的最小值是　 　。
三、解答题（本题共有8小题,第17-21题每题8分,第22, 23题每题10分,第24题12分,共72分)
17．计算：
（1）
（2）
18．解方程：
（1） （x-1)2=9；
（2）
19．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC三个顶点分别是A（-3，2)， B（0，4)， C（0，2) 。
（1）画出△ABC绕点C顺时针旋转90°所得的△A1B1C此时点A1坐标为 ▲ 。
（2）以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，此时点D坐标为 ▲ 。
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点且AE=CF。
（1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形。
（2）若AB=CE， ∠BAC=82°， ∠ABE=25°，求∠EDF的度数。
21．已知关于x的方程
（1）求证：k取任何实数时，方程总有实数根。
（2）若Rt△ABC的斜边长c=3，另两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求 的面积。
22．阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
如：将分母有理化，解：原式．
运用以上方法解决问题：
已知：，．
（1）化简m，n；
（2）求的值．
23．某中学劳动教育实践活动中，同学们在一块100平方米的校园农场上种植玉米。经试验发现，每平方米种植6株时，每株产量是0.2千克；每平方米每增加1株，平均每株产量减少0.01千克；每平方米最多种植14株。设每平方米增加x株。
（1）增加后每平方米有　 　株，单株产量为　 　千克。（用含x的代数式表示)
（2）如果这块农场的玉米总产量为165千克，则每平方米应种植多少株
（3）用含x的式子表示这块农场玉米的总产量，如果这块农场的玉米总产量达到最大，求出此时x的值和最大的总产量。
24．在平行四边形ABCD中，已知 的面积为12，将线段AB绕点 B 旋转一周，点A 的对应点为A'。
（1）如图1，当点A'恰好落在 BC上时，过点 B作 的平分线交AD于点E，连接A'E。求证：四边形 ABA'E为平行四边形。
（2）如图2，当旋转角为（ 时，连接AA'，并延长交CD于点 G.求线段A'G的长。
（3）连接AA'及A'D，当 为直角三角形时，求 A'D的长度（直接写出答案)。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A．该图形是中心对称图形，符合题意；
B．该图形不是中心对称图形，不符合题意；
C．该图形不是中心对称图形，不符合题意；
D．该图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
【分析】中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行逐项分析，即可作答．
2．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A . 满足两个条件，是最简二次根式；
B .，被开方数含分母，不是最简二次根式；
C .，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
D .，被开方数含分母，不是最简二次根式；
故答案为：A.
【分析】 根据最简二次根式定义“被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式”逐项判断解答即可.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形对角相等可得，再根据两直线平行，同旁内角互补解答即可．
4．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设这个多边形的边数为n，
∴（n-2）×180°=540°
解得n=5
故答案为：B．
【分析】根据内角和公式即可求解．
5．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法；求算术平方根
【解析】【解答】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算正确，故该选项符合题意；
故选：D．
【分析】
按照对应二次根式减法法则、二次根式除法法则、二次根式乘法法则，结合算术平方根的定义计算验证即可得到结果.
6．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据配方法可得：，
，
∴；
故答案为：B.
【分析】先移项，然后添加一次项系数一半的平方，把左边写成完全平方的形式解答即可.
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴且，
又、分别是和的角平分线，
∴，．
又，
∴，
是等腰三角形，即．
同理可证是等腰三角形．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义和平行四边形的性质得到、为等腰三角形，即可求出、的长，然后根据线段的和差解答即可．
8．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意得，
，
故答案为：B.
【分析】设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据“ 2023年人均可支收入为 2.36万元， 2025年达到 2.7万元 ”列出一元二次方程即可．
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵四边形为平行四边形，
，
，
∵是中点，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
即，
，
∴四边形为平行四边形，
，
∴阴影部分的面积．
故答案为B：.
【分析】连接，根据平行四边形的性质，利用AAS得到，即可得到，进而可得四边形为平行四边形，可得，然后推理得到四边形为平行四边形，可得，然后相加解答即可．
10．【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴原方程为，
解得，
∴，
若，则，即，则，
若，则，即，则，故A错误，不符合题意；
若，则，即，则，故C正确，符合题意；
若，则，即，故B、D错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】先根据方程根的情况根得，即可得到，原方程化为，解方程求出，计算可得，然后利用的取值范围与的符号关系解答即可．
11．【答案】x≥5
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x 5 0，解得x 5．
故答案为：x≥5.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可.
12．【答案】(-3，5)
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
【分析】关于原点对称的点的坐标：横、纵坐标分别互为相反数，据此解答即可.
13．【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：是整数，是正整数，
又，
是完全平方数，
最小的正整数的值为．
故答案为：3.
【分析】根据二次根式的被开方数是平方数解答即可．
14．【答案】40°
【知识点】三角形外角的概念及性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：将绕点逆时针方向旋转得到，
，，
点在边上，
，
在中，，
．
故答案为：40°.
【分析】根据旋转得到，，然后根据等边对等角和三角形内角和求出的度数解答即可．
15．【答案】x1=4，x2=5
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将已知方程整理得 ，其解为．
将待求解方程 变形为
令，则方程变为 ，可得，
即或，
解得．
故答案为：x1=4，x2=5.
【分析】先把方程化为，设，即可得到，根据已知方程可得y的解，然后代入求出x的值解答即可．
16．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；平行四边形的性质；坐标系中的两点距离公式；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：设点D的坐标为，
∵四边形是平行四边形，
∴与的中点坐标相同，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴对角线的最小值为．
故答案为：.
【分析】设点D的坐标为，利用平行四边形对角线互相平分和中点坐标公式可得，然后根据两点间距离公式得到，然后根据偶次方的非负性解答即可．
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算二次根式的除法、化简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据平方差公式计算即可．
18．【答案】（1）解：
∴或，
解得：，．
（2）解：
，
∴或，
解得：，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
19．【答案】（1）解：如图，绕点C顺时针旋转所得的，
A1（0，5）.
（2）解：（﹣3，4）或（﹣3，0）或（3，4）
【知识点】平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】（1）解：点坐标为．
故答案为：（0，5）.
（2）解：如图，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，
∴点D坐标为，，．
故答案为：（﹣3，4）或（﹣3，0）或（3，4）.
【分析】（1）根据旋转的性质作出点A，B关于点C的对应点，然后连接得到 ，即可写出点坐标；
（2）作出以点A、B、C、D为顶点的平行四边形，写出点D的坐标即可．
20．【答案】（1）证明：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠AFD＝∠CEB，DF＝BE，
∴DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝82°，
∴AB＝CD＝CE，AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC＝82°，∠ABD＝∠CDB，
∴∠CED＝∠EDC＝（180°﹣∠DCE）＝49°，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴∠EBD＝∠FDB，
∴∠ABD﹣EBD＝∠CDB﹣∠FBD，
∴∠CDF＝∠ABE＝25°，
∴∠EDF＝EDC﹣∠CDF＝24°．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用SAS得到，即可得到，，进而可得，即可证明结论；
（2）根据平行四边形的性质可得，，根据两直线平行，内错角相等得到，，然后根据等边对等角和三角形的内角和求得，然后根据平行四边形的独角相等得到 ∠EBD＝∠FDB， 再根据角的和差解答即可．
21．【答案】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，
则k取任何实数值，方程总有实数根
（2）解：∵边长b，c恰好是这个方程的两个根，
∴，，（）
∵Rt△ABC斜边长a＝3，
∴a2＝b2+c2，
则9＝（b+c）2﹣2bc，
9＝（k+2）2﹣2×2k，
解得：k＝，
由＝k＝（不可能取负数），
故△ABC的面积S＝．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据求出一元二次方程根的判别式Δ＝（k﹣2）2≥0，即可得到方程根的情况；
（2）利用根与系数的关系可得，，然后根据勾股定理得到，然后根据完全平方公式变形，然后整体代入计算即可．
22．【答案】（1）解：；
；
（2） 解：原式
．

【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】
（1）按照分母有理化的方法对原式化简即可得到结果；
（2）依据二次根式的混合运算法则计算即可得出答案。
（1）解：；
；
（2）原式
．
23．【答案】（1）；
（2）解：根据题意得，，
解得：，
∵每平方米最多种植株，即，
解得，
∴，
此时每平方米应种植株；
（3）解：设总产量为千克，则：
，
由题意可知，，
解得，
又∵为增加的株数，即，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∵函数对称轴为，在范围内，
∴当时，玉米总产量最大为千克．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的其他应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）原来每平方米种株，增加株，所以是株；
原来每株产量千克，每增加株减少千克，增加株就减少千克，所以单株产量为千克；
故答案为：；；
【分析】（1）根据题意列代数式用表示出株数与单株产量即可；
（2）根据“总产量株数单株产量面积”列方程，求出x的值并检验解答即可；
（3）设总产量为千克，根据“总产量株数单株产量面积”列关系式，然后配方，根据偶次方的非负性求出最大值即可.
24．【答案】（1）证明：∵线段AB绕点B旋转，点A的对应点为A'，
∴BA＝BA'
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA'∥AE
∴∠A'B E＝∠AEB，
∵BE平分∠AB A'
∴∠ABE=∠A'BE
∴∠ABE=∠AEB
∴AB=AE
∴AB'=AE
∵AB'∥AE
∴四边形ABA'E是平行四边形；
（2）解：如图2，连接BG，过点B作BH⊥AG
∵将AB沿点B旋转，点A的对应点为A'，
∴BA＝BA'，
∵∠ABA'＝60°，
∴△ABB'是等边三角形，AB＝
∴∠BAA'＝60°，AB＝AA'＝
∵BH⊥AG
∴AH=，BH，
∵S ABCD＝12，SΔABG＝S ABCD
∴SΔABG＝ AG BH＝6
∴AG＝，
∴A'G＝AG﹣AA'＝，
∴A'G=
（3）解：A'D＝2或4或或．
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】（3）解：当时，
如下图所示，
则有，，
，的面积为，
，
在中，，
，
由旋转可知，
，
；
如下图所示，作点关于的对称点，
则有，
；
当时，如下图所示，作于点，过点作，
由（2）可知，
作点关于的对称点，
在中，，
则有，，，
设，
则，，，
在中，，
，
解得：，（负值，舍去），
，，
，
，
，
解得：，
，
点是的中点，
是的垂直平分线，
，
当时，；
当时，如下图所示，作点关于直线的对称点，连接，延长交于点，
则，
，的面积为，
，
，
；
综上所述，当或或或时，为直角三角形．
故答案为：2或4或或．
【分析】（1）根据旋转可得BA＝BA'，根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得∠ABE=∠AEB，根据等角对等边得到，即可得到AB'=AE，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明结论即可；
（2）连接BG，过点B作BH⊥AG，即可得到SΔABG＝S ABCD=6，然后根据旋转可得△ABB'是等边三角形，然后根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出BH长，根据面积求出AG长，再根据线段的和差解答即可；
（3）分为 ，∠AA'D=90°，∠A'AD=90°三种情况，根据平行四边形的面积和勾股定理解答即可．
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