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四川省南充市嘉陵第一中学2025-2026学年下学期八年级期中考试数学试题
1．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解： ，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项错误，
，故D选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的减法法则可判断A、B、D；根据二次根式的性质可判断C.
2．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．且
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，且x≠0
解得：x≥1．
故选：C．
【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，以及分式有意义的条件：分式的分母不能为0，来确定相关未知数的取值范围，依此求解即可.
3．以长度分别为下列各组数的线段为边，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．，2， B．，，2 C．1，， D．2，，
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、22＋()2≠()2，故不是直角三角形，故此选项错误；
B、()2＋()2≠22，故不是直角三角形，故此选项错误；
C、12＋()2=()2，故是直角三角形，故此选项正确；
D、22＋()2≠()2，故不是直角三角形，故此选项错误．
故选：C．
【分析】
要判断一组边长能否构成直角三角形，依据勾股定理的逆定理，只需验证较短两条边的平方和，是否等于最长边的平方即可.
4．如图，在中，，则数轴上点所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵在中，．
，，
∴，
，
点表示的数是．
【分析】
先借助勾股定理计算出的长度，得到这个结果后，就能进一步求出点A对应的数.
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该命题错误，是假命题；
B.一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，故该命题错误，是假命题；
C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故该命题错误，是假命题；
D.对角线互相垂直的矩形是正方形，故该命题正确，是真命题；
故选：D．
【分析】
依据特殊平行四边形的判定定理，逐个对各个选项进行判定.
6．若一个多边形的内角和比它的外角和大，则该多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设该多边形的边数为n，
∴
故答案为：B.
【分析】设该多边形的边数为n，则该多边形的内角和为(n-2)×180°，而所有多边形的外角和都是360°，进而根据一个多边形的内角和比它的外角和大540°，列方程，解此方程即可求解.
7．如图，在等腰直角三角形中，分别是的中点，连结，F是上一点，则的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：在上取一点，使，连接，过点作于点，
∵是等腰直角三角形底边的中点，
∴直线是等腰直角三角形的对称轴，
∴点和点关于直线对称，
∴，
∴，
∴的最小值是的长，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴是的中点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
由勾股定理，得．
故选：D．
【分析】
先在上取一点，使得，之后连接，再过点作，交AB于点，借助轴对称的性质可以得到的最小值就是的长，最后在直角三角形中，利用勾股定理计算出的长度即可得到结果.
8．如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（　　）
A．10米 B．12米 C．16米 D．20米
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，
∵底面周长约为8米，柱身高约12米，
∴米，（米），
∴（米），
则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少（米），
故选：D．
【分析】
先将圆柱体的侧面展开为平面图形，再借助勾股定理计算出一圈缠绕的龙的长度，最后将计算结果乘2就能得到最终答案.
9．如图，在矩形中，，，动点、分别在、上，则的最小值是（　　）cm
A． B． C．6 D．3
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，作出点C关于的对称点E，过点E作于N，交于M，连接，此时最小．
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
又，即，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由对称得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
即：的最小值为．
故选：B．
【分析】
首先根据轴对称的性质确定出点M、点N的位置，接着通过图形面积计算得到的长度，在此基础上推导出的长度，最后利用含角的直角三角形的边角性质，即可计算得到的最小值.
10．如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：①过作于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边是矩形，四边形是矩形，
∴，
∴
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在△AGP和△FAE中
∴（SAS），
∴，
∴此结论符合题意；
②，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，即，
，
，
，即，
∴此结论符合题意；
③由①得：，
∴，
即，
∴此结论符合题意；
④∵在中，，
在中，，
在中，，
∴，
∴此结论符合题意.
故答案为：D．
【分析】①过作于点，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，用边角边可证明，根据全等三角形的对应边相等可求解；
②由平行线的性质易得是等腰直角三角形，然后用勾股定理可求解；
③由①中的全等三角形可求解；
④根据正方形的对角线平分对角的性质，在、、中，用勾股定理可求解.
11．已知：，则　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】有意义
解得
把代入得，
．
故答案为：．
【分析】
先结合二次根式有意义的条件，得到一个关于的不等式组，解这个不等式组就可以得到的确定值，再将代回原式得到的值，最后把和代入要求的代数式计算，就能得到最终结果.
12．如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，都在小正方形的格点上，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：根据题意，得，，，
∴，
∴是直角三角形，；
故答案为：．
【分析】
根据勾股定理的逆定理，只要验证两条较短边的平方和等于最长边的平方，即可证明是直角三角形，据此解题即可．
13．如果从某多边形的一个顶点出发的对角线有 6 条， 那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线可以将这个多边形分成　 　 个三角形．
【答案】7
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：从四边形的一个顶点出发的对角线有1条，四边形被分成2个三角形，
从五边形的一个顶点出发的对角线有2条，五边形被分成3个三角形，
从六边形的一个顶点出发的对角线有3条，五边形被分成4个三角形，
则从n边形的一个顶点出发的对角线有条，n边形被分成个三角形，
∴有，
∴，
∴这个九边形被分成7个三角形，
故答案为：7．
【分析】
分别对四边形、五边形、六边形这几种边数较少的多边形，分别计算它们的对角线数量，以及从一个顶点出发引对角线后可以分成的三角形个数，从中归纳出这类问题的通用公式，利用得到的公式就可以计算出题目要求的结果.
14．中，，，，点P为边上一动点，于E，于F，在点P运动的过程中，的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作于D，连接，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∵，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当点P与点D重合时，最小，即此时最小，最小值为，
故答案为：．
【分析】
过点A作，垂足为D，连接。首先根据勾股定理的逆定理，可以证得，之后利用三角形等面积法，即可求出。接着可以证明四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，可得。根据垂线段最短可知，当点P与点D重合时，的长度最小，此时也取得最小值，最小值即为.
15．如图，在中，，，是的中点，点、分别在、上，且，，则四边形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
∵点是的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
连接，证明，根据全等三角形面积相等可以得到，进一步推导即可得到，最后只需要计算出的面积即可.
16．如图，在菱形中，，．点为边上一点，且不与点，重合，连接，过点作，且，连接，，则四边形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接、，
四边形是菱形，，
，，，
是等边三角形，
过作于点，过作于点，
则，
，，
，
，
，
，
且，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：
【分析】
连接，根据菱形的性质可以得到，，，由此可推出是等边三角形。接下来过点C作，垂足为G，再过点P作，垂足为H，根据平行线间的距离处处相等可得，进而推出。之后结合勾股定理计算出，再证明四边形是平行四边形，可得，就可以解决.
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；

（2）解：原式
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】
（1）计算时先完成二次根式的乘法运算，将结果化简后，再进行加减计算即可得到最终结果；
（2）计算时先分别化简绝对值、计算零指数幂和负整数指数幂，完成各部分化简后，再进行加减计算即可得到最终结果.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．一块木板如图所示，已知，，，，，木板的面积是多少？
【答案】解：如图，连接，
，中，，，
，
中，，，，
即，
是直角三角形，
木板面积．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】
先连接，利用勾股定理计算出的长度，再借助勾股定理的逆定理证明为直角三角形，最后结合三角形的面积公式就能求出最终结果.
19．先化简，再求值：，其中
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
先对分子和分母分别进行因式分解，再把除法运算转化为乘法运算，通过约分完成化简，最后把和的数值代入化简结果.
20．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，且，，
∵，，则，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义，可以推出，由此可得，再结合已知条件，就能先证明四边形是平行四边形，最后根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证四边形是菱形；
（2）结合菱形的性质得到对应边与对角线的关系，再使用勾股定理就可以求出对应结果.
21．如图，等边△ABC的边长是4，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC连接CD和EF．
（1）求证：DC＝EF；
（2）求EF的长．
【答案】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC、DE＝BC
∵CF＝BC，
∴DE＝CF，
∵DECF，
∴四边形DCFE为平行四边形，
∴DC＝EF．
（2）解：∵△ABC为等边三角形，D为AB的中点，
∴∠BCD＝∠BCA＝30°，CD⊥AB，
∴BD＝BC＝2，
∴CD＝＝＝2，
∴EF＝CD＝2．

【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）首先可以得出DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，可得到DE平行于BC，且DE的长度为BC的二分之一。题目已知CF的长度是BC的二分之一，因此可以推出DE和CF长度相等，又因为DE和CF平行，所以可证得四边形DCFE是平行四边形，最后根据平行四边形对边相等的性质，即可证明题目要求的结论；
（2）结合等边三角形的性质，以及直角三角形中30°角所对的直角边长度为斜边的一半，即可求出BD的长度，再通过勾股定理计算出CD的长度，最后根据平行四边形对边相等，可得EF和CD长度相等，即可得到EF的长.
22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．
（1）求证：△DCE≌△BFE；
（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的长．
【答案】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
根据折叠的性质∠ADB=∠BDF，∠F=∠A=∠C=90°，
∴∠DBC=∠BDF，
∴BE=DE，
在△DCE和△BFE中，
，
∴△DCE≌△BFE；
（2）在Rt△BCD中，
∵CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，
∴BC=，
在Rt△BCD中，
∵CD=2，∠EDC=30°，
∴DE=2EC，
∴（2EC）2﹣EC2=CD2，
∴CE=，
∴BE=BC﹣EC=．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）因为ADBC，根据平行线的内错角相等可得∠ADB=∠DBC 。根据折叠的性质可知 ∠ADB=∠BDF 因此可得 ∠DBC=∠BDF，由此可知BE=DE，最后可通过AAS判定定理证明 △DCE≌△BFE；
（2） 在Rt△BCD中 ，已知CD=2， ∠ADB=∠DBC=30°，可得BC=2；在直角三角形CDE中，CD=2，=30°，可得CE=，因此BE=BC-EC=.
23．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域．
（1）海港受台风影响吗？为什么？
（2）若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为小时，台风中心移动的速度多少千米小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问）
【答案】（1）解：海港受台风影响，理由如下：
过点作于点，如图：
、、
是直角三角形，
即
海港受台风影响；
（2）解：设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，如图，过点作于点
时，正好影响海港，
又∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
台风影响海港持续的时间为5小时
∴台风中心移动的速度为
答：台风中心移动的速度千米/小时．

【知识点】勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】
（1）要判断海港是否受台风影响，我们先过点作，垂足为点。先根据勾股定理的逆定理，判定是直角三角形，再利用三角形面积的两种不同表示方法（面积法）求出的长度，最后将的长度和台风影响半径250km比较，就能得出海港是否受影响的结论。
（2）若需要求台风影响海港的时长，我们设台风中心移动到E点、F点时，刚好开始影响、刚好结束影响海港C，连接、，此时。先在直角三角形CDE中利用勾股定理求出ED的长度，再根据等腰三角形三线合一得到受影响路段EF的总长，最后结合台风的移动速度，用路程除以速度即可算出影响海港的持续时间.
（1）解：海港受台风影响，理由如下：
过点作于点，如图：
、、
是直角三角形，
即
海港受台风影响；
（2）解：设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，如图，过点作于点
时，正好影响海港，
又∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
台风影响海港持续的时间为5小时
∴台风中心移动的速度为
答：台风中心移动的速度千米/小时．
24．如图，E是正方形内部一点，，延长到F，使得，连接．
（1）求证：．
（2）判断的形状．
（3）若，求的长度．
【答案】（1）证明：如图所示，设交于O，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：如图所示，在上截取，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形
（3）解：∵是等腰直角三角形，，∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）设BF与CD的交点为O，根据正方形的性质可知∠BCD=90°，结合三角形内角和定理与对顶角相等，可证得∠DFO=∠BCO=90°，由此推出∠CEF=∠DFO，据此可证得结论.
（2）在上截取，连接，由正方形的性质得到，利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可推出，据此可证得，可推出是等腰直角三角形，即可证得结论.
（3）结合（2）的结论可得HE=CE=6，可求出BE的长，最后利用勾股定理即可求出对应结果.
（1）证明：如图所示，设交于O，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，在上截取，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．如图，正方形，点、分别在、上．
（1）如图1，当时．
①求证：；
②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：；
（2）如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长．
【答案】（1）证明：①过点作，交的延长线于点，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
②在上截取，如图2，
则是等腰直角三角形，，
由（1）知，，
，
，，
，
，
，
，
即；
（2）解：如图3，过点作交于点，
则四边形是平行四边形，
，，
，，，
，
，
作，交延长线于，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）①如图，过点作，交的延长线于点，
根据正方形性质得对边平行，根据两组对边平行的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形，由同角的余角相等，得，则，DE=GH；
②如图，在上截取，
则是等腰直角三角形，，由，全等三角形性质，则AE=CH，由正方形性质可知AB=BC，则CN=AE=CH，则，，；
（2）如图3，过点作交于点，
则四边形是平行四边形，作，交延长线于，（ASA），设，则，在中，由，设，则，解得x=，则DE=．
（1）证明：①过点作，交的延长线于点，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
②在上截取，如图2，
则是等腰直角三角形，，
由（1）知，，
，
，，
，
，
，
，
即；
（2）解：如图3，过点作交于点，
则四边形是平行四边形，
，，
，，，
，
，
作，交延长线于，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
1 / 1四川省南充市嘉陵第一中学2025-2026学年下学期八年级期中考试数学试题
1．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．且
3．以长度分别为下列各组数的线段为边，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．，2， B．，，2 C．1，， D．2，，
4．如图，在中，，则数轴上点所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
6．若一个多边形的内角和比它的外角和大，则该多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．如图，在等腰直角三角形中，分别是的中点，连结，F是上一点，则的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．
8．如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（　　）
A．10米 B．12米 C．16米 D．20米
9．如图，在矩形中，，，动点、分别在、上，则的最小值是（　　）cm
A． B． C．6 D．3
10．如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知：，则　 　．
12．如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，都在小正方形的格点上，则的度数是　 　．
13．如果从某多边形的一个顶点出发的对角线有 6 条， 那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线可以将这个多边形分成　 　 个三角形．
14．中，，，，点P为边上一动点，于E，于F，在点P运动的过程中，的最小值为　 　．
15．如图，在中，，，是的中点，点、分别在、上，且，，则四边形的面积为　 　．
16．如图，在菱形中，，．点为边上一点，且不与点，重合，连接，过点作，且，连接，，则四边形的面积为　 　．
17．计算：
（1）；
（2）．
18．一块木板如图所示，已知，，，，，木板的面积是多少？
19．先化简，再求值：，其中
20．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，求的长．
21．如图，等边△ABC的边长是4，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC连接CD和EF．
（1）求证：DC＝EF；
（2）求EF的长．
22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．
（1）求证：△DCE≌△BFE；
（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的长．
23．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域．
（1）海港受台风影响吗？为什么？
（2）若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为小时，台风中心移动的速度多少千米小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问）
24．如图，E是正方形内部一点，，延长到F，使得，连接．
（1）求证：．
（2）判断的形状．
（3）若，求的长度．
25．如图，正方形，点、分别在、上．
（1）如图1，当时．
①求证：；
②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：；
（2）如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解： ，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项错误，
，故D选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的减法法则可判断A、B、D；根据二次根式的性质可判断C.
2．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，且x≠0
解得：x≥1．
故选：C．
【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，以及分式有意义的条件：分式的分母不能为0，来确定相关未知数的取值范围，依此求解即可.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、22＋()2≠()2，故不是直角三角形，故此选项错误；
B、()2＋()2≠22，故不是直角三角形，故此选项错误；
C、12＋()2=()2，故是直角三角形，故此选项正确；
D、22＋()2≠()2，故不是直角三角形，故此选项错误．
故选：C．
【分析】
要判断一组边长能否构成直角三角形，依据勾股定理的逆定理，只需验证较短两条边的平方和，是否等于最长边的平方即可.
4．【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵在中，．
，，
∴，
，
点表示的数是．
【分析】
先借助勾股定理计算出的长度，得到这个结果后，就能进一步求出点A对应的数.
5．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该命题错误，是假命题；
B.一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，故该命题错误，是假命题；
C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故该命题错误，是假命题；
D.对角线互相垂直的矩形是正方形，故该命题正确，是真命题；
故选：D．
【分析】
依据特殊平行四边形的判定定理，逐个对各个选项进行判定.
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设该多边形的边数为n，
∴
故答案为：B.
【分析】设该多边形的边数为n，则该多边形的内角和为(n-2)×180°，而所有多边形的外角和都是360°，进而根据一个多边形的内角和比它的外角和大540°，列方程，解此方程即可求解.
7．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：在上取一点，使，连接，过点作于点，
∵是等腰直角三角形底边的中点，
∴直线是等腰直角三角形的对称轴，
∴点和点关于直线对称，
∴，
∴，
∴的最小值是的长，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴是的中点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
由勾股定理，得．
故选：D．
【分析】
先在上取一点，使得，之后连接，再过点作，交AB于点，借助轴对称的性质可以得到的最小值就是的长，最后在直角三角形中，利用勾股定理计算出的长度即可得到结果.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，
∵底面周长约为8米，柱身高约12米，
∴米，（米），
∴（米），
则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少（米），
故选：D．
【分析】
先将圆柱体的侧面展开为平面图形，再借助勾股定理计算出一圈缠绕的龙的长度，最后将计算结果乘2就能得到最终答案.
9．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，作出点C关于的对称点E，过点E作于N，交于M，连接，此时最小．
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
又，即，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由对称得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
即：的最小值为．
故选：B．
【分析】
首先根据轴对称的性质确定出点M、点N的位置，接着通过图形面积计算得到的长度，在此基础上推导出的长度，最后利用含角的直角三角形的边角性质，即可计算得到的最小值.
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：①过作于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边是矩形，四边形是矩形，
∴，
∴
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在△AGP和△FAE中
∴（SAS），
∴，
∴此结论符合题意；
②，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，即，
，
，
，即，
∴此结论符合题意；
③由①得：，
∴，
即，
∴此结论符合题意；
④∵在中，，
在中，，
在中，，
∴，
∴此结论符合题意.
故答案为：D．
【分析】①过作于点，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，用边角边可证明，根据全等三角形的对应边相等可求解；
②由平行线的性质易得是等腰直角三角形，然后用勾股定理可求解；
③由①中的全等三角形可求解；
④根据正方形的对角线平分对角的性质，在、、中，用勾股定理可求解.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】有意义
解得
把代入得，
．
故答案为：．
【分析】
先结合二次根式有意义的条件，得到一个关于的不等式组，解这个不等式组就可以得到的确定值，再将代回原式得到的值，最后把和代入要求的代数式计算，就能得到最终结果.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：根据题意，得，，，
∴，
∴是直角三角形，；
故答案为：．
【分析】
根据勾股定理的逆定理，只要验证两条较短边的平方和等于最长边的平方，即可证明是直角三角形，据此解题即可．
13．【答案】7
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：从四边形的一个顶点出发的对角线有1条，四边形被分成2个三角形，
从五边形的一个顶点出发的对角线有2条，五边形被分成3个三角形，
从六边形的一个顶点出发的对角线有3条，五边形被分成4个三角形，
则从n边形的一个顶点出发的对角线有条，n边形被分成个三角形，
∴有，
∴，
∴这个九边形被分成7个三角形，
故答案为：7．
【分析】
分别对四边形、五边形、六边形这几种边数较少的多边形，分别计算它们的对角线数量，以及从一个顶点出发引对角线后可以分成的三角形个数，从中归纳出这类问题的通用公式，利用得到的公式就可以计算出题目要求的结果.
14．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作于D，连接，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∵，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当点P与点D重合时，最小，即此时最小，最小值为，
故答案为：．
【分析】
过点A作，垂足为D，连接。首先根据勾股定理的逆定理，可以证得，之后利用三角形等面积法，即可求出。接着可以证明四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，可得。根据垂线段最短可知，当点P与点D重合时，的长度最小，此时也取得最小值，最小值即为.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
∵点是的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
连接，证明，根据全等三角形面积相等可以得到，进一步推导即可得到，最后只需要计算出的面积即可.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接、，
四边形是菱形，，
，，，
是等边三角形，
过作于点，过作于点，
则，
，，
，
，
，
，
且，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：
【分析】
连接，根据菱形的性质可以得到，，，由此可推出是等边三角形。接下来过点C作，垂足为G，再过点P作，垂足为H，根据平行线间的距离处处相等可得，进而推出。之后结合勾股定理计算出，再证明四边形是平行四边形，可得，就可以解决.
17．【答案】（1）解：原式
；

（2）解：原式
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】
（1）计算时先完成二次根式的乘法运算，将结果化简后，再进行加减计算即可得到最终结果；
（2）计算时先分别化简绝对值、计算零指数幂和负整数指数幂，完成各部分化简后，再进行加减计算即可得到最终结果.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．【答案】解：如图，连接，
，中，，，
，
中，，，，
即，
是直角三角形，
木板面积．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】
先连接，利用勾股定理计算出的长度，再借助勾股定理的逆定理证明为直角三角形，最后结合三角形的面积公式就能求出最终结果.
19．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
先对分子和分母分别进行因式分解，再把除法运算转化为乘法运算，通过约分完成化简，最后把和的数值代入化简结果.
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，且，，
∵，，则，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义，可以推出，由此可得，再结合已知条件，就能先证明四边形是平行四边形，最后根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证四边形是菱形；
（2）结合菱形的性质得到对应边与对角线的关系，再使用勾股定理就可以求出对应结果.
21．【答案】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC、DE＝BC
∵CF＝BC，
∴DE＝CF，
∵DECF，
∴四边形DCFE为平行四边形，
∴DC＝EF．
（2）解：∵△ABC为等边三角形，D为AB的中点，
∴∠BCD＝∠BCA＝30°，CD⊥AB，
∴BD＝BC＝2，
∴CD＝＝＝2，
∴EF＝CD＝2．

【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）首先可以得出DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，可得到DE平行于BC，且DE的长度为BC的二分之一。题目已知CF的长度是BC的二分之一，因此可以推出DE和CF长度相等，又因为DE和CF平行，所以可证得四边形DCFE是平行四边形，最后根据平行四边形对边相等的性质，即可证明题目要求的结论；
（2）结合等边三角形的性质，以及直角三角形中30°角所对的直角边长度为斜边的一半，即可求出BD的长度，再通过勾股定理计算出CD的长度，最后根据平行四边形对边相等，可得EF和CD长度相等，即可得到EF的长.
22．【答案】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
根据折叠的性质∠ADB=∠BDF，∠F=∠A=∠C=90°，
∴∠DBC=∠BDF，
∴BE=DE，
在△DCE和△BFE中，
，
∴△DCE≌△BFE；
（2）在Rt△BCD中，
∵CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，
∴BC=，
在Rt△BCD中，
∵CD=2，∠EDC=30°，
∴DE=2EC，
∴（2EC）2﹣EC2=CD2，
∴CE=，
∴BE=BC﹣EC=．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）因为ADBC，根据平行线的内错角相等可得∠ADB=∠DBC 。根据折叠的性质可知 ∠ADB=∠BDF 因此可得 ∠DBC=∠BDF，由此可知BE=DE，最后可通过AAS判定定理证明 △DCE≌△BFE；
（2） 在Rt△BCD中 ，已知CD=2， ∠ADB=∠DBC=30°，可得BC=2；在直角三角形CDE中，CD=2，=30°，可得CE=，因此BE=BC-EC=.
23．【答案】（1）解：海港受台风影响，理由如下：
过点作于点，如图：
、、
是直角三角形，
即
海港受台风影响；
（2）解：设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，如图，过点作于点
时，正好影响海港，
又∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
台风影响海港持续的时间为5小时
∴台风中心移动的速度为
答：台风中心移动的速度千米/小时．

【知识点】勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】
（1）要判断海港是否受台风影响，我们先过点作，垂足为点。先根据勾股定理的逆定理，判定是直角三角形，再利用三角形面积的两种不同表示方法（面积法）求出的长度，最后将的长度和台风影响半径250km比较，就能得出海港是否受影响的结论。
（2）若需要求台风影响海港的时长，我们设台风中心移动到E点、F点时，刚好开始影响、刚好结束影响海港C，连接、，此时。先在直角三角形CDE中利用勾股定理求出ED的长度，再根据等腰三角形三线合一得到受影响路段EF的总长，最后结合台风的移动速度，用路程除以速度即可算出影响海港的持续时间.
（1）解：海港受台风影响，理由如下：
过点作于点，如图：
、、
是直角三角形，
即
海港受台风影响；
（2）解：设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，如图，过点作于点
时，正好影响海港，
又∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
台风影响海港持续的时间为5小时
∴台风中心移动的速度为
答：台风中心移动的速度千米/小时．
24．【答案】（1）证明：如图所示，设交于O，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：如图所示，在上截取，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形
（3）解：∵是等腰直角三角形，，∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）设BF与CD的交点为O，根据正方形的性质可知∠BCD=90°，结合三角形内角和定理与对顶角相等，可证得∠DFO=∠BCO=90°，由此推出∠CEF=∠DFO，据此可证得结论.
（2）在上截取，连接，由正方形的性质得到，利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可推出，据此可证得，可推出是等腰直角三角形，即可证得结论.
（3）结合（2）的结论可得HE=CE=6，可求出BE的长，最后利用勾股定理即可求出对应结果.
（1）证明：如图所示，设交于O，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，在上截取，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．【答案】（1）证明：①过点作，交的延长线于点，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
②在上截取，如图2，
则是等腰直角三角形，，
由（1）知，，
，
，，
，
，
，
，
即；
（2）解：如图3，过点作交于点，
则四边形是平行四边形，
，，
，，，
，
，
作，交延长线于，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）①如图，过点作，交的延长线于点，
根据正方形性质得对边平行，根据两组对边平行的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形，由同角的余角相等，得，则，DE=GH；
②如图，在上截取，
则是等腰直角三角形，，由，全等三角形性质，则AE=CH，由正方形性质可知AB=BC，则CN=AE=CH，则，，；
（2）如图3，过点作交于点，
则四边形是平行四边形，作，交延长线于，（ASA），设，则，在中，由，设，则，解得x=，则DE=．
（1）证明：①过点作，交的延长线于点，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
②在上截取，如图2，
则是等腰直角三角形，，
由（1）知，，
，
，，
，
，
，
，
即；
（2）解：如图3，过点作交于点，
则四边形是平行四边形，
，，
，，，
，
，
作，交延长线于，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
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