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沪科版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.14.2.5两个直角三角形全等的判定第14章全等三角形14.2.5两个直角三角形全等的判定同步练习题（沪科版八年级上册）本次习题聚焦直角三角形专属全等判定定理HL（斜边、直角边），涵盖HL定理定义辨析、适用条件、普通判定方法（SSS/SAS/ASA/AAS）在直角三角形中的应用、HL与一般判定定理区分、直角三角形全等证明、角度与边长推理计算等核心必考题型，完善全等三角形判定体系，专攻几何高频易错点。一、选择题（每题4分，共20分）1.直角三角形专属全等判定定理HL指的是（）A.两条直角边对应相等B.斜边和一条直角边对应相等C.斜边和一个锐角对应相等D.两个锐角对应相等2. HL定理适用的三角形类型是（）A.任意三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形3.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A.一条直角边和一个锐角相等B.斜边和一条直角边相等C.两个锐角对应相等D.两条直角边对应相等4.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，可判定两三角形全等的依据是（）A. HL B. SAS C. ASA D. AAS5.关于直角三角形全等判定，下列说法正确的是（）A.只能用HL判定B.不可以用SAS、ASA判定C.既可使用普通判定方法，也可使用HL专属判定D. AAA可以判定全等二、填空题（每题4分，共20分）1. HL定理：________和一条________对应相等的两个直角三角形全等。2.直角三角形全等，除HL外，还可使用________、________、________、________四种普通判定方法。3.判定两个直角三角形全等，最少需要________组对应相等的条件。4.在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，AB为公共斜边，补充条件________，可利用HL证明全等。5.两个直角三角形的三个角对应相等，________判定全等（填“能”或“不能”）。三、解答题（共60分）1.（20分）如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，AC=BD。求证：Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。2.（20分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，AB=AC，AD=AE。求证：Rt△ABE≌Rt△ACD。3.（20分）如图，已知∠C=∠D=90°，AD=BC。求证：AC=BD。参考答案与详细解析一、选择题1.B解析：HL定理全称：斜边、直角边定理，斜边和一条直角边对应相等，两直角三角形全等。2.C解析：HL是直角三角形独有的全等判定方法，仅适用于直角三角形。3.C解析：两个锐角相等只能证明三角形相似，边长不一定相等，无法判定全等。4.A解析：直角、斜边、一条直角边对应相等，符合HL判定条件。5.C解析：直角三角形是特殊三角形，通用四种判定方法均可使用，额外增加HL专属判定。二、填空题1.斜边、直角边2.SSS、SAS、ASA、AAS 3.两4.AC=AD（或BC=BD）5.不能三、解答题1.证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90°。在Rt△ABC和Rt△BAD中，∵AB=BA（公共斜边），AC=BD（已知），∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。2.证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB=∠ADC=90°。在Rt△ABE和Rt△ACD中，∵AB=AC（已知），AE=AD（已知），∴Rt△ABE≌Rt△ACD（HL）。3.证明：∵∠C=∠D=90°，∴△ABC和△BAD均为直角三角形。在Rt△ABC和Rt△BAD中，∵AB=BA（公共斜边），BC=AD（已知），∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。∴AC=BD（全等三角形对应边相等）。（字数：812）学习目标
1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”
2.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．
3. 通过对知识方法的探究，培养反思的习惯及理性思维.（难点）
SSS
SAS
ASA
AAS
旧知回顾:我们学过的判定三角形全等的方法.
如图，Rt△ABC 中，∠C = 90°，直角边是_____、_____，斜边是______.
C
B
A
AC
BC
AB
思考：
前面学过的四种判定三角形全等的方法，对直角三角形是否适用？
1. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
A
B
C
A′
B′
C′
2. 两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
3. 两个直角三角形中，两直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
口答：
动脑想一想
如图，已知 AC = DF，BC = EF，
∠B = ∠E，△ABC≌△DEF 吗？
我们知道，证明一般的三角形全等不存在 SSA 定理.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
“斜边、直角边”定理
问题：如果这两个三角形都是直角三角形，
即∠B =∠E = 90°，且 AC = DF，BC = EF，现在能判定 △ABC≌△DEF 吗？
任意画出一个 Rt△ABC，使∠C = 90°. 再画一个 Rt△A′B′C′ ，使∠C′ = 90°，B′C′ = BC，A′B′ = AB，把画好的 Rt△A′B′C′ 剪下来，放到 Rt△ABC 上，它们能重合吗？
A
B
C
合作探究
画图思路
（1）先画∠M C′ N = 90°
A
B
C
M
C′
N
（2）在射线 C′M 上截取 B′C′ = BC
M
C′
A
B
C
N
B′
M
C′
画图思路
（3）以点 B′ 为圆心，AB 为半径画弧，交射线 C′N 于 A′
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
画图思路
（4）连接 A′B′
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
画图思路
“斜边、直角边”判定方法
文字语言：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
(简记为“斜边、直角边”或“HL”).
几何语言：
A
B
C
A′
B′
C′
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL).
AB = A′B′，
BC = B′C′，
“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
要点归纳
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：
(1) 一个锐角和这个角的对边分别相等； ( )
(2) 一个锐角和这个角的邻边分别相等； ( )
(3) 一个锐角和斜边分别相等； ( )
(4) 两直角边分别相等； ( )
(5) 一条直角边和斜边分别相等． ( )
HL
AAS或ASA
SAS
AAS
AAS
判一判
例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD，
求证：BC = AD.
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角.
AB = BA，
AC = BD .
在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC = AD.
A
B
D
C
典例精析
例2 已知：如图，BD，CE 分别是△ABC 的高，
且BE＝CD. 求证：BD＝CE.
证明：∵ BD，CE 是△ABC 的高， ∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
BC = CB，
BE = CD，
在 Rt△BEC 和 Rt△CDB 中，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB (HL).
应用“HL”的前提条件是在直角三角形中
这是应用“HL”判定方法的书写格式.
A
B
C
E
D
∴BD＝CE.
利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路
证明：∵ AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高，
∴∠D＝∠F＝90°.
在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中，
AC＝AE，
AD＝AF，
∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL). ∴ CD＝EF.
在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中，
例3 如图，已知 AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高，如果 AD＝AF，AC＝AE，求证：BC ＝ BE.
AB＝AB，
AD＝AF，
∴ Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).
∴ BD＝BF.
∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE.
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”定理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
例4 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？
解：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
BC = EF，
AC = DF，
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B =∠DEF
(全等三角形对应角相等).
∵∠DEF +∠F = 90°，
∴∠B +∠F = 90°.
知识点1 判定直角三角形全等的条件：斜边、直角边
1. 如图，OD⊥AB于点D，OP⊥AC于点P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是(　　)
A.SSS　　
B.ASA　　
C.SAS　　
D.HL
(第1题)
返回
D
2.如图，已知AD，CE是△ABC的两条高线，AD＝CE，∠CAD＝25°，则∠OCD的度数为　　　.
(第2题)
返回
40°
3.如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD.若∠AFD＝135°，则∠EDF的度数为　 　.
(第3题)
返回
45°
知识点2 直角三角形全等的判定的应用
4.Rt△ABC和Rt△DEF如图所示，∠C＝∠F＝90°.
(1)若∠A＝∠D，BC＝EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“　　　”；
(2)若∠A＝∠D，AC＝DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“　　　”；
AAS
ASA
(3)若AC＝DF，AB＝DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“　　”；
(4)若AC＝DF，CB＝FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“　　　”.
返回
HL
SAS
5. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，过点C作CF⊥BC.如果点D，E分别在BC，CF上运动，并且始终保持DE＝AC，那么当CD＝　　　　时，△ABC与△DCE全等.
6或8
返回
6. 如图①，E，F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，连接AB，CD.若AB＝CD，AF＝CE，连接BD交AC于点M.
(1)求证：MD＝MB，ME＝MF.
【证明】∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，
∴∠DEC＝∠BFA＝90°.
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL).∴DE＝BF.
在△DEM和△BFM中，
∴△DEM≌△BFM(AAS).
∴MD＝MB，ME＝MF.
(2)当E，F两点移动到如图②所示的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
【解】成立.证明如下：
∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，
∴∠DEC＝∠DEM＝∠BFA＝∠BFM＝90°.
返回
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL).∴DE＝BF.
在△DEM和△BFM中，
∴△DEM≌△BFM(AAS).
∴MD＝MB，ME＝MF.
“斜边、直角边”
内容
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
前提条件
在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可(两个条件中至少有一个是一对边相等)

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