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吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县第一中学2025年中考三模数学试卷
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．点A在数轴上的位置如图所示，将点A向左移动3个单位长度得到点B，则点B表示的数是（　　）
A．4 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由题意可得，
∵点A向左移动3个单位长度得到点B，
∴点B代表的数字是：，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据数轴上点平移规律：左减右加，即可求出答案.
2．下面四个几何体中，俯视图是四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】A、圆柱的俯视图是矩形，是四边形，符合题意；
B、三棱锥的俯视图是三角形，不符合题意；
C、五棱柱的俯视图是五边形，不符合题意；
D、球的俯视图是圆，不符合题意．
故选A．
【分析】根据俯视图的定义，从几何体上方看到的平面图形即可解答.
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据二次根式的加减运算、二次根式的性质、二次根式的乘法运算逐一判断即可.
4．如图所示，一条笔直的公路，在这条公路两旁各有两个村庄C和D，现在要在公路边建一加油站E，使它到两村庄的距离之和最短，则这个加油站E应建在与的交点处，这种做法用数学知识解释是（　　）
A．两点确定一条直线 B．射线只有一个端点
C．两点之间，线段最短 D．两直线相交只有一个交点
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：公路边建一加油站E，使它到两村庄的距离之和最短，则这个加油站E应建在与的交点处，
这种做法用数学知识解释是：两点之间，线段最短．
故选：C．
【分析】根据两点之间线段最短即可求出答案．
5．如图，在中，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接，若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据尺规作图作线段垂线可得，
，平分，
根据垂直平分线性质得，
，
，
是的外角，
即，
，
，
故选D．
【分析】由基本尺规作图知EF垂直平分AB，则DA＝DB，再由等边对等得，再利用三角形外角的性质即可．
6．如图，将扇形沿折叠，使得点和点重合，已知，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】弧长的计算；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接，如图．由折叠性质可知，．
又，
为等边三角形，
．
，
的长为．
故选：A．
【分析】利用折叠的性质得出AC垂直平分OB，从而建立半径OA与线段OC的数量关系，再利用勾股定理求出扇形的半径，再根据边长关系求出圆心角的度数，最后代入弧长公式即可.
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．重庆市，简称“渝”，别称山城，是中华人民共和国直辖市，它的土地面积约为82400平方公里，数据82400用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：对于，
故答案为：．
【分析】将82400用科学记数法形式表示，其中为整数．确定和a的值.
8．某班有a名学生，现把一批图书分给全班学生阅读，如果每名学生分4本，还缺10本，那么这批图书共　 　本．
【答案】
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】 解：根据题意，得本，
故答案为：．
【分析】通过列代数式的方法来解决这道题目.
9．关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
∴实数的取值范围是：．
故答案为：．
【分析】需先计算一元二次方程的判别式，再根据方程有两个不相等的实数根列出不等式，求解得出c的取值范围.
10．如图，在菱形ABCD中∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，且DP＝1，则菱形的边长是　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】方法一：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB=CD=DA，∠BCD=∠BAD=60°，∠ACD=∠BAC=∠BAD=30°，OA=OC，AC⊥BD，
设CD=x，则DO=，
∴
∴，
由旋转的性质得：AE=AB=x，∠EAG=∠BAD=60°，
∴CE=AC-AE=，
∵四边形AEFG是菱形，
∴EF∥AG，
∴∠CEP=∠EAG=60°，
∴∠CEP+∠ACD=90°，
∴∠CPE=90°，
∴，PC=，
∵DP=1
∴
∴
解得，
∴菱形的边长是，
故答案为：．
方法二：连接AF
∵将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，∠BAD＝60°，
∴，，
∴
∵
∴A、D、F三点共线
∴，，
∵
∴（AAS）
∴
∵，
∴
∴
∴
∴菱形的边长是，
故答案为：．
【分析】首先根据菱形的性质得到一些角度和边长的关系，再利用旋转的性质得出对应角和对应边相等，然后通过在直角三角形中利用三角函数求出相关线段，最后根据线段之间的关系求出菱形的边长.
11．如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定与性质；平移的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过作轴于点，则，
由平移性质可知：，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
设，则，，
∴，解得：，
∴，，
∴，
∵点在第四象限，
∴，
故答案为：．
【分析】过点D作DE⊥y轴于点E，由平移性质可知AB=CD，AB∥CD，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形ABCD是平行四边形，进而根据“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”得四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得∠BAD=90°，BC=AD=2AB，根据同角的余角相等可得∠OBA=∠EAD，从而由“有两组角对应相等的两个三角形相似”得△OAB∽△EDA，由相似三角形对应边成比例得，设，则，，根据DA的长建立方程求得a的值，可得EA、ED及OE的长，从而可得点D的坐标.
三、解答题（本大题共11小题，共87分）
12．先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
当，时，原式
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先计算括号内的整式的乘法运算，再计算多项式除以单项式，单项式乘以多项式，再合并同类项得到化简的结果，最后代入计算即可.
13．随着科学技术的不断发展，无人机在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的7.5倍，120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时，求一架无人机平均每小时喷洒农药多少亩．
【答案】解：设一个人平均每小时喷洒农药亩，则一架无人机平均每小时喷洒农药亩，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：一架无人机平均每小时喷洒农药60亩．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】
设平均每个人每小时能够喷洒x亩农药，结合题目给出的数量关系，列出对应的分式方程可以进行求解.
14．剪纸传承的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念等，剪纸艺术遗产先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录，为体验和传承剪纸艺术，小华利用假期去学习了剪纸艺术，在老师的帮助下小华剪了如图所示的“A．鹿鹤同春、B．连年有余、C．龙腾盛世、D．喜鹊登梅”四幅剪纸，他把这四幅剪纸分别装在四个相同的不透明的袋子里．（B、C是圆形剪纸，A、D不是圆形剪纸）
（1）小华从四个袋子中随机抽取一个，抽到C．龙腾盛世的概率是 ；
（2）小华从四个袋子中随机抽取一个，不放回，再从剩下的三个袋子中随机抽取一个，请用画树状图或列表法，求小华抽到的均是圆形剪纸的概率
【答案】（1）
（2）解：由题意可得，树状图如图所示：
，
由图可得：总共有种情况，均是圆形剪纸的有2种情况，
∴，
∴小华抽到的均是圆形剪纸的概率为：．

【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
（1）
解：由题意可得，
抽到C．龙腾盛世的概率是：，
故答案为：；
【分析】
（1）利用概率公式计算得到结果；
（2）先画出树状图列举出所有等可能的结果，再找出满足要求的结果数量，最后将对应数值代入概率公式，即可计算出所求概率.
15．如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都为个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点，，都为格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图．
（1）在图中，画线段，且点为格点；
（2）在图中，找一格点，画出三角形，使得三角形的面积等于．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（1）如图中，点即为所求；
（2）如图中，即为所求．
【分析】（）观察点A、点C所在位置可发现，将点A先向下移动两个格点，在向右移动一个格点2即可得到C点，由此移动规律，可找到点D所在位置，连接CD即可；
（）要 使得三角形的面积等于 ，可构造三角形的底边和底边上的高分别为4和3即可，由点的位置可知，可构造当底边AC=4或底边BC=4时，底边上高恰好都为3，则满足要求的点有两个，满足要求的 三角形 也有两个.
16．数学兴趣小组的成员在观察点测得观察点在的正北方向，古树在的东北方向，；在处测得在的南偏东的方向上，已知在正北方向上，即，求古树，之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，，，
【答案】解：过作于，过作于，
∵，，点在的正北方向
∴四边形是矩形，
，，
，，
，
，
（米，
，
，
，
（米，
（米，
答：古树、之间的距离约为62.9米．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
过作，垂足为，再过作，垂足为，结合矩形的性质可以推出，，之后通过解直角三角形即可推导出最终结论.
17．如图，函数与的图象交于点，直线与函数的图象分别交于B，C两点．
（1）求a和b的值；
（2）求的长度；
（3）根据图象写出时x的取值范围（不需说明理由）．
【答案】（1）解：依题意，将代入，得．
点的坐标为．
将代入，得，即
（2）解：由（1）得．
当时，点的纵坐标为4．
当时，点的纵坐标为1．
．

（3）解：当时的取值范围是．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把x=2代入两个解析式，求出B、C的纵坐标解答即可解；
（3）借助图象得到直线在双曲线上方，且都大于零的自变量x的取值范围即可．
（1）解：依题意，将代入，得．
点的坐标为．
将代入，得，即．
（2）解：由（1）得．
当时，点的纵坐标为4．
当时，点的纵坐标为1．
．
（3）解：当时的取值范围是．
18．某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况．教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A．高锰酸钾制取氧气；B．电解水；C．木灰还原氧化铜；D．一氧化碳还原氧化铜；E．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）．
请结合统计图﹐回答下列问题：
（1）__________，E所对应的扇形圆心角是__________；
（2）请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有多少人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”．
【答案】（1）50；72
（2）解：（人）
答：该校九年级800名学生中有120人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
，
故答案为：50；72；
【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图中B的人数和占比可求抽取的人数，再减去其余人数即可求解；用乘以E的占比即可；
（2）用总人数乘以喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”的占比即可．
（1）解：，
，
故答案为：50；72；
（2）解：（人）
答：该校九年级800名学生中有120人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”．
19．近日，小米汽车惊艳上市，智能化和新能源越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，我校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象是折线；用普通充电器时，汽车电池电量（单位：） 与充电时间（单位：）的函数图象是线段． 根据以上信息，回答下列问题：
（1）普通充电器对该汽车每小时的充电量为 ．
（2）求与的函数解析式，并写出的取值范围．
（3）若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间
【答案】（1）
（2）解： 当时，
设线段的解析式为，
代入，，
得：，
解得：，
；
当时，
设线段的解析式为，
代入，，
得：，
解得，
，
与的函数解析式为；

（3）解：将该汽车电池电量从充至，用快速充电器可得：，
解得：；
普通充电器所用时间为：
（小时），
．
答：快速充电器比普通充电器少用时间为小时．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】
（1）解：由题意可知：
普通充电器对该汽车每小时的充电量为：，
故答案为：；
【分析】
（1）结合题目信息和图象即可直接计算得到结论；
（2）分阶段利用待定系数法求出对应的函数解析式即可；
（3）分别计算出使用快速充电器和普通充电器完成充电所需的时间，作差即可得到最终结果.
20．【问题出示】
（1）如图①，在等腰三角形中，，，点M是直线上的动点，线段的最小值是__________；
【问题探究】
（2）如图②，线段最短时，在（1）的条件下，线段是的角平分线，点P、Q分别在边、上运动，连接、，的最小值是__________；
【问题拓展】
（3）如图③，线段最 时，在（1）的条件下，点E在边上运动，连接，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，求线段的最小值．
【答案】（1）8（2）
（3）在上截取，连接，如图3，
∵，
∴，
∴，
由旋转可得，
∴，
∴，
当时，长最小，即长最小，
这时，
∴，
∴线段的最小值为4
【知识点】两点之间线段最短；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）当点M运动到时，线段值最小，
∵，，
∴，
故答案为：8；
（2）在边上截取，连接，如图②，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
即当P、D、M三点共线，而且时，最小，最小值为长，
∵，
又∵，
∴，
故的最小值为；
【分析】（1）利用垂线段最短，确定BM最小值的位置，结合含30°角的直角三角形性质求解；
（2）在边上截取，连接，则有，即可得到，当P、D、M三点共线，过点M作于点D时，最小，最小值为长，然后利用勾股定理解题即可；
（3）利用旋转变换确定点F的轨迹，通过构造全等三角形或分析轨迹直线的性质，将求线段MF的最小值转化为求点到直线的距离.
21．如图，在等边△ABC中，AB=BC=AC=6cm，点P从点B出发，沿B→C方向以1.5cm/s的速度运动到点C停止，同时点Q从点A出发，沿A→B方向以1cm/s的速度运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，连接PQ，过点P作BC的垂线，过点Q作BC的平行线，两直线相交于点M．设点P的运动时间为x（s），△MPQ与△ABC重叠部分的面积为y（cm2）（规定：线段是面积为0的图形）．
（1）当x= （s）时，PQ⊥BC；
（2）当点M落在AC边上时，x= （s）；
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）1.5；（2）3；
（3）当0≤x＜1.5时，过Q作QE⊥BC于E，
∵BQ=6-x，
∴QE=BQsin∠B=BQsin60°，而DP=BPtan∠B=BPtan60°，
y=S△BPQ-S△BPD
=
=
=；
当1.5≤x≤3时，过点Q作QD⊥BC于D，
可知：四边形QDPM为矩形，
∴QM=DP=BP-BD=BP-BQ·cos60°，
PM=MC·sin60°=BQ·sin60°，
则y=S△PQM
=
=
=；
当3＜x≤4时，
如图所示，过点Q作QE⊥BC于点E，
可知四边形QEPM为矩形，
∴QM=EP=BP-BE=BP-BQ·tan∠B=1.5x-（6-x）=2x-3，
∵QM∥BC，
∴△AQO为等边三角形，∠MON=∠C=60°，
∴AQ=OQ=AO=x，
∴OM=QM-OQ=2x-3-x=x-3，
∵PC=6-1.5x，∠C=60°，
∴NP=PC·tan∠C= PC·tan60°=，
∴MN=MP-NP=QE-NP=BQ·sin∠B-NP=（6-x）·sin60°-=，
y=S△PQM-S△NOM
=
=-（x-3）（）
=
故y关于x的函数解析式为.
【知识点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）当PQ⊥BC时，
BP=1.5x，BQ=6-x，
∴BQ=，即6-x=，
∴6-x=3x，
解得：x=1.5，
∴当x=1.5时，PQ⊥BC；
（2）∵△ABC是等边三角形，QM∥BC，
∴AQ=AM，BQ=CM，
PC=6-1.5x，CM=，
∴BQ=12-3x，AQ=x，
∴12-3x+x=6，
解得x=3，
∴当点M落在AC上时，x=3（s）；
【分析】（1）令PQ⊥BC，表示出BP和BQ的长，利用余弦的定义得出方程，求解即可；
（2）根据△ABC是等边三角形得出BQ=CM，表示出PC的长，结合余弦的定义得出方程，求解即可；
（3）根据（1）和（2）中结论，分0≤x＜1.5时，1.5≤x≤3时，3＜x≤4时三种情况画出图形，求出相应边长，可得函数解析式.
22．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点．抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交于点．点A是该抛物线上一点．点A在y轴右侧，横坐标为m，点B是该抛物线上异于点A的一点（点B不与点M重合）．点B的横坐标为，连接．以为边，点M为对称中心作．
（1）求该抛物线对应的函数解析式；
（2）当点A与抛物线的顶点重合时，直接写出点B的坐标；
（3）当的一条边与x轴平行时．求m的值；
（4）当的顶点C、D恰好落在同一象限内时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得，，解得：，
∴抛物线对应的函数表达式为
（2）
（3）解：当轴时，点A的纵坐标等于点的纵坐标，
∵点A的横坐标为，点的横坐标为，
∴，，即，
∴，解得，
此时点重合，不合题意；
当轴时，点与点的纵坐标相等，
∵点C是点A关于点的对称点，设点，
∴，解得：
∴，同理可得：
∴，整理得：，
解得或
（4）或
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；平行四边形的性质
【解析】【解答】（2）解：，
∴顶点为，
∵点A在y轴右侧，横坐标为m，点A与抛物线的顶点重合时，
∴，
∴点B的横坐标为，
∴，
∴
（4）
解：∵点A是该抛物线上一点，点A在轴右侧，横坐标为，
∴，
由（2）可得：，，
∵，
∴，即点C、D不可能同时在第一、四象限，
当在第二象限时，
有，解得：；
当在第三象限时，
有，解得该不等式无解；
∵的顶点不能重合，
∴
综上，或．
【分析】（1）利用待定系数法，结合对称轴公式和图象过点M求解即可；
（2）根据顶点坐标公式确定m的值，进而求出点B的坐标；
（3）利用平行四边形的性质（对边平行）及中心对称性质，分情况讨论边与x轴平行的条件，建立方程求解；
（4）根据点C、D坐标，结合象限的定义列出不等式组求解即可.
（1）解：由题意得，，解得：，
∴抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：，
∴顶点为，
∵点A在y轴右侧，横坐标为m，点A与抛物线的顶点重合时，
∴，
∴点B的横坐标为，
∴，
∴
（3）解：当轴时，点A的纵坐标等于点的纵坐标，
∵点A的横坐标为，点的横坐标为，
∴，，即，
∴，解得，
此时点重合，不合题意；
当轴时，点与点的纵坐标相等，
∵点C是点A关于点的对称点，设点，
∴，解得：
∴，同理可得：
∴，整理得：，
解得或；
（4）解：∵点A是该抛物线上一点，点A在轴右侧，横坐标为，
∴，
由（2）可得：，，
∵，
∴，即点C、D不可能同时在第一、四象限，
当在第二象限时，
有，解得：；
当在第三象限时，
有，解得该不等式无解；
∵的顶点不能重合，
∴
综上，或．
1 / 1吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县第一中学2025年中考三模数学试卷
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．点A在数轴上的位置如图所示，将点A向左移动3个单位长度得到点B，则点B表示的数是（　　）
A．4 B．3 C． D．
2．下面四个几何体中，俯视图是四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图所示，一条笔直的公路，在这条公路两旁各有两个村庄C和D，现在要在公路边建一加油站E，使它到两村庄的距离之和最短，则这个加油站E应建在与的交点处，这种做法用数学知识解释是（　　）
A．两点确定一条直线 B．射线只有一个端点
C．两点之间，线段最短 D．两直线相交只有一个交点
5．如图，在中，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接，若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，将扇形沿折叠，使得点和点重合，已知，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．重庆市，简称“渝”，别称山城，是中华人民共和国直辖市，它的土地面积约为82400平方公里，数据82400用科学记数法表示为　 　．
8．某班有a名学生，现把一批图书分给全班学生阅读，如果每名学生分4本，还缺10本，那么这批图书共　 　本．
9．关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的取值范围为　 　．
10．如图，在菱形ABCD中∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，且DP＝1，则菱形的边长是　 　．
11．如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是　 　．
三、解答题（本大题共11小题，共87分）
12．先化简，再求值：，其中，．
13．随着科学技术的不断发展，无人机在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的7.5倍，120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时，求一架无人机平均每小时喷洒农药多少亩．
14．剪纸传承的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念等，剪纸艺术遗产先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录，为体验和传承剪纸艺术，小华利用假期去学习了剪纸艺术，在老师的帮助下小华剪了如图所示的“A．鹿鹤同春、B．连年有余、C．龙腾盛世、D．喜鹊登梅”四幅剪纸，他把这四幅剪纸分别装在四个相同的不透明的袋子里．（B、C是圆形剪纸，A、D不是圆形剪纸）
（1）小华从四个袋子中随机抽取一个，抽到C．龙腾盛世的概率是 ；
（2）小华从四个袋子中随机抽取一个，不放回，再从剩下的三个袋子中随机抽取一个，请用画树状图或列表法，求小华抽到的均是圆形剪纸的概率
15．如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都为个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点，，都为格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图．
（1）在图中，画线段，且点为格点；
（2）在图中，找一格点，画出三角形，使得三角形的面积等于．
16．数学兴趣小组的成员在观察点测得观察点在的正北方向，古树在的东北方向，；在处测得在的南偏东的方向上，已知在正北方向上，即，求古树，之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，，，
17．如图，函数与的图象交于点，直线与函数的图象分别交于B，C两点．
（1）求a和b的值；
（2）求的长度；
（3）根据图象写出时x的取值范围（不需说明理由）．
18．某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况．教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A．高锰酸钾制取氧气；B．电解水；C．木灰还原氧化铜；D．一氧化碳还原氧化铜；E．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）．
请结合统计图﹐回答下列问题：
（1）__________，E所对应的扇形圆心角是__________；
（2）请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有多少人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”．
19．近日，小米汽车惊艳上市，智能化和新能源越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，我校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象是折线；用普通充电器时，汽车电池电量（单位：） 与充电时间（单位：）的函数图象是线段． 根据以上信息，回答下列问题：
（1）普通充电器对该汽车每小时的充电量为 ．
（2）求与的函数解析式，并写出的取值范围．
（3）若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间
20．【问题出示】
（1）如图①，在等腰三角形中，，，点M是直线上的动点，线段的最小值是__________；
【问题探究】
（2）如图②，线段最短时，在（1）的条件下，线段是的角平分线，点P、Q分别在边、上运动，连接、，的最小值是__________；
【问题拓展】
（3）如图③，线段最 时，在（1）的条件下，点E在边上运动，连接，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，求线段的最小值．
21．如图，在等边△ABC中，AB=BC=AC=6cm，点P从点B出发，沿B→C方向以1.5cm/s的速度运动到点C停止，同时点Q从点A出发，沿A→B方向以1cm/s的速度运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，连接PQ，过点P作BC的垂线，过点Q作BC的平行线，两直线相交于点M．设点P的运动时间为x（s），△MPQ与△ABC重叠部分的面积为y（cm2）（规定：线段是面积为0的图形）．
（1）当x= （s）时，PQ⊥BC；
（2）当点M落在AC边上时，x= （s）；
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
22．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点．抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交于点．点A是该抛物线上一点．点A在y轴右侧，横坐标为m，点B是该抛物线上异于点A的一点（点B不与点M重合）．点B的横坐标为，连接．以为边，点M为对称中心作．
（1）求该抛物线对应的函数解析式；
（2）当点A与抛物线的顶点重合时，直接写出点B的坐标；
（3）当的一条边与x轴平行时．求m的值；
（4）当的顶点C、D恰好落在同一象限内时，直接写出m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由题意可得，
∵点A向左移动3个单位长度得到点B，
∴点B代表的数字是：，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据数轴上点平移规律：左减右加，即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】A、圆柱的俯视图是矩形，是四边形，符合题意；
B、三棱锥的俯视图是三角形，不符合题意；
C、五棱柱的俯视图是五边形，不符合题意；
D、球的俯视图是圆，不符合题意．
故选A．
【分析】根据俯视图的定义，从几何体上方看到的平面图形即可解答.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据二次根式的加减运算、二次根式的性质、二次根式的乘法运算逐一判断即可.
4．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：公路边建一加油站E，使它到两村庄的距离之和最短，则这个加油站E应建在与的交点处，
这种做法用数学知识解释是：两点之间，线段最短．
故选：C．
【分析】根据两点之间线段最短即可求出答案．
5．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据尺规作图作线段垂线可得，
，平分，
根据垂直平分线性质得，
，
，
是的外角，
即，
，
，
故选D．
【分析】由基本尺规作图知EF垂直平分AB，则DA＝DB，再由等边对等得，再利用三角形外角的性质即可．
6．【答案】A
【知识点】弧长的计算；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接，如图．由折叠性质可知，．
又，
为等边三角形，
．
，
的长为．
故选：A．
【分析】利用折叠的性质得出AC垂直平分OB，从而建立半径OA与线段OC的数量关系，再利用勾股定理求出扇形的半径，再根据边长关系求出圆心角的度数，最后代入弧长公式即可.
7．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：对于，
故答案为：．
【分析】将82400用科学记数法形式表示，其中为整数．确定和a的值.
8．【答案】
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】 解：根据题意，得本，
故答案为：．
【分析】通过列代数式的方法来解决这道题目.
9．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
∴实数的取值范围是：．
故答案为：．
【分析】需先计算一元二次方程的判别式，再根据方程有两个不相等的实数根列出不等式，求解得出c的取值范围.
10．【答案】
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】方法一：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB=CD=DA，∠BCD=∠BAD=60°，∠ACD=∠BAC=∠BAD=30°，OA=OC，AC⊥BD，
设CD=x，则DO=，
∴
∴，
由旋转的性质得：AE=AB=x，∠EAG=∠BAD=60°，
∴CE=AC-AE=，
∵四边形AEFG是菱形，
∴EF∥AG，
∴∠CEP=∠EAG=60°，
∴∠CEP+∠ACD=90°，
∴∠CPE=90°，
∴，PC=，
∵DP=1
∴
∴
解得，
∴菱形的边长是，
故答案为：．
方法二：连接AF
∵将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，∠BAD＝60°，
∴，，
∴
∵
∴A、D、F三点共线
∴，，
∵
∴（AAS）
∴
∵，
∴
∴
∴
∴菱形的边长是，
故答案为：．
【分析】首先根据菱形的性质得到一些角度和边长的关系，再利用旋转的性质得出对应角和对应边相等，然后通过在直角三角形中利用三角函数求出相关线段，最后根据线段之间的关系求出菱形的边长.
11．【答案】
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定与性质；平移的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过作轴于点，则，
由平移性质可知：，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
设，则，，
∴，解得：，
∴，，
∴，
∵点在第四象限，
∴，
故答案为：．
【分析】过点D作DE⊥y轴于点E，由平移性质可知AB=CD，AB∥CD，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形ABCD是平行四边形，进而根据“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”得四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得∠BAD=90°，BC=AD=2AB，根据同角的余角相等可得∠OBA=∠EAD，从而由“有两组角对应相等的两个三角形相似”得△OAB∽△EDA，由相似三角形对应边成比例得，设，则，，根据DA的长建立方程求得a的值，可得EA、ED及OE的长，从而可得点D的坐标.
12．【答案】解：
当，时，原式
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先计算括号内的整式的乘法运算，再计算多项式除以单项式，单项式乘以多项式，再合并同类项得到化简的结果，最后代入计算即可.
13．【答案】解：设一个人平均每小时喷洒农药亩，则一架无人机平均每小时喷洒农药亩，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：一架无人机平均每小时喷洒农药60亩．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】
设平均每个人每小时能够喷洒x亩农药，结合题目给出的数量关系，列出对应的分式方程可以进行求解.
14．【答案】（1）
（2）解：由题意可得，树状图如图所示：
，
由图可得：总共有种情况，均是圆形剪纸的有2种情况，
∴，
∴小华抽到的均是圆形剪纸的概率为：．

【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
（1）
解：由题意可得，
抽到C．龙腾盛世的概率是：，
故答案为：；
【分析】
（1）利用概率公式计算得到结果；
（2）先画出树状图列举出所有等可能的结果，再找出满足要求的结果数量，最后将对应数值代入概率公式，即可计算出所求概率.
15．【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（1）如图中，点即为所求；
（2）如图中，即为所求．
【分析】（）观察点A、点C所在位置可发现，将点A先向下移动两个格点，在向右移动一个格点2即可得到C点，由此移动规律，可找到点D所在位置，连接CD即可；
（）要 使得三角形的面积等于 ，可构造三角形的底边和底边上的高分别为4和3即可，由点的位置可知，可构造当底边AC=4或底边BC=4时，底边上高恰好都为3，则满足要求的点有两个，满足要求的 三角形 也有两个.
16．【答案】解：过作于，过作于，
∵，，点在的正北方向
∴四边形是矩形，
，，
，，
，
，
（米，
，
，
，
（米，
（米，
答：古树、之间的距离约为62.9米．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
过作，垂足为，再过作，垂足为，结合矩形的性质可以推出，，之后通过解直角三角形即可推导出最终结论.
17．【答案】（1）解：依题意，将代入，得．
点的坐标为．
将代入，得，即
（2）解：由（1）得．
当时，点的纵坐标为4．
当时，点的纵坐标为1．
．

（3）解：当时的取值范围是．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把x=2代入两个解析式，求出B、C的纵坐标解答即可解；
（3）借助图象得到直线在双曲线上方，且都大于零的自变量x的取值范围即可．
（1）解：依题意，将代入，得．
点的坐标为．
将代入，得，即．
（2）解：由（1）得．
当时，点的纵坐标为4．
当时，点的纵坐标为1．
．
（3）解：当时的取值范围是．
18．【答案】（1）50；72
（2）解：（人）
答：该校九年级800名学生中有120人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
，
故答案为：50；72；
【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图中B的人数和占比可求抽取的人数，再减去其余人数即可求解；用乘以E的占比即可；
（2）用总人数乘以喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”的占比即可．
（1）解：，
，
故答案为：50；72；
（2）解：（人）
答：该校九年级800名学生中有120人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”．
19．【答案】（1）
（2）解： 当时，
设线段的解析式为，
代入，，
得：，
解得：，
；
当时，
设线段的解析式为，
代入，，
得：，
解得，
，
与的函数解析式为；

（3）解：将该汽车电池电量从充至，用快速充电器可得：，
解得：；
普通充电器所用时间为：
（小时），
．
答：快速充电器比普通充电器少用时间为小时．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】
（1）解：由题意可知：
普通充电器对该汽车每小时的充电量为：，
故答案为：；
【分析】
（1）结合题目信息和图象即可直接计算得到结论；
（2）分阶段利用待定系数法求出对应的函数解析式即可；
（3）分别计算出使用快速充电器和普通充电器完成充电所需的时间，作差即可得到最终结果.
20．【答案】（1）8（2）
（3）在上截取，连接，如图3，
∵，
∴，
∴，
由旋转可得，
∴，
∴，
当时，长最小，即长最小，
这时，
∴，
∴线段的最小值为4
【知识点】两点之间线段最短；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）当点M运动到时，线段值最小，
∵，，
∴，
故答案为：8；
（2）在边上截取，连接，如图②，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
即当P、D、M三点共线，而且时，最小，最小值为长，
∵，
又∵，
∴，
故的最小值为；
【分析】（1）利用垂线段最短，确定BM最小值的位置，结合含30°角的直角三角形性质求解；
（2）在边上截取，连接，则有，即可得到，当P、D、M三点共线，过点M作于点D时，最小，最小值为长，然后利用勾股定理解题即可；
（3）利用旋转变换确定点F的轨迹，通过构造全等三角形或分析轨迹直线的性质，将求线段MF的最小值转化为求点到直线的距离.
21．【答案】（1）1.5；（2）3；
（3）当0≤x＜1.5时，过Q作QE⊥BC于E，
∵BQ=6-x，
∴QE=BQsin∠B=BQsin60°，而DP=BPtan∠B=BPtan60°，
y=S△BPQ-S△BPD
=
=
=；
当1.5≤x≤3时，过点Q作QD⊥BC于D，
可知：四边形QDPM为矩形，
∴QM=DP=BP-BD=BP-BQ·cos60°，
PM=MC·sin60°=BQ·sin60°，
则y=S△PQM
=
=
=；
当3＜x≤4时，
如图所示，过点Q作QE⊥BC于点E，
可知四边形QEPM为矩形，
∴QM=EP=BP-BE=BP-BQ·tan∠B=1.5x-（6-x）=2x-3，
∵QM∥BC，
∴△AQO为等边三角形，∠MON=∠C=60°，
∴AQ=OQ=AO=x，
∴OM=QM-OQ=2x-3-x=x-3，
∵PC=6-1.5x，∠C=60°，
∴NP=PC·tan∠C= PC·tan60°=，
∴MN=MP-NP=QE-NP=BQ·sin∠B-NP=（6-x）·sin60°-=，
y=S△PQM-S△NOM
=
=-（x-3）（）
=
故y关于x的函数解析式为.
【知识点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）当PQ⊥BC时，
BP=1.5x，BQ=6-x，
∴BQ=，即6-x=，
∴6-x=3x，
解得：x=1.5，
∴当x=1.5时，PQ⊥BC；
（2）∵△ABC是等边三角形，QM∥BC，
∴AQ=AM，BQ=CM，
PC=6-1.5x，CM=，
∴BQ=12-3x，AQ=x，
∴12-3x+x=6，
解得x=3，
∴当点M落在AC上时，x=3（s）；
【分析】（1）令PQ⊥BC，表示出BP和BQ的长，利用余弦的定义得出方程，求解即可；
（2）根据△ABC是等边三角形得出BQ=CM，表示出PC的长，结合余弦的定义得出方程，求解即可；
（3）根据（1）和（2）中结论，分0≤x＜1.5时，1.5≤x≤3时，3＜x≤4时三种情况画出图形，求出相应边长，可得函数解析式.
22．【答案】（1）解：由题意得，，解得：，
∴抛物线对应的函数表达式为
（2）
（3）解：当轴时，点A的纵坐标等于点的纵坐标，
∵点A的横坐标为，点的横坐标为，
∴，，即，
∴，解得，
此时点重合，不合题意；
当轴时，点与点的纵坐标相等，
∵点C是点A关于点的对称点，设点，
∴，解得：
∴，同理可得：
∴，整理得：，
解得或
（4）或
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；平行四边形的性质
【解析】【解答】（2）解：，
∴顶点为，
∵点A在y轴右侧，横坐标为m，点A与抛物线的顶点重合时，
∴，
∴点B的横坐标为，
∴，
∴
（4）
解：∵点A是该抛物线上一点，点A在轴右侧，横坐标为，
∴，
由（2）可得：，，
∵，
∴，即点C、D不可能同时在第一、四象限，
当在第二象限时，
有，解得：；
当在第三象限时，
有，解得该不等式无解；
∵的顶点不能重合，
∴
综上，或．
【分析】（1）利用待定系数法，结合对称轴公式和图象过点M求解即可；
（2）根据顶点坐标公式确定m的值，进而求出点B的坐标；
（3）利用平行四边形的性质（对边平行）及中心对称性质，分情况讨论边与x轴平行的条件，建立方程求解；
（4）根据点C、D坐标，结合象限的定义列出不等式组求解即可.
（1）解：由题意得，，解得：，
∴抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：，
∴顶点为，
∵点A在y轴右侧，横坐标为m，点A与抛物线的顶点重合时，
∴，
∴点B的横坐标为，
∴，
∴
（3）解：当轴时，点A的纵坐标等于点的纵坐标，
∵点A的横坐标为，点的横坐标为，
∴，，即，
∴，解得，
此时点重合，不合题意；
当轴时，点与点的纵坐标相等，
∵点C是点A关于点的对称点，设点，
∴，解得：
∴，同理可得：
∴，整理得：，
解得或；
（4）解：∵点A是该抛物线上一点，点A在轴右侧，横坐标为，
∴，
由（2）可得：，，
∵，
∴，即点C、D不可能同时在第一、四象限，
当在第二象限时，
有，解得：；
当在第三象限时，
有，解得该不等式无解；
∵的顶点不能重合，
∴
综上，或．
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