资源简介

广东省汕头市龙湖区嘉晋学校2025-2026学年九年级上学期期末质量检测数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形是用数学家名字命名的，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．科克曲线
C．笛卡尔心形线 D．斐波那契螺旋线
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、选项中的图形不是轴对称图形而是中心对称图形，不符合题意；
B、选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、选项中的图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、选项中的图形既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念：轴对称图形指沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合的图形；中心对称图形指绕对称中心旋转180°后，能和原图形重合的图形，结合定义，逐个分析选项就可以得到最终答案.
2．已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，而，
∴点在第三象限反比例函数的图象上， 在第一象限反比例函数的图象上，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，结合反比例函数的性质即可求出答案.
3．关于的一元二次方程的根的情况为（　　）
A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
方程无实数根．
故选：C．
【分析】根据二次方程判别式，可得方程无实根.
4．如图，，与相交于点G，且，，，那么的值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】先利用线段的和差求出AD的长，再利用平行线分线段成比例的性质可得，最后将数据代入求出即可.
5．如图，是的直径，点C，D在上，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵是的直径，
，
∵，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】先利用直径所对的圆周角是直角可得，再利用角的运算求出∠ABD的度数，最后利用同弧所对的圆周角相等求解即可.
6．如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点P作轴于点M，过点作轴于点N，
∵点绕原点顺时针旋转得到点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故，
故答案为：B．
【分析】过点P作轴于点M，过点作轴于点N，先利用角的运算求出，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再求出，最后可得点，从而得解.
7．小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如下：设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为，则下列方程正确的是（　　）
观鸟记录年度总结
2020年：观测鸟类150种
2021年：观测鸟类
2022年：观测鸟类216种
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得150(1+x)2=216.
故答案为：D.
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程即可.
8．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；垂径定理的实际应用；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：，点是这段弧所在圆的圆心，
，
，，
，
.
，，
.
设，则，
在中，，
，
.
，
，
.
故选：B.
【分析】根据垂径定理可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据正弦定义，结合特殊角的三角函数值可得，根据补角可得，再根据弧长公式即可求出答案.
9．函数和在同一直角坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：，
函数的图象在第一、三象限，函数经过第一、二、三象限，
故答案为：C．
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）和反比例函数的图象与系数的关系（①当k>0时，反比例函数的图象在第一、三象限；②当k<0时，反比例函数的图象在第二、四象限）分析求解即可.
10．如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，且对称轴为直线，点的坐标为，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当或时，．其中正确的个数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
对称轴为直线，
，
，则①不正确；
，
，则②正确；
将点代入抛物线得，则③正确；
当时，，即，则④正确；
抛物线与轴交于点，且对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为，
当或时，，则⑤正确．
正确的有个．
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．如果点与点关于原点对称，那么　 　．
【答案】3
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；有理数的加法法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：点与点关于原点对称，
，，
；
故答案为：3．
【分析】利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）可得，，再求解即可.
12．抛物线y=x2-6x-1的顶点坐标为　 　．
【答案】(3，-10)
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
∴顶点坐标为(3，-10)，
故答案为：(3，-10).
【分析】先把抛物线的解析式化成顶点式，再根据顶点式写出顶点坐标.
13．如图，已知将旋转到的位置，使得点A、C、B在同一条直线上，请写出线段之间的数量关系　 　．
【答案】
【知识点】旋转的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：如图，旋转中心为点，
根据旋转的性质得，，，
∴，
故答案为：．
【分析】利用旋转的性质可得，，再利用线段的和差及等量代换可得．
14．圆锥侧面积为，侧面展开扇形的半径为，则圆锥底圆半径为　 　．
【答案】2
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥底圆半径为，
由题意得
，
解得，
∴圆锥底圆半径为，
故答案为：2
【分析】设圆锥底圆半径为，根据题意列出方程，再求出r的值即可。
15．如图，的半径为2，是直径，M在上，，连接，当点M在上运动时线段的最小值为 　 　 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，，，如图所示：
∵点N是的中点，
∴，
∴点N在以为直径的圆上，设为，
∴，
连接，与的交点即为N点，此时最小，且最小值为，
作于P，于H，
∵，
∴P是的中点，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】连接，，，根据垂径定理可得，则点N在以为直径的圆上，设为，，连接，与的交点即为N点，此时最小，且最小值为，作于P，于H，根据三角形内角和定理可得，解直角三角形可得AH，根据边之间的关系可得CH，再根据勾股定理即可求出答案.
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
或

【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程的公式法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：
（2）解：
或
17．课本再现
七年级下册教材中我们探究过《用求差法比较大小》：我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或代数式的大小．当不能直接比较大小时就要考虑进行一定的转化，其中“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过先求差，变形，然后利用差的符号来确定它们的大小．
两个数量的大小可以通过它们的差来判断．如果两个数a和b比较大小，那么：
当时，一定有；
当时，一定有；
当时，一定有．
反过来也对，即：
当时，一定有；
当时，一定有；
当时，一定有．
因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．
【类比应用】
（1）用“”或“”填空．
①若时，a ▲ b；
②若时，a ▲ b；
③若，则 ▲ ；
【解决问题】
（2）如图所示，在4×4的正方形网格中，以A为圆心AB为半径画扇形，以CE为直径画半圆，若图中阴影部分的面积分别为，，比较与的大小．
【答案】（1）①；②；③；
（2）设两扇形重叠部分面积为，
则，，
，
．
【知识点】整式的加减运算；整式的大小比较
【解析】【解答】解：（1）①，
．
②，
．
③
，
．
故答案为： ①；②；③．
【分析】（1）根据作出比较法比较大小即可求出答案.
（2）设两扇形重叠部分面积为，根据割补法求出S1，S2，再根据作差比较法比较大小即可求出答案.
18．2023年3月19日，全国马拉松锦标赛（无锡站）正式鸣枪开跑．某校4名学生幸运成为该活动志愿者，负责某区域运动员的物资发放，其中男性2人，女性2人．
（1）若从这4人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是 ．
（2）若从这4人中选2人进行物资发放，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率．
【答案】（1）
（2）解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，从这4人中选2人进行物资发放共有12种等可能的结果，其中，恰好选中一男一女的结果有8种，
则恰好选中一男一女的概率为，
答：恰好选中一男一女的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：因为从这4人中选1人进行物资发放，共有4种等可能的结果，其中，恰好选中女性的结果有2种，
所以从这4人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是，
故答案为：．
【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可；
（2）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（1）解：因为从这4人中选1人进行物资发放，共有4种等可能的结果，其中，恰好选中女性的结果有2种，
所以从这4人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是，
故答案为：．
（2）解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，从这4人中选2人进行物资发放共有12种等可能的结果，其中，恰好选中一男一女的结果有8种，
则恰好选中一男一女的概率为，
答：恰好选中一男一女的概率为．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分
19．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求的值和反比例函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出当时，不等式的解集；
（3）在反比例函数图象的第一象限上点右边有一动点，当时，直接写出点纵坐标的取值范围．
【答案】（1）解：直线过点，
，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）解：，
，
在点右边，即时，直线在双曲线上方，
所以不等式的解集是；
（3）解：如图，过点作的平行线，交反比例函数的图象于点，则．
直线的解析式为，
直线的解析式为．
由，解得，
点的坐标为；
，且点在点右边，
点纵坐标的取值范围是．
【分析】（1）将点A坐标代入直线解析式可得点的坐标为，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）由题意可得，当直线图象在反比例函数图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（3）过点作的平行线，交反比例函数的图象于点，则，由题意可得直线的解析式为，联立反比例函数解析式，解方程组可得点的坐标为，即可求出答案.
（1）解：直线过点，
，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
（2）解：，
，
在点右边，即时，直线在双曲线上方，
所以不等式的解集是；
（3）解：如图，过点作的平行线，交反比例函数的图象于点，则．
直线的解析式为，
直线的解析式为．
由，解得，
点的坐标为；
，且点在点右边，
点纵坐标的取值范围是．
20．年7月1日是建党周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）．
【答案】解：设圈出的四个数中最小数为x，则最大的数为，
根据题意得：，
得，
解得，(不合题意舍去)，
故这个最小数是4．
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【分析】设圈出的四个数中最小数为x，则最大的数为，利用“ 最小数与最大数的乘积为 ”列出方程求解即可.
21．如图，已知内接于，是的直径．
（1）尺规作图：确定点D，E的位置，使得点D是弧的中点，交直线于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求证：是的切线；
（3）连接，交于点F，若，，求的长．
【答案】（1）解：正确作出图形．（如图所示）
∴如图所示，点D，点E就是所求作的点．
（2）证明：如下图所示，连接，设交于点M．
∵点是弧的中点，
∴弧等于弧．
∴．
∵，
．
，是中点．
，
，
是的半径，
是的切线．
（3）证明：如下图所示，
，，，
根据勾股定理，得
．
，
．
∵点O是的中点，点M是的中点
，，
，．
．
．
．
．
在中，根据勾股定理，得
．
【知识点】平行线的判定与性质；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先作的垂直平分线，分别以点A、点C为圆心，以为半径画圆弧并交于一点，将的圆心与弧线的交点连接，与弧的交点即为点D；以点D为圆心画圆弧，交直线于两点，得到以点D为中点的一条线段，作该线段的垂直平分线交的延长线与点E.
（2）连接，设交于点M，根据圆周角定理可得，根据垂径定理的逆定理可得，根据直线平行性质可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（3）根据勾股定理可得AC，根据直线平行判定定理可得，再根据三角形中位线定理，，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得MF，再根据勾股定理即可求出答案.
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．已知矩形，点E在射线上，是矩形外角的角平分线．
（1）如图1，当四边形是正方形，点E是边的任意一点，且交于点G．
①求证：．
②在①的条件下，如图2，连接，过点E作，垂足为P，若正方形边长为4，当四边形是平行四边形时，直接写出的长_______．
（2）如图3，四边形是矩形，在线段的延长线上取一点E，使，交于点H，交于点G，连接，依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）①如图所示，在上截取，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵是矩形外角的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②.
（2）解：补全图形如下所示，，
证明如下：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵是矩形外角的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】（1）解：②如图所示，在上截取，连接，
同理可证明，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）①在上截取，连接，先利用线段的和差及等量代换可得，再利用角的运算和等量代换可得，再利用“ASA”证出，最后利用全等三角形的性质可得；
②在上截取，连接，先利用勾股定理求出，， 再结合，可得，最后求出即可；
（2）先补全图形，再证出，可得，再利用勾股定理可得，，最后利用等量代换可得．
（1）解：①如图所示，在上截取，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵是矩形外角的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，在上截取，连接，
同理可证明，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：补全图形如下所示，，证明如下：
如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵是矩形外角的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴．
23．如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点D是直线下方抛物线上的一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，，求面积的最大值；
（3）如图2，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，若点F在直线上，求点D的坐标．
【答案】（1）解：将，，代入，
得，
解得 ，
∴二次函数解析式为；
（2）解：如图，连接OD，
设点，
∴，
∵
∴当时，面积最大，最大值为8；
（3）解：过点D作轴于H，过点F作，交HD延长线于点G，
由旋转得，，
∴，
∵，轴，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴，，
设点D的坐标为，
则，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点F在直线上，
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴点D的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B，C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）连接OD，设点，根据割补法，结合三角形面积，二次函数性质即可求出答案.
（3）过点D作轴于H，过点F作，交HD延长线于点G，由旋转得，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，设点D的坐标为，则，，根据边之间的关系可得GH，再根据点的坐标可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得直线的解析式为，再将点F坐标代入解析式即可求出答案.
（1）解：将，，代入，
得，
解得 ，
∴二次函数解析式为；
（2）解：如图，连接OD，
设点，
∴，
∵
∴当时，面积最大，最大值为8；
（3）解：过点D作轴于H，过点F作，交HD延长线于点G，
由旋转得，，
∴，
∵，轴，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴，，
设点D的坐标为，
则，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点F在直线上，
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴点D的坐标为．
1 / 1广东省汕头市龙湖区嘉晋学校2025-2026学年九年级上学期期末质量检测数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形是用数学家名字命名的，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．科克曲线
C．笛卡尔心形线 D．斐波那契螺旋线
2．已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．关于的一元二次方程的根的情况为（　　）
A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
4．如图，，与相交于点G，且，，，那么的值等于（　　）
A． B． C． D．
5．如图，是的直径，点C，D在上，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如下：设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为，则下列方程正确的是（　　）
观鸟记录年度总结
2020年：观测鸟类150种
2021年：观测鸟类
2022年：观测鸟类216种
A． B．
C． D．
8．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．函数和在同一直角坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，且对称轴为直线，点的坐标为，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当或时，．其中正确的个数是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．如果点与点关于原点对称，那么　 　．
12．抛物线y=x2-6x-1的顶点坐标为　 　．
13．如图，已知将旋转到的位置，使得点A、C、B在同一条直线上，请写出线段之间的数量关系　 　．
14．圆锥侧面积为，侧面展开扇形的半径为，则圆锥底圆半径为　 　．
15．如图，的半径为2，是直径，M在上，，连接，当点M在上运动时线段的最小值为 　 　 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．解方程：
（1）
（2）
17．课本再现
七年级下册教材中我们探究过《用求差法比较大小》：我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或代数式的大小．当不能直接比较大小时就要考虑进行一定的转化，其中“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过先求差，变形，然后利用差的符号来确定它们的大小．
两个数量的大小可以通过它们的差来判断．如果两个数a和b比较大小，那么：
当时，一定有；
当时，一定有；
当时，一定有．
反过来也对，即：
当时，一定有；
当时，一定有；
当时，一定有．
因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．
【类比应用】
（1）用“”或“”填空．
①若时，a ▲ b；
②若时，a ▲ b；
③若，则 ▲ ；
【解决问题】
（2）如图所示，在4×4的正方形网格中，以A为圆心AB为半径画扇形，以CE为直径画半圆，若图中阴影部分的面积分别为，，比较与的大小．
18．2023年3月19日，全国马拉松锦标赛（无锡站）正式鸣枪开跑．某校4名学生幸运成为该活动志愿者，负责某区域运动员的物资发放，其中男性2人，女性2人．
（1）若从这4人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是 ．
（2）若从这4人中选2人进行物资发放，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分
19．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求的值和反比例函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出当时，不等式的解集；
（3）在反比例函数图象的第一象限上点右边有一动点，当时，直接写出点纵坐标的取值范围．
20．年7月1日是建党周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）．
21．如图，已知内接于，是的直径．
（1）尺规作图：确定点D，E的位置，使得点D是弧的中点，交直线于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求证：是的切线；
（3）连接，交于点F，若，，求的长．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．已知矩形，点E在射线上，是矩形外角的角平分线．
（1）如图1，当四边形是正方形，点E是边的任意一点，且交于点G．
①求证：．
②在①的条件下，如图2，连接，过点E作，垂足为P，若正方形边长为4，当四边形是平行四边形时，直接写出的长_______．
（2）如图3，四边形是矩形，在线段的延长线上取一点E，使，交于点H，交于点G，连接，依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
23．如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点D是直线下方抛物线上的一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，，求面积的最大值；
（3）如图2，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，若点F在直线上，求点D的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、选项中的图形不是轴对称图形而是中心对称图形，不符合题意；
B、选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、选项中的图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、选项中的图形既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念：轴对称图形指沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合的图形；中心对称图形指绕对称中心旋转180°后，能和原图形重合的图形，结合定义，逐个分析选项就可以得到最终答案.
2．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，而，
∴点在第三象限反比例函数的图象上， 在第一象限反比例函数的图象上，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，结合反比例函数的性质即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
方程无实数根．
故选：C．
【分析】根据二次方程判别式，可得方程无实根.
4．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】先利用线段的和差求出AD的长，再利用平行线分线段成比例的性质可得，最后将数据代入求出即可.
5．【答案】C
【知识点】直角三角形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵是的直径，
，
∵，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】先利用直径所对的圆周角是直角可得，再利用角的运算求出∠ABD的度数，最后利用同弧所对的圆周角相等求解即可.
6．【答案】B
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点P作轴于点M，过点作轴于点N，
∵点绕原点顺时针旋转得到点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故，
故答案为：B．
【分析】过点P作轴于点M，过点作轴于点N，先利用角的运算求出，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再求出，最后可得点，从而得解.
7．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得150(1+x)2=216.
故答案为：D.
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程即可.
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；垂径定理的实际应用；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：，点是这段弧所在圆的圆心，
，
，，
，
.
，，
.
设，则，
在中，，
，
.
，
，
.
故选：B.
【分析】根据垂径定理可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据正弦定义，结合特殊角的三角函数值可得，根据补角可得，再根据弧长公式即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：，
函数的图象在第一、三象限，函数经过第一、二、三象限，
故答案为：C．
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）和反比例函数的图象与系数的关系（①当k>0时，反比例函数的图象在第一、三象限；②当k<0时，反比例函数的图象在第二、四象限）分析求解即可.
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
对称轴为直线，
，
，则①不正确；
，
，则②正确；
将点代入抛物线得，则③正确；
当时，，即，则④正确；
抛物线与轴交于点，且对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为，
当或时，，则⑤正确．
正确的有个．
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
11．【答案】3
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；有理数的加法法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：点与点关于原点对称，
，，
；
故答案为：3．
【分析】利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）可得，，再求解即可.
12．【答案】(3，-10)
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
∴顶点坐标为(3，-10)，
故答案为：(3，-10).
【分析】先把抛物线的解析式化成顶点式，再根据顶点式写出顶点坐标.
13．【答案】
【知识点】旋转的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：如图，旋转中心为点，
根据旋转的性质得，，，
∴，
故答案为：．
【分析】利用旋转的性质可得，，再利用线段的和差及等量代换可得．
14．【答案】2
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥底圆半径为，
由题意得
，
解得，
∴圆锥底圆半径为，
故答案为：2
【分析】设圆锥底圆半径为，根据题意列出方程，再求出r的值即可。
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，，，如图所示：
∵点N是的中点，
∴，
∴点N在以为直径的圆上，设为，
∴，
连接，与的交点即为N点，此时最小，且最小值为，
作于P，于H，
∵，
∴P是的中点，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】连接，，，根据垂径定理可得，则点N在以为直径的圆上，设为，，连接，与的交点即为N点，此时最小，且最小值为，作于P，于H，根据三角形内角和定理可得，解直角三角形可得AH，根据边之间的关系可得CH，再根据勾股定理即可求出答案.
16．【答案】（1）解：
（2）解：
或

【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程的公式法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：
（2）解：
或
17．【答案】（1）①；②；③；
（2）设两扇形重叠部分面积为，
则，，
，
．
【知识点】整式的加减运算；整式的大小比较
【解析】【解答】解：（1）①，
．
②，
．
③
，
．
故答案为： ①；②；③．
【分析】（1）根据作出比较法比较大小即可求出答案.
（2）设两扇形重叠部分面积为，根据割补法求出S1，S2，再根据作差比较法比较大小即可求出答案.
18．【答案】（1）
（2）解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，从这4人中选2人进行物资发放共有12种等可能的结果，其中，恰好选中一男一女的结果有8种，
则恰好选中一男一女的概率为，
答：恰好选中一男一女的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：因为从这4人中选1人进行物资发放，共有4种等可能的结果，其中，恰好选中女性的结果有2种，
所以从这4人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是，
故答案为：．
【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可；
（2）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（1）解：因为从这4人中选1人进行物资发放，共有4种等可能的结果，其中，恰好选中女性的结果有2种，
所以从这4人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是，
故答案为：．
（2）解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，从这4人中选2人进行物资发放共有12种等可能的结果，其中，恰好选中一男一女的结果有8种，
则恰好选中一男一女的概率为，
答：恰好选中一男一女的概率为．
19．【答案】（1）解：直线过点，
，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）解：，
，
在点右边，即时，直线在双曲线上方，
所以不等式的解集是；
（3）解：如图，过点作的平行线，交反比例函数的图象于点，则．
直线的解析式为，
直线的解析式为．
由，解得，
点的坐标为；
，且点在点右边，
点纵坐标的取值范围是．
【分析】（1）将点A坐标代入直线解析式可得点的坐标为，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）由题意可得，当直线图象在反比例函数图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（3）过点作的平行线，交反比例函数的图象于点，则，由题意可得直线的解析式为，联立反比例函数解析式，解方程组可得点的坐标为，即可求出答案.
（1）解：直线过点，
，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
（2）解：，
，
在点右边，即时，直线在双曲线上方，
所以不等式的解集是；
（3）解：如图，过点作的平行线，交反比例函数的图象于点，则．
直线的解析式为，
直线的解析式为．
由，解得，
点的坐标为；
，且点在点右边，
点纵坐标的取值范围是．
20．【答案】解：设圈出的四个数中最小数为x，则最大的数为，
根据题意得：，
得，
解得，(不合题意舍去)，
故这个最小数是4．
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【分析】设圈出的四个数中最小数为x，则最大的数为，利用“ 最小数与最大数的乘积为 ”列出方程求解即可.
21．【答案】（1）解：正确作出图形．（如图所示）
∴如图所示，点D，点E就是所求作的点．
（2）证明：如下图所示，连接，设交于点M．
∵点是弧的中点，
∴弧等于弧．
∴．
∵，
．
，是中点．
，
，
是的半径，
是的切线．
（3）证明：如下图所示，
，，，
根据勾股定理，得
．
，
．
∵点O是的中点，点M是的中点
，，
，．
．
．
．
．
在中，根据勾股定理，得
．
【知识点】平行线的判定与性质；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先作的垂直平分线，分别以点A、点C为圆心，以为半径画圆弧并交于一点，将的圆心与弧线的交点连接，与弧的交点即为点D；以点D为圆心画圆弧，交直线于两点，得到以点D为中点的一条线段，作该线段的垂直平分线交的延长线与点E.
（2）连接，设交于点M，根据圆周角定理可得，根据垂径定理的逆定理可得，根据直线平行性质可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（3）根据勾股定理可得AC，根据直线平行判定定理可得，再根据三角形中位线定理，，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得MF，再根据勾股定理即可求出答案.
22．【答案】（1）①如图所示，在上截取，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵是矩形外角的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②.
（2）解：补全图形如下所示，，
证明如下：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵是矩形外角的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】（1）解：②如图所示，在上截取，连接，
同理可证明，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）①在上截取，连接，先利用线段的和差及等量代换可得，再利用角的运算和等量代换可得，再利用“ASA”证出，最后利用全等三角形的性质可得；
②在上截取，连接，先利用勾股定理求出，， 再结合，可得，最后求出即可；
（2）先补全图形，再证出，可得，再利用勾股定理可得，，最后利用等量代换可得．
（1）解：①如图所示，在上截取，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵是矩形外角的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，在上截取，连接，
同理可证明，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：补全图形如下所示，，证明如下：
如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵是矩形外角的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：将，，代入，
得，
解得 ，
∴二次函数解析式为；
（2）解：如图，连接OD，
设点，
∴，
∵
∴当时，面积最大，最大值为8；
（3）解：过点D作轴于H，过点F作，交HD延长线于点G，
由旋转得，，
∴，
∵，轴，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴，，
设点D的坐标为，
则，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点F在直线上，
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴点D的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B，C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）连接OD，设点，根据割补法，结合三角形面积，二次函数性质即可求出答案.
（3）过点D作轴于H，过点F作，交HD延长线于点G，由旋转得，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，设点D的坐标为，则，，根据边之间的关系可得GH，再根据点的坐标可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得直线的解析式为，再将点F坐标代入解析式即可求出答案.
（1）解：将，，代入，
得，
解得 ，
∴二次函数解析式为；
（2）解：如图，连接OD，
设点，
∴，
∵
∴当时，面积最大，最大值为8；
（3）解：过点D作轴于H，过点F作，交HD延长线于点G，
由旋转得，，
∴，
∵，轴，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴，，
设点D的坐标为，
则，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点F在直线上，
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴点D的坐标为．
1 / 1

展开更多......

收起↑