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沪科版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.15.4.2等腰三角形中的“三线合一”第15章轴对称图形与等腰三角形15.4.2等腰三角形中的“三线合一”同步练习题（沪科版八年级上册）本次习题专攻等腰三角形核心重难点——三线合一，深度聚焦定理的精准理解、三种条件互推、几何计算、规范证明与高频易错陷阱。重点掌握：等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合的灵活运用，区分底边与腰的区别，规避乱用三线合一的扣分点，是几何简化证明、秒杀计算的核心工具，适配期中期末高频考点。一、选择题（每题4分，共20分）1.等腰三角形“三线合一”的三线是指（）A.腰上的高、腰上的中线、底角平分线B.顶角平分线、底边上的高、底边上的中线C.顶角平分线、腰上的高、腰上的中线D.任意角平分线、任意高、任意中线2.在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，下列结论不一定正确的是（）A. BD=CD B. ∠BAD=∠CAD C. AD=BC D. AD平分∠BAC3.已知△ABC为等腰三角形，AB=AC，BD为底边中线，则下列成立的是（）A. BD⊥AC B. BD平分∠ABC C. BD⊥BC D. BD平分∠BAC4.下列图形中，能够使用“三线合一”性质的是（）A.任意三角形B.直角三角形C.等腰三角形（AB=AC）D.普通锐角三角形5.在等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，BC=10，则BD的长为（）A. 10 B. 5 C. 20 D.无法确定二、填空题（每题4分，共20分）1.等腰三角形顶角平分线、________、________互相重合，简称三线合一。2.三线合一仅针对等腰三角形的________边和________角，不适用于腰与底角。3.若AB=AC，AD⊥BC，则AD既是高，也是________和________。4.等腰△ABC中，AB=AC，AD为中线，BC=12，则BD=________，AD________BC（填位置关系）。5.利用三线合一可以直接实现：垂直、平分线段、________三种条件互推。三、解答题（共60分）1.（20分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC。求证：AD平分∠BAC。2.（20分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，BC=16。求BD的长度，并说明AD与BC的位置关系。3.（20分）如图，已知AB=AC，BD=CD。求证：AD⊥BC，AD平分∠BAC。参考答案与详细解析一、选择题1.B解析：三线合一专属定义：等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。2.C解析：由三线合一可得BD=CD、AD平分∠BAC，AD与BC长度无必然相等关系。3.D解析：底边中线等价于顶角平分线、底边上的高，故BD平分∠BAC。4.C解析：三线合一的前提是三角形为等腰三角形，且针对底边与顶角。5.B解析：AB=AC，AD平分∠BAC，由三线合一得AD为底边中线，BD=$$\frac12$$BC=5。二、填空题1.底边上的高、底边上的中线2.底、顶3.中线、角平分线4. 6、垂直5.平分顶角三、解答题1.证明：∵AB=AC（已知），∴△ABC是等腰三角形。又∵AD⊥BC（已知），AD是等腰△ABC底边上的高，根据等腰三角形“三线合一”性质，底边上的高与顶角平分线重合，∴AD平分∠BAC。2.解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，由三线合一性质可知：AD既是顶角平分线，也是底边上的中线和高。∴BD=$$\frac12$$BC=$$\frac12$$×16=8，且AD⊥BC。答：BD长为8，AD垂直于BC。3.证明：∵AB=AC（已知），∴△ABC为等腰三角形。∵BD=CD，∴AD是等腰△ABC底边上的中线。根据“三线合一”性质，底边上的中线与底边上的高、顶角平分线重合，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC。学习目标
1.理解等腰三角形中的“三线合一”的概念和验证定理的过程.
2.通过验证等腰三角形中“三线合一”，培养学生独立自主分析和解决问题的能力.
3.培养利用常见的利用等腰三角形的推论来解决问题的能力.
建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗
∠ADB = ∠ADC = 90°，
∠BAD =∠CAD.
等腰三角形的性质定理2
思考：由前面定理1的证明还能得到什么结论？
A
C
D
B
1
猜想：等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角.
1. 如果作 BC 边上的高线 AD，那么 AD 平分 BC 吗？AD 平分 ∠BAC 吗
思考
如图，在△ABC中，AB = AC.
证明：作底边 BC 的高 AD，交 BC 于点 D.
∵ AD⊥BC，
∴∠ADB ＝∠ADC＝90°.
在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中，
AB＝AC（已知），
AD＝AD（公共边），
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.
∴ BD＝CD，∠BAD ＝∠CAD.
A
B
C
D
2.如果作∠ABC 的顶角平分线 AD，那么 AD 垂直平分 BC 吗
A
C
D
B
证明：作顶角∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D.
∵ AD 平分∠BAC ，∴ ∠BAD＝∠CAD.
在△ABD 与△ACD 中，
AB＝AC（已知），
∠BAD＝∠CAD（已证），
AD＝AD（公共边），
∴ △ABD≌△ACD（SAS），
∴ BD＝CD，∠ADB＝∠ADC.
又∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
A
C
B
证明后的结论，以后可以直接运用.
定理2
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合. 简称“三线合一”.
知识要点
A
B
C
D
(
(
1
2
填一填：根据等腰三角形的性质定理完成下列填空.
在△ABC 中，AB = AC.
(1) ∵ AD⊥BC，
∴∠____=∠____，_____=_____.
(2) ∵ AD 是中线，
∴ ____⊥____，∠____ =∠____.
(3) ∵ AD 是角平分线，
∴ ____⊥____，____ =____.
1
2
2
BD
CD
AD
BC
BD
1
BC
AD
CD
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
不重合！
三线合一
为什么不一样
“三线合一”的操作
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例1 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC.
(1) 如图①，若 AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2) 如图②，若 BD＝CE，F 为 DE 的中点，求证：
AF⊥BC.
图①
图②
A
B
D
E
C
A
B
D
E
C
F
典例精析
证明：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G.
∵ AB＝AC，AD＝AE，
∴ BG＝CG，DG＝EG.
∴ BG－DG＝CG－EG.
∴ BD＝CE.
(2) ∵ BD＝CE，F 为 DE 的中点，
∴ BD＋DF＝CE＋EF.
∴ BF＝CF.
∵ AB＝AC，
∴ AF⊥BC.
图①
A
B
D
G
E
C
图②
A
B
D
E
C
F
方法总结：在等腰三角形的有关计算或说明理由的问题中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
例2 如图，在△ABC中，AB =AC，AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AD 上一点，求证：BE = CE.
证明 ∵ AB = AC，AD 是边 BC 上的中线，(已知)
∴ AD 是 BC 边上的高.(三线合一)
∴ AD 垂直平分线段 BC .
（垂直平分线的定义）
∵ 点 E 是 AD 上一点（已知）
∴ BE = CE.（垂直平分线的性质）
例3 求证：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等．
已知，如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，
∠C =∠C' = 90°，AB = A'B'，AC = A'C'
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
A'
A
B
C
C'
B'
本例是14.2中以学过的判定两个直角三角形全等的定理“HL”的证明
证明：在平面内移动 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使点 A 和 A'，点 C 和 C' 重合，点 B 和点 B' 在 AC 两侧，如图.
∵∠BCB' = 90° + 90°= 180°，
∴B，C，B' 三点在一条直线上.
在△ABB' 中，∵AB = AB'，∴∠B = ∠B'.
在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，
∠ACB =∠A'C'B' (已知)，
∠B =∠B' (已证)，
AB = A'B' (已知)，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (AAS).
(A')
A
B
C
(C')
B'
A
B
C
结论：等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都“三线合一”.
三条对称轴
问题：等边三角形有“三线合一”的性质吗？等边三角形有几条对称轴？
等边三角形是特殊的等腰三角形，三线合一对于等边三角形也成立.
知识点 等腰三角形的“三线合一”的性质
1.如图，在△ABC中，AB＝AC.分别以点B和点C为圆心，大
于BC的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点
E，若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为　　　°.
(第1题)
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55
2. 在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件中不能说明AD⊥BC的是(　　)
A.∠ADB＝∠ADC　　
B.∠B＝∠C
C.BD＝CD　　
D.AD平分∠BAC
(第2题)
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B
3.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为BC中点，连接AD，若∠BAD＝y，∠B＝2x，则y与x之间的函数关系图象
是(　　)
(第3题)
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D
4. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为(　　)
A.18　　
B.9　　
C.9　　
D.6
(第4题)
C
【点拨】连接AD，如图.∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D是BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∠B＝∠C＝45°，∴AD＝BD＝DC.又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF.∴S四边形AEDF＝S△AED＋S△ADF＝S△CFD＋S△ADF＝S△ADC＝S△ABC.又∵S△ABC＝6×6×＝18，∴S四边形AEDF＝S△ABC＝9.
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5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，S△ABC＝27，直线EF垂直平分线段AB，若D为边BC的中点，点G为直线EF上一动点，则△BDG周长的最小值为(　　)
A.10　　　　　B.11
C.12　　　　　D.13
C
【点拨】如图，连接AD，AG，
∵AB＝AC，D为边BC的中点，BC＝6，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝3.
∵S△ABC＝27，
∴BC AD＝×6AD＝27，
解得AD＝9.∵直线EF垂直平分线段AB，∴AG＝BG，
∴△BDG的周长为BD＋BG＋DG＝3＋AG＋DG.由两点之间线段最短可知，当A，G，D三点共线时，AG＋DG的值最小，最小值为AD的长，∴△BDG周长的最小值为3＋AD＝3＋9＝12.
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6. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB的中点，点E是线段AD上一点.BF⊥CE于点F，BF交CD于点G.
(1)如图①，求证：
【证明】①∵BF⊥CE，
∴∠CBG＋∠BCF＝90°.
又∵∠ACE＋∠BCF＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠CBG.
由①知∠ACE＝∠CBG，
在△AEC和△CGB中，∵
∴△AEC≌△CGB(ASA)，∴AE＝CG.
②∵D是AB的中点，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠CAD＝∠CBD＝45°.
∴∠CAE＝∠BCG.
(2)如图②，过点A作AH⊥CE交CE的延长线于点H，AH的延长线交CD的延长线于点M，请在图中找出与BE相等的线段，并证明.
【解】BE＝CM.证明如下：
∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA＋∠MCH＝90°，∠BEC＋∠MCH＝90°，
∴∠CMA＝∠BEC.
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由(1)②知∠ACM＝∠CBE＝45°.
在△BCE和△CAM中，∵
∴△BCE≌△CAM(AAS)，∴BE＝CM.
等腰三角形的性质
三线合一
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质

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