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沪科版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.15.4.4直角三角形中30°角的性质定理第15章轴对称图形与等腰三角形15.4.4直角三角形中30°角的性质定理同步练习题（沪科版八年级上册）本节是直角三角形重要特殊性质，为考试高频考点，包含核心定理与逆定理两大必考内容：1.性质定理（正向）：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2.逆定理（反向判定）：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。核心易错点：①定理只适用于直角三角形；②必须找准30°角对应的直角边（短直角边）；③不可用于普通三角形。一、选择题（每题4分，共20分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则30°角所对的直角边是（）A. AC B. BC C. AB D.无法确定2.直角三角形中30°角的性质定理正确表述是（）A. 30°角所对的斜边等于直角边的一半B. 30°角所对的直角边等于斜边的一半C.所有直角三角形直角边都是斜边一半D. 30°角对的直角边等于另一直角边一半3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB=10，则AC的长为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 204.在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为（）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°5.关于含30°的直角三角形，下列说法错误的是（）A.最小锐角为30°B.三边之比为$$1:\sqrt{3}:2$$C.短直角边对30°角D.长直角边等于斜边一半二、填空题（每题4分，共20分）1.在直角三角形中，30°角所对的________等于________的一半。2.逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为________°。3. Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，则斜边AB=________。4.直角三角形中，斜边是短直角边的2倍，则该短直角边对应的角为________°。5.含30°角的直角三角形中，两个锐角分别是________°和________°。三、解答题（共60分）1.（20分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，求BC的长。2.（20分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AB=8，求证：∠A=30°。3.（20分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，求证：AB=4AE。参考答案与详细解析一、选择题1.B解析：∠A=30°，对应的对边为BC，是直角边。2.B解析：定理原文：直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半。3.C解析：∠B=30°，对边AC=$$\frac12$$AB=$$\frac12$$×10=5。4.B解析：定理逆用：直角边=斜边一半 所对锐角=30°。5.D解析：短直角边（30°对边）=斜边一半，长直角边不等于斜边一半。二、填空题1.直角边、斜边2. 30 3. 12 4. 30 5. 30、60三、解答题1.解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°（已知），∴∠A所对的直角边BC=$$\frac12$$AB（直角三角形30°角性质定理）。∵AB=12，∴BC=$$\frac12$$×12=6。答：BC的长为6。2.证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AB=8，∴BC=$$\frac12$$AB。根据直角三角形性质逆定理：直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30°，∴∠A=30°。3.证明：∵AB=AC，∠BAC=120°（已知），∴∠B=∠C=30°（等边对等角）。∵AD⊥BC（已知），根据等腰三角形三线合一，∠ADB=90°，∠BAD=$$\frac12$$∠BAC=60°。在Rt△ABD中，∠B=30°，∴BD=$$\frac12$$AB（直角三角形30°角性质）。∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°。在Rt△BDE中，∠B=30°，∴BE=$$\frac12$$BD。代入BD=$$\frac12$$AB，得BE=$$\frac14$$AB，即AB=4BE。又∵∠BAD=60°，DE⊥AB，可得AE=BE，∴AB=4AE，得证。学习目标
1.探索含30°角的直角三角形的性质．（重点）
2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．（难点）
3.
问题1 如图，将两个含
30° 角的三角尺摆放在
一起，你能借助这个图
形，找到 Rt△ABC 的直
角边 BC 与斜边 AB 之间
的数量关系吗？(提示：请点击拼接和分离)
分离
拼接
A
B
C
D
A'
C'
问题2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？
A
B
C
D
如图，△ADC 是 △ABC 的轴对称图形，
因此 AB = AD，∠BAD = 2×30° = 60°，
从而△ABD 是一个等边三角形.
再由 AC⊥BD，
可得 BC = CD = BD = AB.
含 30° 角的直角三角形的性质
你还能用其他方法证明吗？
证明：在△ABC 中，∵∠ACB = 90°，∠A = 30°，∴∠B = 60°．
延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接AD，则△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD，
A
B
C
D
∴ BC = AB．　　
∴ BC = BD．　　
已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°. 求证：BC = AB．
证明方法：倍长法
证法1
E
A
B
C
证明2： 在 BA 上截取 BE = BC，连接 EC.
∵ ∠B = 60°，BE = BC.
∴ △BCE 是等边三角形.
∴ ∠BEC = 60°，BE = EC.
∵ ∠A = 30°，
∴ ∠ECA =∠BEC -∠A = 60° - 30° = 30°.
∴ AE = EC.
∴ AE = BE = BC，
∴ AB = AE + BE = 2BC.
∴BC = AB．　　
证明方法：截半法
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
应用格式：
∵ 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，　　
A
B
C
∴ BC = AB．　　
要点归纳
解析：在 Rt△ABC 中，∵ CD 是斜边 AB 上的高，∴∠ADC＝90°. ∴∠ACD＝∠B＝30°. 在 Rt△ACD 中，AC＝2AD＝6 cm. 在 Rt△ABC 中，AB＝2AC＝12 cm.
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，则AB的长度是 (　　)
A．3 cm B．6 cm
C．9 cm D．12 cm
注意：运用含 30° 角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
D
典例精析
例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA 交 OB 于 C，PD⊥OA 于 D，若 PC＝3，则 PD 等于 (　　)
A．3 B．2
C．1.5 D．1
解析：如图，过点 P 作 PE⊥OB 于 E.
∵ PC∥OA，
∴∠PCE＝∠AOB＝∠AOP＋∠BOP＝30°.
又∵ PC＝3，∴ PE＝1.5.
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，
∴ PD＝PE＝1.5.
E
C
方法总结：当题图中含 30° 角，与角平分线、垂直平分线的性质综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造出含 30° 角的直角三角形．
例3 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，过点 D 作 DE⊥AB，DE 恰好是∠ADB 的平分线．CD 与 DB 有怎样的数量关系？请说明理由．
解：
理由如下：∵ DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°.
∵ DE 是∠ADB 的平分线，
∴∠ADE＝∠BDE.
在 Rt△ACD 中，∵∠CAD＝30°，
∴ AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
∴ CD＝ AD＝ BD，即 CD＝ DB.
∵ AD 是∠BAC 的平分线，
又∵ DE＝DE，
∴△AED≌△BED (ASA).
方法总结：含 30° 角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，可联想到此性质．
想一想：图中 BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？
例4 如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 cm，∠A = 30° ，立柱 BC、DE 要多长？
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A = 30°，
∴ BC = AB，DE = AD.
∴ BC = AB = ×7.4 = 3.7 m .
又 AD = AB = 3.7 m，
∴ DE = AD = ×3.7 = 1.85 m.
答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m.
∴ CD = AC = ×20 = 10.
例5 如图，等腰三角形的底角为 15°，腰长为 20，求
腰上的高.
A
C
B
D
15°
15°
20
解：过 C 作 CD⊥BA，交 BA 的延长线于点 D.
∵∠B =∠ACB = 15° (已知)，
∴∠DAC =∠B +∠ACB
= 15° + 15° = 30°.
)
)
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含 30° 角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出 30° 角，利用含 30° 角的直角三角形的性质解决问题.
例6 如图，一艘船从 A 处出发，以每小时 10 海里的速度向正北航行，从 A 处测得一礁石 C 在北偏西 30° 的方向上.如果这艘轮船上午 8∶00 从 A 处出发，10∶00 到达 B 处，从 B 处测得礁石 C 在北偏西 60° 的方向上.
（1）画出礁石 C 的位置；
（2）求出 B 处到礁石 C 的距离.
B
C
30°
60°
A
D
解：(1)如图，以 B 为顶点，向北偏西 60°
作角， 这角一边与 AM 交于点 C，则 C 为礁石所在地.
M
(2)∵ ∠DBC =∠BAC +∠ACB，
∠BAC = 30°， ∠DBC = 60°，
∴ ∠ACB = 30°，即∠BAC =∠ACB，
∴ BC = AB ( 等角对等边)，
即 BC = AB = 10×(10 - 8) = 20 (海里).
答：B 处到礁石 C 的距离为 20 海里.
B
C
30°
60°
A
D
M
知识点1 等腰三角形的判定
1.如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有(　　)
A.3个　　
B.4个　　
C.5个　　
D.6个
(第1题)
返回
D
2.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为　　　。
海里.
(第2题)
返回
80
3.如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C.
(1)求证：∠BDF＝∠A；
【证明】∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C.
又∵∠EDF＝∠C，∴∠EDF＝∠AED.
∴DF∥AC.∴∠BDF＝∠A.
(2)若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状.
返回
【点拨】∵∠A＝45°，∠BDF＝∠A，∴∠BDF＝∠A＝45°.
又∵DF平分∠BDE，∴∠BDE＝2∠BDF＝90°.
∵DE∥BC，∴∠B＝180°－∠BDE＝90°.
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝45°＝∠A.
∴△ABC是等腰直角三角形.
【解】△ABC是等腰直角三角形.
知识点2 等边三角形的判定
4.下列条件不能判定△ABC是等边三角形的是(　　)
A.AB＝BC＝AC
B.∠A＝∠B＝∠C
C.AB＝AC，∠A＝60°
D.∠A＋∠B＝2∠C
D
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5.将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1，3，则线段AC的长为　　　cm.
2
【点拨】∵直尺的两条对边相互平行，∴∠ACB＝∠α＝60°.
又∵∠A＝60°，∴∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝60°，∴∠ABC＝∠A＝∠ACB，∴△ABC是等边三角形.
∴AC＝BC＝3－1＝2(cm).
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6.如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE.
(1)求证：△ABC≌△ADE；
【证明】在△ABC与△ADE中，∵
∴△ABC≌△ADE(SAS).
(2)若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数.
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【解】∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝60°，
∴AC＝AE，∠CAE＝∠BAC＝60°.
∴△ACE是等边三角形.∴∠ACE＝60°.
知识点3 含30°角的直角三角形的性质
7.如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝15°，D是AC上一点，连接BD，若∠ADB＝30°，AB＝4，则CD的长为(　　)
A.8　　
B.7　　
C.6　　
D.5
(第7题)
A
【点拨】在含特殊角的条件下求线段长的技巧：
在一些特殊角，如15°，30°，60°，120°等的条件下，通常要联想到构造含30°角的直角三角形，然后利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”求线段的长.
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(第7题)
8. 如图，等边三角形ABC的边长为6 cm，动点P从点A出发以2 cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P移动了　　s.
(第8题)
1
【点拨】设点P移动t s时，点D落在BC边上，如图所示，AP＝2t cm，BP＝(6－2t) cm.
∵△PQD是等边三角形，∴PQ＝PD，∠DPQ＝60°.
∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°，
∴∠BPD＝180°－∠APQ－∠DPQ＝180°－90°－60°＝30°.
∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°.∴∠BDP＝180°－∠B－∠BPD＝180°－60°－30°＝90°，
∴∠BDP＝∠APQ＝90°.∴△BDP≌△APQ(AAS).∴BD＝AP＝2t cm.又∵∠BDP＝90°，∠BPD＝30°，∴BD＝BP，即2t＝(6－2t)，∴t＝1.
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9. 已知点P是等边三角形ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为(　　)
A.14°　　 B.16°　　
C.24°　　 D.26°
B
【点拨】如图，过点P作PD∥AB，交AC于点D.
∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，
AC＝BC.∵PD∥AB，∴∠CPD＝∠B＝60°，∠CDP
＝∠BAC＝60°，∴∠ADP＝120°，△CDP为等边三
角形，∴CP＝DP＝CD，∴AD＝BP.∴△ADP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形.∵∠APC＝104°，∴∠APD＝∠APC－∠CPD＝44°，∠CAP＝180°－∠APC－∠C＝16°，∴以线段AP，BP，CP为边的三角形的三个内角分别为16°，44°，120°，∴最小内角的大小为16°.
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10. ［华师一附中自主招生］如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠BED＝60°，若BE＝3，DE＝1，则BC＝　　.
(第10题)
4
【点拨】如图，延长AD交BC于点N，延长ED交BC于点M，∵∠EBC＝∠BED＝60°，∴EM＝BM，∴△BEM是等边三角形，∴BE＝EM＝3＝BM，∠EMB＝60°.∵DE＝1，∴DM＝3－1＝2.∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，
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∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝90°－∠EMB＝30°，∴MN＝DM＝1，∴BN＝BM－MN＝3－1＝2，∴BC＝2BN＝4.
11. 如图，AC＝DC＝3，BD垂直于∠BAC的平分线AD，E为AC的中点，AD与BE交于点O，则图中两个阴影三角形
(△OBD与△OAE)的面积之差的最大值为　　　.
(第11题)
【点拨】如图，延长BD，AC交于点H.∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB＝AH.∵AD⊥BH，∴BD＝DH.∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD.
∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠H，∴CD＝CH＝AC.∵E为AC中点，∴AE＝EC＝AH，∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，∴S△ABE＝S△CDH.∵S△OBD－S△AOE＝S△ADB－S△ABE＝S△ADH－S△CDH＝S△ACD.∵AC＝CD＝3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝.
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12. ［2025福建］如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A，BE交CD于点G.
(1)求∠DCE的大小；
【解】∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°.
又∵D是AB的中点，
∴∠DCB＝∠DCA＝∠ACB＝30°.
∵CE⊥BC，∴∠BCE＝90°，
∴∠DCE＝∠BCE－∠DCB＝60°.
(2)求证：△CEG是等边三角形.
【证明】由平移可知，CD∥EF，
∴∠EAC＝∠DCA＝30°.
又∵∠ECA＝∠BCE－∠ACB＝30°，
∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，∠AEC＝120°.
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又∵AB＝CB，∴BE垂直平分AC，
∴∠GEC＝∠AEC＝60°.
由(1)知，∠GCE＝60°，∴∠EGC＝60°，
∴∠GEC＝∠GCE＝∠EGC，
∴△CEG是等边三角形.
13. 如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD.
(1)求证：△OCD是等边三角形.
【证明】∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC.
∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形.
(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由.
【解】△AOD是直角三角形.理由如下：
∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°.
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝150°－60°＝90°，∴△AOD是直角三角形.
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【解】∵△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°.∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°－∠AOB－∠BOC－∠COD＝360°－110°－α－60°＝190°－α，∠ADO ＝∠ADC－∠ODC＝α－60°，
返回
∴∠OAD＝180°－∠AOD－∠ADO＝180°－(190°－α)－(α－60°)＝50°.①当∠AOD＝∠ADO时，190°－α＝α－60°，∴α＝125°；②当∠AOD＝∠OAD时，190°－α＝50°，∴α＝140°；③当∠ADO＝∠OAD时，α－60°＝50°，∴α＝110°.综上所述，当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.
内容
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半
使用要点
含 30°角的直角三角形的性质
找准 30° 的角所对的直角边，点明斜边
注意
前提条件：直角三角形中

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