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数学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分）
1. 的倒数是（ ）
A.2026 B. -2026
C. D.
2. 根据央视新闻发布的数据，截至2月18日8时，总台2026年春晚在新媒体端直播收视次数达21.3亿次，比去年同期提升26.04%。数据“21.3亿”用科学记数法可表示为（
A. B.
C. D.
3. 如图为洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同
4. 将一块直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其中点A、C分别落在直线a、b上，若，°，则的度数为（ ）
A.27° B.53° C.60° D.63°
5. 甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：，，，，则射击成绩最稳定的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 以上结论都有可能
7. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点，，均在格点上，则的值是（ ）
A. B.
C. D.
8. 在一个不透明的口袋中，放入标有数字分别为1，2，3，3的四个小球，它们除数字外完全相同，从中随机摸出一个小球后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和为 的概率为（ ）（注：原文档此处“和为5”可能是输入失误，按图片显示保留）
A. B.
C. D.
9. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接。若，，则菱形的面积为（ ）
A.48 B.60 C.72 D.96
10. 如图1，在中，D是边AC上的定点。点P从点A出发，依次沿AB，BC两边匀速运动，运动到点C时停止。设点P运动的路程为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，其中M，N分别是两段曲线的最低点。则点N的纵坐标是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分）
11. 若有意义，则x的取值范围是 .
12. 定义新运算：，则的运算结果是 .
13. 一列单项式按以下规律排列：，，，，，，，…，则第20个单项式是 .
14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，且点D在上，，则的长为 .
15. 如图，中，，，，E是AC的中点，M、N分别是边AB、BC上的动点，D也是BC边上的一个动点，以CD为直径作，连接ED交于F，连接FM，MN，则的最小值为 .
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16.（10分）计算：
（1）；
（2）。
17.（8分）
为了了解学生对“生态文明与环境保护”相关知识的掌握情况，某学校举办了以“生态文明与环境保护”为主题的相关知识测试。现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：
A：，B：，C：，D：。
其中，八年级学生的竞赛成绩为：
66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96；
九年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89。
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：
学生 平均数 中位数 众数
八年级 85.2 86 b
九年级 85.2 a 91
九年级学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）若九年级有700名学生参赛，估计九年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？
（3）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由。
18.（9分）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点，与y轴交于点C.
（1）尺规作图：作直线OP，使，与反比例函数图象在第一象限内交于点P；
（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）求（1）中点P的坐标；
（3）结合图像请直接写出时x的取值范围.
19.（9分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际，某商场预测某粽子能够畅销.根据预测，每千克该粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进这种粽子的数量是节后用相同金额购进的数量的倍.根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克这种粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进这种粽子400千克，且总费用不超过3800元，并按照节前每千克18元，节后每千克14元全部售出，那么该商场节前购进多少千克这种粽子获得利润最大？最大利润是多少？
20.（9分）一天晚上，乐乐和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可达）的高 ．如图所示，当乐乐爸爸站在点 处时，他在该景观灯照射下的影子长为 ，测得 ；当乐乐站在爸爸影子的顶端 处时，测得点 的仰角 为 ．已知爸爸的身高 ，乐乐眼睛到地面的距离 ，点 、、 在同一条直线上，，，．求该景观灯的高 ．（参考数据：，，）
21．（9分）如图，在 中，，以 为直径的 交 于点 ，过点 作 ，垂足为点 ，延长 交 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，，则图中阴影部分的面积为 ．
22.（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和点，点在该抛物线上，其横坐标为。
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，把抛物线沿轴向上平移得到抛物线，平移的距离为，在平移过程中，抛物线与直线始终有交点，求的最大值；
（3）若抛物线在点右侧部分（含点）的最低点的纵坐标为，请直接写出的值。
23. （11分）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究几何图形的经验，请运用已有经验，对“腰分双等四边形”进行研究。
【图形定义】
若四边形的一条对角线把其分割成两个等腰三角形。且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为“腰分双等四边形”，这条对角线为“腰分线”。
（1）【概念理解】如图1，在四边形ABCD中，，连接BD，点E是BD的中点，连接AE，CE。则：
①四边形ABCE______(填“是”或“不是”)腰分双等四边形；
②若，的度数为____°；的度数为____°。
(2)【性质探究】如图2，正方形ABCD边长为6，点F为其内部一点(不含中心)，四边形ABFD为腰分双等四边形，AF为腰分线(和均不是等边三角形)，过点D作直线BF的垂线，垂足为点E，连结CE，若，求的面积。
(3)【拓展应用】如图3，在矩形ABCD中，，点E是其内部一点，点F是边CD上一点，四边形AEFD是腰分双等四边形，DE为腰分线，且，延长AE交线段BC于点G，连接FG。若，，请直接写出BG的长。
初三下期数学模拟试卷参考答案
一. 选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D C A D D A B
二. 填空题（共5小题）
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
三. 解答题（共8小题）
16. 计算：
（1）
=5； 5分
（2）原式
=-x2-x 5分
注：结果写成 也得全分
17. 解：（1）87.5；88；35； 3分
（2）700×(1-10%-15%-35%)=280（人）， 5分
答：估计九年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有280人。
（3）九年级的成绩更好，
理由：因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数和众数均大于八年级．
8分
18．解：（1）如图所示，
3分
（2）由条件可得，，
解得：．
∴一次函数关系式为．
将点代入，得．
解得：．
∴．
将代入，得，
∴的值为12．
∵一次函数关系式为，，，
∴直线的函数关系式为．
可联立方程组，得．
解得：，（舍去），
∴点P的坐标为(26,6)． 7分
（3）019．解：（1）由题意，设节后这种粽子进价为元，则节前该粽子的进价为元，
∴，
∴，
经检验是原方程的解，且符合实际．
答：节后每千克这种粽子的进价为8元； 4分
（2）设利润元，节前购进这种粽子千克，则节后购进该粽子千克，
，
．
又，且，，
当时，有最大值，最大值为元．
答：该商场节前购进千克这种粽子获得利润最大，最大利润是元．
9分
解：过点作，垂足为，
由题意得：，，
设，
在中，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
∴ 该景观灯的高 AB 约为 4.8m 9分
21.（1） 证明：如图，以 为直径的 交 于点 ，连接 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
∴DE 是 ⊙O 的切线； 6分
(2) 63-83π 9分
22. 解：（1） 抛物线 经过点 ，点 ，
，
解得 ，
∴ 抛物线 C1 的解析式为 y=x2-4x+3； 4分
（2） ，点 在 上，
，
点 的坐标为 .
设直线 的函数解析式为 ，
将 代入 中，
解得 ，，
∴直线 为 。
设抛物线 的解析式为 ，
令 ，整理得 。
∵抛物线 与直线 始终有交点，
∴，
∴，
∴h 的最大值为 94。 8分
（3）1 或 5+52。 10分
23. 解：（1）①是； 2分
②45°，135°； 4分
（2）如图2，连接 ，过点 作 ，
由题可知：，
设 ，，则 ，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
，
在直角三角形 中，由勾股定理得：，
∴S ABF=12×BF×AG=12×22×34=217; 9分
(3) 75或3813 11分

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