资源简介

(共30张PPT)
沪科版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.15.4.3等腰三角形的判定定理及推论第15章轴对称图形与等腰三角形15.4.3等腰三角形的判定定理及推论同步练习题（沪科版八年级上册）本次习题聚焦等腰三角形判定核心考点，主打等角对等边判定定理及各类重要推论，严格区分「等边对等角（性质）」与「等角对等边（判定）」的因果逻辑，涵盖三角形等腰判定、等边三角形判定、角度边长计算、几何综合证明，规避性质与判定混用的高频易错点，完美衔接上一节三线合一知识点，适配课后巩固与期末专项训练。一、选择题（每题4分，共20分）1.等腰三角形的核心判定定理是（）A.等边对等角B.等角对等边C.三线合一D.两角互余2.在△ABC中，∠B=∠C，则下列结论正确的是（）A. AB=AC B. AB=BC C. AC=BC D. ∠A=∠B3.下列条件中，不能判定△ABC为等腰三角形的是（）A. ∠A=∠B B. AB=AC C. ∠A:∠B:∠C=1:2:3 D. ∠B=∠C4.有一个角是60°的等腰三角形一定是（）A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形5.关于等腰三角形性质与判定，说法正确的是（）A.性质：由角相等推边相等B.判定：由边相等推角相等C.性质：由边相等推角相等D.性质和判定无区别二、填空题（每题4分，共20分）1.等腰三角形判定定理：在一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称为________。2.等腰三角形性质是：等边对等角（边→角）；判定是：________（角→边）。3.推论1：三个角都相等的三角形是________三角形。4.推论2：有一个角等于________°的等腰三角形是等边三角形。5.在△ABC中，∠A=50°，∠B=50°，则△ABC是________三角形。三、解答题（共60分）1.（20分）如图，在△ABC中，已知∠B=∠C，求证：AB=AC。2.（20分）已知△ABC中，AB∥CD，AC平分∠BAD，求证：△ABC为等腰三角形。3.（20分）已知等腰△ABC中，有一个内角为60°，求证：△ABC为等边三角形。参考答案与详细解析一、选择题1.B解析：等腰三角形判定定理为等角对等边，性质定理为等边对等角，注意区分。2.A解析：等角对等边，∠B、∠C为底角，对应对边分别为AC、AB，故AB=AC。3.C解析：角度比1:2:3，三个角分别为30°、60°、90°，无相等角，不是等腰三角形。4.B解析：有一个角为60°的等腰三角形，其余两角均为60°，三边相等，为等边三角形。5.C解析：性质：边相等 角相等；判定：角相等 边相等，二者因果关系完全相反。二、填空题1.等角对等边2.等角对等边3.等边4. 60 5.等腰三、解答题1.证明：过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°（垂直定义）。在△ABD和△ACD中，$$\begin{cases} ∠B=∠C（已知）\\ ∠ADB=∠ADC（已证）\\ AD=AD（公共边）\end{cases}$$∴△ABD≌△ACD（AAS）。∴AB=AC（全等三角形对应边相等）。2.证明：∵AC平分∠BAD（已知），∴∠BAC=∠DAC（角平分线定义）。∵AB∥CD（已知），∴∠DCA=∠BAC（两直线平行，内错角相等）。∴∠DAC=∠DCA（等量代换）。∴AD=CD（等角对等边），即△ADC为等腰三角形。3.证明：分两种情况讨论：①若该60°角为等腰三角形的顶角：∵三角形为等腰三角形，∴两底角相等，底角=$$\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ$$，∴三个内角均为60°，△ABC为等边三角形。②若该60°角为等腰三角形的底角：则另一个底角也为60°，顶角=180° 60° 60°=60°，∴三个内角均为60°，△ABC为等边三角形。综上，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形。学习目标
1.理解等腰三角形的判定方法的证明过程; (重点）
2.掌握等腰三角形的判定定理及它的两个推论
3.能运用定理和推论进行简单的推理和计算；（重点、难点）
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系
建立数学模型：
C
A
B
做一做：画一个△ABC，其中∠B =∠C = 30°，请你量一量 AB与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？
AB = AC
你能验证你的结论吗？
等腰三角形的判定
1
在△ABD 与△ACD 中，
∠1 =∠2，
∴ △ABD≌△ACD(AAS).
∠B =∠C，
AD = AD，
∴ AB = AC.
过 A 作 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
△ABC 是等腰三角形.
则∠1 =∠2.
∴ AC = AB ( )，
即△ABC 为等腰三角形.
∵∠B =∠C ( )，
等腰三角形的判定方法
有两个角相等的三角形是等腰三角形.“等角对等边”
已知
等角对等边
在△ABC 中，
应用格式：
B
C
A
(
(
这又是一个判定两条线段相等的根据之一.
要点归纳
A
B
C
D
2
1
∵∠1 =∠2，
∴ BD = DC
(等角对等边).
∵∠1 =∠2，
∴ DC = BC
A
B
C
D
2
1
(等角对等边).
错，因为两角都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图，下列推理正确吗
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC．
求证：AB = AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1 =∠B (两直线平行，同位角相等)，
∠2 =∠C (两直线平行，内错角相等)．
又∵∠1 =∠2，∴∠B =∠C.
∴ AB = AC (等角对等边)．
A
B
C
E
（
（
1
2
D
例2 已知：如图，AB = DC，BD = CA，BD 与 CA 相交于点 E. 求证：△AED 是等腰三角形.
A
B
C
D
E
证明：
∵AB = DC，BD = CA，AD = DA，
∴△ABD≌△DCA (SSS).
∴∠ADB =∠DAC (全等三角形的对应角相等).
∴AE = DE (等角对等边).
∴ △AED 是等腰三角形.
例3 已知：如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC.
求证：AB = AD.
B
A
D
C
证明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB =∠DBC.
∵ BD 平分∠ABC，
∴∠ABD =∠DBC.
∴∠ABD =∠ADB.
∴ AB = AD.
方法总结：平分角 + 平行 = 等腰三角形.
例4 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，AE 与 CD 交于点 F，求证：△CEF 是等腰三角形．
证明：在△ABC 中，∵∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵ CD 是 AB 边上的高，
∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.
∵ AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE＝∠EAC.
∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE.
∴ CE＝CF，即△CEF 是等腰三角形．
方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
推论2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
由等腰三角形的判定定理可以直接得到：
等边三角形的判定
2
为什么？
↗
证明推论2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
证明：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC.
由三角形内角和定理得：∠A +∠B +∠C = 180°.
若顶角∠A = 60°，
则∠B +∠C = 180° - 60° = 120°.
又 AB = AC，
∴∠B =∠C.
∴∠B =∠C =∠A = 60°.
∴△ABC 是等边三角形.
如果是底角∠B = 60°
(或∠C = 60°) 呢？
辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
不
是
是
是
是
是
不一定
是
（1）
5
5
4
（2）
5
5
5
（3）
60°
60°
（4）
60°
（5）
5
5
60°
（6）
5
5
60°
例5 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC.
求证：△ADE 是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A = ∠B = ∠C.
∵ DE∥BC，
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠A =∠ADE =∠AED .
∴△ADE 是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
例6 等边△ABC 中，点 P 在△ABC 内，点 Q 在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ 为等边三角形．证明如下：
∵△ABC 为等边三角形，∴ AB＝AC，∠BAC＝60°.
∵ BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ (SAS).
∴ AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°.
∴△APQ 是等边三角形.
B
C
Q
A
P
方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；
二是证明三角形三个内角相等 (或两个内角等于 60°)；
三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角
等于 60°.
知识点1 等腰三角形的判定
1.如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有(　　)
A.3个　　
B.4个　　
C.5个　　
D.6个
(第1题)
返回
D
2.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为　　　。
海里.
(第2题)
返回
80
3.如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C.
(1)求证：∠BDF＝∠A；
【证明】∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C.
又∵∠EDF＝∠C，∴∠EDF＝∠AED.
∴DF∥AC.∴∠BDF＝∠A.
(2)若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状.
返回
【点拨】∵∠A＝45°，∠BDF＝∠A，∴∠BDF＝∠A＝45°.
又∵DF平分∠BDE，∴∠BDE＝2∠BDF＝90°.
∵DE∥BC，∴∠B＝180°－∠BDE＝90°.
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝45°＝∠A.
∴△ABC是等腰直角三角形.
【解】△ABC是等腰直角三角形.
知识点2 等边三角形的判定
4.下列条件不能判定△ABC是等边三角形的是(　　)
A.AB＝BC＝AC
B.∠A＝∠B＝∠C
C.AB＝AC，∠A＝60°
D.∠A＋∠B＝2∠C
D
返回
5.将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1，3，则线段AC的长为　　　cm.
2
【点拨】∵直尺的两条对边相互平行，∴∠ACB＝∠α＝60°.
又∵∠A＝60°，∴∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝60°，∴∠ABC＝∠A＝∠ACB，∴△ABC是等边三角形.
∴AC＝BC＝3－1＝2(cm).
返回
6.如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE.
(1)求证：△ABC≌△ADE；
【证明】在△ABC与△ADE中，∵
∴△ABC≌△ADE(SAS).
(2)若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数.
返回
【解】∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝60°，
∴AC＝AE，∠CAE＝∠BAC＝60°.
∴△ACE是等边三角形.∴∠ACE＝60°.
知识点3 含30°角的直角三角形的性质
7.如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝15°，D是AC上一点，连接BD，若∠ADB＝30°，AB＝4，则CD的长为(　　)
A.8　　
B.7　　
C.6　　
D.5
(第7题)
A
【点拨】在含特殊角的条件下求线段长的技巧：
在一些特殊角，如15°，30°，60°，120°等的条件下，通常要联想到构造含30°角的直角三角形，然后利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”求线段的长.
返回
(第7题)
8. 如图，等边三角形ABC的边长为6 cm，动点P从点A出发以2 cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P移动了　　s.
(第8题)
1
等腰三角形的判定
等角对等边
注意是指同一个三角形中
推论
1.三个角都相等的三角形是等边三角形.
2.有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.

展开更多......

收起↑