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线面角的几何求法训练专题（答案附后）
知识梳理：直线和平面所成角的定义
（1）平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．
（2）如果一条直线垂直于平面，它们所成的角是________；如果一条直线和平面平行或在该平面上，就说二者所成的角是________的角．
（3）请问该角的范围是_______
专题练习：
一、单选题
1．已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点M为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为（ ）
A． B． C．1 D．
2．在正方体中，棱长为2，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，为圆锥底面直径，，若，则与圆锥底面所成角为（ ）
A． B． C． D．
4．如图1，在边长为2的正方形中，E、F分别为、中点，若沿、及把这个正方形折成一个四面体，使得B、C、D三点重合于S，得到四面体（图2），H为的中点，G为中点．下列结论错误的是（）
A．
B．直线与平面所成角的正切值为
C．四面体的内切球表面积为
D．过点G的平面截四面体的外接球所得截面圆面积取值范围是
5．已知正三棱台的上、下底面的面积分别为和， 侧棱与底面所成角的余弦值为， 则该正三棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．在一张半圆形纸片（圆心为内部剪掉一个小半圆形（圆心为，将剩余部分卷成一个圆台的侧面，则该圆台的母线与底面所成角的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆台上下底面半径之比为，母线与底面所成的角的正弦值为，圆台体积为，则该圆台的侧面面积为（ ）．
A． B． C． D．
8．在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（ ）
A． B．112 C． D．
二、多选题
9．如图，圆锥的底面半径为，高为，过靠近的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（ ）
A．圆锥母线与底面所成的角为
B．圆锥的侧面积为
C．挖去圆柱的体积为
D．剩下几何体的表面积为
10．如图所示，正方体中，给出以下判断，其中正确的有（ ）
A．面 B．
C．与是异面直线 D．与平面夹角正弦为
11．在正四棱柱中，则（ ）
A．平面
B．平面
C．四点不共面
D．与底面所成的角为
三、填空题
12．三棱台上下底面为正三角形，，侧面是底角为的等腰梯形，棱台的高为，则与平面所成角的正弦值为______.
13．是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是__________ ．
14．在三棱锥中，直线平面，，.设直线与平面所成的角为，则的最小值为______.
四、解答题
15．如图，已知正三棱柱中，，点为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的余弦值．
16．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
17．如图，在四棱锥中，平面，平面，，点是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的余弦值．
18．如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形， ，为的中点，平面.
(1)求证：；
(2)求与平面所成角的余弦值.
19．将边长为的正方形沿对角线折起，使得到达的位置，连接，得到三棱锥，且是棱的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
线面角的几何求法训练专题（解析版）
知识梳理：直线和平面所成角的定义
（1）平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．
（2）如果一条直线垂直于平面，它们所成的角是________；如果一条直线和平面平行或在该平面上，就说二者所成的角是________的角．
（3）直线和平面所成角的范围是_______
【答案】 锐角 直角 0°
专题练习：
一、单选题
1．已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点M为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【详解】连接交于点，连接，由正四棱锥的性质可知，，
取的中点，连接，
是中点，是中点，
，
底面，故底面，
是在底面的射影，是直线与底面所成角，

则，，，
.
底面，底面，
，即是直角三角形，
．
2．在正方体中，棱长为2，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方体的性质，找线面所成角，直接用公式求出正弦值.
【详解】分别作线段，的中点，，连接，，，
在正方体中，，分别为，的中点，
所以 平面，所以与平面所成角为，
因为，，，所以，
所以，所以.
3．如图，为圆锥底面直径，，若，则与圆锥底面所成角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】为圆锥底面直径,且，则是圆锥底面的圆心.
是圆锥的高，即圆锥底面，因此在底面的射影为，
所以与圆锥底面所成角为.
由题设，且，则是等腰直角三角形，
可得，即与圆锥底面所成角为
4．如图1，在边长为2的正方形中，E、F分别为、中点，若沿、及把这个正方形折成一个四面体，使得B、C、D三点重合于S，得到四面体（图2），H为的中点，G为中点．下列结论错误的是（）
A．
B．直线与平面所成角的正切值为
C．四面体的内切球表面积为
D．过点G的平面截四面体的外接球所得截面圆面积取值范围是
【答案】C
【详解】选项A，由题意得
又，面，面，所以面，
又面，A正确.
选项B，是中点，连接，
面，就是线面角；
，，
，B正确.
选项C，四面体体积：
表面积，，
，
内切球半径：
内切球表面积，C错误.
选项D，该四面体外接球等价于以为长宽高的长方体外接球，
；
是中点，，球心到距离
截面最小圆：截面，，
截面最大圆：过球心，，
截面面积，D正确.
5．已知正三棱台的上、下底面的面积分别为和， 侧棱与底面所成角的余弦值为， 则该正三棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设正三棱台的上下底面的中心分别为，证得平面，得到为直线与底面所成的角，求得正三棱台的高，结合棱台的体积公式，即可求解.
【详解】设正三棱台的上下底面等边三角形的中心分别为,
分别连接，过作的垂线，垂足为，则，
因为平面，所以平面，
所以为直线与底面所成的角，所以，
因为正三棱台的上下底面的面积分别为和，
即等边的边长为，等边的边长为，
可得，所以，
因为，可得，所以，
即正三棱台的高，
所以正三棱台的体积为.
6．在一张半圆形纸片（圆心为内部剪掉一个小半圆形（圆心为，将剩余部分卷成一个圆台的侧面，则该圆台的母线与底面所成角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设大半圆半径为，小半圆半径为，圆台上底面圆的半径为，圆台下底面圆的半径为，由题意求得，，过作垂直，可得底面圆，是母线与底面所成角，进而求解即可.
【详解】设大半圆半径为，小半圆半径为，则，
设圆台上底面圆的半径为，圆台下底面圆的半径为，
将此半圆环卷成圆台侧面时，展开的扇环大弧长，对应圆台底面周长，
所以，则；小弧长对应顶面周长，所以，则，
圆台母线长，过作垂直，则，所以底面圆，
则母线与底面所成角为，底面与顶面半径差为，
在直角三角形中，，所以，
所以，即母线与底面所成角的度数是．
7．已知圆台上下底面半径之比为，母线与底面所成的角的正弦值为，圆台体积为，则该圆台的侧面面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合圆台轴截面的几何性质，利用母线与底面夹角的三角函数关系得到高、母线长与底面半径的关系，再通过体积公式求出参数，最终计算侧面积.
【详解】作出圆台的轴截面如图所示，设圆台的上底面半径为，母线为，高为，
则下底面半径为，作，垂足为，则，
因为母线与底面所成的角的正弦值为，即，
则，
由，得，又因为，所以，
所以，解得，
即，所以圆台侧面积.
8．在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（ ）
A． B．112 C． D．
【答案】A
【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接，
则底面，过点作于点，则底面，
则即侧棱与底面的夹角,即，
因为，所以，
故，所以，
故该正四棱台的体积为.
二、多选题
9．如图，圆锥的底面半径为，高为，过靠近的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（ ）
A．圆锥母线与底面所成的角为
B．圆锥的侧面积为
C．挖去圆柱的体积为
D．剩下几何体的表面积为
【答案】BC
【分析】先根据圆锥底面半径与高求出母线长，判断母线与底面所成角，再用公式计算圆锥侧面积；再由截面位置，利用相似求出圆柱底面半径与高，计算其体积；最后分析挖去圆柱后几何体的表面积构成，判断各选项正误．
【详解】
对于A，如图，因为圆锥的底面半径为6，高为，所以母线长，
则，即圆锥母线与底面所成的角为，A错误；
对于B，圆锥的侧面积，B正确；
对于C，因为为的三等分点，所以，，
则圆柱的体积为，C正确；
对于D，圆柱的侧面积，
剩下几何体的表面积，D错误．
10．如图所示，正方体中，给出以下判断，其中正确的有（ ）
A．面 B．
C．与是异面直线 D．与平面夹角正弦为
【答案】ABC
【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A；根据正方体的几何性质可判断B；根据异面直线的定义可判断C；求出线面角可判断D.
【详解】对于A，因为，且，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，因为，所以四边形是平行四边形，
所以，故B正确；
对于C，因为平面，平面，
且与无公共点，所以与是异面直线，故C正确；
对于D，连接，因为平面，
所以为 与平面的夹角，
设正方体的棱长为2，
则，
可得，故D错误.
11．在正四棱柱中，则（ ）
A．平面
B．平面
C．四点不共面
D．与底面所成的角为
【答案】ABD
【分析】根据线面平行的判定定理判断A，根据线面垂直的判定定理判断B，根据两条平行线确定一个平面判断C，根据线面角的定义判断D.
【详解】如图，
因为，平面，平面，
所以平面，故A正确；
正四棱柱中，平面，平面，所以，
又四边形为正方形，所以，因为平面，
所以平面，故B正确；
在正四棱柱中，，所以，
故四点共面，故C错误；
因为平面，所以与底面所成的角为，
在中，，所以，故D正确.
三、填空题
12．三棱台上下底面为正三角形，，侧面是底角为的等腰梯形，棱台的高为，则与平面所成角的正弦值为______.
【答案】
【分析】由线面角的定义作出平面角，根据等体积法求出到平面的距离，再由正弦的定义求出正弦值.
【详解】过点作平面的垂线，垂足为，连接，
则与平面所成角为，
因为，侧面是底角为的等腰梯形，
所以等腰梯形的高，
因为，
因为，设点B到面的距离为，
根据，即，解得，
所以与平面所成角的正弦值为.
13．是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是__________ ．
【答案】
【分析】过上任一点作平面，则即为直线与平面所成角的平面角，根据线面垂直及三角形全等得到，结合三角函数求解即可.
【详解】如图，作出符合题意的图形，
在上任取一点并作平面，
则即为直线与平面所成角的平面角．
过点作，，.
因为平面，平面，所以，.
又平面，，所以平面，
又平面，所以，同理.
又，，所以，所以.
又，所以，所以.
设，在中，；在中，.
则.
即直线与平面所成角的正弦值为.
14．在三棱锥中，直线平面，，.设直线与平面所成的角为，则的最小值为______.
【答案】
【分析】根据线面角的定义，转化为求的最大值，利用正弦定理求的最大值.
【详解】因为平面，所以为直线与平面所成的角，
中，，，外接圆的半径为，
所以，
不妨设点为定点，点在以为弦，半径为的圆上运动，
所以的最大值为直径，
，当时，的最小值为.
四、解答题
15．如图，已知正三棱柱中，，点为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)连接交于点，连接，
因为三棱柱为正三棱柱，所以侧面为矩形，所以为的中点，
又因为点为的中点，所以在中，为中位线，故，
因为平面，平面，所以平面．
(2)
【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，从而得证；
（2）过点作，即可证明平面，则为与平面所成角，再由勾股定理求出，再由锐角三角函数计算可得.
【详解】（1）略.
（2）过点作，
在正三棱柱中，平面，，
因为平面，所以，
又为的中点，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，，所以平面，
所以为与平面所成角，
因为，点为的中点．
在中，，
所以，即与平面所成角的余弦值为．
16．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)因为，，
由余弦定理得，
即，解得或（舍），
因为，所以，
因为平面，平面，所以，
因为平面，且交于，
所以平面.
(2).
【分析】（1）利用余弦定理可得，根据勾股定理，可得，再利用线面垂直的性质可得，进而可得平面.
（2）取的中点，连接，可得为直线与平面所成角，利用勾股定理可得，，再利用余弦定理即可求得直线与平面所成角的余弦值．
【详解】（1）略.
（2）取的中点，连接，则，
因为平面，所以平面，
则为直线与平面所成角，
其中，故，
因为，，
由勾股定理得，故，
由勾股定理得，所以，
即直线与平面所成角的余弦值为．
17．如图，在四棱锥中，平面，平面，，点是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先得四边形是平行四边形，从而有，利用线面平行的判定定理可证结论.
（2）根据已知条件和（1）得平面，即可得.
【详解】（1）∵平面，平面，平面平面，
∴，即，又N是AD的中点，，
∴，则四边形是平行四边形，
∴，又平面，平面，
∴平面.
（2）由平面，且（1）知，则平面，
所以与平面所成角为，故其余弦值为0.
18．如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形， ，为的中点，平面.
(1)求证：；
(2)求与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）运用线面平行的判定定理与性质；
（2）通过线面垂直来确定射影，再求出相应的线段长度，从而求线面角的余弦值.
【详解】（1）因为，平面，平面，
所以平面，
而平面，平面平面，所以.
（2）如图，连接，
因为平面，平面，所以，
又因为，且平面，
所以平面.
由（1）得，且，则，
所以平面，又平面，所以.
因为为的中点，且，所以，
又平面，所以平面，
所以是在平面内的射影，为与平面所成角.
由且，为的中点，得，
因为平面，所以，故，即，
又因为且，所以，
所以，
所以与平面所成角的余弦值为.
19．将边长为的正方形沿对角线折起，使得到达的位置，连接，得到三棱锥，且是棱的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)证明：
取棱的中点，连接，
因为，且是线段的中点，所以，
因为，且是线段的中点，所以，
因为平面，平面，且，
所以平面.
因为平面，所以．
(2)
【分析】（1）取棱的中点，连接，先证明平面，再由线面垂直的定义即可得到；
（2）设，直线与平面所成的角为，先得到，利用换元法设，结合基本不等式求解即可．
【详解】（1）略．
（2）设，
在中，，，
则，
故，
作，垂足为，则，
由（1）知平面，则，
因为平面，平面，且，
所以平面，即点到平面的距离为，
因为是棱的中点，所以点到平面的距离，
设直线与平面所成的角为，
则，
设，则，
所以，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值的最大值是．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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