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浙江省丽水市缙云县2025-2026学年八年级上学期数学期中检测卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1． 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“大雪”“白露”“芒种”“立春”，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，A符合题意；
B、不是轴对称图形，B不符合题意；
C、不是轴对称图形，C不符合题意；
D、不是轴对称图形，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据轴对称图形的概念：在平面内，如果一个图形沿某一条直线对折，直线两边的部分能够完全重合，那么这个图形是轴对称图形；观察图形，逐项判断即可.
2．下列三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．3，2，6 B．3，3，6 C．3，2，5 D．3，4，6
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、3+2<6，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B、3+3=6，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、3+2=5，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、3+4>6，能组成三角形，故本选项符合题意意.
故答案为：D.
【分析】三角形的任意两边的和大于第三边，根据三角形的三边关系就可以求解.
3．若，则下列式子错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】、∵，∴，此选项不符合题意；
、∵，∴，此选项不符合题意；
、∵，∴，此选项不符合题意；
、∵，∴，此选项符合题意；
故选：．
【分析】
结合不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数，不等号的方向不发生改变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向依旧不变；如果不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要发生改变。对每个选项逐一分析判断就可以得到结果.
4．判定命题“若a2>1，则a>1”是假命题的反例是（　　）
A．a=-2 B．a=-1 C．a=1 D．a=2
【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：用来证明命题“若 则a>1”是假命题的反例可以是：a=-2，
但是a=-2<1。
∴A正确
故答案为：A.
【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题.
5．在△ABC中，已知a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）
A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4
C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A：∠B：∠C=1：1：2
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解： A、∵a=3， b=3， c=4，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
B、∵a： b： c=2： 3： 4
∴a≠b≠c，
∴△ABC不是等腰三角形；
C、∵∠B=50°， ∠C=80°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=50°，
∴∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形；
D、∵∠A： ∠B： ∠C=1： 1： 2，
∵∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的定义判断A，B选项；根据三角形的内角和定理求出三个内角的度数，然后根据等角对等边判断C，D选项即可.
6．如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件 ，就可得△ABC≌△DEF．下列条件中不符合要求的是（　　）
A．BC＝EF B．AB＝DE C．∠B＝∠E D．AB∥DE
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】∵AF＝DC，
∴AC＝DF，
∵BCEF，
∴∠ACB＝∠EFD，
当BC＝EF时，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS），
当∠B＝∠E时，
可由AAS判定，
当ABDE时，
可知∠A＝∠D，可由ASA判定，
而当AB＝DE时，由条件可知满足ASS，不能判定全等，
故选：B．
【分析】
根据ABDE，可得到∠ACB＝∠EFD ；由AF = DC，等式两边同时减去CF可推出AC = DF，此时已经具备了一组角相等和一组边相等的条件，若再添加一组角相等，或是夹这个角的另一条边相等，即可判定三角形全等.
7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=25°，则∠B的度数为（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：因为AE平分
所以
因为
所以
因为在 中，
所以
因为 是 的一个外角，
所以
故答案为：B.
【分析】根据等边对等角得到∠EAC=∠1=40°，根据角的和差求出∠DAE的度数，再根据直角三角形的两锐角互余求出∠AED的度数，利用三角形的外角性质解答即可.
8．如图，在△ABC中，AB=BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE=AC=2，则△CEF的周长为（　　）
A． B． C． D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理；尺规作图-作角的平分线；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：由图中的尺规作图得：BE是 的平分线，
∵点F为BC的中点，
的周长：=CF+EF+CE=CF+BF+CE=
故答案为：C.
【分析】根据作图可得BE是 的平分线，根据三线合一得到∠BEC=90°，AE=CE=1，然后根据勾股定理求出BC长，再根据直角三角形的斜边中线性质求出EF=BF=CF，即可求出△CEF的周长解答即可.
9．如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c，若a与b之间的距离是3，b与c之间的距离是5，则正方形ABCD的面积是（　　）
A．44 B．34 C．144 D．148
【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作直线a、b、c的垂线， 分别交直线a、c于点E、F，则：
，
故答案为：B.
【分析】过点D作直线a、b、c的垂线， 构造两个全等三角形，根据勾股定理求出斜边，即可求出正方形的面积.
10．如图，BD是△ABC的角平分线，BA=BC=10，AC=12，DE//BC，P，Q分别是BD和BC上的任意一点；连接PA，PC，PQ，AQ，给出下列结论：
①PC+PQ≥AQ；②AE+DE=BC；③PC+PQ的最小值是；④若PA平分∠BAC，则△APD的面积为9.
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： ①∵BA=BC=10， BD是△ABC的角平分线，
∴BD⊥AC， AD=CD，
∴BD垂直平分AC，
∴AP=PC，
∴PC+PQ=AP+PQ，
∵AP+PQ >AQ，
∴PC+PQ≥AQ，故①正确；
②∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC， ∠ADE=∠ACB，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∵∠ADE=∠ACB，
∴∠ADE=∠BAD，
∴EA=ED，
∴AE+DE=BC，故②正确；
③根据解析①可知， PC+PQ=AP+PQ，
∴当AP+PQ最小时， PC+PQ最小，
过点A作AM⊥BC于点M，如图所示：
当点P在AM与BD交点上时，
AP+PQ=AM，此时AP+PQ最小，且最小值为AM，
∵BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，
即PC+PQ的最小值是 故③错误；
④过点P作PN⊥AB于点N，如图所示：
∵PA平分
∵24，
④正确；
综上分析可知，正确的有①②④，
故答案为：B.
【分析】①根据等腰三角形的性质得出BD垂直平分AC，得出AP=PC，根据三角形三边关系即可得出结论；②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明 得出EB=ED，EA=ED，即可得出结论；③过点A作 于点M，当点P在AM与BD交点上时，AP+PQ=AM，此时AP+PQ最小，且最小值为AM，根据等积法求出AM即可；④过点P作 于点N，得出PN=PD，求出 即可求出结果.
二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分）
11． x的2倍与4的和是正数，用不等式表示为　 　
【答案】2x+4>0
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解： x的2倍与4的和是正数，用不等式表示为2x+4>0，
故答案为：2x+4>0.
【分析】根据“x的2倍与4的和”得到2x+4，利用正数大于0列不等式即可.
12．命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为“　 　.”
【答案】内错角相等， 两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
“两直线平行，内错角相等”的条件是：两直线平行，结论是：内错角相等．
将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
故答案为：内错角相等， 两直线平行
【分析】原命题的条件是：两直线平行，结论是：内错角相等。将原命题条件和结论互换得逆命题。
13．若关于x的方程2x+2=m+x的解为正数，求m的取值范围　 　
【答案】m>2
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：解方程2x+2=m+x得x=m-2，
∵ 方程2x+2=m+x的解为正数，
∴m-2>0，
解得m>2，
故答案为：m>2.
【分析】先解方程求出x=m-2，根据题意得到m-2>0，求出m的取值范围即可.
14．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为　 　
【答案】39°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解： ，
，
∵CD平分 ，
，
又∵DE∥BC，
，
故答案为：39°.
【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠ACB的度数，然后根据角平分线的定义求出∠DCB的度数，再根据两直线平行，内错角相等解答即可.
15．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在AC边上的点B'处，AE为折痕，则B'E的长为　 　
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠，可得BE=B'E，AB'=AB=3，
设B'E=x，则EC=BC-BE=4-x.
在 中，因为 ，
所以由勾股定理，得
所以B'C=AC-AB'=5-3=2.
因为 所以 即 为直角三角形.
在 中，由勾股定理，得 即
解得x=1.5，
所以B'E=1.5.
故答案为：1.5.
【分析】先根据勾股定理求出AC长，根据折叠的性质得到BE=B'E，AB'=AB=3， 设B'E=x，即可得到B'C=2，EC=4-x.再根据勾股定理求出x的值解答即可.
16．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，△CDE沿CE折叠得到△CFE，点B，F，E三点共线，连接DF，若则AE=　 　，DF=　 　.
【答案】；
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解： 设CE交DF于H， 如图：
设.AD=BC=x，AB=CD=y，
沿CE折叠得到
EF=DE=3，
在 中，
在 中，
①-②得：
解得 或 (舍去)，
沿CE折叠得到
故答案为：
【分析】设CE交DF于H，AD=BC=x，AB=CD=y，根据勾股定理得到 解得 然后根据三角形的面积求出DH解题即可.
三、解答题（本题有8小题，第17-21题每题8分，第22、23每题10分，第24题12分，共72分）
17．解下列不等式，并把解在数轴上表示出来.
（1）2（13-x）>28
（2）
【答案】（1）解：2（13－x）>28
26-2x>28
-2x>2
x<-1
在数轴上表示为：
（2）解：3（x+1）>6-2（2x+2）
3x+3>6-4x-4
7x>-1
x>-
在数轴上表示为：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1解一元一次不等式，并把解集在数轴上表示即可；
（2）利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解一元一次不等式，并把解集在数轴上表示即可.
18．已知△ABC（如图）
（1）用尺规做出BC边上的中线（保留作图痕迹，不写做法）
（2）用三角尺画BC边上的高线
【答案】（1）解：如图，AD即为所求.
（2）如图，AE即为所作；
【知识点】尺规作图-作高；尺规作图-中线
【解析】【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则AD即为所作；
（2）过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，则AE即为所作.
19．如图，△ABC是等边三角形，E，F分别是边AB，AC上的点，AE=CF，CE，BF交于点P，EG⊥BF，垂足为G.
（1）求证：∠ACE=∠CBF：
（2）若PG=1，求EP的长度.
【答案】（1）证明：是等边三角形，
，
在与中，
，
，
（2）解： ∵由(1)知∠ACE=∠CBF，
又∠ACE+∠PCB=∠ACB=60°，
∴∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠BPE=60°，
∵EG⊥BF，即∠PGE=90°，
∴∠GEP=30°，
∴在Rt△PGE中， PE=2PG，
∵PG=1，
∴PE=2.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)证明 即可得到结论；
(2)利用由(1)知 求出 又 即 得到 根据在直角三角形中， 所对的直角边等于斜边的一半，可求出EP的长.
20．已知关于x的方程的解为负数．
（1）求a的取值范围；
（2）已知，且，求的取值范围．
【答案】（1）解∶解关于x的方，
得
因为解为负数，
所以
解这个不等式，得
所以a的取值范围是；

（2）解：，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
【知识点】解一元一次不等式组；解系数含参的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先解方程求出x的值，再根据方程的解是负数列不等式，解不等式即可；
（2）先求出a的取值范围，然后代入代数式求出a+b=2a+3，利用a的取值范围解题即可.
（1）解∶解关于x的方，
得
因为解为负数，
所以
解这个不等式，得
所以a的取值范围是
（2）
∴，
21．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G.
（1）若BC=7，求△AEG的周长.
（2）若∠BAC=120°，求∠EAG的度数.
【答案】（1）解：∵DE垂直平分AB ， GF垂直平分AC ，
的周长为
AE+EG+AG=BE+EG+CG=BC=7，
即 的周长为7；
（2）解：∵DE垂直平分AB ， GF垂直平分AC ，
在 中，
，
即 的度数为

【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)根据垂直平分线的性质得到AE=BE，AG=CG，燃弧求出△AEG的周长即可；
(2)根据等边对等角得到∠BAE=∠B，∠CAG=∠C，然后根据三角形的内角和定理求出∠B+∠C=60°，即可得到然后根据角的和差解答即可.
22．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE.
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=50°时，求∠DEF的度数.
【答案】（1）证明：∵ AB=AC，∴ ∠B=∠ C. 在△ BDE和△ CEF中， ，
∴ △ BDE ≌ △ CEF（SAS），则DE=EF，故△ DEF是等腰三角形
（2）解：在△ABC中，∵∠A=50°，∴∠B=∠C=65°. ∵ △ BDE ≌ △ CEF，∴ ∠BDE=∠CEF，
∴ ∠DEB+∠CEF=∠DEB+∠ BDE=180°-65°=115°，
则 ∠ DEF=180°-（∠DEB+∠CEF）=180°-115°=65°
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】由AB=AC，可知∠B=∠ C，根据题意易得△ BDE ≌ △ CEF（SAS），从而得到DE=EF，命题得证.⑵因为∠ A=50°，所以∠ B=∠ C=65°，由⑴可知，∠BDE=∠CEF，所以∠DEB+∠CEF=
∠DEB+∠ BDE=115°，从而∠ DEF=180°-115°=65°.
23．
（1）【探究】如图1所示，分别以△ABC的两边AB，AC为边向△ABC外作正三角形ABD和正三角形ACE，连结DC，BE，求证：DC=BE.
（2）【拓展】如图2所示，在四边形ABCD中，AB=BC=5。∠ABC=45°，连结AC，BD，若∠DAC=90°，AC=AD，求BD的长。
【答案】（1）解：∵以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，
∴AD=AB， AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°， ∠DAB =∠EAC =60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC =∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
∴△DAC ≌ △BAE(SAS)，
∴CD=BE；
（2）解：如图②，以AB为边向外作等腰直角三角形ABE， AE=AB，∠BAE=90°，
在 和 中，

【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出.AD=AB， 求出根据SAS推出 即可；
（2）以AB为边向外作等腰直角三角形ABE， 根据全等三角形的性质得到CE=BD，由勾股定理即可得到结论.
24．如图，AC⊥BD于点E，连结AB，CD，AB＝10，BE＝8，点P在线段AB上运动时（不与A，B重合），点Q在线段AC上，满足CQ＝ AP，连结PQ.当P为AB中点时，Q恰好与点E重合.
（1）求AC的长.
（2）若∠C＝∠B，P运动到AB中点时，求证：直线PQ⊥CD.
（3）连结BQ，当△ABQ是等腰三角形时，请写出所有符合条件的AP的长.
【答案】（1）解：如图1，∵AC⊥BD于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝10，BE＝8，
∴AE＝ ＝6，
∵当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，且CQ＝ AP，
∴CE＝CQ＝ AP＝ × ×10＝6，
∴AC＝AE+CE＝6+6＝12，
∴AC的长是12.
（2）证明：由已知得，当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，
如图1，延长PE交CD于点F，
∵∠AEB＝90°，P为AB中点，
∴PE＝PB＝ AB，
∴∠PEB＝∠B，
∵∠C＝∠B，
∴∠C＝∠PEB，
∵∠CEB＝90°，
∴∠C+∠CEF＝∠PEB+∠CEF＝90°，
∴∠CFE＝90°，
∴PE⊥CD，
∴PQ⊥CD.
（3）解：当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝AB时，如图2，
∵AC＝12，AQ＝AB＝10，
∴CQ＝AC-AQ＝12-10＝2，
∴CQ＝ AP，
∴ AP＝2，
∴AP＝ ；
当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝BQ时，如图3，
∵BE2+EQ2＝BQ2，且BE＝8，EQ＝6-CQ，BQ＝AQ＝12-CQ，
∴82+（6-CQ）2＝（12-CQ）2，
∴CQ＝ ，
∴ AP＝ ，
∴AP＝ ；
∵BD垂直平分AC，
∴若点Q与点C重合，则AB＝QB，
∵点P不与B重合，且CQ＝ AP，
∴点Q不与点C重合，
∴不存在AB＝QB的情况，
综上所述，AP的长为 或 .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可得AE=6，结合题意可得CE＝CQ＝AP＝6， 然后根据AC＝AE+CE进行计算；
（2）延长PE交CD于点F，由直角三角形斜边上中线的性质可得PE＝PB＝AB由等腰三角形的性质可得∠PEB＝∠B，结合∠C＝∠B可得∠C＝∠PEB，根据∠CEB＝90°可得∠C+∠CEF＝∠PEB+∠CEF＝90°，则∠CFE＝90°，据此证明；
（3）当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝AB时，CQ＝AC-AQ＝2，结合CQ＝AP可得AP的值；当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝BQ时，由勾股定理可得CQ，结合CQ＝AP可得AP的值.
1 / 1浙江省丽水市缙云县2025-2026学年八年级上学期数学期中检测卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1． 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“大雪”“白露”“芒种”“立春”，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．3，2，6 B．3，3，6 C．3，2，5 D．3，4，6
3．若，则下列式子错误的是（　　）
A． B． C． D．
4．判定命题“若a2>1，则a>1”是假命题的反例是（　　）
A．a=-2 B．a=-1 C．a=1 D．a=2
5．在△ABC中，已知a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）
A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4
C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A：∠B：∠C=1：1：2
6．如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件 ，就可得△ABC≌△DEF．下列条件中不符合要求的是（　　）
A．BC＝EF B．AB＝DE C．∠B＝∠E D．AB∥DE
7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=25°，则∠B的度数为（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
8．如图，在△ABC中，AB=BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE=AC=2，则△CEF的周长为（　　）
A． B． C． D．4
9．如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c，若a与b之间的距离是3，b与c之间的距离是5，则正方形ABCD的面积是（　　）
A．44 B．34 C．144 D．148
10．如图，BD是△ABC的角平分线，BA=BC=10，AC=12，DE//BC，P，Q分别是BD和BC上的任意一点；连接PA，PC，PQ，AQ，给出下列结论：
①PC+PQ≥AQ；②AE+DE=BC；③PC+PQ的最小值是；④若PA平分∠BAC，则△APD的面积为9.
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分）
11． x的2倍与4的和是正数，用不等式表示为　 　
12．命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为“　 　.”
13．若关于x的方程2x+2=m+x的解为正数，求m的取值范围　 　
14．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为　 　
15．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在AC边上的点B'处，AE为折痕，则B'E的长为　 　
16．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，△CDE沿CE折叠得到△CFE，点B，F，E三点共线，连接DF，若则AE=　 　，DF=　 　.
三、解答题（本题有8小题，第17-21题每题8分，第22、23每题10分，第24题12分，共72分）
17．解下列不等式，并把解在数轴上表示出来.
（1）2（13-x）>28
（2）
18．已知△ABC（如图）
（1）用尺规做出BC边上的中线（保留作图痕迹，不写做法）
（2）用三角尺画BC边上的高线
19．如图，△ABC是等边三角形，E，F分别是边AB，AC上的点，AE=CF，CE，BF交于点P，EG⊥BF，垂足为G.
（1）求证：∠ACE=∠CBF：
（2）若PG=1，求EP的长度.
20．已知关于x的方程的解为负数．
（1）求a的取值范围；
（2）已知，且，求的取值范围．
21．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G.
（1）若BC=7，求△AEG的周长.
（2）若∠BAC=120°，求∠EAG的度数.
22．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE.
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=50°时，求∠DEF的度数.
23．
（1）【探究】如图1所示，分别以△ABC的两边AB，AC为边向△ABC外作正三角形ABD和正三角形ACE，连结DC，BE，求证：DC=BE.
（2）【拓展】如图2所示，在四边形ABCD中，AB=BC=5。∠ABC=45°，连结AC，BD，若∠DAC=90°，AC=AD，求BD的长。
24．如图，AC⊥BD于点E，连结AB，CD，AB＝10，BE＝8，点P在线段AB上运动时（不与A，B重合），点Q在线段AC上，满足CQ＝ AP，连结PQ.当P为AB中点时，Q恰好与点E重合.
（1）求AC的长.
（2）若∠C＝∠B，P运动到AB中点时，求证：直线PQ⊥CD.
（3）连结BQ，当△ABQ是等腰三角形时，请写出所有符合条件的AP的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，A符合题意；
B、不是轴对称图形，B不符合题意；
C、不是轴对称图形，C不符合题意；
D、不是轴对称图形，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据轴对称图形的概念：在平面内，如果一个图形沿某一条直线对折，直线两边的部分能够完全重合，那么这个图形是轴对称图形；观察图形，逐项判断即可.
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、3+2<6，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B、3+3=6，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、3+2=5，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、3+4>6，能组成三角形，故本选项符合题意意.
故答案为：D.
【分析】三角形的任意两边的和大于第三边，根据三角形的三边关系就可以求解.
3．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】、∵，∴，此选项不符合题意；
、∵，∴，此选项不符合题意；
、∵，∴，此选项不符合题意；
、∵，∴，此选项符合题意；
故选：．
【分析】
结合不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数，不等号的方向不发生改变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向依旧不变；如果不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要发生改变。对每个选项逐一分析判断就可以得到结果.
4．【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：用来证明命题“若 则a>1”是假命题的反例可以是：a=-2，
但是a=-2<1。
∴A正确
故答案为：A.
【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解： A、∵a=3， b=3， c=4，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
B、∵a： b： c=2： 3： 4
∴a≠b≠c，
∴△ABC不是等腰三角形；
C、∵∠B=50°， ∠C=80°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=50°，
∴∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形；
D、∵∠A： ∠B： ∠C=1： 1： 2，
∵∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的定义判断A，B选项；根据三角形的内角和定理求出三个内角的度数，然后根据等角对等边判断C，D选项即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】∵AF＝DC，
∴AC＝DF，
∵BCEF，
∴∠ACB＝∠EFD，
当BC＝EF时，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS），
当∠B＝∠E时，
可由AAS判定，
当ABDE时，
可知∠A＝∠D，可由ASA判定，
而当AB＝DE时，由条件可知满足ASS，不能判定全等，
故选：B．
【分析】
根据ABDE，可得到∠ACB＝∠EFD ；由AF = DC，等式两边同时减去CF可推出AC = DF，此时已经具备了一组角相等和一组边相等的条件，若再添加一组角相等，或是夹这个角的另一条边相等，即可判定三角形全等.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：因为AE平分
所以
因为
所以
因为在 中，
所以
因为 是 的一个外角，
所以
故答案为：B.
【分析】根据等边对等角得到∠EAC=∠1=40°，根据角的和差求出∠DAE的度数，再根据直角三角形的两锐角互余求出∠AED的度数，利用三角形的外角性质解答即可.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；尺规作图-作角的平分线；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：由图中的尺规作图得：BE是 的平分线，
∵点F为BC的中点，
的周长：=CF+EF+CE=CF+BF+CE=
故答案为：C.
【分析】根据作图可得BE是 的平分线，根据三线合一得到∠BEC=90°，AE=CE=1，然后根据勾股定理求出BC长，再根据直角三角形的斜边中线性质求出EF=BF=CF，即可求出△CEF的周长解答即可.
9．【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作直线a、b、c的垂线， 分别交直线a、c于点E、F，则：
，
故答案为：B.
【分析】过点D作直线a、b、c的垂线， 构造两个全等三角形，根据勾股定理求出斜边，即可求出正方形的面积.
10．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： ①∵BA=BC=10， BD是△ABC的角平分线，
∴BD⊥AC， AD=CD，
∴BD垂直平分AC，
∴AP=PC，
∴PC+PQ=AP+PQ，
∵AP+PQ >AQ，
∴PC+PQ≥AQ，故①正确；
②∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC， ∠ADE=∠ACB，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∵∠ADE=∠ACB，
∴∠ADE=∠BAD，
∴EA=ED，
∴AE+DE=BC，故②正确；
③根据解析①可知， PC+PQ=AP+PQ，
∴当AP+PQ最小时， PC+PQ最小，
过点A作AM⊥BC于点M，如图所示：
当点P在AM与BD交点上时，
AP+PQ=AM，此时AP+PQ最小，且最小值为AM，
∵BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，
即PC+PQ的最小值是 故③错误；
④过点P作PN⊥AB于点N，如图所示：
∵PA平分
∵24，
④正确；
综上分析可知，正确的有①②④，
故答案为：B.
【分析】①根据等腰三角形的性质得出BD垂直平分AC，得出AP=PC，根据三角形三边关系即可得出结论；②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明 得出EB=ED，EA=ED，即可得出结论；③过点A作 于点M，当点P在AM与BD交点上时，AP+PQ=AM，此时AP+PQ最小，且最小值为AM，根据等积法求出AM即可；④过点P作 于点N，得出PN=PD，求出 即可求出结果.
11．【答案】2x+4>0
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解： x的2倍与4的和是正数，用不等式表示为2x+4>0，
故答案为：2x+4>0.
【分析】根据“x的2倍与4的和”得到2x+4，利用正数大于0列不等式即可.
12．【答案】内错角相等， 两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
“两直线平行，内错角相等”的条件是：两直线平行，结论是：内错角相等．
将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
故答案为：内错角相等， 两直线平行
【分析】原命题的条件是：两直线平行，结论是：内错角相等。将原命题条件和结论互换得逆命题。
13．【答案】m>2
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：解方程2x+2=m+x得x=m-2，
∵ 方程2x+2=m+x的解为正数，
∴m-2>0，
解得m>2，
故答案为：m>2.
【分析】先解方程求出x=m-2，根据题意得到m-2>0，求出m的取值范围即可.
14．【答案】39°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解： ，
，
∵CD平分 ，
，
又∵DE∥BC，
，
故答案为：39°.
【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠ACB的度数，然后根据角平分线的定义求出∠DCB的度数，再根据两直线平行，内错角相等解答即可.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠，可得BE=B'E，AB'=AB=3，
设B'E=x，则EC=BC-BE=4-x.
在 中，因为 ，
所以由勾股定理，得
所以B'C=AC-AB'=5-3=2.
因为 所以 即 为直角三角形.
在 中，由勾股定理，得 即
解得x=1.5，
所以B'E=1.5.
故答案为：1.5.
【分析】先根据勾股定理求出AC长，根据折叠的性质得到BE=B'E，AB'=AB=3， 设B'E=x，即可得到B'C=2，EC=4-x.再根据勾股定理求出x的值解答即可.
16．【答案】；
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解： 设CE交DF于H， 如图：
设.AD=BC=x，AB=CD=y，
沿CE折叠得到
EF=DE=3，
在 中，
在 中，
①-②得：
解得 或 (舍去)，
沿CE折叠得到
故答案为：
【分析】设CE交DF于H，AD=BC=x，AB=CD=y，根据勾股定理得到 解得 然后根据三角形的面积求出DH解题即可.
17．【答案】（1）解：2（13－x）>28
26-2x>28
-2x>2
x<-1
在数轴上表示为：
（2）解：3（x+1）>6-2（2x+2）
3x+3>6-4x-4
7x>-1
x>-
在数轴上表示为：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1解一元一次不等式，并把解集在数轴上表示即可；
（2）利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解一元一次不等式，并把解集在数轴上表示即可.
18．【答案】（1）解：如图，AD即为所求.
（2）如图，AE即为所作；
【知识点】尺规作图-作高；尺规作图-中线
【解析】【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则AD即为所作；
（2）过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，则AE即为所作.
19．【答案】（1）证明：是等边三角形，
，
在与中，
，
，
（2）解： ∵由(1)知∠ACE=∠CBF，
又∠ACE+∠PCB=∠ACB=60°，
∴∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠BPE=60°，
∵EG⊥BF，即∠PGE=90°，
∴∠GEP=30°，
∴在Rt△PGE中， PE=2PG，
∵PG=1，
∴PE=2.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)证明 即可得到结论；
(2)利用由(1)知 求出 又 即 得到 根据在直角三角形中， 所对的直角边等于斜边的一半，可求出EP的长.
20．【答案】（1）解∶解关于x的方，
得
因为解为负数，
所以
解这个不等式，得
所以a的取值范围是；

（2）解：，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
【知识点】解一元一次不等式组；解系数含参的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先解方程求出x的值，再根据方程的解是负数列不等式，解不等式即可；
（2）先求出a的取值范围，然后代入代数式求出a+b=2a+3，利用a的取值范围解题即可.
（1）解∶解关于x的方，
得
因为解为负数，
所以
解这个不等式，得
所以a的取值范围是
（2）
∴，
21．【答案】（1）解：∵DE垂直平分AB ， GF垂直平分AC ，
的周长为
AE+EG+AG=BE+EG+CG=BC=7，
即 的周长为7；
（2）解：∵DE垂直平分AB ， GF垂直平分AC ，
在 中，
，
即 的度数为

【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)根据垂直平分线的性质得到AE=BE，AG=CG，燃弧求出△AEG的周长即可；
(2)根据等边对等角得到∠BAE=∠B，∠CAG=∠C，然后根据三角形的内角和定理求出∠B+∠C=60°，即可得到然后根据角的和差解答即可.
22．【答案】（1）证明：∵ AB=AC，∴ ∠B=∠ C. 在△ BDE和△ CEF中， ，
∴ △ BDE ≌ △ CEF（SAS），则DE=EF，故△ DEF是等腰三角形
（2）解：在△ABC中，∵∠A=50°，∴∠B=∠C=65°. ∵ △ BDE ≌ △ CEF，∴ ∠BDE=∠CEF，
∴ ∠DEB+∠CEF=∠DEB+∠ BDE=180°-65°=115°，
则 ∠ DEF=180°-（∠DEB+∠CEF）=180°-115°=65°
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】由AB=AC，可知∠B=∠ C，根据题意易得△ BDE ≌ △ CEF（SAS），从而得到DE=EF，命题得证.⑵因为∠ A=50°，所以∠ B=∠ C=65°，由⑴可知，∠BDE=∠CEF，所以∠DEB+∠CEF=
∠DEB+∠ BDE=115°，从而∠ DEF=180°-115°=65°.
23．【答案】（1）解：∵以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，
∴AD=AB， AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°， ∠DAB =∠EAC =60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC =∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
∴△DAC ≌ △BAE(SAS)，
∴CD=BE；
（2）解：如图②，以AB为边向外作等腰直角三角形ABE， AE=AB，∠BAE=90°，
在 和 中，

【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出.AD=AB， 求出根据SAS推出 即可；
（2）以AB为边向外作等腰直角三角形ABE， 根据全等三角形的性质得到CE=BD，由勾股定理即可得到结论.
24．【答案】（1）解：如图1，∵AC⊥BD于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝10，BE＝8，
∴AE＝ ＝6，
∵当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，且CQ＝ AP，
∴CE＝CQ＝ AP＝ × ×10＝6，
∴AC＝AE+CE＝6+6＝12，
∴AC的长是12.
（2）证明：由已知得，当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，
如图1，延长PE交CD于点F，
∵∠AEB＝90°，P为AB中点，
∴PE＝PB＝ AB，
∴∠PEB＝∠B，
∵∠C＝∠B，
∴∠C＝∠PEB，
∵∠CEB＝90°，
∴∠C+∠CEF＝∠PEB+∠CEF＝90°，
∴∠CFE＝90°，
∴PE⊥CD，
∴PQ⊥CD.
（3）解：当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝AB时，如图2，
∵AC＝12，AQ＝AB＝10，
∴CQ＝AC-AQ＝12-10＝2，
∴CQ＝ AP，
∴ AP＝2，
∴AP＝ ；
当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝BQ时，如图3，
∵BE2+EQ2＝BQ2，且BE＝8，EQ＝6-CQ，BQ＝AQ＝12-CQ，
∴82+（6-CQ）2＝（12-CQ）2，
∴CQ＝ ，
∴ AP＝ ，
∴AP＝ ；
∵BD垂直平分AC，
∴若点Q与点C重合，则AB＝QB，
∵点P不与B重合，且CQ＝ AP，
∴点Q不与点C重合，
∴不存在AB＝QB的情况，
综上所述，AP的长为 或 .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可得AE=6，结合题意可得CE＝CQ＝AP＝6， 然后根据AC＝AE+CE进行计算；
（2）延长PE交CD于点F，由直角三角形斜边上中线的性质可得PE＝PB＝AB由等腰三角形的性质可得∠PEB＝∠B，结合∠C＝∠B可得∠C＝∠PEB，根据∠CEB＝90°可得∠C+∠CEF＝∠PEB+∠CEF＝90°，则∠CFE＝90°，据此证明；
（3）当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝AB时，CQ＝AC-AQ＝2，结合CQ＝AP可得AP的值；当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝BQ时，由勾股定理可得CQ，结合CQ＝AP可得AP的值.
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