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沪科版数学八年级上册培优精做课件
授课教师： .
班 级： 8年级（ ）班 .
时 间： .

12.2.4一次函数的应用
分段函数
第12章 函数与一次函数
12.2.4一次函数的应用——分段函数 同步练习题（沪科版八年级上册）
本次习题聚焦一次函数应用中的分段函数重难点，涵盖分段函数的概念辨析、分段解析式求解、根据自变量范围对应函数关系式、生活场景计费问题应用等核心考点。贴合水费、电费、打车费、套餐收费等常考实际题型，巩固分段讨论的数学思想，题型循序渐进，适配课后同步巩固。
一、选择题（每题4分，共20分）
1. 关于分段函数，下列说法正确的是（）
A. 分段函数是多个独立函数 B. 自变量取值范围不同，对应解析式可能不同
C. 分段函数图象是断开的，不属于函数 D. 分段函数只能分两段
2. 已知分段函数 $$y=\begin{cases}2x &(0\leq x\leq5)\\ x+5 &(x>5)\end{cases}$$，则当x=3时，y的值为（）
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
3. 打车收费标准：3公里以内8元，超过3公里，每公里1.5元，自变量是（）
A. 收费总金额 B. 行驶路程 C. 每公里单价 D. 起步价
4. 承接上题，当行驶路程x（$$x>3$$）公里时，总费用y的解析式为（）
A. y=1.5x B. y=8+1.5x C. y=8+1.5(x-3) D. y=1.5x-8
5. 求解分段函数应用题的关键是（）
A. 随便代入解析式 B. 确定自变量取值范围，分段列式 C. 只需要算第一段 D. 只需要算第二段
二、填空题（每题4分，共20分）
1. 分段函数是在自变量的不同________内，对应不同函数解析式的函数。
2. 已知分段函数 $$y=\begin{cases}3x &(x\leq2)\\ -x+8 &(x>2)\end{cases}$$，当x=4时，y=________。
3. 某商店水果定价：购买不超过5千克，每千克6元；超过5千克，超出部分每千克4元，分段的分界点是________千克。
4. 若 $$y=\begin{cases}x+1 &(x\leq0)\\ 2x-1 &(x>0)\end{cases}$$，则x=0时，y=________。
5. 分段函数求值，必须先判断________所属范围，再代入对应解析式计算。
三、解答题（共60分）
1.（20分）已知分段函数：$$y=\begin{cases}4x &(0\leq x\leq4)\\ 2x+8 &(x>4)\end{cases}$$，分别求x=2、x=5时对应的函数值。
2.（20分）某小区水费收费标准：每户每月用水量不超过10吨，每吨3元；超过10吨，超出部分每吨4元。设月用水量为x吨，总水费为y元，请写出y关于x的分段函数解析式。
3.（20分）某快递寄件收费：物品重量不超过2千克，统一收费10元；超过2千克，每多1千克加收2元（不足1千克按1千克计算）。设物品重量为x千克（x＞0），总费用为y元，求x＞2时的函数解析式，并计算重量为5千克的快递费用。
参考答案与简单解析
一、选择题
1.B 解析：分段函数是一个函数，自变量区间不同，解析式不同。
2.A 解析：x=3在0≤x≤5范围内，代入y=2x得y=6。
3.B 解析：路程主动变化，总费用随路程变化，路程为自变量。
4.C 解析：超出3公里的路程为(x-3)，总费用=起步价+超出费用。
5.B 解析：分段函数核心是找准自变量范围，分段列式求解。
二、填空题
1.取值范围 2.4 3.5 4.1 5.自变量
三、解答题
1. x=2在0≤x≤4区间，y=4×2=8；x=5在x＞4区间，y=2×5+8=18。
2. 当0＜x≤10时，y=3x；当x＞10时，y=3×10+4(x-10)=4x-10。综上：$$y=\begin{cases}3x &(010)\end{cases}$$
3. x＞2时，y=10+2(x-2)=2x+6；当x=5时，y=2×5+6=16，快递费用为16元。
（字数：802）
学习目标
1.理解分段函数的特点;(重点)
2.会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象;（重点）

3.根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数.（难点）
小明从家里出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中 x 表示时间，y 表示小明离他家的距离．
该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？
{827E7743-39CA-4E87-A19B-AE24449E94FE}购买种子
数量/kg
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
…
付款金额/元
…
“黄金1号”玉米种子的价格为 5 元/kg，如果一次购买 2 kg 以上的种子，超过 2 kg 部分的种子的价格打 8 折.
（1）填写下表：
2.5
5
7.5
10
12
14
16
18
分段函数
（2）写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象.
分析：从题目可知，种子的价格与 有关.
若购买种子量为 x＞2 时，种子价格 y 为：
.
若购买种子量为 0≤x≤2 时，种子价格 y为： .
购买种子量
y = 5x
y = 4(x - 2) + 10 = 4x + 2
解：设购买量为 x 千克，付款金额为 y 元.
当 x＞2 时，y = 4(x - 2) + 10 = 4x + 2.
当 0≤x≤2 时，y = 5x；
（2）写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象.
y =
5x (0≤x≤2)
4x + 2 (x＞2)
｛
y = 5x (0≤x≤2)
y
x
O
1
2
10
3
14
的函数图象为:
y =
5x(0≤x≤2)
4x+2(x＞2)
｛
y = 4x + 2 (x＞2)
本例中自变量在不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数.
注意：1.它是一个函数；
2.要写明自变量取值范围.
例1 为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水不超过 16 m3 时，使用费为每立方米 1.3 元；超过 16 m3 时，超过部分的使用费为每立方米 2.0 元；污水处理费为每立方米 1.2 元，设一户每月用水 x m3，应缴水费为 y 元.
（1）写出 y 与 х 之间的函数表达式；
分析：用水以 16 m3 为界，分成两段，收费标准不一样：当 0≤x≤16 时，每立方米收费 (1.3 + 1.2) 元；当 x >16 时，超过部分每立方米收费 (2.0 + 1.2) 元.
典例精析
（2）画出上述函数的图象；
解 (1)当 0≤ x≤16 时，y = (1.3 + 1.2)x = 2.5x.
当 x＞16 时， y = (1.3 + 1.2)×16 + (2.0 + 1.2)(x - 16)
= 3.2x - 11.2.
y 与 х 的函数表达式可表示为：
2. 5x， 0≤x≤16，
3.2x - 11.2， x＞16.
y =
（1）写出 y 与 х 之间的函数表达式；
x/m3
y/元
(3) 某两户某月用水量分别为 10 m3 和 20 m3 时，求这两户该月应缴的水费；
(3) 当 x = 10 时，y = 2.5×10 = 25 .
当 x = 20 时，y = 3.2×20 - 11.2 = 52.8.
答：这两户该月应缴的水费分别为 25 元、52.8 元.
(4) 某一户某月缴水费 59.2 元，求该户这个月的用水量.
(4)因为59.2＞2.5×16，所以该户这个月用水超过 16 m3.
因此，3.2x - 11.2 = 59.2. 解得 х = 22.
答：该户这个月的用水量为 22 m3.
2. 5x， 0≤x≤16，
3.2x - 11.2， x＞16.
y =
要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程．
方法归纳
例2 全国每年都有大量土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任务，某地区现有土地 100 万平方千米，沙漠 200 万平方千米，土地沙漠化的变化情况如下图所示.
(1)如果不采取任何措施，那么
到第 5 年底，该地区沙漠面积
将增加多少万千米2？
10 万千米2
(2)如果该地区沙漠的面积继续按此趋势扩大，那么从现在开始，第几年底后，该地区将丧失土地资源？
(3)如果从现在开始采取植树造林措施，每年改造 4 万千米2
沙漠，那么到第几年底，该地区的沙漠面积能减少到 176 万千米2．
每年新增面积为 2 万千米2，所以第 50 年底后将丧失土地资源.
第 12 年底
知识点 分段函数
1.［2026淮北期中］小王前往距家2 000 m的
公司参会，先以v0(m/min)的速度步行一段时
间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达
时距会议开始还有14 min，小王离家的路程S(单位：m)与离家的时间t(单位：min)之间的函数图象如图所示.若小王全程以v0(m/min)的速度步行，则他到达时距会议开始还有　 min.
5
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2. 如图①，在测浮力的实验中，将一长方体铁块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F(N)与铁块下降的高度h(cm)之间的关系如图②所示，则以下说法正确的是(　　)
C
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A.当铁块下降3 cm时，此时铁块在水里
B.当5≤h≤10时，F(N)与h(cm)之间的函数表达式为F＝85h＋20
C.当弹簧测力计的示数为8 N时，铁块底面距离水底8.5 cm
D.当铁块下降高度为6 cm时，弹簧测力计的示数是11.5 N
?
3. 西递宏村位于安徽省黄山市黟县，是
世界文化遗产，也是国家5A级旅游景区.刘师傅驾车从家
到西递宏村游玩，汽车出发前油箱中有油30 L，行驶若干
小时后，途中在加油站加油若干升.刘师傅出发后，油箱中
剩余油量y(L)与行驶时间t(h)之间的关系如图所示，则下列
说法不正确的是(　　)
A.点A表示的实际意义是汽车行驶2 h后，油箱中剩余油量为10 L
B.刘师傅驾车途中在加油站加油25 L
C.加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t之间的函数关系式为y＝－10t＋30(0≤t≤2)
D.若家距目的地460 km，汽车行驶的平均速度为80 km/h，则油箱中的油足够汽车到达目的地
D
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4. 在某航天测控站的地面模拟训练中，甲、乙两名操作员模拟执行深空探测器轨道校准任务.两人均从测控站A点沿笔直的测控轨道匀速出发，甲操作员模拟探测器A的慢巡轨道，向目标点B行进，途中因模拟数据校验，停留10 min后，继续以原速前进；乙操作员模拟探测器B的快速校准任务，因系统初始化延迟，比甲晚出发30 min，以高速跑完全程到达B点后，立刻以原速返回，在返回途中与甲模拟的探测器完成第二次轨道交汇.
下图表示甲、乙两人模拟的探测器之间的距离y(m)与甲出发的时间x(min)之间的函数关系，以下结论：① 甲、乙两人模拟的探测器第一次交汇时，乙的任务执行用时为20 min；② 甲出发86 min时，两探测器之间的距离达到最大值3 600 m；③ 甲、乙两人模拟的探测器第二次交汇的时间是在甲出发后100 min；④A，B两点之间的测控轨道距离是11 200 m.其中正确的有(　　)
A.①②③　　 B.①②④
C.①③④　　 D.②③④
B
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5. ［2026六安期中］某药品研究所开发一种抗菌新药.经多年动物实验，首次用于临床人体试验.测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药后时间x(时)之间满足如图所示的函数关系.服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升.
(1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段(0≤x≤3)和下降阶段(3＜x≤11)y与x之间的函数关系式；
【解】当0≤x≤3时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx，
把点(3，9)的坐标代入y＝kx中，得9＝3k，所以k＝3.
所以当0≤x≤3时，y与x之间的函数关系式为y＝3x；
当3＜x≤11时，设y与x之间的函数关系式为y＝ax＋b，
把点(3，9)和点(11，1)的坐标代入y＝ax＋b中，
得3????＋????＝9，??11????＋????＝1，所以????＝－1，????＝12，??
所以当3＜x≤11时，y与x之间的函数关系式为y＝－x＋12.
综上，血液中药物浓度上升阶段y与x之间的函数关系式为y＝3x(0≤x≤3)，下降阶段y与x之间的函数关系式为y＝－x＋12(3＜x≤11).
?
(2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长.
返回
【解】在y＝3x中，当y＝3x＝3时，x＝1，
在y＝－x＋12中，当y＝－x＋12＝3时，x＝9，
9－1＝8(小时).
答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8
小时.
6. 在某市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下.每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与总成本如下表所示(成本包括进价和其他费用)：
次数
数量/支
总成本/元
海鲜串
肉串
第一次
3 000
4 000
17 000
第二次
4 000
3 000
18 000
针对旅游团消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时，不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折，每支肉串的售价为3.5元.
次数
数量/支
总成本/元
海鲜串
肉串
第一次
3 000
4 000
17 000
第二次
4 000
3 000
18 000
(1)求m，n的值；
【解】 根据表格可得
3000????＋4000????＝17000，4000????＋3000????＝18000， 解得????＝3，????＝2，
所以m的值为3，n的值为2.
?
次数
数量/支
总成本/元
海鲜串
肉串
第一次
3 000
4 000
17 000
第二次
4 000
3 000
18 000
(2)五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1 000支，且海鲜串不超过400支.在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
【解】当0＜x≤200时，店主获得海鲜串的总利润y＝(5－3)x＝2x；
当200＜x≤400时，店主获得海鲜串的总利润y＝(5－3)×200＋(5×0.8－3) (x－200) ＝x＋200.
所以y＝2????(0＜????≤00)，???????????????????＋200(200＜????≤400)．
?
(3)在(2)的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠：对每支肉串降价a (0＜a＜1)元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值.
【解】设降价后获得肉串的总利润为z元，令W＝z－y.
根据题意得z＝(3.5－a－2 )(1 000－x )＝(a－1.5)x＋1 500－1 000a，
因为200＜x≤400，
所以y＝x＋200.
返回
所以W＝z－y＝(a－2.5)x＋1 300－1 000a，
因为0＜a＜1，所以a－2.5＜0，
所以W随x的增大而减小，所以当x＝400时，W的值最小，W最小＝(a－2.5)×400＋1 300－1 000a＝－600a＋300.由题意可得z≥y，所以W≥0，
即－600a＋300≥0，解得a≤0.5，
所以a的最大值是0.5.
分段函数
分段函数的具体应用
对分段函数图象的理解

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