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沪科版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.14.2.6全等三角形的判定方法的综合运用第14章全等三角形14.2.6全等三角形的判定方法的综合运用同步练习题（沪科版八年级上册）本次习题为全等三角形判定压轴综合专项，汇总全书5种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），重点考查灵活选择判定方法、线段和差证边相等、平行线导角、公共边/公共角/对顶角隐含条件、二次全等推理、全等性质综合应用，是期中、期末几何必考重难点，题型梯度完整，适配拔高训练。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列条件中，不能判定任意两个三角形全等的是（）A. SSS B. SAS C. AAA D. AAS2.直角三角形独有的全等判定方法是（）A. SSS B. HL C. ASA D. SAS3.在几何证明中，若题目给出两组边对应相等，优先考虑补充条件的判定方法是（）A. AAS B. ASA C. SAS D. AAA4.已知两个三角形有两组角对应相等，证明全等还需要一组条件是（）A.任意一组对应边相等B.任意一组边相等即可C.只需周长相等D.无需补充条件5.若两个三角形全等，则一定成立的是（）A.面积相等，周长相等B.面积相等，周长不等C.面积不等，周长相等D.所有角、边都不一定相等二、填空题（每题4分，共20分）1.三角形全等五种判定方法：________、________、________、________、________。2.普通三角形不能用的判定：________；直角三角形专属判定：________。3.证明线段相等、角相等，通常先证明________，再利用全等性质推导。4.线段和差推导边长相等常用模型：同加同减________，线段仍然相等。5.两直线平行，可以推出________相等、内错角相等，为全等提供角条件。三、解答题（共60分）1.（20分）如图，已知AB=DE，AB∥DE，BC∥EF。求证：△ABC≌△DEF。2.（20分）如图，已知AF=DC，AB=DE，BC=EF。求证：△ABC≌△DEF。3.（20分）如图，已知AD⊥BC，BD=CD。求证：∠B=∠C。参考答案与详细解析一、选择题1.C解析：AAA只能判定相似，边长不确定，无法判定全等。2.B解析：HL（斜边、直角边）是直角三角形独有判定方法。3.C解析：两边对应相等，优先找夹角相等，使用SAS判定。4.A解析：两角一边（ASA/AAS）可判定全等，必须是对应边相等。5.A解析：全等三角形完全重合，对应边、对应角、周长、面积全部相等。二、填空题1.SSS、SAS、ASA、AAS、HL 2.SSA、AAA；HL 3.三角形全等4.公共线段5.同位角三、解答题1.证明：∵AB∥DE（已知），∴∠B=∠DEF（两直线平行，同位角相等）。∵BC∥EF（已知），∴∠ACB=∠DFE（两直线平行，同位角相等）。在△ABC和△DEF中，∵∠B=∠DEF，AB=DE，∠ACB=∠DFE，∴△ABC≌△DEF（ASA）。2.证明：∵AF=DC（已知），∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF。在△ABC和△DEF中，AB=DE（已知），BC=EF（已知），AC=DF（已证），∴△ABC≌△DEF（SSS）。3.证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°。在△ADB和△ADC中，BD=CD（已知），∠ADB=∠ADC，AD=AD（公共边），∴△ADB≌△ADC（SAS）。∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）。学习目标
1.理解三角形全等的判定，并会运用它们解决实际问题；
2.经历探索三角形全等的几种判定方法的过程
3. 培养良好的几何思维，体会几何学的应用价值．（难点）
例1 如图，已知 BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为_____________________________ (答案不唯一)．
或∠A＝∠D
AC＝DC或∠B＝∠E
选用合适的方法证明三角形全等
1
解析：根据已知可知两个三角形已经具备有一角与一边对应相等，所以根据全等三角形的判定方法，可以添加一边或一角都可以得到这两个三角形全等．
若根据“SAS”判定时，则可以添加 AC＝DC；
若根据“ASA”判定时，则可以添加∠B＝∠E；
若根据“AAS”判定时，则可以添加∠A＝∠D.
(1) 已知一边一角，可任意添加一个角的条件，用 AAS 或 ASA 判定全等；添加边的条件时只能添加夹这个角的边，用 SAS 判定全等．若添加另一边即这个角的对边，符合 SSA 的情形，不一定能判定三角形全等；
方法归纳
(2) 添加条件时，应结合判定图形和五种方法：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意除直角三角形外不能是 SSA.
例2 已知：如图，AB = CD ，BC = DA，E，F 是 AC 上的两点，且 AE = CF. 求证：BF = DE.
D
C
A
B
E
F
1
2
证明：在△ABC 和△CDA 中，
AB = CD ，(已知)
BC = DA， (已知)
CA = AC，(公共边)
∴△ABC≌△CDA .(SSS)
∴∠1 = ∠2. (全等三角形的对应角相等)
多次运用三角形全等的判定
2
BC = DA，(已知)
∠1 =∠2，(已证)
CF = AE，(已知)
∴ △BCF≌△DAE .(SAS)
∴ BF = DE.(全等三角形的对应边相等)
在△BCF 和△DAE 中
D
C
A
B
E
F
1
2
例3 求证：全等三角形对应边上的高相等.
已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′. AD、A′D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′ 的高.求证：AD＝ A′D′ .
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
证明 ∵△ABC≌△A′B′C′，(已知)
∴ AB = A'B'，∠B =∠B'.
（全等三角形对应边相等、对应角相等）
∵AD，A′D′分别是△ABC ，△A′B′C′的高，(已知)
∴∠ADB =∠A'D'B' = 90°. (垂直的定义)
在△ABD 和△A'B'D' 中，
∠B =∠B'，（已证）
∠ABD =∠A'B'D'，（已证）
AB = A'B'，（已证）
∴△ABD≌△A'B'D'(AAS).
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
∴ AD = A'D'.（等式的性质）
另证（借助“面积法”来证明）：
∵△ABC≌△A'B'C'，（已知）
∴BC = B'C'，S△ABC= S△A'B'C'
(全等三角形的对应边相等、面积相等)
又 ∵ S△ABC= ·BC·AD. S△A'B'C' = ·B'C'·A'D'
·BC·AD= ·B'C'·A'D'
∴ AD = A'D'.（全等三角形对应边相等相等）
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
解：相等．理由如下：在△ABC 和△ADC 中，AB＝AD，AC＝AC，BC＝DC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠DAE＝∠BAE.
在△ADE 和△ABE 中，
AD＝AB，∠DAE＝∠BAE，AE＝AE，
∴△ADE≌△ABE(SAS). ∴DE＝BE.
例4 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，BC＝DC，E 为 AC 上的一动点(不与 A 重合)，在点 E 移动的过程中 BE 和 DE 是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．
本题考查了全等三角形的判定和性质，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题要特别注意“SSA”不能作为全等三角形一种证明方法使用．
方法归纳
C
M
N
A
B
D
例5 如图，已知 CA = CB，AD = BD，M，N 分别是 CA，CB 的中点，求证：DM = DN.
在△ACD 与△BCD 中
CA = CB (已知)
AD = BD (已知)
CD = CD (公共边)
∴△ACD≌△BCD(SSS).
证明：连接 CD，如图所示.
∴∠A = ∠B.
又∵ M，N 分别是 CA，CB 的中点，
∴ AM = BN.
在△AMD 与△BND 中，
AM = BN (已证)，
∠A =∠B (已证)，
AD = BD (已知)，
∴△AMD≌△BND (SAS).
∴ DM = DN.
C
M
N
A
B
D
应用1 用“SAS”判定两个三角形全等
1.如图，已知AB＝AD，BC＝DE，且∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，直线BC交AD于点F，交ED于点G，则∠EGF的度数为　　　.
115°
【点拨】∵AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE，
∴△ABC≌△ADE(SAS).∴∠DAE＝∠CAB.
∵∠EAB＝120°，∠CAD＝10°，
∴∠EAD＝∠CAB＝×(120°－10°)＝55°，
∴∠DAB＝65°.
∵∠GFD＝∠AFB，∠B＝∠D＝25°，
∴∠DGB＝∠DAB＝65°，∴∠EGF＝115°.
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2. 数学活动课上，嘉淇制作了两个三角板(即△ABC和△DBE)，BA＝BC，BE＝BD，∠DBE＝∠ABC＝90°.
(1)当两个三角板如图①所示的位置摆放时，D，B，C在同一直线上，连接AD，CE，线段AD与CE之间的数量关系是
　　　　，位置关系是　　　　；
AD＝CE
AD⊥CE
【点拨】如图①，延长DA交CE于点H，
在△ADB和△CEB中，
∴△ADB≌△CEB(SAS)，
∴AD＝CE，∠ADB＝∠CEB，
又∵∠DAB＝∠EAH，∴∠DBA＝∠EHA＝90°，
∴AD⊥CE.
(2)当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图②所示的位置，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由.
【解】仍然成立，理由如下：如图②，延长DA，
EC交于点H，设BD，EH交于点O，
∵∠DBE＝∠ABC＝90°，
∴∠ABD＋∠DBC＝∠CBE＋∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ADB和△CEB中，
∴△ADB≌△CEB(SAS)，
∴AD＝CE，∠ADB＝∠CEB，
又∵∠DOH＝∠EOB，
∴∠DHO＝∠EBD＝90°，
∴AD⊥CE.
返回
解决动态几何问题要抓住以下两点：
(1)明确图形在变化前后，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化，变化前的等角、等线段在变化后是否仍然相等；(2)几种变化图形之间，梳理思路存在内在联系，变化后的结论与解题思路都可以借鉴变化之前的.
应用2 用“ASA”判定两个三角形全等
3.如图，已知AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°.
(1)求∠DAE的度数；
【解】∵AB∥DE，∴∠CAB＝∠E＝40°.
∵∠DAB＝70°，∴∠DAE＝∠DAB－∠CAB＝30°.
(2)若∠B＝30°，求证：AD＝BC.
返回
【证明】由(1)得∠DAE＝30°＝∠B.
又∵AE＝AB，∠E＝∠CAB，
∴△DAE≌△CBA(SAS)，∴AD＝BC.
应用3 用“SSS”判定两个三角形全等
4. 如图，在△ABC中，D为边BC上一点，E为边BA上一点，且AE＝CD，连接AD，F为AD的中点.连接EF并延长，交AC于点G，在FG上截取点H，使FH＝FE，连接DH，GD，若HG＝CG.
求证：(1)△AEF≌△DHF；
【证明】∵点F是AD的中点，∴AF＝DF.
在△AEF和△DHF中，
∴△AEF≌△DHF(SAS).
(2)∠B＝2∠GDC.
【证明】∵△AEF≌△DHF，
∴AE＝DH，∠EAF＝∠HDF，
∴AB∥DH，∴∠B＝∠HDC.
∵AE＝CD，∴DH＝CD.
返回
在△HGD和△CGD中，
∴△HGD≌△CGD(SSS)，∴∠HDG＝∠CDG.
∴∠HDC＝2∠GDC.∴∠B＝2∠GDC.
判定三角形全等的思路
已知两边
已知一边一角
已知两角
找夹角(SAS)
找另一边(SSS)
找任一角(AAS)
边为角的对边
边为角的一边
找夹角的另一边(SAS)
找边的对角(AAS)
找夹角的另一角(ASA)
找夹边(ASA)
找除夹边外的任意一边(AAS)

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