资源简介

湖南省2026届初中学业水平考试九年级数学试卷仿真密卷（B卷）
1．在标准大气压下，液态氧的沸点是-183℃，液态氨的沸点是-33℃，酒精的沸点是78℃，水的沸点是100℃.其中沸点最低的液体是（　　）
A．液态氧 B．液态氨 C．酒精 D．水
【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵，，且 ，
∴，
∴沸点最低的液体是液态氧．
故答案为：A .
【分析】根据“正数大于零，负数小于零，两个负数比较大小绝对值大的反而小”解答即可.
2．新时代中国科技事业蓬勃发展，2026年2月北京大学科研团队成功研制出目前国际上尺寸最小、功耗最低的铁电晶体管，将铁电晶体管的物理栅长缩减至1nm极限.已知1nm=0.000 000 001m，用科学记数法将数据0.000 000 001表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：A .
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．如图是一个由个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：物体的主视图是
故选：．
【分析】根据观察得到的主视图，也就是从正面观察得到的图形进行判断即可.
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：∵，∴A错误；
B：∵，∴B错误；
C：∵，∴C错误；
D：∵，符合平方差公式，计算正确．
故答案为： D.
【分析】根据幂的乘方、单项式除以单项式、合并同类项、平方差公式法则逐项判断解答即可．
5．某冰箱说明书标明冷藏室温度要求为“高于0℃且不高于5℃”，则温度要求在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：冷藏室温度要求为“高于且不高于” ，
温度的取值范围是，
在数轴上表示为：
，
故答案为：C .
【分析】得到温度的取值范围，再根据“大于向右，小于向左，包含用实心，不包含用空心”在数轴上表示解集即可解答.
6．如图， Rt△DEF的直角顶点 D 与矩形ABCD的顶点重合，点F在BC上，EF交AD于点G.若∠E=35°，DA平分∠EDF，则∠BFG的度数为（　　）
A．60° B．75° C．80° D．85°
【答案】C
【知识点】矩形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：在中，，，
，
平分，
，
四边形是矩形，
，
，
点、、在同一直线上，
．
故答案为：C .
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，利用角平分线的定义求出，再根据两直线平行，内错角相等求出，再根据平角的定义计算即可.
7．某商品的进价为x元/件，销售时每件商品加价30元，在促销活动中每件商品又打8折出售，则该商品打折后的售价是（　　）
A．0.8(x+30) B．0.8x+30 C．x+0.8×30 D．0.8(x-30)
【答案】A
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：∵商品进价为元/件，销售时每件加价元，
∴加价后的价格为元，
又∵促销活动中打折出售，即售价为加价后价格的倍，
∴打折后的售价为元．
故答案为：A .
【分析】根据售价为加价后的价格×列代数式即可.
8． 如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB. 若∠C=40°，则∠ABO的度数为（　　）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，
，
，
，
．
故答案为：D .
【分析】根据圆周角定理求出的度数，再根据等边对等角和三角形内角和求出的度数即可.
9．周末小明和小强到射箭馆练习射箭，第一局 10 支箭射完后，两人的成绩如图所示.根据图中的信息，小明和小强两人中成绩较稳定的是（　　）
A．小明 B．小强 C．一样 D．不确定
【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：观察折线统计图可知，表示小明成绩的虚线波动较大，表示小强成绩的实线波动较小，
数据的波动越小，成绩越稳定，
小强的成绩较稳定．
故答案为：B .
【分析】观察折线统计图，比较两人成绩的波动情况，利用波动小的成绩稳定解答即可.
10．如图是某古建筑的扇形窗花造型，点B，D 分别是 OA，OC的中点，∠AOC=108°，图中阴影部分的面积为 则OB的长是（　　）
A．10cm B． C．15cm D．20cm
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设，
点，分别是，的中点，
，
，
，整理得，
解得：，
，
，
即的长是．
故答案为：C .
【分析】设，即可得出，根据扇形的面积公式列方程求出r即可.
11．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
∴
故答案为：
【分析】根据二次根式的的被开方数非负，即可得实数x的取值范围．
12．若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为　 　.
【答案】720°
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：多边形的边数为：，
则这个正多边形的内角和度数为，
故答案为：．
【分析】根据正多边形的外角和求出边数，再由多边形的内角和定理解答即可．
13． 如图，若棋盘中“馬”的坐标是(-2，2)，“卒”的坐标是(2，2)，则“相”的坐标是　 　.
【答案】(4，2)
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：“馬”的坐标是，“卒”的坐标是，
如图所示建立平面直角坐标系：
观察图形可知，“相”的坐标是．
故答案为： .
【分析】根据“馬”和“卒”的坐标建立平面直角坐标系，根据“相”的位置得到坐标即可.
14．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OA'B'.若点A 和点 A'的坐标分别为(2， 0)， (6， 0)，则A'B'的长为　 　.
【答案】4
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵点的坐标为，点的坐标为，
，，
以原点为位似中心放大后得到，
，
，
，
，
．
故答案为：4 .
【分析】根据点和点的坐标求出位似比，利用位似图形对应边成比例解答．
15． 2026年，长沙市中小学全面实施“活力课间15分钟”行动，鼓励学生走出教室参与体育锻炼.某校在课间开设了花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目.甲、乙两位同学各自从这三项中随机选择一项参加，且两人选择相互独立.则他们恰好都选择花样跳绳的概率是　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：令花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目分别为A、B、C，
A B C
A
B
C
根据表格可得共有9种等可能的结果，其中两人恰好都选择花样跳绳的结果只有种，
根据概率公式可得：．
故答案为： .
【分析】先用列表法得出所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
16．将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数.现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表：
卡片编号 A， B B， C C， D D， E E， A
两数和 50 62 55 67 52
根据以上信息，最大数所对应的卡片编号为　 　.
【答案】E
【知识点】一元整式方程
【解析】【解答】解：设卡片对应的数分别为，
由题意得，
得，即，
得，即，
，
把代入得，
解得，
把代入①解得：，
把代入②解得：，
把代入③解得：，
把代入④解得：，
∵，
∴，
∴最大数所对应的卡片编号为E．
故答案为：E .
【分析】设五张卡片对应的数分别为，根据表格数据列出方程组，然后求出a，b，c，d，e的值比较大小即可.
17．计算：
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先运算绝对值、立方根、零次幂和负整数次幂，然后加减解答即可.
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
.
当时，原式.
【知识点】平方差公式及应用；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
先对括号内的部分进行通分运算，再将除法转化为乘法计算，接着借助平方差公式对式子变形，最后通过约分得到化简后的式子；再把x=-2代入化简后的式子计算，就可以求出原式的值.
19．如图，在△ABC中，过点B作∠ABD=∠C，点E是边AB上的一点，且BE=BC， BD=AC，连接DE交AC于点F.
（1）求证： △ABC≌△DEB；
（2）若∠D=25°， ∠C=70°，求∠DFA的度数.
【答案】（1）证明：在△ABC和△DEB中，
∴△ABC≌△DEB(SAS)；
（2）解：∵△ABC≌△DEB，∠C=70°，∠D=25°，
∴∠DBE=∠C=70°，∠A=∠D=25°，
∴∠AED=∠D+∠DBE=25°+70°=95°，
∴∠DFA=∠A+∠AED=25°+95°=120°.
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据SAS得到两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，，再根据三角形外角求出，即可．
20．长沙市某学校开展“劳动教育月”活动，活动设置了四个项目供学生选择：A.校园清洁；B.食堂帮厨；C.植物养护；D.手工制作.要求每个学生必须且只能选择一项参加，为了解全校选择各项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图(如图所示).
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 ▲ ，并将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，项目B所占的百分比为m%，则m=　 　，项目C所对应扇形的圆心角为　 　°；
（3）该校参加活动的学生共2000人，请估计选择项目D的学生有多少人
【答案】（1）解：200；
参加B项目的人数为：200-10-90-60=40(人)，补全统计图如下：
（2）20；162
（3）解：∵该校参加活动的学生共2000人，
(人)，
∴估计选择项目D的学生有600人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意可知这次抽样调查的人数为90÷45%=200(人)；
故答案为：200；
（2）解：，
∴，
，
∴项目所对应扇形的圆心角为；
故答案为：20；162；
【分析】（1）根据项目C项目的人数除以占比求出推样本容量，然后运用样本容量减去其它项目人数求出项目B的人数，补全条形统计图即可；
（2）根据项目B的人数除以样本容量乘以100%，从而求出；将项目C的占比乘以求出圆心角即可；
（3）运用项目D在样本中的占比乘以2000解答．
21．如图，在△ABC中， D， E分别为AB， AC的中点. M是BC上一定点，按以下步骤尺规作图：
①以点D为圆心、DM为半径作弧，交BC于另一点N；
②分别以点M，N为圆心、大于MN的长为半径作弧，两弧交于点 P；
③作射线DP，交BC于点 F，点 G 在DE的延长线上，且DG=FC.
（1）求证：四边形DFCG是矩形.
（2）若∠B=45°， DF=3， DG=5，求△CEG的面积.
【答案】（1）证明：∵D， E分别为AB， AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
即DG∥FC.
∵DG=FC，
∴四边形DFCG是平行四边形.
由作图可知DF⊥BC，
∴四边形DFCG是矩形；
（2）解：∵∠B=45°， DF=3， DF⊥BC，
∴∠BDF=∠B=45°，
∴BF=DF=3.
由(1)知四边形DFCG是矩形，
∴EG⊥CG， CG=DF=3， DG=CF=5，
∴BC=BF+CF=3+5=8.
∵DE是△ABC的中位线，
∴EG=DG-DE=5-4=1，
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据中位线的性质可得，即可得到四边形是平行四边形，根据作图可得，即可证明结论；
（2）根据等角对等边得到，从而可得，然后根据三角形的中位线性质得到DE=4，求出EG长，然后根据三角形的面积公式计算即可．
22．在“青春长沙·志愿服务月”活动中，某街道办计划采购一批保温杯和雨伞发放给参与社区服务的志愿者.已知采购5个保温杯和4把雨伞共需440元；采购3个保温杯比采购2把雨伞多花110元.请解答下列问题：
（1）求保温杯和雨伞的单价；
（2）根据活动预算，本次计划采购保温杯和雨伞的总数为50，且总费用不超过2500元.请问最多可以采购保温杯多少个
【答案】（1）解：设每个保温杯的价格为x元，每把雨伞的价格为y元.
由题意得
解得
答：每个保温杯的价格是60元，每把雨伞的价格是35元；
（2）解：设购买m个保温杯，则购买(50-m)把雨伞.
根据题意，得60m+35(50-m)≤2500，
解得m≤30.
答：最多可以采购保温杯30个.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个保温杯的价格为x元，每把雨伞的价格为y元，根据“ 采购5个保温杯和4把雨伞共需440元；采购3个保温杯比采购2把雨伞多花110元 ”列方程组求出x和y的值解答即可；
（2）设购买m个保温杯，根据“ 采购保温杯和雨伞的总数为50，且总费用不超过2500元 ”列一元一次不等式，求出m的最大整数解即可.
23．某综合实践活动小组，尝试利用无人机(无人机限高120m)测算某广播电视发射塔AB的高度，设计了如下两种方案：
【方案一】如图1，无人机从E点竖直上升到离地面高度为60m的C处，测得与塔顶A处的仰角α为45°，与塔底D处的俯角β为30°. (参考数据：
【方案二】如图2，无人机从E点竖直上升到离地面高度为 60 m的C 处，测得与塔顶 A 处的仰角γ为45°；继续竖直上升到离地面高度为113 m的G处时，测得与塔顶处A的仰角θ为25°.(参考数据：
（1）请选择其中一种可行的测算方案：　 　；(填“方案一”或“方案二”)
（2）根据(1)中选择的方案，求该发射塔AB的高度.(结果保留整数)
【答案】（1）方案二
（2）解：如图，过点C， G分别作CP⊥AB于点F， GH⊥AB于点H.
由题意得四边形GCFH 和四边形CFBE都是矩形，
∴BF=CE=60m， HF=CG=GE-CE=113-60=53(m)， GH=CF.
∵∠F=45°， ∠AFC=90°，
∴AF=CF.
在Rt△AHG中，
解得AF≈100m，
∴AB=AF+FB=100+60=160(m).
∴该发射塔AB的高度约为160m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
【解析】解：对于方案一，缺少塔底到中心点的距离，则点与点的位置不固定，因此无法计算出发射塔的高度；
对于方案二，可以构造直角三角形，利用仰角的变化和高度的变化构造方程，计算出发射塔的高度，
故选择方案二；
故答案为：方案二；
【分析】（1）根据题意中所给已知量，分析两个方案的可行性，即可得出答案；
（2）过点C， G分别作CP⊥AB于点F， GH⊥AB于点H，得到四边形和四边形都是矩形，即可得到，，．然后得到是等腰直角三角形，即可得到，在中，利用正切的定义列方程，求出AF长，再根据线段的和差解答即可．
24． 如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点P是边AB上一点(不与点A，B重合)，连接DP交AC于点 G，以AP 为直径的半圆O 分别交 AD，AC 于点 E，F.已知
（1）若半圆O与直线DP相切，求PG的长；
（2） 设∠CGD=α(α为锐角)， 求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）如果半圆O 与直线DP交另一点为Q，是否存在半圆O 使得四边形 OFGQ有一组对边相互平行，若存在，请求出半圆O的半径；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形， AB=5，
∴AD=DC=AB=5，
∵半圆O与直线DP相切，
∴DF⊥AP，即∠APD=90°.
∴在Rt△ADP中，
∵AB∥CD，
∴∠GAP=∠DCG， ∠APG=∠CDG，
∴△DCG∽△PAG，
（2）解：如图1，过点D分别作于点M，于点H，DH交AC于点1，连接PF.
∵点P为AB边上一动点，G为DP与AC的交点，
∴∠PAG与(1)大小保持不变.
∴由(1)同理可得，
即
解得
在Rt△AHI中，
又∵AD=DC=AB=5.
∵OA=x.
∴AP=2x.
∵∠AFP=90°.
∴△PGF∽△DGM，
即
∵∠DGC=α(α为锐角)，
∴MG>0，
又∵OA=x>0，
∴10-4x>0，即
（3）解：如图2，过点D分别作DM⊥AC于点M， DH⊥AB于点H， DH交AC于点I，连接OQ， OF，设半圆半径为m.
假设存在四边形OFGQ有一组对边互相平行.
①若FG∥OQ，
则∠AGP=∠OQP.
∵AB∥CD，
∴∠OPQ=∠PDC.
∵OP=OQ，
∴∠OQP=∠OPQ.
∵∠AGP=∠DGC，
∴∠AGP=∠DGC=∠OQP=∠OFQ=∠PDC，
∴AG=AP=2m， CG=CD=5，
由(2)得
②若OF∥GQ，
则∠AFO=∠FGP.
∵AB∥CD，
∴∠FAO=∠DCG
∵OF=OA，
∴∠AFO=∠FAO，
∵∠FGP=∠DGC，
∴∠AFO=∠FAO=∠FGP=∠DGC=∠DCG，
∴DG=DC=5，
∴点G与点A或点C重合，
当点G与点A重合时，点P也与点A重合，这样的半圆不存在，
当点G与点C重合时，由AB∥CD，故点P不会在AB边上，这样的半圆也不存在.
综上所述，半圆的半径为
【知识点】函数解析式；菱形的性质；切线的性质；四边形的综合；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到，根据菱形的性质可得，然后根据正弦的定义和勾股定理求出，，然后根据两角对应相等得到，则利用对应边成比例解答即可；
（2）过点D分别作于点M，于点H，DH交AC于点1，连接PF，根据勾股定理求出AH长．同理可得△DCI∽△HAI，根据对应边成比例求出HI的值，再根据勾股定理求出AI长，然后推理得到△PGF∽△DGM，即可得得到，表示FG、MG长，然后根据正切的定义得到y与x的关系式即可；
（3）过点D分别作DM⊥AC于点M， DH⊥AB于点H， DH交AC于点I，连接OQ， OF，设半圆半径为m，分类讨论，当时，根据平行线的性质和等边对等角得到∠AGP=∠DGC=∠OQP=∠OFQ=∠PDC，即可得到AG=AP=2m，然后根据余弦的兴义求出AM，根据AC长列方程求出m的值；当OF∥GQ时，推理得到半圆不存在解答即可．
25．在平面直角坐标系中，对于某个函数图象上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，定若义它们的高低差为.右边点的纵坐标减去左边点若的纵坐标.根据定义，回答下列问题：
（1）请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”)；
①若M(1，y1)， N(2，y2)是正比例函数 y= kx(k>0)的图象上的点，则H(M， N)<0； (　　)
②若M(2，y1)，N(3，y2)是反比例函数 的图象上的点，则H(M，N)=1；(　　)
③若M(1，y1)， N(3，y2 )是二次函数 的图象上的点，则H(M ， N)=0. (　　)
（2）已知一次函数y=x+a与二次函数 的图象交于A(1，3)，B 两点，点P 是二次函数 图象上的一点，点P 与点 A 的横坐标之和为4，求H(P，B)的最小值.
（3） M(x1，y1 )， N(x2，y2 )是抛物线 上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t，若对于 都有H(M ，N)>0，求t的取值范围.
【答案】（1）解：①×；②×；③√.
（2）解：代入，得， ，
∴ ，
∴一次函数，二次函数 ，
联立，得 ，
整理，得 ，
∴点B的横坐标为，
∴点，
∵点P的横坐标与点A的横坐标之和为4，点A的横坐标为1，
∴点P的横坐标为，
令，则 ，
∴，
∵，
∴ ，
∴点P在点B的右边，
∴ ，
∵，
∴ ，即的最小值为15；
（3）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴ ，即，
∴ ，
令，则 ，
令，则 ，
分两种情况，
第一种，若，则，
∵，
∴ ，
第二种，若，则，
∵，
∴，
综上，两种情况下，均只要满足 ，则 ，
又 ， ，
∴当，同时取得下限的值时，可知 ，
∴若 恒成立，则 ，
解得．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）解：①令，则 ，
令，则 ，
∴ ，故原说法错误；
②令，则，
令，则，
∴，故原说法错误；
③令，则 ，
令，则 ，
∴ ，故原说法正确；
故答案为：①×；②×；③√；
【分析】（1）代入点M和点N的横坐标到对应的函数解析式中，分别求出y1和y2，作差计算即可判断解答即可；
（2）代入点A的坐标，求出一次函数的解析式，再联立两函数的解析式，求出点B的坐标，即可得到点P的横坐标为3，求出纵坐标，根据定义表示出，求出最小值解答即可；
（3）根据二次函数的对称轴可得，分别求出和，分为或两种情况，并表示对应的，再再根据x1和x2的取值范围得到t的取值范围即可．
1 / 1湖南省2026届初中学业水平考试九年级数学试卷仿真密卷（B卷）
1．在标准大气压下，液态氧的沸点是-183℃，液态氨的沸点是-33℃，酒精的沸点是78℃，水的沸点是100℃.其中沸点最低的液体是（　　）
A．液态氧 B．液态氨 C．酒精 D．水
2．新时代中国科技事业蓬勃发展，2026年2月北京大学科研团队成功研制出目前国际上尺寸最小、功耗最低的铁电晶体管，将铁电晶体管的物理栅长缩减至1nm极限.已知1nm=0.000 000 001m，用科学记数法将数据0.000 000 001表示为（　　）
A． B． C． D．
3．如图是一个由个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．某冰箱说明书标明冷藏室温度要求为“高于0℃且不高于5℃”，则温度要求在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．如图， Rt△DEF的直角顶点 D 与矩形ABCD的顶点重合，点F在BC上，EF交AD于点G.若∠E=35°，DA平分∠EDF，则∠BFG的度数为（　　）
A．60° B．75° C．80° D．85°
7．某商品的进价为x元/件，销售时每件商品加价30元，在促销活动中每件商品又打8折出售，则该商品打折后的售价是（　　）
A．0.8(x+30) B．0.8x+30 C．x+0.8×30 D．0.8(x-30)
8． 如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB. 若∠C=40°，则∠ABO的度数为（　　）
A．25° B．30° C．40° D．50°
9．周末小明和小强到射箭馆练习射箭，第一局 10 支箭射完后，两人的成绩如图所示.根据图中的信息，小明和小强两人中成绩较稳定的是（　　）
A．小明 B．小强 C．一样 D．不确定
10．如图是某古建筑的扇形窗花造型，点B，D 分别是 OA，OC的中点，∠AOC=108°，图中阴影部分的面积为 则OB的长是（　　）
A．10cm B． C．15cm D．20cm
11．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
12．若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为　 　.
13． 如图，若棋盘中“馬”的坐标是(-2，2)，“卒”的坐标是(2，2)，则“相”的坐标是　 　.
14．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OA'B'.若点A 和点 A'的坐标分别为(2， 0)， (6， 0)，则A'B'的长为　 　.
15． 2026年，长沙市中小学全面实施“活力课间15分钟”行动，鼓励学生走出教室参与体育锻炼.某校在课间开设了花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目.甲、乙两位同学各自从这三项中随机选择一项参加，且两人选择相互独立.则他们恰好都选择花样跳绳的概率是　 　.
16．将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数.现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表：
卡片编号 A， B B， C C， D D， E E， A
两数和 50 62 55 67 52
根据以上信息，最大数所对应的卡片编号为　 　.
17．计算：
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在△ABC中，过点B作∠ABD=∠C，点E是边AB上的一点，且BE=BC， BD=AC，连接DE交AC于点F.
（1）求证： △ABC≌△DEB；
（2）若∠D=25°， ∠C=70°，求∠DFA的度数.
20．长沙市某学校开展“劳动教育月”活动，活动设置了四个项目供学生选择：A.校园清洁；B.食堂帮厨；C.植物养护；D.手工制作.要求每个学生必须且只能选择一项参加，为了解全校选择各项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图(如图所示).
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 ▲ ，并将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，项目B所占的百分比为m%，则m=　 　，项目C所对应扇形的圆心角为　 　°；
（3）该校参加活动的学生共2000人，请估计选择项目D的学生有多少人
21．如图，在△ABC中， D， E分别为AB， AC的中点. M是BC上一定点，按以下步骤尺规作图：
①以点D为圆心、DM为半径作弧，交BC于另一点N；
②分别以点M，N为圆心、大于MN的长为半径作弧，两弧交于点 P；
③作射线DP，交BC于点 F，点 G 在DE的延长线上，且DG=FC.
（1）求证：四边形DFCG是矩形.
（2）若∠B=45°， DF=3， DG=5，求△CEG的面积.
22．在“青春长沙·志愿服务月”活动中，某街道办计划采购一批保温杯和雨伞发放给参与社区服务的志愿者.已知采购5个保温杯和4把雨伞共需440元；采购3个保温杯比采购2把雨伞多花110元.请解答下列问题：
（1）求保温杯和雨伞的单价；
（2）根据活动预算，本次计划采购保温杯和雨伞的总数为50，且总费用不超过2500元.请问最多可以采购保温杯多少个
23．某综合实践活动小组，尝试利用无人机(无人机限高120m)测算某广播电视发射塔AB的高度，设计了如下两种方案：
【方案一】如图1，无人机从E点竖直上升到离地面高度为60m的C处，测得与塔顶A处的仰角α为45°，与塔底D处的俯角β为30°. (参考数据：
【方案二】如图2，无人机从E点竖直上升到离地面高度为 60 m的C 处，测得与塔顶 A 处的仰角γ为45°；继续竖直上升到离地面高度为113 m的G处时，测得与塔顶处A的仰角θ为25°.(参考数据：
（1）请选择其中一种可行的测算方案：　 　；(填“方案一”或“方案二”)
（2）根据(1)中选择的方案，求该发射塔AB的高度.(结果保留整数)
24． 如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点P是边AB上一点(不与点A，B重合)，连接DP交AC于点 G，以AP 为直径的半圆O 分别交 AD，AC 于点 E，F.已知
（1）若半圆O与直线DP相切，求PG的长；
（2） 设∠CGD=α(α为锐角)， 求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）如果半圆O 与直线DP交另一点为Q，是否存在半圆O 使得四边形 OFGQ有一组对边相互平行，若存在，请求出半圆O的半径；若不存在，请说明理由.
25．在平面直角坐标系中，对于某个函数图象上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，定若义它们的高低差为.右边点的纵坐标减去左边点若的纵坐标.根据定义，回答下列问题：
（1）请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”)；
①若M(1，y1)， N(2，y2)是正比例函数 y= kx(k>0)的图象上的点，则H(M， N)<0； (　　)
②若M(2，y1)，N(3，y2)是反比例函数 的图象上的点，则H(M，N)=1；(　　)
③若M(1，y1)， N(3，y2 )是二次函数 的图象上的点，则H(M ， N)=0. (　　)
（2）已知一次函数y=x+a与二次函数 的图象交于A(1，3)，B 两点，点P 是二次函数 图象上的一点，点P 与点 A 的横坐标之和为4，求H(P，B)的最小值.
（3） M(x1，y1 )， N(x2，y2 )是抛物线 上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t，若对于 都有H(M ，N)>0，求t的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵，，且 ，
∴，
∴沸点最低的液体是液态氧．
故答案为：A .
【分析】根据“正数大于零，负数小于零，两个负数比较大小绝对值大的反而小”解答即可.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：A .
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：物体的主视图是
故选：．
【分析】根据观察得到的主视图，也就是从正面观察得到的图形进行判断即可.
4．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：∵，∴A错误；
B：∵，∴B错误；
C：∵，∴C错误；
D：∵，符合平方差公式，计算正确．
故答案为： D.
【分析】根据幂的乘方、单项式除以单项式、合并同类项、平方差公式法则逐项判断解答即可．
5．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：冷藏室温度要求为“高于且不高于” ，
温度的取值范围是，
在数轴上表示为：
，
故答案为：C .
【分析】得到温度的取值范围，再根据“大于向右，小于向左，包含用实心，不包含用空心”在数轴上表示解集即可解答.
6．【答案】C
【知识点】矩形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：在中，，，
，
平分，
，
四边形是矩形，
，
，
点、、在同一直线上，
．
故答案为：C .
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，利用角平分线的定义求出，再根据两直线平行，内错角相等求出，再根据平角的定义计算即可.
7．【答案】A
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：∵商品进价为元/件，销售时每件加价元，
∴加价后的价格为元，
又∵促销活动中打折出售，即售价为加价后价格的倍，
∴打折后的售价为元．
故答案为：A .
【分析】根据售价为加价后的价格×列代数式即可.
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，
，
，
，
．
故答案为：D .
【分析】根据圆周角定理求出的度数，再根据等边对等角和三角形内角和求出的度数即可.
9．【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：观察折线统计图可知，表示小明成绩的虚线波动较大，表示小强成绩的实线波动较小，
数据的波动越小，成绩越稳定，
小强的成绩较稳定．
故答案为：B .
【分析】观察折线统计图，比较两人成绩的波动情况，利用波动小的成绩稳定解答即可.
10．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设，
点，分别是，的中点，
，
，
，整理得，
解得：，
，
，
即的长是．
故答案为：C .
【分析】设，即可得出，根据扇形的面积公式列方程求出r即可.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
∴
故答案为：
【分析】根据二次根式的的被开方数非负，即可得实数x的取值范围．
12．【答案】720°
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：多边形的边数为：，
则这个正多边形的内角和度数为，
故答案为：．
【分析】根据正多边形的外角和求出边数，再由多边形的内角和定理解答即可．
13．【答案】(4，2)
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：“馬”的坐标是，“卒”的坐标是，
如图所示建立平面直角坐标系：
观察图形可知，“相”的坐标是．
故答案为： .
【分析】根据“馬”和“卒”的坐标建立平面直角坐标系，根据“相”的位置得到坐标即可.
14．【答案】4
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵点的坐标为，点的坐标为，
，，
以原点为位似中心放大后得到，
，
，
，
，
．
故答案为：4 .
【分析】根据点和点的坐标求出位似比，利用位似图形对应边成比例解答．
15．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：令花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目分别为A、B、C，
A B C
A
B
C
根据表格可得共有9种等可能的结果，其中两人恰好都选择花样跳绳的结果只有种，
根据概率公式可得：．
故答案为： .
【分析】先用列表法得出所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
16．【答案】E
【知识点】一元整式方程
【解析】【解答】解：设卡片对应的数分别为，
由题意得，
得，即，
得，即，
，
把代入得，
解得，
把代入①解得：，
把代入②解得：，
把代入③解得：，
把代入④解得：，
∵，
∴，
∴最大数所对应的卡片编号为E．
故答案为：E .
【分析】设五张卡片对应的数分别为，根据表格数据列出方程组，然后求出a，b，c，d，e的值比较大小即可.
17．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先运算绝对值、立方根、零次幂和负整数次幂，然后加减解答即可.
18．【答案】解：原式
.
当时，原式.
【知识点】平方差公式及应用；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
先对括号内的部分进行通分运算，再将除法转化为乘法计算，接着借助平方差公式对式子变形，最后通过约分得到化简后的式子；再把x=-2代入化简后的式子计算，就可以求出原式的值.
19．【答案】（1）证明：在△ABC和△DEB中，
∴△ABC≌△DEB(SAS)；
（2）解：∵△ABC≌△DEB，∠C=70°，∠D=25°，
∴∠DBE=∠C=70°，∠A=∠D=25°，
∴∠AED=∠D+∠DBE=25°+70°=95°，
∴∠DFA=∠A+∠AED=25°+95°=120°.
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据SAS得到两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，，再根据三角形外角求出，即可．
20．【答案】（1）解：200；
参加B项目的人数为：200-10-90-60=40(人)，补全统计图如下：
（2）20；162
（3）解：∵该校参加活动的学生共2000人，
(人)，
∴估计选择项目D的学生有600人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意可知这次抽样调查的人数为90÷45%=200(人)；
故答案为：200；
（2）解：，
∴，
，
∴项目所对应扇形的圆心角为；
故答案为：20；162；
【分析】（1）根据项目C项目的人数除以占比求出推样本容量，然后运用样本容量减去其它项目人数求出项目B的人数，补全条形统计图即可；
（2）根据项目B的人数除以样本容量乘以100%，从而求出；将项目C的占比乘以求出圆心角即可；
（3）运用项目D在样本中的占比乘以2000解答．
21．【答案】（1）证明：∵D， E分别为AB， AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
即DG∥FC.
∵DG=FC，
∴四边形DFCG是平行四边形.
由作图可知DF⊥BC，
∴四边形DFCG是矩形；
（2）解：∵∠B=45°， DF=3， DF⊥BC，
∴∠BDF=∠B=45°，
∴BF=DF=3.
由(1)知四边形DFCG是矩形，
∴EG⊥CG， CG=DF=3， DG=CF=5，
∴BC=BF+CF=3+5=8.
∵DE是△ABC的中位线，
∴EG=DG-DE=5-4=1，
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据中位线的性质可得，即可得到四边形是平行四边形，根据作图可得，即可证明结论；
（2）根据等角对等边得到，从而可得，然后根据三角形的中位线性质得到DE=4，求出EG长，然后根据三角形的面积公式计算即可．
22．【答案】（1）解：设每个保温杯的价格为x元，每把雨伞的价格为y元.
由题意得
解得
答：每个保温杯的价格是60元，每把雨伞的价格是35元；
（2）解：设购买m个保温杯，则购买(50-m)把雨伞.
根据题意，得60m+35(50-m)≤2500，
解得m≤30.
答：最多可以采购保温杯30个.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个保温杯的价格为x元，每把雨伞的价格为y元，根据“ 采购5个保温杯和4把雨伞共需440元；采购3个保温杯比采购2把雨伞多花110元 ”列方程组求出x和y的值解答即可；
（2）设购买m个保温杯，根据“ 采购保温杯和雨伞的总数为50，且总费用不超过2500元 ”列一元一次不等式，求出m的最大整数解即可.
23．【答案】（1）方案二
（2）解：如图，过点C， G分别作CP⊥AB于点F， GH⊥AB于点H.
由题意得四边形GCFH 和四边形CFBE都是矩形，
∴BF=CE=60m， HF=CG=GE-CE=113-60=53(m)， GH=CF.
∵∠F=45°， ∠AFC=90°，
∴AF=CF.
在Rt△AHG中，
解得AF≈100m，
∴AB=AF+FB=100+60=160(m).
∴该发射塔AB的高度约为160m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
【解析】解：对于方案一，缺少塔底到中心点的距离，则点与点的位置不固定，因此无法计算出发射塔的高度；
对于方案二，可以构造直角三角形，利用仰角的变化和高度的变化构造方程，计算出发射塔的高度，
故选择方案二；
故答案为：方案二；
【分析】（1）根据题意中所给已知量，分析两个方案的可行性，即可得出答案；
（2）过点C， G分别作CP⊥AB于点F， GH⊥AB于点H，得到四边形和四边形都是矩形，即可得到，，．然后得到是等腰直角三角形，即可得到，在中，利用正切的定义列方程，求出AF长，再根据线段的和差解答即可．
24．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形， AB=5，
∴AD=DC=AB=5，
∵半圆O与直线DP相切，
∴DF⊥AP，即∠APD=90°.
∴在Rt△ADP中，
∵AB∥CD，
∴∠GAP=∠DCG， ∠APG=∠CDG，
∴△DCG∽△PAG，
（2）解：如图1，过点D分别作于点M，于点H，DH交AC于点1，连接PF.
∵点P为AB边上一动点，G为DP与AC的交点，
∴∠PAG与(1)大小保持不变.
∴由(1)同理可得，
即
解得
在Rt△AHI中，
又∵AD=DC=AB=5.
∵OA=x.
∴AP=2x.
∵∠AFP=90°.
∴△PGF∽△DGM，
即
∵∠DGC=α(α为锐角)，
∴MG>0，
又∵OA=x>0，
∴10-4x>0，即
（3）解：如图2，过点D分别作DM⊥AC于点M， DH⊥AB于点H， DH交AC于点I，连接OQ， OF，设半圆半径为m.
假设存在四边形OFGQ有一组对边互相平行.
①若FG∥OQ，
则∠AGP=∠OQP.
∵AB∥CD，
∴∠OPQ=∠PDC.
∵OP=OQ，
∴∠OQP=∠OPQ.
∵∠AGP=∠DGC，
∴∠AGP=∠DGC=∠OQP=∠OFQ=∠PDC，
∴AG=AP=2m， CG=CD=5，
由(2)得
②若OF∥GQ，
则∠AFO=∠FGP.
∵AB∥CD，
∴∠FAO=∠DCG
∵OF=OA，
∴∠AFO=∠FAO，
∵∠FGP=∠DGC，
∴∠AFO=∠FAO=∠FGP=∠DGC=∠DCG，
∴DG=DC=5，
∴点G与点A或点C重合，
当点G与点A重合时，点P也与点A重合，这样的半圆不存在，
当点G与点C重合时，由AB∥CD，故点P不会在AB边上，这样的半圆也不存在.
综上所述，半圆的半径为
【知识点】函数解析式；菱形的性质；切线的性质；四边形的综合；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到，根据菱形的性质可得，然后根据正弦的定义和勾股定理求出，，然后根据两角对应相等得到，则利用对应边成比例解答即可；
（2）过点D分别作于点M，于点H，DH交AC于点1，连接PF，根据勾股定理求出AH长．同理可得△DCI∽△HAI，根据对应边成比例求出HI的值，再根据勾股定理求出AI长，然后推理得到△PGF∽△DGM，即可得得到，表示FG、MG长，然后根据正切的定义得到y与x的关系式即可；
（3）过点D分别作DM⊥AC于点M， DH⊥AB于点H， DH交AC于点I，连接OQ， OF，设半圆半径为m，分类讨论，当时，根据平行线的性质和等边对等角得到∠AGP=∠DGC=∠OQP=∠OFQ=∠PDC，即可得到AG=AP=2m，然后根据余弦的兴义求出AM，根据AC长列方程求出m的值；当OF∥GQ时，推理得到半圆不存在解答即可．
25．【答案】（1）解：①×；②×；③√.
（2）解：代入，得， ，
∴ ，
∴一次函数，二次函数 ，
联立，得 ，
整理，得 ，
∴点B的横坐标为，
∴点，
∵点P的横坐标与点A的横坐标之和为4，点A的横坐标为1，
∴点P的横坐标为，
令，则 ，
∴，
∵，
∴ ，
∴点P在点B的右边，
∴ ，
∵，
∴ ，即的最小值为15；
（3）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴ ，即，
∴ ，
令，则 ，
令，则 ，
分两种情况，
第一种，若，则，
∵，
∴ ，
第二种，若，则，
∵，
∴，
综上，两种情况下，均只要满足 ，则 ，
又 ， ，
∴当，同时取得下限的值时，可知 ，
∴若 恒成立，则 ，
解得．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）解：①令，则 ，
令，则 ，
∴ ，故原说法错误；
②令，则，
令，则，
∴，故原说法错误；
③令，则 ，
令，则 ，
∴ ，故原说法正确；
故答案为：①×；②×；③√；
【分析】（1）代入点M和点N的横坐标到对应的函数解析式中，分别求出y1和y2，作差计算即可判断解答即可；
（2）代入点A的坐标，求出一次函数的解析式，再联立两函数的解析式，求出点B的坐标，即可得到点P的横坐标为3，求出纵坐标，根据定义表示出，求出最小值解答即可；
（3）根据二次函数的对称轴可得，分别求出和，分为或两种情况，并表示对应的，再再根据x1和x2的取值范围得到t的取值范围即可．
1 / 1

展开更多......

收起↑