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天津市静海区独流中学2025-2026学年第二学期第二次检测高二数学试卷
一、单选题
1．若函数，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．已知二项式的展开式中二项式系数之和为64，则该展开式中常数项为
A．－20 B．－15 C．15 D．20
4．函数的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．1
5．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的比较，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知随机变量的分布列如下表所示，则（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
7．口袋中装有6个白球5个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出3个球，至少有一个红球的取法种数是（ ）
A．145 B．146 C．155 D．156
8．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，则（ ）
A．在上是增函数 B．在上是增函数
C．当时，有最小值 D．在定义域内无极值
10．已知函数，下列关于的四个命题：①函数在上是增函数；②函数的最小值为0；③如果时，则的最小值为2；④函数有1个零点．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．现将数列、立体几何、解析几何、导数、概率与统计这五道解答题排序，数列必须在第一道或者第二道位置，解析几何不能在第一道，则不同的题目排序方式有__________种．
12．袋中有四个红球，三个蓝球，现每次摸出一个球，不放回地摸取两次，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率为__________．
13．某公司为了了解某商品的月销售量（单位：万件）与月销售单价（单位：元）之间的关系，随机统计了5个月的销售量与销售单价，并制作了对照表：
月销售单价元 10 20 25 30 35
月销售量万件 16 13 10 6 5
由表中数据可得回归方程中，则______．
14．在含有4件次品的10件产品中，任取5件，表示取到的次品数，则__________．
15．曲线在处的切线方程为________.
16．若存在，使得不等式成立，则实数的最小值为______.
三、解答题
17．已知甲、乙、丙三人每人射中目标的概率均为，每人射中目标的概率均为，且每个人是否射中目标或目标互不影响．在一次射击比赛中，甲、乙、丙三人均依次射击目标和目标各一次．
(1)求甲至少射中一个目标的概率；
(2)记三人中两个目标均射中的人数为，求随机变量的概率分布和数学期望．
18．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间．
19．电视台对某时段收看综艺节目和新闻节目的观众进行抽样调查，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示（单位：人）．
收看综艺节目 收看新闻节目
20~40岁 45 10
40岁及以上 30 15
(1)从表中数据分析，是否有95%的把握认为在这一时段观众选择收看综艺节目还是新闻节目与年龄有关．
(2)现从所抽取的40岁及以上的电视观众中利用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取3人做访谈，求选取的3人中至少有2人在这一时段收看综艺节目的概率．
(3)将频率视为概率，从我市所有在这一时段收看综艺节目和新闻节目的观众中随机抽取20人，记其中收看新闻节目的观众数为X，求随机变量X的数学期望和方差．
参考公式：，其中．
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.811 6.635 7.879 10.828
20．已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)若，函数在上的最小值为2，求实数的值．
参考答案
1．B
【详解】由函数
可得.
2．A
【详解】.
故选：A.
3．C
【详解】二项式的展开式中二项式系数之和为64
当时，系数为15
故答案选C
4．D
【详解】因为，由，得或，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以在取到极小值，也是最小值，即.
5．D
【详解】由图知，都是正相关关系，都是负相关关系，
从散点密集程度看，相关性分别较更强，
所以.
故选：D
6．B
【详解】由条件可知，，得，
，
所以.
7．A
【详解】从11个球中任取3个球的取法共有种，其中没有红球，即全是白球的取法有种，则至少有一个红球的取法有种.
8．C
【详解】，又在点处的切线与直线垂直，
，解得．
9．C
【详解】对于ABD，因为，则，令，所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，故ABD错误；
对于C，当时，根据的单调性可知，，故C正确.
故选：C.
10．D
【详解】∵ 函数，定义域为，∴ .
分析命题①：当时，，，，
故，等号仅在处取得，
∴ 在上单调递增，命题①正确.
分析命题②：当时， ；
当时，，，故，
∴ 的最小值为，命题②正确.
分析命题③：令，得；令，得或，
∴ 在、上单调递减，在上单调递增，
∴ 的极大值为，
若时，则，即的最小值为，命题③正确.
分析命题④：令，恒成立，，解得，
∴ 仅有个零点，命题④正确.
综上，4个命题均正确，故选D.
11．42
【详解】数列在第一道位置时，解析几何没有要求，则有种；
数列在第二道位置时，解析几何不能在第一道，
则解析几何排在第3，4，5道的位置，则有种；
综上，共有种.
12．/0.5
【详解】设第一次摸到红球，第二次摸到蓝球.
第一次摸到红球的概率，
第一次摸到红球且第二次摸到蓝球的概率，
根据条件概率公式可得在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率为
.
13．21.28
【详解】已知，线性回归直线必过样本中心点，
计算样本均值：，.
将代入可得 .
14．
【详解】含有4件次品的10件产品中含有6件正品，
意思是从4件次品中任取3件且从6件正品中任取2件，
则.
15．
【详解】由题可知，
则，又，
所以切线方程为，即.
16．4
解：因为
所以
记
由题意知
因为
所以当时，；当时，
所以在单调递减，在单调递增
所以当时，
所以
所以实数的最小值为4
故答案为4.
17．(1)
(2)
0 1 2 3
【详解】（1）甲至少射中一个目标的概率为.
（2）每个人两个目标均射中的概率为，
的所有可能取值为，
，
，
，
，
所以随机变量的概率分布列为：
0 1 2 3
所以.
18．(1)
(2)单调递增区间为和，单调递减区间为
【详解】（1）∵ ，函数定义域为，
∴ ，即切点坐标为.
，
∴ 切线斜率.
由点斜式得切线方程为，整理得或.
（2）由(1)得，
∵ 对任意，恒成立，
∴ 的符号由二次函数的符号决定.
令，即，解得，.
∵ 二次函数开口向上，
∴ 当或时，，即，单调递增；
当时，，即，单调递减.
故的单调递增区间为和，单调递减区间为.
19．(1)没有的把握认为在这一时段观众选择收看综艺节目还是新闻节目与年龄有关
(2)
(3)，
【详解】（1）
所以没有的把握认为在这一时段观众选择收看综艺节目还是新闻节目与年龄有关.
（2）由题意，抽取的这9人中有6人在这一时段收看综艺节目，有3人收看新闻节目
记事件“选取的3人中至少有2人在这一时段收看综艺节目”，
则
（3）由题意，随机变量，所以，
.
20．(1)极大值为，极小值为
(2)
【详解】（1）当时，，．
令，
同理：或
所以：在单调递增，在单调递减，在单调递增．
当时，取得极大值；
当时，取得极小值．
（2）由题：，．
当时，，
故此时，在单调递增，．

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