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沪科版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.2.3三角形内角和定理的证明及推论1、2第13章三角形中的边角关系、命题与证明13.2.3三角形内角和定理的证明及推论1、2同步练习题（沪科版八年级上册）本次习题聚焦本节核心重难点，包含三角形内角和定理的严谨证明、两大推论的理解与应用、三角形外角性质、内外角综合计算、利用推论判断三角形形状等高频考点。主打几何推理书写与角度运算，衔接前期几何证明基础，强化几何逻辑思维，适配课后同步巩固与专项突破。一、选择题（每题4分，共20分）1.三角形内角和定理的内容是三角形的三个内角和为（）A. 90°B. 180°C. 270°D. 360°2.三角形外角推论1的内容是（）A.三角形的一个外角等于任意一个内角B.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和C.三角形的外角大于任意内角D.三角形外角和为180°3.根据推论2，三角形的一个外角一定（）A.小于与它不相邻的内角B.大于与它不相邻的任意一个内角C.等于相邻内角D.大于所有内角4.在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则与∠C相邻的外角度数为（）A. 110°B. 70°C. 50°D. 60°5.下列说法错误的是（）A.三角形任意外角大于不相邻内角B.直角三角形两外角一定为钝角C.三角形外角可利用内角和定理推导D.外角一定大于相邻内角二、填空题（每题4分，共20分）1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于________。2.推论1：三角形的一个外角等于________________________。3.推论2：三角形的一个外角________与它不相邻的任意一个内角。4.在△ABC中，∠A=45°，∠B=55°，则与∠C相邻的外角为________°。5.三角形的一个内角为30°，则它的相邻外角为________°。三、解答题（共60分）1.（20分）完整证明三角形内角和定理：已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180°。（要求作辅助线，规范书写证明过程）2.（20分）如图，在△ABC中，点D在BC延长线上，已知∠A=60°，∠B=45°，求∠ACD的度数，并写出推理依据。3.（20分）利用三角形外角推论，证明：三角形的任意一个外角大于和它不相邻的任意一个内角。参考答案与详细解析一、选择题1.B解析：三角形内角和定理为固定结论，三内角和为180°。2.B解析：推论1核心：外角等于不相邻两个内角和，是角度计算核心依据。3.B解析：推论2规定，三角形外角大于任意一个不相邻的内角。4.A解析：外角=∠A+∠B=50°+60°=110°，直接利用推论1求解。5.D解析：钝角三角形中，钝角的相邻外角为锐角，小于相邻内角。二、填空题1.180°2.与它不相邻的两个内角的和3.大于4.100 5.150三、解答题1.证明：过点A作EF∥BC。∵EF∥BC（辅助线作法），∴∠B=∠EAB，∠C=∠FAC（两直线平行，内错角相等）。又∵∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°（平角的定义），∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）。即三角形内角和为180°。2.解：∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角推论1，外角等于与它不相邻的两个内角和。∴∠ACD=∠A+∠B=60°+45°=105°。3.证明：设△ABC中，∠ACD为外角。由推论1得：∠ACD=∠A+∠B。∵∠A＞0°，∠B＞0°，∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B。即三角形的任意一个外角大于和它不相邻的任意一个内角。（字数：810）学习目标
1.掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用
2.理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2;
（重点、难点）
3.了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处;（难点）
活动：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
你能用数学的方法说明这个结论吗？
还有其他的拼接方法吗？
三角形的内角和的证明
1
三角形三个内角的和等于 180°.
求证：∠A +∠B +∠C = 180°.
已知：△ABC .
证法1：过点 A 作 l∥BC，
则∠B =∠1，∠C =∠2
(两直线平行，内错角相等).
∵∠1 +∠2 +∠BAC = 180°，
∴∠B +∠C +∠BAC = 180°.
1
2
证法2：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥BA，
则∠A =∠1
(两直线平行，内错角相等)，
∠B =∠2
(两直线平行，同位角相等).
又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°，
∴∠A +∠B +∠ACB = 180°.
C
B
A
E
D
1
2
C
B
A
E
D
F
证法3：过 D 作 DE∥AC，DF∥AB.
∴∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC
(两直线平行，同位角相等)，
∠A +∠AED = 180°，
∠EDF +∠AED = 180°
(两直线平行，同旁内角相补).
∴∠A = ∠EDF.
∵∠EDB +∠EDF +∠FDC = 180°，
∴∠C +∠A +∠B = 180°.
想一想：同学们还有其他的证法吗？
思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？
借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结
为了证明三个角的和为 180°，转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
要点归纳
C
2
4
A
B
3
E
Q
D
F
P
G
H
1
B
G
C
2
4
A
3
E
D
F
H
1
试一试：同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？
例1 如图，在△ABC 中， ∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数.
A
B
C
D
解：由∠BAC = 40°，AD 是△ABC 的角平分线，
得∠BAD = ∠BAC = 20°.
在△ABD 中，
∠ADB = 180° - ∠B - ∠BAD
= 180° - 75° - 20°
= 85°.
三角形的内角和定理的运用
2
【变式题】如图，CD 是∠ACB 的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC 的度数．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.
∵CD 是∠ACB 的平分线，
∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°.
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝30°.
在△BDC 中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°.
问题1：在△ABC 中，∠C = 90°，求 ∠A +∠B 的度数？由此你能得到什么结论？
问题2：在△ABC 中，∠A +∠B = 90°，则∠C 度数为多少？由此你能得到什么结论？
在△ABC 中，∵∠A +∠B +∠C＝180°，∠C＝ 90°，
∴∠A＋∠B＝90°.
在△ABC 中，∵∠A +∠B +∠C＝180°，∠A ＋∠B＝90°， ∴∠C＝90°.
三角形内角和定理的推论1、2
3
直角三角形的两锐角互余.
三角形内角和推论 1：
三角形内角和推论 2：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题
叫做推论.
要点归纳
知识点1 三角形内角和定理的证明
1.在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于180°”的是(　　)
返回
D
知识点2 直角三角形的性质
2.如图，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.则下列结论中一定正确的是(　　)
A.∠1＝∠A　　B.∠1＋∠B＝90°
C.∠2＝∠A　　D.∠A＝∠B
(第2题)
返回
C
3.［2026淮北第一中学期中］两个直角三角板如图放置，则∠BFE与∠CAF的度数之和等于(　　)
A.140°
B.145°
C.150°
D.155°
(第3题)
返回
C
4.［2026芜湖期中］如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠DAE的度数为(　　)
A.10°　　
B.15°　　
C.20°　　
D.25°
(第4题)
A
【点拨】∵∠B＝30°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝100°.又∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝50°.∵AD是△ABC的高，
∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－30°＝60°.∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝10°.
返回
(第4题)
5.如图，在△ABC中，∠A＝90°，点E，F分别为AB，AC上一点，将△ABC沿直线EF翻折至同一平面内，点A落在点A′处，EA′，FA′分别交BC边于点M，N.若∠BEA′＝80°，则∠CFA′的度数为(　　)
A.100°　　 B.110°　　
C.115°　　 D.120°
(第5题)
A
【点拨】∵∠BEA′＝80°，∴∠AEA′＝180°－∠BEA′＝100°.由折叠得∠AFA′＝2∠AFE，∠AEF＝∠A′EF＝∠AEA′＝50°.∵∠A＝90°，∴∠AFE＝90°－∠AEF＝40°.∴∠AFA′＝2∠AFE＝80°.
∴∠CFA′＝180°－∠AFA′＝100°.故选A.
返回
(第5题)
知识点3 直角三角形的判定
6.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　　)
A.∠A＝∠B＝3∠C
B.∠A－∠B＝∠C
C.∠A＋∠B＝∠C
D.∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
A
【证明】∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.
∴∠DBF＋∠BFD＝90°.
又∵∠BFD＝∠AFE＝70°，∴∠DBF＝20°.
又∵∠ABD＝40°，∴∠ABF＝20°＝∠DBF.
∴BE平分∠ABC.
7.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC
上任意一点，连接BE交AD于点F.
(1)若∠ABD＝40°，∠AFE＝70°，求证：BE平分∠ABC；
(2)在(1)的条件下，若∠AFE＝∠AEF，请直接写出图中所有的直角三角形.
返回
【解】△ABC，△ABE，△ABD，△ACD，△BDF都是直角三角形.
易错点 忽略用分类讨论思想确定三角形最大内角导致漏解
8. 在直角三角形ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶m∶4，则m的值是　　　.
2或6
【点拨】设∠A，∠B，∠C的度数分别为2x，mx，4x.当∠C为直角时，2x＋mx＝4x，解得m＝2；当∠B为直角时，2x＋4x＝mx，解得m＝6.故答案为2或6.
三角形内角和定理的证明及推论 1、2
三角形内角和定理的证明
推论1：直角三角形的两锐角互余.
推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.

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