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沪科版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.15.2.1线段的垂直平分线的性质与判定第15章轴对称图形与等腰三角形15.2.1线段的垂直平分线的性质与判定同步练习题（沪科版八年级上册）本次习题聚焦本节两大核心重难点：线段垂直平分线的性质定理和判定定理。涵盖定理概念辨析、基础角度与边长计算、利用性质转化线段、判定点在垂直平分线上、几何规范证明等高频考点，是几何线段转化、最短路径题型的基础，适配课后巩固与期末专项复习。一、选择题（每题4分，共20分）1.线段垂直平分线的性质定理是（）A.垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等B.垂直平分线上的点与线段垂直C.到线段两端距离相等的点在垂直平分线上D.垂直平分线平分线段2.若点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB的长为（）A. 3 B. 6 C. 12 D.无法确定3.能够判定一个点在线段垂直平分线上的依据是（）A.点到线段一端距离相等B.点到线段两端点距离相等C.点在线段上方D.点与线段中点相连4.已知直线l垂直平分线段AB，点P在直线l上，若AB=8，则下列说法正确的是（）A. PA=PB B. PA=4 C. l平分∠APB D. PA⊥AB5.在△ABC中，若AB=AC，则点A一定在（）A. BC的垂直平分线上B. AB的垂直平分线上C. AC的垂直平分线上D.任意直线上二、填空题（每题4分，共20分）1.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段________的距离相等。2.线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________上。3.线段的垂直平分线是所有到线段两端点距离相等的________的集合。4.若直线l垂直平分AB，点P在l上，PA=9，则PB=________。5.在△ABC中，点P满足PA=PB，则点P在________的垂直平分线上。三、解答题（共60分）1.（20分）如图，已知直线MN垂直平分线段AB，点P是MN上任意一点，求证：PA=PB。2.（20分）如图，已知PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上。3.（20分）如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若AD=5，求BD的长。参考答案与详细解析一、选择题1.A解析：性质定理：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；C选项为判定定理。2.B解析：根据垂直平分线性质，PA=PB=6。3.B解析：判定定理核心：点到线段两端距离相等 点在垂直平分线上。4.A解析：垂直平分线上的任意一点到线段两端距离相等，即PA=PB。5.A解析：点A到B、C两点距离相等，根据判定定理，点A在BC的垂直平分线上。二、填空题1.两个端点2.垂直平分线3.点4.9 5.线段AB三、解答题1.证明：设MN交AB于点O，∵MN垂直平分AB（已知），∴AO=BO，∠POA=∠POB=90°（垂直平分线定义）。在△POA和△POB中，AO=BO（已证），∠POA=∠POB（已证），PO=PO（公共边），∴△POA≌△POB（SAS）。∴PA=PB（全等三角形对应边相等）。2.证明：过点P作PO⊥AB于点O，∵PO⊥AB，∴∠POA=∠POB=90°。在Rt△POA和Rt△POB中，PA=PB（已知），PO=PO（公共边），∴Rt△POA≌Rt△POB（HL）。∴AO=BO（全等三角形对应边相等）。又∵PO⊥AB，∴直线PO垂直平分AB，即点P在AB的垂直平分线上。3.解：∵DE垂直平分AB（已知），∴BD=AD（线段垂直平分线的性质）。∵AD=5，∴BD=5。学习目标
1.理解和掌握线段垂直平分线的性质；（难点）
2.通过观察、实验、猜测、验证与交流等活动，初步形成数学学习的方法.
3.
A
B
l
P1
P2
P3
如图，直线l垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么，
请猜想点P1，P2，P3，… 到点 A 与
点 B 的距离之间的数量关系．
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
探究发现
线段垂直平分线的性质
1
猜想：
点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离分别相等．
猜测：线段垂直平分线上的点和线段两端的距离相等.
由此你能得到什么结论？
你能验证这一结论吗？
已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上．
求证：PA = PB．
证明：∵ l⊥AB，
∴∠PCA =∠PCB．
又 AC = BC，PC = PC，
∴ △PCA≌△PCB (SAS)．
∴ PA = PB．
P
A
B
l
C
验证结论：
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离_____.
相等
几何表达：
如果 l⊥AB，AC = BC，
那么对 l 上任意一点 P，
有 PA = PB.
知识要点
P
A
B
l
C
例1 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)
A．5 cm
B．10 cm
C．15 cm
D．17.5 cm
A
B
C
D
E
典例精析
解析：∵ △DBC 的周长为 BC＋BD＋CD ＝ 35 cm，又 DE 垂直平分 AB，
∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm.
∵ AC＝AD＋CD＝20 cm，
∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
A
B
C
D
E
例2 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，BE⊥AE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F. 求证：(1) AD＝FC；(2) AB＝BC＋AD.
解析：(1) 根据 AD∥BC 可知∠ADE＝∠FCE，再根据 E 是 CD 的中点可得出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质证得结论；(2) 先根据线段垂直平分线的性质得出
AB＝BF，再结合 (1) 即可得证．
A
B
C
D
E
F
证明：(1) ∵ AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE.
∵ E 是 CD 的中点，∴ DE＝CE.
又∵∠AED＝∠FEC，
∴△ADE≌△FCE. ∴ FC＝AD.
(2) ∵△ADE≌△FCE，
∴ AE＝FE.
又∵ BE⊥AE，∴ BE 是线段 AF 的垂直平分线.
∴ AB＝FB＝BC＋FC.
∵ AD＝FC，∴ AB＝BC＋AD.
A
B
C
D
E
F
定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
逆
命
题
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
它是真命题吗？你能证明吗？
线段垂直平分线的判定
2
已知：PA = PB，
求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
证明：作 PC⊥AB，垂足为 C.
∴ ∠ACP =∠BCP = 90°.
在Rt△ACP 和 Rt△BCP 中，
∴ Rt△ACP≌Rt△BCP（HL）.
∴ AC = BC.
∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
PA = PB，
PC = PC，
l
C
A
B
P
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
应用格式：
∵ PA = PB，
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
定理：
要点归纳
知识点1 线段的垂直平分线的性质
1. 如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(　　)
A.AB＝AD　　
B.CA平分∠BCD
C.AB＝BD　　
D.△BEC≌△DEC
(第1题)
返回
C
2.［2025连云港］如图，在△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长为(　　)
A.5　　
B.6　　
C.7　　
D.8
(第2题)
返回
C
3.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE.若CE＝CA，∠ACE＝40°，则∠B的度数为　 　.
(第3题)
35°
【点拨】∵CE＝AC，∴∠A＝∠AEC.∵∠A＋∠AEC＋∠ACE＝180°，∠ACE＝40°，∴∠AEC＝70°.∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE，∴∠B＝∠BCE.
又∵∠AEC＝∠B＋∠BCE，∴∠B＝35°.
返回
(第3题)
知识点2 线段的垂直平分线的判定
4.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　)
A.AB垂直平分CD
B.CD垂直平分AB
C.AB与CD互相垂直平分
D.以上都不正确
(第4题)
A
到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，但并不表示经过该点的直线都是线段的垂直平分线.
返回
5.如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在某一线段的垂直平分线上.这条线段是(　　)
A.AB　　
B.AC　　
C.BC　　
D.不确定
(第5题)
B
【点拨】∵BC＝BD＋DC＝BD＋AD，∴AD＝CD，∴点D在线段AC的垂直平分线上.
返回
(第5题)
6.已知在同一平面内，C，D是线段AB外的两点，AC＝BC，AD＝BD，点P在直线CD上.若AP＝5，则BP的长为(　　)
A.2.5　　 B.5
C.10　　 D.25
B
返回
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，连接CO，BO.求证：点O在AB的垂直平分线上.
【证明】∵D是BC的中点，∴CD＝BD.又∵AB＝AC，∴AD垂直平分BC，∴BO＝CO.∵OE是AC的垂直平分线，∴AO＝CO，∴BO＝AO，∴点O在AB的垂直平分线上.
返回
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上

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