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四川省自贡市贡井区2025年中考下学期5月模拟数学试题
一、选择题．（共12小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．相反数和绝对值分别是（ ）
A．和3 B．和 C．3和 D．3和3
2．中国海关四月份公布了2025年第一季度中国出口值为万亿元，将万亿用科学记数法值表示为（ ）
A． B． C． D．
3．一组数据2，3，2，4，9下列结论正确的个数为（ ）
（1）中位数为3 （2）众数为2 （3）平均数为5 （4）方差为6.8
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若正多边形的一个外角是 ，则该正多边形的内角和为（　　）
A． B． C． D．
5．在圆、线段、菱形、正三角形这四个图形中，既是轴对称又是中心对称图形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
7．若一元二次方程的两个实根为，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．若分式方程无解，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．0或2 D．1或2
9．不等式组，有2个整数解，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．如图中，，，，将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，则、两点间的距离为（ ）
A．3 B． C． D．
11．已知点、、、、在上，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．54°
12．等腰中，，于，点是线段上一个动点．则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）．
13．在化简后，要求在，1，0，2中取一个数再求值，只能取　 　．
14．如图，，，则　 　．
15．将沿边的右平移得，交于，若．周长为，则周长为　 　．
16．如图所示的三视图为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为　 　．
17．如图矩形中，，将矩形的绕点顺时针旋转得到矩形，当点落在上时，连接、，设面积为、面积为，则、的函数关系为　 　．
18．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下面五个结论正确的序号为　 　．
①； ②； ③；④；⑤时，
三、解答题．（本大题共8小题，共78分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．计算：．
20．如图中，于、于，求证：四边形为平行四边形．
21．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中记载了一个问题，大意是：五只雀，六只燕共重两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，求每只雀、燕的重量各是多少两？
22．为了了解某校初中学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校初中的名学生，根据统计的结果给出了如图所示的统计图，请根据统计信息解答下列问题：
（1）填空：的值为_____．图①中的值为_____．统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为_____和_____．
（2）若该校有500名初中生，根据样本数据估计该校初中生每周参加科学教育活动是9h的人数．
（3）若从每周参加科学教育的时间最长的3名男生和1名女生中随机抽取两名学生予以表彰，请画树状图或列表，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
23．如图中，，点在上，以为直径的经过上的点与交于点，且．
（1）求证：是的切线．
（2）若，求图中阴影部分面积．
24．如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式．
（2）求的面积．
25．小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：
课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度
模型抽象
测量数据 ①测得水平距离为15米
②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米
③牵线放风筝的手到地面的距离为米
说明 点，，，在同一平面内
请根据表格信息和图1，解答下列问题．
（1）求线段的长．
（2）若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米的线？
（3）如图2，若小明身后有一个坡度为的斜坡，小明牵着风筝沿坡面后退米到达的位置．此时风筝上升到原方向的处（，，，，，，在同一平面内），沿小明的手所在的位置，观察处的风筝，仰角为，求风筝距地面的高度（精确到米，取，取）
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，E为边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为，求周长的最小值；
（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，面积为，当为等腰三角形时，求点N的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法；求有理数的绝对值的方法；求算术平方根
【解析】【解答】解：，
∴的相反数为，绝对值是，
故选：A ．
【分析】
根据算术平方根得到，结合相反数和绝对值的计算即可．
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将万亿用科学记数法值表示为．
故选：D．
【分析】
把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
3．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：数据从小到大排序为2，2，3，4，9，
∴中位数是3，众数是2，平均数是，
方差为，
∴（1），（2），（4）正确，共3个，
故选：C ．
【分析】
根据中位数、众数、平均数、方差的计算即可解答．
4．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意，正多边形的边数为 ，其内角和为 ．
故答案为：C.
【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，且多边形的外角和是360°即可算出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算出答案即可。
5．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：圆既是轴对称图形又是中心对称图形，
线段既是轴对称图形又是中心对称图形，
菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，
正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴有3个，
故选：C ．
【分析】轴对称图形：是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合即可判断.
6．【答案】A
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】四边形的对角线不相等且不垂直，则中点四边形为平行四边形；四边形的对角线相等，则中点四边形为菱形；四边形的对角线垂直，则中点四边形为矩形；四边形的对角线相等且垂直，则中点四边形为正方形。因为菱形的对角线垂直，所以中点四边形为矩形。
故答案为：A。
【分析】利用中点四边形的性质求解即可。
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两个实根为，
∴，，
∴．
故选B．
【分析】
先根据韦达定理直接求出两根之和和两根之积，再将所求代数式通分后代入计算即可.
8．【答案】C
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：
分式方程无解，
，
；
，
当时，，不成立；
当时，，则，
，
综上所述，若分式方程无解，则的值为或，
故答案为：C．
【分析】
先将分式方程化为整式方程，再分整式方程无解和整式方程的解为原分式方程增根两种情况讨论，求出m即可.
9．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解①得，，
解②得，，
∴，
∵不等式组有2个整数解，
∴，
解得，，
故选：A ．
【分析】
需先解不等式组得到x的取值范围，再根据整数解的个数确定1-m的范围，进而求出m的取值范围即可.
10．【答案】B
【知识点】旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在中，，，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，
∴，，
∴，
如图所示，
∴，
故选：B ．
【分析】
先利用勾股定理求出AB的长，再根据旋转性质得到AE、DE的长，进而求出BE的长，最后再直角三角形DEB中用勾股定理计算BD的长即可.
11．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【分析】
根据圆周角定理求出圆心角的度数，利用弦与圆心角的关系进行求解即可.
12．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过作于，过作于，
∵，于，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故选：A．
【分析】
通过作辅助线，根据勾股定理求出AD和CD的长，再根据正弦函数求出并转化式子，然后根据垂线段最短的性质，当B、E、F三点共线且BFAC时，BE+EF的值最小，最后根据勾股定理可求出AD的长，进而可求得结果.
13．【答案】2
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【解答】解：
∵，
∴，
在化简过程中，消去了，
因此．
因此，只能取2．
故答案为：2．
【分析】
先将除法转化为乘法，再因式分解，约分，最后限制条件即可.
14．【答案】
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】
通过作辅助线，将未知的分割成两个与已知角相关的角，从而利用同旁内角互补的性质分别求解.
15．【答案】8
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将沿边的右平移得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
，，
∴，
∴周长比等于相似比，即，
∴，
∴周长为，
故答案为：8 ．
【分析】
根据平移性质得到相似三角形，再利用相似三角形的性质（周长比等于相似比）即可解答.
16．【答案】
【知识点】圆锥的计算；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：观察该几何体的三视图发现其为圆锥，底面的直径为12，高为8，
∴母线长为，
故其表面积为：，
故答案为：．
【分析】
根据三视图确定圆锥的底面半径和高，并利用勾股定理求出母线长，最后结合圆锥表面积公式求解即可.
17．【答案】：
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点E作于点H，设，则，
在矩形中，，则，
，．
由旋转的性质可得，，
，
，
∵，
，
，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
过点E作，垂足为H，设，那么，再结合旋转的性质与三角函数的知识，即可推导出最终结果.
18．【答案】②③④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；数形结合
【解析】【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，
，
抛物线与轴交于点在轴的负半轴，
，
，
故结论①错误；
二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点为，
，
故结论②正确；
，
，
，
，
，
故结论③正确；
对称轴为直线，
函数的最小值为，
，
，
故结论④正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
故结论⑤正确；
综上所述，结论正确的是②③④⑤；
故答案为：②③④⑤．
【分析】
首先结合抛物线图象开口向上，以及对称轴的位置，可以判断出的符号，因此结论①错误；再根据抛物线的对称性，可以推得结论②正确；结合抛物线开口向上的性质，对称轴处对应的函数值就是二次函数的最小值，据此可以判断结论③正确；再根据二次函数的增减性性质即可判断结论④；最后结合已知条件，可以推导出，，代入计算可得：，结合c的取值范围即可得到，由此判断结论⑤正确.
19．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
首先分别计算出特殊角的三角函数值，负指数幂的值，零次幂的值，再根据相加减计算即可．
20．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
先利用平行四边形性质得到边与角的关系，再证明三角形全等得到对应边相等，结合垂直关系得到对应边平行，最后依据平行四边形判定即可证明.
21．【答案】解：设雀每只重两，燕每只重两，
∴，
解得，，
∴雀每只重两，燕每只重两．
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】
先根据互换后重量相等的关系，用雀的重量表示燕的重量，再根据总重量列出方程求解即可.
22．【答案】（1）；
（2）解：（人），
答：若该校有500名初中生，则每周参加科学教育活动是9h的人数为人．
（3）解：根据题意列表如下：
第1个 第2个 男1 男2 男3 女
男1 男2，男1 男3，男1 女，男1
男2 男1，男2 男3，男2 女，男2
男3 男1，男3 男2，男3 女，男3
女 男1，女 男2，女 男3，女
由表格可知，总的情况数有种，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况数有种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．

【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：由题知：（人），
，即，
由条形统计图知，参加科学教育的时间为的最多，所以众数为，
总共有名学生，中位数为按顺序排列后，第名学生参加科学教育的时间的平均数，
又，
则第名学生参加科学教育的时间为，
即中位数，
故答案为：；
【分析】
（1）观察条形和扇形统计图；可知每周参加科学教育时间为6h的学生人数和占比，即可求出a的值；根据扇形统计图可直接求出8h所占的比例；最后根据中位数和众数的定义即可解答；
（2）利用样本总体乘以9h所占比例即可求出人数；
（3）根据题意列出表格得到总的情况数，以及恰好抽到1名男生和1名女生的情况数，再结合概率公式求解，即可解题．
（1）解：由题知：（人），
，即，
由条形统计图知，参加科学教育的时间为的最多，所以众数为，
总共有名学生，中位数为按顺序排列后，第名学生参加科学教育的时间的平均数，
又，
则第名学生参加科学教育的时间为，
即中位数，
故答案为：；
（2）解：（人），
答：若该校有500名初中生，则每周参加科学教育活动是9h的人数为人．
（3）解：根据题意列表如下：
第1个 第2个 男1 男2 男3 女
男1
男2，男1 男3，男1 女，男1
男2 男1，男2
男3，男2 女，男2
男3 男1，男3 男2，男3
女，男3
女 男1，女 男2，女 男3，女
由表格可知，总的情况数有种，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况数有种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
23．【答案】（1）证明：如图，连接，
在和中，
，
，
，
，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为，
在中，，，，
解得，即，
，
，
，
由（1）知，
，
∴
．

【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SSS；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接OD，利用“SSS"证明，从而得到角相等，进而证明AB是切线；
（2）利用勾股定理求出圆的半径，进而求出的度数和BC的长即可，最后利用割补法求阴影部分的面积即可．
（1）证明：如图，连接，
在和中，
，
，
，
，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为，
在中，，，，
解得，即，
，
，
，
由（1）知，
，
∴
．
24．【答案】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
把点代入反比例函数解析式得，，
∴反比例函数解析式为，
∴当时，，
∴，
设一次函数解析式为，
把点，代入一次函数解析式得，
，
解得，，
∴一次函数解析式为：；
（2）解：由（1）可知，一次函数解析式为：，
当时，，当时，，
∴设一次函数与坐标轴的交点分别为，如图所示，
∴，
∴，，，
∴，
∴的面积为．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】
（1）先根据反比例函数图象上的点的坐标特征求出反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式求出点N的坐标，最后通过待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）先求出一次函数与x轴交点坐标，再将的面积转化为两个三角形的面积只差即可求解．
（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
把点代入反比例函数解析式得，，
∴反比例函数解析式为，
∴当时，，
∴，
设一次函数解析式为，
把点，代入一次函数解析式得，
，
解得，，
∴一次函数解析式为：；
（2）解：由（1）可知，一次函数解析式为：，
当时，，当时，，
∴设一次函数与坐标轴的交点分别为，如图所示，
∴，
∴，，，
∴，
∴的面积为．
25．【答案】（1）解：如图，过B作于点C，则，
在中，，
由勾股定理得：，
∴；
（2）解：风筝沿方向再上升12米后，，
此时风筝线的长为，
∴．
答：小明同学应该再放出8米线．
（3）解：如图，过点分别作，垂足分别为G，H，则，
根据题意得：三点共线，米，
在中，米，
∵坡度为，
∴，
∴，
∴，
∴米，米，
∴米，米，
在中，，
∴米，
∴米，
即风筝距地面的高度为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出风筝相对于手的高度，再加上手离地面的高度即可得到总高度；
（2）根据风筝上升的高度确定新的垂直距离，再次利用勾股定理求出新的线长，两者相减即可；
（3）结合坡度计算人后退的水平位移和垂直位移，构建新的直角三角形，利用三角函数（正切）求出风筝相对于新位置的高度，最后叠加得到总高度．
（1）解：如图，过B作于点C，则，
在中，，
由勾股定理得：，
∴；
（2）解：风筝沿方向再上升12米后，，
此时风筝线的长为，
∴．
答：小明同学应该再放出8米线．
（3）解：如图，过点分别作，垂足分别为G，H，则，
根据题意得：三点共线，米，
在中，米，
∵坡度为，
∴，
∴，
∴，
∴米，米，
∴米，米，
在中，，
∴米，
∴米，
即风筝距地面的高度为米．
26．【答案】（1）∵，在上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为．

（2）如图，设为D关于直线的对称点，为D关于直线BC的对称点，
连接、、，
由对称的性质可知，，
的周长为，
∴当、E、F、在同一直线上时，的周长最小，最小值为的长度．
令，则，解得，．
∴B的坐标为，
∴，为等腰直角三角形．
∵BC垂直平分，且D的坐标为，
∴．
又∵D、关于x轴对称，
∴，
∴，
∴周长的最小值为．
（3）∵M到x轴的距离为d，，连接BM，
∴．
又∵，
∴，
∴B、N到AM的距离相等．
又∵B、N在AM的同侧，
∴．
设直线BC的解析式为，则，
∴
∴直线BC的解析式为，
∴设直线AM的解析式为．
∵，
∴设直线AM的解析式为，
，解得，，
∴M的坐标．
∵点N在射线BC上，
∴设N的坐标为．
∵，，，
过点M作x轴的平行线l，
过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q，
则易得，，，
∵为等腰三角形
①时，，
解得，．
②时，，
解得，．
③时，，解得．
∵N在第一象限，
∴，
∴t的取值为，，，
∴N的坐标为或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】
（1）使用待定系数法求出该抛物线的解析式；
（2）设是点D关于直线的对称点，是点D关于直线BC的对称点，连接、，根据对称点的性质可得：当、E、F、四点共线时，的周长可以取得最小值，且这个最小值就是线段的长度，接下来我们先证明是等腰直角三角形，再结合勾股定理计算即可得到结果；
（3）连接BM后，可以得到，同时可证明。先求出直线BC的解析式为，再求出直线AM的解析式为，联立即可得到点M的坐标为。设点N的坐标为，过点M作平行于x轴的直线l，过点N作平行于y轴的直线，该直线交x轴于点P，交直线l于点Q，由此可以计算得到，，，最后结合等腰三角形的性质，分三种情况分类讨论计算即可：①当时；②当时；③当时，分别求解对应结果.
（1）∵，在上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为．
（2）如图，设为D关于直线的对称点，为D关于直线BC的对称点，
连接、、，
由对称的性质可知，，
的周长为，
∴当、E、F、在同一直线上时，的周长最小，最小值为的长度．
令，则，解得，．
∴B的坐标为，
∴，为等腰直角三角形．
∵BC垂直平分，且D的坐标为，
∴．
又∵D、关于x轴对称，
∴，
∴，
∴周长的最小值为．
（3）∵M到x轴的距离为d，，连接BM，
∴．
又∵，
∴，
∴B、N到AM的距离相等．
又∵B、N在AM的同侧，
∴．
设直线BC的解析式为，则，
∴
∴直线BC的解析式为，
∴设直线AM的解析式为．
∵，
∴设直线AM的解析式为，
，解得，，
∴M的坐标．
∵点N在射线BC上，
∴设N的坐标为．
∵，，，
过点M作x轴的平行线l，
过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q，
则易得，，，
∵为等腰三角形
①时，，
解得，．
②时，，
解得，．
③时，，解得．
∵N在第一象限，
∴，
∴t的取值为，，，
∴N的坐标为或或．
1 / 1四川省自贡市贡井区2025年中考下学期5月模拟数学试题
一、选择题．（共12小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．相反数和绝对值分别是（ ）
A．和3 B．和 C．3和 D．3和3
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法；求有理数的绝对值的方法；求算术平方根
【解析】【解答】解：，
∴的相反数为，绝对值是，
故选：A ．
【分析】
根据算术平方根得到，结合相反数和绝对值的计算即可．
2．中国海关四月份公布了2025年第一季度中国出口值为万亿元，将万亿用科学记数法值表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将万亿用科学记数法值表示为．
故选：D．
【分析】
把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
3．一组数据2，3，2，4，9下列结论正确的个数为（ ）
（1）中位数为3 （2）众数为2 （3）平均数为5 （4）方差为6.8
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：数据从小到大排序为2，2，3，4，9，
∴中位数是3，众数是2，平均数是，
方差为，
∴（1），（2），（4）正确，共3个，
故选：C ．
【分析】
根据中位数、众数、平均数、方差的计算即可解答．
4．若正多边形的一个外角是 ，则该正多边形的内角和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意，正多边形的边数为 ，其内角和为 ．
故答案为：C.
【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，且多边形的外角和是360°即可算出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算出答案即可。
5．在圆、线段、菱形、正三角形这四个图形中，既是轴对称又是中心对称图形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：圆既是轴对称图形又是中心对称图形，
线段既是轴对称图形又是中心对称图形，
菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，
正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴有3个，
故选：C ．
【分析】轴对称图形：是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合即可判断.
6．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
【答案】A
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】四边形的对角线不相等且不垂直，则中点四边形为平行四边形；四边形的对角线相等，则中点四边形为菱形；四边形的对角线垂直，则中点四边形为矩形；四边形的对角线相等且垂直，则中点四边形为正方形。因为菱形的对角线垂直，所以中点四边形为矩形。
故答案为：A。
【分析】利用中点四边形的性质求解即可。
7．若一元二次方程的两个实根为，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两个实根为，
∴，，
∴．
故选B．
【分析】
先根据韦达定理直接求出两根之和和两根之积，再将所求代数式通分后代入计算即可.
8．若分式方程无解，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．0或2 D．1或2
【答案】C
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：
分式方程无解，
，
；
，
当时，，不成立；
当时，，则，
，
综上所述，若分式方程无解，则的值为或，
故答案为：C．
【分析】
先将分式方程化为整式方程，再分整式方程无解和整式方程的解为原分式方程增根两种情况讨论，求出m即可.
9．不等式组，有2个整数解，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解①得，，
解②得，，
∴，
∵不等式组有2个整数解，
∴，
解得，，
故选：A ．
【分析】
需先解不等式组得到x的取值范围，再根据整数解的个数确定1-m的范围，进而求出m的取值范围即可.
10．如图中，，，，将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，则、两点间的距离为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在中，，，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，
∴，，
∴，
如图所示，
∴，
故选：B ．
【分析】
先利用勾股定理求出AB的长，再根据旋转性质得到AE、DE的长，进而求出BE的长，最后再直角三角形DEB中用勾股定理计算BD的长即可.
11．已知点、、、、在上，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．54°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【分析】
根据圆周角定理求出圆心角的度数，利用弦与圆心角的关系进行求解即可.
12．等腰中，，于，点是线段上一个动点．则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过作于，过作于，
∵，于，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故选：A．
【分析】
通过作辅助线，根据勾股定理求出AD和CD的长，再根据正弦函数求出并转化式子，然后根据垂线段最短的性质，当B、E、F三点共线且BFAC时，BE+EF的值最小，最后根据勾股定理可求出AD的长，进而可求得结果.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）．
13．在化简后，要求在，1，0，2中取一个数再求值，只能取　 　．
【答案】2
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【解答】解：
∵，
∴，
在化简过程中，消去了，
因此．
因此，只能取2．
故答案为：2．
【分析】
先将除法转化为乘法，再因式分解，约分，最后限制条件即可.
14．如图，，，则　 　．
【答案】
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】
通过作辅助线，将未知的分割成两个与已知角相关的角，从而利用同旁内角互补的性质分别求解.
15．将沿边的右平移得，交于，若．周长为，则周长为　 　．
【答案】8
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将沿边的右平移得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
，，
∴，
∴周长比等于相似比，即，
∴，
∴周长为，
故答案为：8 ．
【分析】
根据平移性质得到相似三角形，再利用相似三角形的性质（周长比等于相似比）即可解答.
16．如图所示的三视图为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为　 　．
【答案】
【知识点】圆锥的计算；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：观察该几何体的三视图发现其为圆锥，底面的直径为12，高为8，
∴母线长为，
故其表面积为：，
故答案为：．
【分析】
根据三视图确定圆锥的底面半径和高，并利用勾股定理求出母线长，最后结合圆锥表面积公式求解即可.
17．如图矩形中，，将矩形的绕点顺时针旋转得到矩形，当点落在上时，连接、，设面积为、面积为，则、的函数关系为　 　．
【答案】：
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点E作于点H，设，则，
在矩形中，，则，
，．
由旋转的性质可得，，
，
，
∵，
，
，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
过点E作，垂足为H，设，那么，再结合旋转的性质与三角函数的知识，即可推导出最终结果.
18．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下面五个结论正确的序号为　 　．
①； ②； ③；④；⑤时，
【答案】②③④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；数形结合
【解析】【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，
，
抛物线与轴交于点在轴的负半轴，
，
，
故结论①错误；
二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点为，
，
故结论②正确；
，
，
，
，
，
故结论③正确；
对称轴为直线，
函数的最小值为，
，
，
故结论④正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
故结论⑤正确；
综上所述，结论正确的是②③④⑤；
故答案为：②③④⑤．
【分析】
首先结合抛物线图象开口向上，以及对称轴的位置，可以判断出的符号，因此结论①错误；再根据抛物线的对称性，可以推得结论②正确；结合抛物线开口向上的性质，对称轴处对应的函数值就是二次函数的最小值，据此可以判断结论③正确；再根据二次函数的增减性性质即可判断结论④；最后结合已知条件，可以推导出，，代入计算可得：，结合c的取值范围即可得到，由此判断结论⑤正确.
三、解答题．（本大题共8小题，共78分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
首先分别计算出特殊角的三角函数值，负指数幂的值，零次幂的值，再根据相加减计算即可．
20．如图中，于、于，求证：四边形为平行四边形．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
先利用平行四边形性质得到边与角的关系，再证明三角形全等得到对应边相等，结合垂直关系得到对应边平行，最后依据平行四边形判定即可证明.
21．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中记载了一个问题，大意是：五只雀，六只燕共重两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，求每只雀、燕的重量各是多少两？
【答案】解：设雀每只重两，燕每只重两，
∴，
解得，，
∴雀每只重两，燕每只重两．
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】
先根据互换后重量相等的关系，用雀的重量表示燕的重量，再根据总重量列出方程求解即可.
22．为了了解某校初中学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校初中的名学生，根据统计的结果给出了如图所示的统计图，请根据统计信息解答下列问题：
（1）填空：的值为_____．图①中的值为_____．统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为_____和_____．
（2）若该校有500名初中生，根据样本数据估计该校初中生每周参加科学教育活动是9h的人数．
（3）若从每周参加科学教育的时间最长的3名男生和1名女生中随机抽取两名学生予以表彰，请画树状图或列表，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）；
（2）解：（人），
答：若该校有500名初中生，则每周参加科学教育活动是9h的人数为人．
（3）解：根据题意列表如下：
第1个 第2个 男1 男2 男3 女
男1 男2，男1 男3，男1 女，男1
男2 男1，男2 男3，男2 女，男2
男3 男1，男3 男2，男3 女，男3
女 男1，女 男2，女 男3，女
由表格可知，总的情况数有种，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况数有种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．

【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：由题知：（人），
，即，
由条形统计图知，参加科学教育的时间为的最多，所以众数为，
总共有名学生，中位数为按顺序排列后，第名学生参加科学教育的时间的平均数，
又，
则第名学生参加科学教育的时间为，
即中位数，
故答案为：；
【分析】
（1）观察条形和扇形统计图；可知每周参加科学教育时间为6h的学生人数和占比，即可求出a的值；根据扇形统计图可直接求出8h所占的比例；最后根据中位数和众数的定义即可解答；
（2）利用样本总体乘以9h所占比例即可求出人数；
（3）根据题意列出表格得到总的情况数，以及恰好抽到1名男生和1名女生的情况数，再结合概率公式求解，即可解题．
（1）解：由题知：（人），
，即，
由条形统计图知，参加科学教育的时间为的最多，所以众数为，
总共有名学生，中位数为按顺序排列后，第名学生参加科学教育的时间的平均数，
又，
则第名学生参加科学教育的时间为，
即中位数，
故答案为：；
（2）解：（人），
答：若该校有500名初中生，则每周参加科学教育活动是9h的人数为人．
（3）解：根据题意列表如下：
第1个 第2个 男1 男2 男3 女
男1
男2，男1 男3，男1 女，男1
男2 男1，男2
男3，男2 女，男2
男3 男1，男3 男2，男3
女，男3
女 男1，女 男2，女 男3，女
由表格可知，总的情况数有种，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况数有种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
23．如图中，，点在上，以为直径的经过上的点与交于点，且．
（1）求证：是的切线．
（2）若，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）证明：如图，连接，
在和中，
，
，
，
，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为，
在中，，，，
解得，即，
，
，
，
由（1）知，
，
∴
．

【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SSS；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接OD，利用“SSS"证明，从而得到角相等，进而证明AB是切线；
（2）利用勾股定理求出圆的半径，进而求出的度数和BC的长即可，最后利用割补法求阴影部分的面积即可．
（1）证明：如图，连接，
在和中，
，
，
，
，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为，
在中，，，，
解得，即，
，
，
，
由（1）知，
，
∴
．
24．如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式．
（2）求的面积．
【答案】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
把点代入反比例函数解析式得，，
∴反比例函数解析式为，
∴当时，，
∴，
设一次函数解析式为，
把点，代入一次函数解析式得，
，
解得，，
∴一次函数解析式为：；
（2）解：由（1）可知，一次函数解析式为：，
当时，，当时，，
∴设一次函数与坐标轴的交点分别为，如图所示，
∴，
∴，，，
∴，
∴的面积为．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】
（1）先根据反比例函数图象上的点的坐标特征求出反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式求出点N的坐标，最后通过待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）先求出一次函数与x轴交点坐标，再将的面积转化为两个三角形的面积只差即可求解．
（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
把点代入反比例函数解析式得，，
∴反比例函数解析式为，
∴当时，，
∴，
设一次函数解析式为，
把点，代入一次函数解析式得，
，
解得，，
∴一次函数解析式为：；
（2）解：由（1）可知，一次函数解析式为：，
当时，，当时，，
∴设一次函数与坐标轴的交点分别为，如图所示，
∴，
∴，，，
∴，
∴的面积为．
25．小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：
课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度
模型抽象
测量数据 ①测得水平距离为15米
②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米
③牵线放风筝的手到地面的距离为米
说明 点，，，在同一平面内
请根据表格信息和图1，解答下列问题．
（1）求线段的长．
（2）若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米的线？
（3）如图2，若小明身后有一个坡度为的斜坡，小明牵着风筝沿坡面后退米到达的位置．此时风筝上升到原方向的处（，，，，，，在同一平面内），沿小明的手所在的位置，观察处的风筝，仰角为，求风筝距地面的高度（精确到米，取，取）
【答案】（1）解：如图，过B作于点C，则，
在中，，
由勾股定理得：，
∴；
（2）解：风筝沿方向再上升12米后，，
此时风筝线的长为，
∴．
答：小明同学应该再放出8米线．
（3）解：如图，过点分别作，垂足分别为G，H，则，
根据题意得：三点共线，米，
在中，米，
∵坡度为，
∴，
∴，
∴，
∴米，米，
∴米，米，
在中，，
∴米，
∴米，
即风筝距地面的高度为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出风筝相对于手的高度，再加上手离地面的高度即可得到总高度；
（2）根据风筝上升的高度确定新的垂直距离，再次利用勾股定理求出新的线长，两者相减即可；
（3）结合坡度计算人后退的水平位移和垂直位移，构建新的直角三角形，利用三角函数（正切）求出风筝相对于新位置的高度，最后叠加得到总高度．
（1）解：如图，过B作于点C，则，
在中，，
由勾股定理得：，
∴；
（2）解：风筝沿方向再上升12米后，，
此时风筝线的长为，
∴．
答：小明同学应该再放出8米线．
（3）解：如图，过点分别作，垂足分别为G，H，则，
根据题意得：三点共线，米，
在中，米，
∵坡度为，
∴，
∴，
∴，
∴米，米，
∴米，米，
在中，，
∴米，
∴米，
即风筝距地面的高度为米．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，E为边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为，求周长的最小值；
（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，面积为，当为等腰三角形时，求点N的坐标．
【答案】（1）∵，在上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为．

（2）如图，设为D关于直线的对称点，为D关于直线BC的对称点，
连接、、，
由对称的性质可知，，
的周长为，
∴当、E、F、在同一直线上时，的周长最小，最小值为的长度．
令，则，解得，．
∴B的坐标为，
∴，为等腰直角三角形．
∵BC垂直平分，且D的坐标为，
∴．
又∵D、关于x轴对称，
∴，
∴，
∴周长的最小值为．
（3）∵M到x轴的距离为d，，连接BM，
∴．
又∵，
∴，
∴B、N到AM的距离相等．
又∵B、N在AM的同侧，
∴．
设直线BC的解析式为，则，
∴
∴直线BC的解析式为，
∴设直线AM的解析式为．
∵，
∴设直线AM的解析式为，
，解得，，
∴M的坐标．
∵点N在射线BC上，
∴设N的坐标为．
∵，，，
过点M作x轴的平行线l，
过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q，
则易得，，，
∵为等腰三角形
①时，，
解得，．
②时，，
解得，．
③时，，解得．
∵N在第一象限，
∴，
∴t的取值为，，，
∴N的坐标为或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】
（1）使用待定系数法求出该抛物线的解析式；
（2）设是点D关于直线的对称点，是点D关于直线BC的对称点，连接、，根据对称点的性质可得：当、E、F、四点共线时，的周长可以取得最小值，且这个最小值就是线段的长度，接下来我们先证明是等腰直角三角形，再结合勾股定理计算即可得到结果；
（3）连接BM后，可以得到，同时可证明。先求出直线BC的解析式为，再求出直线AM的解析式为，联立即可得到点M的坐标为。设点N的坐标为，过点M作平行于x轴的直线l，过点N作平行于y轴的直线，该直线交x轴于点P，交直线l于点Q，由此可以计算得到，，，最后结合等腰三角形的性质，分三种情况分类讨论计算即可：①当时；②当时；③当时，分别求解对应结果.
（1）∵，在上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为．
（2）如图，设为D关于直线的对称点，为D关于直线BC的对称点，
连接、、，
由对称的性质可知，，
的周长为，
∴当、E、F、在同一直线上时，的周长最小，最小值为的长度．
令，则，解得，．
∴B的坐标为，
∴，为等腰直角三角形．
∵BC垂直平分，且D的坐标为，
∴．
又∵D、关于x轴对称，
∴，
∴，
∴周长的最小值为．
（3）∵M到x轴的距离为d，，连接BM，
∴．
又∵，
∴，
∴B、N到AM的距离相等．
又∵B、N在AM的同侧，
∴．
设直线BC的解析式为，则，
∴
∴直线BC的解析式为，
∴设直线AM的解析式为．
∵，
∴设直线AM的解析式为，
，解得，，
∴M的坐标．
∵点N在射线BC上，
∴设N的坐标为．
∵，，，
过点M作x轴的平行线l，
过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q，
则易得，，，
∵为等腰三角形
①时，，
解得，．
②时，，
解得，．
③时，，解得．
∵N在第一象限，
∴，
∴t的取值为，，，
∴N的坐标为或或．
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