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吉林省第二实验学校2025-2026学年下学期九年级中考一模数学试题
1．发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图；棱柱及其特点
【解析】【解答】解：正六棱柱的主视图是，
故答案为：C．
【分析】主视图，即从正面观察物体所得到的视图。本题根据主视图的定义，结合图2中的图形，即可画出主视图，从而得出答案。
2．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（　　）
A．垂线段最短 B．线段可以度量
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短，
故选A．
【分析】
依据“直线外一点与直线上各点连接得到的所有线段中，垂线段最短”这一性质来解答题目.
3．如图，、为数轴上的两个点，点对应的数记为，点对应的数记为，则点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由数轴可得，
∴则点位于第二象限，
故选：B．
【分析】根据数轴上点的位置可以得到，平面直角坐标系中四个象限内点的横纵坐标符号符合以下规律：第一象限为，第二象限为，第三象限为，第四象限为，结合得到的符号即可判断点所在的象限.
4．下列各式中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
故选：D．
【分析】结合合并同类项法则、幂的乘方法则、积的乘方法则以及同底数幂的乘除运算法则，对每一个选项分别进行分析，再判断正误.
5．不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
【分析】依据不等式的运算法则以及解集的表示方法来完成这道题的解答.
6．如图，是的半径，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于B，C两点，点D是上一点，点A与点D分别在的两侧，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：连接，，由作图知，是线段的垂直平分线，
所以，，
因为，
所以，
所以和都是等边三角形，
所以，
所以，
故选：B．
【分析】
根据题目的作图步骤可得，是线段的垂直平分线，由此可推出和均为等边三角形，最后结合圆内接四边形的性质即可完成解答.
7．中国科学院力学研究所研发的一款高超音速无人飞行器速度最高可达7马赫，即每小时飞行距离可达8570000米，数据8570000用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
8．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：
【分析】根据提公因式法，提取公因式即可求得．
9．石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意可得，图中的六边形都是正六边形．
∵正六边形的内角和为，
∴每一个内角为
∴．
故答案为：
【分析】
先根据多边形内角和公式求出正六边形的内角和，再进一步计算得到的度数.
10．以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“绛州鼓乐”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做个、甲工作组做个所用的时间与乙工作组做个所用的时间相等．若设甲工作组每天做个，则根据题意，可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲工作组每天做个，则乙工作组每天做个，
根据题意得，，
故答案为：．
【分析】设甲工作组每天完成个工件，那么乙工作组每天完成个工件，结合题目给出的条件即可得到方程.
11．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度h为　 　．
【答案】8
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数表达式为．
当，时得：
．
关于的函数表达式为，
把代入，得，
故密度计浸在溶液中的高度为，
故答案为：8．
【分析】首先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将代入所得解析式计算，即可得到对应结论.
12．先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
；
当，时，
原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先运用完全平方公式和平方差公式展开计算，之后合并同类项，再进行多项式除以单项式的运算化简式子，最后代入给定的数值计算出结果即可.
13．年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共艘．每艘“天问”需名航天工程师保障，每艘“神舟”需名工程师协同．现调配名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？
【答案】解：设“天问”有艘，“神舟”有艘，
根据题意，得，
解得，
答：“天问”有艘，“神舟”为艘．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】本题以航天器数量与工程师配备为背景，考查了二元一次方程组解决实际应用问题。设“天问”有x艘、“神舟”有y艘，根据飞船总数和工程师总数两个等量关系列出方程组，求解即可。
14．2026年央视春晚的主题为“骐骥驰骋，势不可挡”．以“四马齐驱”为创意核心，期许人们以千里马般的昂扬姿态奔赴新一年，也祝愿个人、社会与国家都能带着一往无前的气势开拓新局．现将分别印有“骐”“骥”“驰”“骋”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片的形状、大小、质地等完全相同，即除印有的字外无其他差别．
（1）若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“骥”的概率为________；
（2）若从盒子中随机摸出2张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上的字可以组成“驰骋”的概率．
【答案】（1）
（2）解：设印有“骐”“骥”“驰”“骋”的四张卡片为，，，，
画树状图如下：
由树状图可知，共有12种结果，每种结果出现的可能性都相等，其中摸出的这两张卡片上的字可以组成“驰骋”的结果是和有2种，
（摸出的这两张卡片上的字可以组成“驰骋”）．

【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
（1）
解：由题意知，共有4种等可能的结果，摸出的这张卡片上印有“骥”的结果有1种，
从盒子中随机抽取一张卡片，摸出的这张卡片上印有“骥”的概率为，
故答案为：；
【分析】
（1）根据题意可知，抽卡片一共有4种等可能发生的结果，其中抽到写有“骥”字卡片的结果数为1，结合概率公式即可计算出对应的概率；
（2）先通过画树状图的方法列出所有等可能的结果，再找出能满足两张卡片汉字组成“驰骋”的结果数量，最后代入概率公式即可得到所求概率.
（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，摸出的这张卡片上印有“骥”的结果有1种，
从盒子中随机抽取一张卡片，摸出的这张卡片上印有“骥”的概率为，
故答案为：；
（2）解：设印有“骐”“骥”“驰”“骋”的四张卡片为，，，，
画树状图如下：
由树状图可知，共有12种结果，每种结果出现的可能性都相等，其中摸出的这两张卡片上的字可以组成“驰骋”的结果是和有2种，
（摸出的这两张卡片上的字可以组成“驰骋”）．
15．图①，图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，，，均在格点上．图①中已画出线段，图②中已画出以为半径的，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中，以线段为边，画一个四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在图②中，画出经过点的的切线．
【答案】（1）解：如图，四边形即为所求；
（2）解：连接，取格点，连接，
∵，，，
∵，
∴，
即所在直线为的切线，
下图中直线即为所求：
【知识点】勾股定理的逆定理；切线的判定；中心对称及中心对称图形；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）以线段作为边，画出一个普通的非特殊的平行四边形，就满足要求；
（2）结合切线的性质，借助网格的特点就能画出符合要求的图形.
（1）解：如图，四边形即为所求；
（2）解：连接，取格点，连接，
∵，，，
∵，
∴，
即所在直线为的切线，
下图中直线即为所求：
16．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，求的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵垂直平分线段，
∴，
∴四边形是菱形
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
由（1）得四边形是菱形，
∴，
∴
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）首先由矩形的性质可以推出，且对角线互相平分，即，结合平行线的内错角相等，可以通过ASA判定定理证明，由全等三角形对应边相等可得FC=AE，结合FCAE，可推出四边形是平行四边形；又因为EF垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质可得，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证明四边形是菱形；
（2）先根据矩形四个内角为直角的性质，得到，结合已知条件可求出，再利用菱形对角线平分一组对角的性质，即可计算得到的度数．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵垂直平分线段，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
由（1）得四边形是菱形，
∴，
∴．
17．2026年总台春晚分会场花落合肥，央视春晚的聚光灯将照亮江淮大地．合肥骆岗公园是由323公顷废弃机场蜕变而来的城市绿肺，首个以城市更新为核心，全园免费开放的大型公园，从硬地到生态奇迹．下图是骆岗公园的标志性建筑——全向信标台．小明利用周末时间，前往骆岗公园，借助三角函数知识，对全向信标台的高度进行测量，得到以下数据：如图，在点用垂直于地面放置的测角仪测得顶端的仰角为，在处测得的仰角为两点水平距离为，测角仪高为．求全向信标台的高度（结果精确到）．（参考数据：）
【答案】解：根据题意，得，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
答：全向信标台的高度约为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】结合题意可以得出，在中，利用等腰直角三角形的性质得到，之后在中，依据三角函数的定义可推出关系式，最后结合已知条件就可以完成求解.
18．2025年，国务院印发《国务院关于深入实施“人工智能＋”行动的意见》，为人工智能的发展描绘了未来10年的战略蓝图．为了更好地拥抱人工智能，某校八年级信息技术社团在第一次能力测试之后，将人工智能技术应用于社团教学中，两个月后进行了第二次能力测试．从两次能力测试中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，绘制成如图统计图．
根据以上信息，整理、分析数据，得到下表：
平均成绩/分 中位数/分 众数/分
第一次测试
第二次测试
（1）________，________；
（2）若规定分及分以上为优秀，该社团共名学生参加了第二次测试，估计在第二次测试中成绩优秀的学生人数；
（3）结合两次测试成绩，通过分析统计量，你能得到什么结论？写出一条即可．
【答案】（1）；
（2）解：第二次测试中分及分以上的人数为（人），占比为，
（人）．
答：该社团在第二次测试中成绩优秀的人数约为人
（3）解：第二次测试的平均成绩和中位数都高于第一次，说明将人工智能技术应用于社团教学后，学生的成绩整体有所提升．（答案不唯一，言之有理即可）
【知识点】中位数；常用统计量的选择；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵第一次能力测试的学生成绩中，分的占比最高，为，
∴第一次成绩的众数为分，即；
∵第二次测试的名学生的成绩中，第名和第名的成绩都是分，
∴第二次成绩的中位数为（分），即；
【分析】（1）根据中位数与众数的定义来计算求解这两个统计量；
（2）先算出样本里第二次测试成绩达到优秀等级的人数占样本总人数的比例，再用这个比例乘以社团的总学生数，就能估计出全社团第二次测试成绩为优秀的总人数；
（3）通过对两次测试成绩的平均数、中位数以及众数进行对比分析，就可以得出训练效果的相关结论.
（1）解：∵第一次能力测试的学生成绩中，分的占比最高，为，
∴第一次成绩的众数为分，即；
∵第二次测试的名学生的成绩中，第名和第名的成绩都是分，
∴第二次成绩的中位数为（分），即；
（2）解：第二次测试中分及分以上的人数为（人），占比为，
（人）．
答：该社团在第二次测试中成绩优秀的人数约为人．
（3）解：第二次测试的平均成绩和中位数都高于第一次，说明将人工智能技术应用于社团教学后，学生的成绩整体有所提升．（答案不唯一，言之有理即可）
19．夏日来临前，某水库的蓄水量一直保持平稳不变，由于持续高温和连日无雨，水库出现干旱情况，水库的蓄水量随着时间的增加而减少，为了研究干旱持续时间x（天）与蓄水量y（万立方米）之间的关系，水库管理人员每隔一段时间进行勘测记录，并从函数角度进行了加下实验探究：
【实验观察】管理人员勘测的数据如下表
干旱持续时间x（天） 10 20 25 30
蓄水量y（万立方米） 1000 800 700 600
（1）【探索发现】①如图，建立平面直角坐标系，横轴表示干旱持续时间x，纵轴表示蓄水量y，描出以表格中数据为坐标的各点．
②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
（2）【结论应用】应用上述发现的规律计算：
①水库干旱前的蓄水量是多少？
②如果蓄水量小于400万立方米时，将发出严重干旱警报，干旱持续多少天后将发出严重干旱警报？
【答案】（1）解：①描出以表格中数据为坐标的各点如下：
；
②这些点在同一条直线上，
设经过点（10，1000）和（20，800）的直线所对应的函数表达式为y=kx+b，
则，
解得，
∴表达式为y=-20x+1200，
验证，当x=30时，y=-20×30+1200=600，
∴点（30，600）在这条直线上，
∴这条直线所对应的函数表达式为y=-20x+1200；
（2）解：①在y=-20x+1200中，令x=0得y=1200，
∴水库干旱前的蓄水量是1200万立方米；
②若y＜400，则-20x+1200＜400，
解得x＞40，
答：干旱持续40天后将发出严重干旱警报．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）①根据表格给出的数据，在坐标系中逐个描出对应的点；
②借助待定系数法求解，可得这条直线对应的函数解析式为y=-20x+1200；
（2）①在已经得到的函数解析式y=-20x+1200中，令自变量x=0计算，即可得到干旱开始前，水库的蓄水量为1200万立方米；②根据题意列出不等式-20x+1200＜400，解该不等式可得，干旱持续40天后水库就会发出严重干旱警报.
（1）解：①描出以表格中数据为坐标的各点如下：
；
②这些点在同一条直线上，
设经过点（10，1000）和（20，800）的直线所对应的函数表达式为y=kx+b，
则，
解得，
∴表达式为y=-20x+1200，
验证，当x=30时，y=-20×30+1200=600，
∴点（30，600）在这条直线上，
∴这条直线所对应的函数表达式为y=-20x+1200；
（2）解：①在y=-20x+1200中，令x=0得y=1200，
∴水库干旱前的蓄水量是1200万立方米；
②若y＜400，则-20x+1200＜400，
解得x＞40，
答：干旱持续40天后将发出严重干旱警报．
20．综合与实践：
【实践操作】如图1，在中，，．点是外一点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，连接，，．
【探究发现】试证明：；
【性质应用】如图2，点为正方形内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，，求出与之间的数量关系；
【拓展延伸】如图3，当时，点在的延长线上，连接，将线段绕点按逆时针向旋转，得到线段，连接，．求的值．
【答案】【探究发现】证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴；
【性质应用】：解：如图2，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
又，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴；
【拓展延伸】：解：∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图3，设交于点，
，
∴，
∴，
∴
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】
【探究发现】：已知AB=AC，EB=EF，根据等边对等角可得 ，因此 证明，根据相似三角形的性质得到 ，即可证明；
【性质应用】：连接BD，根据正方形的性质可知AB=AD，=90°，又已知EB=EF，=90°，利用勾股定理可推得， ，同时可得，结合角的和差关系可证得=，因此，根据相似三角形对应边成比例的性质，即可推出最终结果；
【拓展延伸】首先根据等边对等角的性质，结合三角形内角和定理，可以得到。之后通过解直角三角形可以推出，由此可以证明，根据相似三角形的性质可得。设BD和CE的交点为点，可推得，由此就可以得到最终结论.
21．如图，矩形中，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，作交边或边于点，且和矩形在直线同侧，以为边向右侧作等边，设点运动的时间为秒，等边与矩形重叠部分的面积为．
（1）当点在边上时，用含的代数式表示的长；
（2）当点落在边上时，求的值；
（3）求与的函数解析式，并写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵设点运动的时间为秒，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，
∴，
∵，
∴即，
∴，
∴，
∵点在边上，
∴当点F与点D重合时，，
∴；

（2）解：如图所示，当点落在上时，
∵为等边三角形，，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，，
∵点运动速度为每秒个单位长度，
∴点落在边上时，运动了秒．
故当时，点落在边上
（3）解：因，故的最大值为，
①当点在上，点在矩形内部或者边上时，由（2）得，全部在矩形内部，
此时为直角三角形，，，
∵，
∴，
∴等边三角形的高为，
∴面积为，
∴等边与矩形重叠部分的面积为，此时．
②当点在上，点不在矩形边上时，
此时，，，
∴，
∵为直角三角形，且，
∴，
∴，，
∴等边与矩形重叠部分的面积为，
当时，达到临界值，即时，，
，此时．
③当时，点在上，点不在矩形边上时，
此时，，
∴，
∴等边与矩形重叠部分的面积为，此时．
∴与的函数解析式为
【知识点】等边三角形的性质；矩形的性质；二次函数的实际应用-几何问题；四边形-动点问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）按照题意可推得 ，再结合三角函数的性质得到， ，代入即可求出对应结果；
（2）根据题意，当点G落在DC边上时，满足，得到，解三角形后得到，由此即可得到题目的最终结论．
（3）本题需要分三种情况进行讨论：①当点在边上，点位于矩形内部或是在边上时，整体都处于矩形内部，求出后即可计算得到对应重叠面积；②当点在边上，点超出矩形的边的范围时，重叠部分的面积等于的面积减去的面积；我们先确定的长度，推导出，再结合三角形性质求得，由此计算出的面积，最终就可以得到重叠部分的面积；③当点在边上时，直接利用三角形的面积公式就可以计算得到对应重叠面积.
（1）解：∵设点运动的时间为秒，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，
∴，
∵，
∴即，
∴，
∴，
∵点在边上，
∴当点F与点D重合时，，
∴；
（2）解：如图所示，当点落在上时，
∵为等边三角形，，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，，
∵点运动速度为每秒个单位长度，
∴点落在边上时，运动了秒．
故当时，点落在边上．
（3）解：因，故的最大值为，
①当点在上，点在矩形内部或者边上时，由（2）得，全部在矩形内部，
此时为直角三角形，，，
∵，
∴，
∴等边三角形的高为，
∴面积为，
∴等边与矩形重叠部分的面积为，此时．
②当点在上，点不在矩形边上时，
此时，，，
∴，
∵为直角三角形，且，
∴，
∴，，
∴等边与矩形重叠部分的面积为，
当时，达到临界值，即时，，
，此时．
③当时，点在上，点不在矩形边上时，
此时，，
∴，
∴等边与矩形重叠部分的面积为，此时．
∴与的函数解析式为
22．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，交于，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由．
（3）设点，点，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形．
①用含的式子表示点的坐标；
②当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出的值或取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，将点，点的坐标分别代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为
（2）解：线段存在最大值；理由如下：
∵抛物线与轴交于点，
当时，得，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，将点的坐标代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
如图1，过点作轴，交于点．
设，则，
，
，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，
，
∴当时，有最大值，此时
（3）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，
∴点D、E在抛物线的对称轴上；
①当时，点在点上方，如图3，图4，
，
由旋转得：，
，；
当时，点在点下方，如图5．
同理可得：，
，
∴不论为何值，点坐标为．
②或或
【知识点】二次函数的最值；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）首先可以推出 ，因此可得 ，接着求出直线的解析式为 。过点P作PEx轴，交于点D。设，则 ，由此可以得到，再证明是等腰直角三角形，最后求出该二次函数的最大值即可。
（3）①我们需要分两种情况进行讨论：当n <时，点E位于点D的上方；当n >时，点E位于点D的下方，分别画出两种情况对应的图形，再求解即可得到最终结果；②已知正方形DEGF的边和二次函数x3范围内的图象有且仅有一个公共点，据此可以得到两种符合要求的情况：EG边与抛物线相交，或是抛物线的顶点落在正方形的边上。要满足上述条件，需要FG边位于B点的右侧，同时EG边与抛物线相交，即满足2-2n > 3；再结合顶点G落在抛物线上的情况，即可求出对应的n的值，最终得到符合要求的n的取值范围.
（1）解：∵抛物线与轴交于两点，将点，点的坐标分别代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：线段存在最大值；理由如下：
∵抛物线与轴交于点，
当时，得，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，将点的坐标代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
如图1，过点作轴，交于点．
设，则，
，
，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，
，
∴当时，有最大值，此时；
（3）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，
∴点D、E在抛物线的对称轴上；
①当时，点在点上方，如图3，图4，
，
由旋转得：，
，；
当时，点在点下方，如图5．
同理可得：，
，
∴不论为何值，点坐标为．
②∵正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点，
∴边与抛物线相交或顶点在抛物线上，
如图3，边在点右侧，与抛物线相交，，解得：；
如图4，点在抛物线上，∵四边形是正方形，
，
∵，
∴，
解得：（正值舍去）；
如图5，当时，点在抛物线上．
，
解得：（负值舍去）；
综上所述，的取值范围为或或．
1 / 1吉林省第二实验学校2025-2026学年下学期九年级中考一模数学试题
1．发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的主视图是（　　）
A． B． C． D．
2．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（　　）
A．垂线段最短 B．线段可以度量
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
3．如图，、为数轴上的两个点，点对应的数记为，点对应的数记为，则点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列各式中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，是的半径，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于B，C两点，点D是上一点，点A与点D分别在的两侧，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．无法确定
7．中国科学院力学研究所研发的一款高超音速无人飞行器速度最高可达7马赫，即每小时飞行距离可达8570000米，数据8570000用科学记数法表示为　 　．
8．因式分解：　 　．
9．石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为　 　．
10．以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“绛州鼓乐”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做个、甲工作组做个所用的时间与乙工作组做个所用的时间相等．若设甲工作组每天做个，则根据题意，可列方程为　 　．
11．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度h为　 　．
12．先化简，再求值：，其中，．
13．年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共艘．每艘“天问”需名航天工程师保障，每艘“神舟”需名工程师协同．现调配名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？
14．2026年央视春晚的主题为“骐骥驰骋，势不可挡”．以“四马齐驱”为创意核心，期许人们以千里马般的昂扬姿态奔赴新一年，也祝愿个人、社会与国家都能带着一往无前的气势开拓新局．现将分别印有“骐”“骥”“驰”“骋”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片的形状、大小、质地等完全相同，即除印有的字外无其他差别．
（1）若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“骥”的概率为________；
（2）若从盒子中随机摸出2张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上的字可以组成“驰骋”的概率．
15．图①，图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，，，均在格点上．图①中已画出线段，图②中已画出以为半径的，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中，以线段为边，画一个四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在图②中，画出经过点的的切线．
16．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，求的度数．
17．2026年总台春晚分会场花落合肥，央视春晚的聚光灯将照亮江淮大地．合肥骆岗公园是由323公顷废弃机场蜕变而来的城市绿肺，首个以城市更新为核心，全园免费开放的大型公园，从硬地到生态奇迹．下图是骆岗公园的标志性建筑——全向信标台．小明利用周末时间，前往骆岗公园，借助三角函数知识，对全向信标台的高度进行测量，得到以下数据：如图，在点用垂直于地面放置的测角仪测得顶端的仰角为，在处测得的仰角为两点水平距离为，测角仪高为．求全向信标台的高度（结果精确到）．（参考数据：）
18．2025年，国务院印发《国务院关于深入实施“人工智能＋”行动的意见》，为人工智能的发展描绘了未来10年的战略蓝图．为了更好地拥抱人工智能，某校八年级信息技术社团在第一次能力测试之后，将人工智能技术应用于社团教学中，两个月后进行了第二次能力测试．从两次能力测试中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，绘制成如图统计图．
根据以上信息，整理、分析数据，得到下表：
平均成绩/分 中位数/分 众数/分
第一次测试
第二次测试
（1）________，________；
（2）若规定分及分以上为优秀，该社团共名学生参加了第二次测试，估计在第二次测试中成绩优秀的学生人数；
（3）结合两次测试成绩，通过分析统计量，你能得到什么结论？写出一条即可．
19．夏日来临前，某水库的蓄水量一直保持平稳不变，由于持续高温和连日无雨，水库出现干旱情况，水库的蓄水量随着时间的增加而减少，为了研究干旱持续时间x（天）与蓄水量y（万立方米）之间的关系，水库管理人员每隔一段时间进行勘测记录，并从函数角度进行了加下实验探究：
【实验观察】管理人员勘测的数据如下表
干旱持续时间x（天） 10 20 25 30
蓄水量y（万立方米） 1000 800 700 600
（1）【探索发现】①如图，建立平面直角坐标系，横轴表示干旱持续时间x，纵轴表示蓄水量y，描出以表格中数据为坐标的各点．
②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
（2）【结论应用】应用上述发现的规律计算：
①水库干旱前的蓄水量是多少？
②如果蓄水量小于400万立方米时，将发出严重干旱警报，干旱持续多少天后将发出严重干旱警报？
20．综合与实践：
【实践操作】如图1，在中，，．点是外一点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，连接，，．
【探究发现】试证明：；
【性质应用】如图2，点为正方形内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，，求出与之间的数量关系；
【拓展延伸】如图3，当时，点在的延长线上，连接，将线段绕点按逆时针向旋转，得到线段，连接，．求的值．
21．如图，矩形中，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，作交边或边于点，且和矩形在直线同侧，以为边向右侧作等边，设点运动的时间为秒，等边与矩形重叠部分的面积为．
（1）当点在边上时，用含的代数式表示的长；
（2）当点落在边上时，求的值；
（3）求与的函数解析式，并写出的取值范围．
22．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，交于，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由．
（3）设点，点，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形．
①用含的式子表示点的坐标；
②当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出的值或取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图；棱柱及其特点
【解析】【解答】解：正六棱柱的主视图是，
故答案为：C．
【分析】主视图，即从正面观察物体所得到的视图。本题根据主视图的定义，结合图2中的图形，即可画出主视图，从而得出答案。
2．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短，
故选A．
【分析】
依据“直线外一点与直线上各点连接得到的所有线段中，垂线段最短”这一性质来解答题目.
3．【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由数轴可得，
∴则点位于第二象限，
故选：B．
【分析】根据数轴上点的位置可以得到，平面直角坐标系中四个象限内点的横纵坐标符号符合以下规律：第一象限为，第二象限为，第三象限为，第四象限为，结合得到的符号即可判断点所在的象限.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
故选：D．
【分析】结合合并同类项法则、幂的乘方法则、积的乘方法则以及同底数幂的乘除运算法则，对每一个选项分别进行分析，再判断正误.
5．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
【分析】依据不等式的运算法则以及解集的表示方法来完成这道题的解答.
6．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：连接，，由作图知，是线段的垂直平分线，
所以，，
因为，
所以，
所以和都是等边三角形，
所以，
所以，
故选：B．
【分析】
根据题目的作图步骤可得，是线段的垂直平分线，由此可推出和均为等边三角形，最后结合圆内接四边形的性质即可完成解答.
7．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
8．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：
【分析】根据提公因式法，提取公因式即可求得．
9．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意可得，图中的六边形都是正六边形．
∵正六边形的内角和为，
∴每一个内角为
∴．
故答案为：
【分析】
先根据多边形内角和公式求出正六边形的内角和，再进一步计算得到的度数.
10．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲工作组每天做个，则乙工作组每天做个，
根据题意得，，
故答案为：．
【分析】设甲工作组每天完成个工件，那么乙工作组每天完成个工件，结合题目给出的条件即可得到方程.
11．【答案】8
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数表达式为．
当，时得：
．
关于的函数表达式为，
把代入，得，
故密度计浸在溶液中的高度为，
故答案为：8．
【分析】首先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将代入所得解析式计算，即可得到对应结论.
12．【答案】解：
；
当，时，
原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先运用完全平方公式和平方差公式展开计算，之后合并同类项，再进行多项式除以单项式的运算化简式子，最后代入给定的数值计算出结果即可.
13．【答案】解：设“天问”有艘，“神舟”有艘，
根据题意，得，
解得，
答：“天问”有艘，“神舟”为艘．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】本题以航天器数量与工程师配备为背景，考查了二元一次方程组解决实际应用问题。设“天问”有x艘、“神舟”有y艘，根据飞船总数和工程师总数两个等量关系列出方程组，求解即可。
14．【答案】（1）
（2）解：设印有“骐”“骥”“驰”“骋”的四张卡片为，，，，
画树状图如下：
由树状图可知，共有12种结果，每种结果出现的可能性都相等，其中摸出的这两张卡片上的字可以组成“驰骋”的结果是和有2种，
（摸出的这两张卡片上的字可以组成“驰骋”）．

【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
（1）
解：由题意知，共有4种等可能的结果，摸出的这张卡片上印有“骥”的结果有1种，
从盒子中随机抽取一张卡片，摸出的这张卡片上印有“骥”的概率为，
故答案为：；
【分析】
（1）根据题意可知，抽卡片一共有4种等可能发生的结果，其中抽到写有“骥”字卡片的结果数为1，结合概率公式即可计算出对应的概率；
（2）先通过画树状图的方法列出所有等可能的结果，再找出能满足两张卡片汉字组成“驰骋”的结果数量，最后代入概率公式即可得到所求概率.
（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，摸出的这张卡片上印有“骥”的结果有1种，
从盒子中随机抽取一张卡片，摸出的这张卡片上印有“骥”的概率为，
故答案为：；
（2）解：设印有“骐”“骥”“驰”“骋”的四张卡片为，，，，
画树状图如下：
由树状图可知，共有12种结果，每种结果出现的可能性都相等，其中摸出的这两张卡片上的字可以组成“驰骋”的结果是和有2种，
（摸出的这两张卡片上的字可以组成“驰骋”）．
15．【答案】（1）解：如图，四边形即为所求；
（2）解：连接，取格点，连接，
∵，，，
∵，
∴，
即所在直线为的切线，
下图中直线即为所求：
【知识点】勾股定理的逆定理；切线的判定；中心对称及中心对称图形；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）以线段作为边，画出一个普通的非特殊的平行四边形，就满足要求；
（2）结合切线的性质，借助网格的特点就能画出符合要求的图形.
（1）解：如图，四边形即为所求；
（2）解：连接，取格点，连接，
∵，，，
∵，
∴，
即所在直线为的切线，
下图中直线即为所求：
16．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵垂直平分线段，
∴，
∴四边形是菱形
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
由（1）得四边形是菱形，
∴，
∴
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）首先由矩形的性质可以推出，且对角线互相平分，即，结合平行线的内错角相等，可以通过ASA判定定理证明，由全等三角形对应边相等可得FC=AE，结合FCAE，可推出四边形是平行四边形；又因为EF垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质可得，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证明四边形是菱形；
（2）先根据矩形四个内角为直角的性质，得到，结合已知条件可求出，再利用菱形对角线平分一组对角的性质，即可计算得到的度数．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵垂直平分线段，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
由（1）得四边形是菱形，
∴，
∴．
17．【答案】解：根据题意，得，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
答：全向信标台的高度约为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】结合题意可以得出，在中，利用等腰直角三角形的性质得到，之后在中，依据三角函数的定义可推出关系式，最后结合已知条件就可以完成求解.
18．【答案】（1）；
（2）解：第二次测试中分及分以上的人数为（人），占比为，
（人）．
答：该社团在第二次测试中成绩优秀的人数约为人
（3）解：第二次测试的平均成绩和中位数都高于第一次，说明将人工智能技术应用于社团教学后，学生的成绩整体有所提升．（答案不唯一，言之有理即可）
【知识点】中位数；常用统计量的选择；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵第一次能力测试的学生成绩中，分的占比最高，为，
∴第一次成绩的众数为分，即；
∵第二次测试的名学生的成绩中，第名和第名的成绩都是分，
∴第二次成绩的中位数为（分），即；
【分析】（1）根据中位数与众数的定义来计算求解这两个统计量；
（2）先算出样本里第二次测试成绩达到优秀等级的人数占样本总人数的比例，再用这个比例乘以社团的总学生数，就能估计出全社团第二次测试成绩为优秀的总人数；
（3）通过对两次测试成绩的平均数、中位数以及众数进行对比分析，就可以得出训练效果的相关结论.
（1）解：∵第一次能力测试的学生成绩中，分的占比最高，为，
∴第一次成绩的众数为分，即；
∵第二次测试的名学生的成绩中，第名和第名的成绩都是分，
∴第二次成绩的中位数为（分），即；
（2）解：第二次测试中分及分以上的人数为（人），占比为，
（人）．
答：该社团在第二次测试中成绩优秀的人数约为人．
（3）解：第二次测试的平均成绩和中位数都高于第一次，说明将人工智能技术应用于社团教学后，学生的成绩整体有所提升．（答案不唯一，言之有理即可）
19．【答案】（1）解：①描出以表格中数据为坐标的各点如下：
；
②这些点在同一条直线上，
设经过点（10，1000）和（20，800）的直线所对应的函数表达式为y=kx+b，
则，
解得，
∴表达式为y=-20x+1200，
验证，当x=30时，y=-20×30+1200=600，
∴点（30，600）在这条直线上，
∴这条直线所对应的函数表达式为y=-20x+1200；
（2）解：①在y=-20x+1200中，令x=0得y=1200，
∴水库干旱前的蓄水量是1200万立方米；
②若y＜400，则-20x+1200＜400，
解得x＞40，
答：干旱持续40天后将发出严重干旱警报．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）①根据表格给出的数据，在坐标系中逐个描出对应的点；
②借助待定系数法求解，可得这条直线对应的函数解析式为y=-20x+1200；
（2）①在已经得到的函数解析式y=-20x+1200中，令自变量x=0计算，即可得到干旱开始前，水库的蓄水量为1200万立方米；②根据题意列出不等式-20x+1200＜400，解该不等式可得，干旱持续40天后水库就会发出严重干旱警报.
（1）解：①描出以表格中数据为坐标的各点如下：
；
②这些点在同一条直线上，
设经过点（10，1000）和（20，800）的直线所对应的函数表达式为y=kx+b，
则，
解得，
∴表达式为y=-20x+1200，
验证，当x=30时，y=-20×30+1200=600，
∴点（30，600）在这条直线上，
∴这条直线所对应的函数表达式为y=-20x+1200；
（2）解：①在y=-20x+1200中，令x=0得y=1200，
∴水库干旱前的蓄水量是1200万立方米；
②若y＜400，则-20x+1200＜400，
解得x＞40，
答：干旱持续40天后将发出严重干旱警报．
20．【答案】【探究发现】证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴；
【性质应用】：解：如图2，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
又，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴；
【拓展延伸】：解：∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图3，设交于点，
，
∴，
∴，
∴
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】
【探究发现】：已知AB=AC，EB=EF，根据等边对等角可得 ，因此 证明，根据相似三角形的性质得到 ，即可证明；
【性质应用】：连接BD，根据正方形的性质可知AB=AD，=90°，又已知EB=EF，=90°，利用勾股定理可推得， ，同时可得，结合角的和差关系可证得=，因此，根据相似三角形对应边成比例的性质，即可推出最终结果；
【拓展延伸】首先根据等边对等角的性质，结合三角形内角和定理，可以得到。之后通过解直角三角形可以推出，由此可以证明，根据相似三角形的性质可得。设BD和CE的交点为点，可推得，由此就可以得到最终结论.
21．【答案】（1）解：∵设点运动的时间为秒，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，
∴，
∵，
∴即，
∴，
∴，
∵点在边上，
∴当点F与点D重合时，，
∴；

（2）解：如图所示，当点落在上时，
∵为等边三角形，，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，，
∵点运动速度为每秒个单位长度，
∴点落在边上时，运动了秒．
故当时，点落在边上
（3）解：因，故的最大值为，
①当点在上，点在矩形内部或者边上时，由（2）得，全部在矩形内部，
此时为直角三角形，，，
∵，
∴，
∴等边三角形的高为，
∴面积为，
∴等边与矩形重叠部分的面积为，此时．
②当点在上，点不在矩形边上时，
此时，，，
∴，
∵为直角三角形，且，
∴，
∴，，
∴等边与矩形重叠部分的面积为，
当时，达到临界值，即时，，
，此时．
③当时，点在上，点不在矩形边上时，
此时，，
∴，
∴等边与矩形重叠部分的面积为，此时．
∴与的函数解析式为
【知识点】等边三角形的性质；矩形的性质；二次函数的实际应用-几何问题；四边形-动点问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）按照题意可推得 ，再结合三角函数的性质得到， ，代入即可求出对应结果；
（2）根据题意，当点G落在DC边上时，满足，得到，解三角形后得到，由此即可得到题目的最终结论．
（3）本题需要分三种情况进行讨论：①当点在边上，点位于矩形内部或是在边上时，整体都处于矩形内部，求出后即可计算得到对应重叠面积；②当点在边上，点超出矩形的边的范围时，重叠部分的面积等于的面积减去的面积；我们先确定的长度，推导出，再结合三角形性质求得，由此计算出的面积，最终就可以得到重叠部分的面积；③当点在边上时，直接利用三角形的面积公式就可以计算得到对应重叠面积.
（1）解：∵设点运动的时间为秒，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，
∴，
∵，
∴即，
∴，
∴，
∵点在边上，
∴当点F与点D重合时，，
∴；
（2）解：如图所示，当点落在上时，
∵为等边三角形，，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，，
∵点运动速度为每秒个单位长度，
∴点落在边上时，运动了秒．
故当时，点落在边上．
（3）解：因，故的最大值为，
①当点在上，点在矩形内部或者边上时，由（2）得，全部在矩形内部，
此时为直角三角形，，，
∵，
∴，
∴等边三角形的高为，
∴面积为，
∴等边与矩形重叠部分的面积为，此时．
②当点在上，点不在矩形边上时，
此时，，，
∴，
∵为直角三角形，且，
∴，
∴，，
∴等边与矩形重叠部分的面积为，
当时，达到临界值，即时，，
，此时．
③当时，点在上，点不在矩形边上时，
此时，，
∴，
∴等边与矩形重叠部分的面积为，此时．
∴与的函数解析式为
22．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，将点，点的坐标分别代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为
（2）解：线段存在最大值；理由如下：
∵抛物线与轴交于点，
当时，得，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，将点的坐标代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
如图1，过点作轴，交于点．
设，则，
，
，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，
，
∴当时，有最大值，此时
（3）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，
∴点D、E在抛物线的对称轴上；
①当时，点在点上方，如图3，图4，
，
由旋转得：，
，；
当时，点在点下方，如图5．
同理可得：，
，
∴不论为何值，点坐标为．
②或或
【知识点】二次函数的最值；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）首先可以推出 ，因此可得 ，接着求出直线的解析式为 。过点P作PEx轴，交于点D。设，则 ，由此可以得到，再证明是等腰直角三角形，最后求出该二次函数的最大值即可。
（3）①我们需要分两种情况进行讨论：当n <时，点E位于点D的上方；当n >时，点E位于点D的下方，分别画出两种情况对应的图形，再求解即可得到最终结果；②已知正方形DEGF的边和二次函数x3范围内的图象有且仅有一个公共点，据此可以得到两种符合要求的情况：EG边与抛物线相交，或是抛物线的顶点落在正方形的边上。要满足上述条件，需要FG边位于B点的右侧，同时EG边与抛物线相交，即满足2-2n > 3；再结合顶点G落在抛物线上的情况，即可求出对应的n的值，最终得到符合要求的n的取值范围.
（1）解：∵抛物线与轴交于两点，将点，点的坐标分别代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：线段存在最大值；理由如下：
∵抛物线与轴交于点，
当时，得，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，将点的坐标代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
如图1，过点作轴，交于点．
设，则，
，
，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，
，
∴当时，有最大值，此时；
（3）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，
∴点D、E在抛物线的对称轴上；
①当时，点在点上方，如图3，图4，
，
由旋转得：，
，；
当时，点在点下方，如图5．
同理可得：，
，
∴不论为何值，点坐标为．
②∵正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点，
∴边与抛物线相交或顶点在抛物线上，
如图3，边在点右侧，与抛物线相交，，解得：；
如图4，点在抛物线上，∵四边形是正方形，
，
∵，
∴，
解得：（正值舍去）；
如图5，当时，点在抛物线上．
，
解得：（负值舍去）；
综上所述，的取值范围为或或．
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