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七宝中学2025-2026学年第二学期高一5月数学练习
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．扇形半径为6，弧长为4，则面积为________．
2．若角的终边过点，则______．
3．计算： ________
4．函数的最小正周期为______.
5．已知，，则的最小值为________.
6．已知 ，，则在方向上的投影向量的坐标为 ______.
7．已知非零向量满足，则___________．
8．在斜内，内角所对的边分别为，若，则_____________．
9．在中，已知是重心，三内角、、的对边分别为、、，且.则______.
10．若函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是____________.
11．已知正 边形 内接于单位圆 ，且满足 的顶点 恰有 个.若等腰直角 （为直角顶点） 的顶点 在圆 上，并考虑所有满足要求的正 边形与等腰直角 ，则 的最大值为 ______.
12．已知复数 满足 ，，，则下列三个等式中恒成立的为 ______（填写序号）.
①；②；③.
二、选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）
13．已知是等差数列，且，，则首项（ ）
A． B． C． D．
14．已知中，，则（ ）
A． B． C． D．
15． 中， 是 中点， 是 中点，则下述两个命题的判断，正确的为 （ ）
命题①：存在 ，使得
命题②：存在 ，使得
A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假
16．已知，且不全相等的三个复数满足，记复平面上对应的点分别为 ，则三个点 （ ）
A．可能构不成三角形 B．可构成锐角三角形
C．可构成直角三角形 D．可构成钝角三角形
三、解答题（共78分）
17．已知复数满足.
(1)求；
(2)已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，分别求 的值.
18．如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．假设．
(1)设、，若、、三点共线，求实数的值；
(2)设，求的面积．
19．某新能源汽车购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费用共0.9万元，汽车的保养维修费如下：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增.
(1)设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为，写出的表达式；
(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年的年平均费用最少）？年平均费用的最小值是多少？
20．设，函数.
(1)当时，求函数的值域；
(2)讨论函数的零点个数；
(3)若函数恰有两个零点，证明：.
21．已知数列 ，设 .若 满足“存在常数 ，对任意两两不同的正整数，有 ”，则称 具有性质.
(1)若 ，判断数列 是否具有性质（无需说明理由）.
(2)若 ，判断数列 是否具有性质，并说明理由.
(3)若数列 具有性质 ，判断 是否一定为等差数列，并说明理由.
1．12
由题意扇形，弧长，
代入公式计算得： .
2．##
根据三角函数诱导公式整理原式，再结合三角函数定义求解.
由三角函数诱导公式，可得.
已知角的终边过点，设点的横坐标，纵坐标，
该点到原点的距离：，
根据任意角三角函数的定义，，
所以.
3．##
.
4．
根据正切函数周期即可求解.
由于函数的最小正周期为，
所以的最小正周期为.
5．2
由向量三角不等式可知：当与方向相反时，有最小值，
所以的最小值为.
6．
根据向量的数量积、向量的模及投影向量的计算公式求解即可.
在方向上的投影向量为.
7．
，
，
设，
则，
．
8．
根据三角恒等变换得，再根据余弦定理，正弦定理角化边得，最后根据已知条件即可求得答案.
因为，所以
所以
因为，，为外接圆半径，
所以
因为，
所以，
9．
因为，所以.
故.
设，则，.
由余弦定理得.
因此，.
故答案为
10．
利用换元法结合三角函数图象来列出限制条件可得答案.
令，
∵函数在区间恰有2个零点，
∴有两个根，
即与有2个公共点，如图，
则且，所以.
所以的取值范围是.
11．
题意条件可转化为的顶点的个数仅3个，可先根据向量模长公式得出向量夹角的范围，利用正n边形的性质可得，即，再利用向量加法将转化为，进而利用等腰直角三角形与圆的性质，结合三角函数辅助角公式求最值即可.
由题知正n边形顶点为，设和夹角为，
由题意可得，满足的顶点仅3个，
不等式两边平方可得，
因为正n边形内接于单位圆O，
所以，且，
所以，则，故，
故满足条件的顶点只能为这三个，
所以有，解得，故；
所以.
下面求的最大值.
如图，由等腰直角三角形中，取中点，连接，
则，，故三点共线，设，
则，，
所以，当时，等号成立，
故，
且当时，取到最大值.
12．①②③
利用共轭复数的性质可求判断各结论均恒成立.
对于①，，
而，故，
所以
，
故，故①恒成立，
对于③，因为，故，故，
故，而，
故，，
所以，故，故③恒成立，
对于②，由③的分析可得，
若，则，从而，
若，则，
综上，②恒成立.
13．C
结合等差数列的通项公式列方程组求解即可.
设等差数列的公差为，则.
由，得，即.
联立解得，.
14．A
由已知结合同角三角函数的基本关系求出，，然后结合诱导公式以及和差角公式进行化简即可求解.
因为在中，，，
所以，，
因为，为锐角，所以，
若，则为钝角，又可知，，此时，矛盾，
故，则.
15．B
由得，进而判断①，取的中点，连接，由，得，进而得三点共线，则，进而判断②.
由题意得：，
对①，由，得，
所以，所以，
即当 满足时，使得 ，故①真；
对②，取的中点，连接，则，若，则可得，
所以三点共线，因为，所以，这显然不可能，
所以不存在，使得，故②假.
16．B
由题意可得，反证法可证明，可得不重合，利用反证法证明不共线判断A；设，计算可得对应三角形三边之比为，利用余弦定理计算可判断BCD.
由，
得，
所以，
若，则可得，
进而可得，
所以，又因为，所以，
所以，所以，所以，
这与不全相等的三个复数 ，故，同理可得，，
所以三点不重合，
若共线，则，
则可得，
所以，
因为，所以，所以可得，
这与三点不重合矛盾，所以三点不共线，
所以三点一定可构成三角形，故A错误.
设，
则，所以，
所以，
所以，
所以，
同理可得，
即三角形的三边之比为，
所以，所以为锐角，
同理为锐角，故B正确，CD错误.
17．(1)
(2)
（1）设复数，利用复数的运算和复数相等解出即可求解；
（2）根据已知条件，推得也为实系数一元二次方程的一个根，再结合韦达定理，即可求解.
（1）设复数，所以，
又，
所以，解得，
所以；
（2）由题意得：是关于的实系数一元二次方程的一个根，
所以也是实系数一元二次方程的另一个根，
所以，解得.
18．(1)
(2)
（1）根据已知条件表示，根据求出，根据三点共线得出，进而利用平面向量基本定理构造方程组求解；
（2）根据平面向量数量积的定义求出，进而求出，进而利用向量夹角余弦公式计算求出，进而求出，再利用三角形面积公式计算求解．
（1）已知、，
则，，
又，
，，
又、、三点共线，则存在实数使得，
即，
由平面向量基本定理得，解得，
实数的值．
（2）由平面向量数量积的定义可得，
由题意可得，
，
同理，
，
，
又，
，
．
19．(1)；
(2)12年，万元.
（1）根据给定条件，利用等差数列前n项和公式，即可得到的表达式.
（2）由（1）的结论，求出使用n年平均费用表达式，再利用基本不等式，求解即得.
（1）依题意，汽车每年的保养维修费构成以0.2为首项，0.2为公差的等差数列，
所以
，.
（2）设该车的年平均费用为S万元，
，
则有仅当，即时取等号，
所以汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是万元.
20．(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
（1）化简函数，令，利用二次函数的性质计算值域；
（2）化简函数，令，得到，结合，得到，分类讨论，结合余弦函数的性质，即可求解；
（3）由有两个零点可得，再结合余弦函数的性质即可证明.
（1），
令，则，
因为的值域为，
即的值域为；
（2）易知，
令，则，
令，则.
当或，即或时，（*）无解，故无零点；
当，即时，（*）仅一解，故仅有一个零点；
当，即时，（*）有两解，
，故有两个零点.
（3）若恰有两个零点，令，
所以为方程的两个根，所以，
所以，由于，所以，
所以，所以，
即，而，
所以，因为在上单调递减，
所以，即.
21．(1)数列不具有性质.
(2)数列具有性质，理由见解析.
(3) 一定为等差数列，理由见解析.
（1）取特殊值代入检验判断即可.
（2）先根据求出，然后将代入表达式进行判断即可.
（3）先通过赋值求出的通项公式，然后求出的通项公式，然后判断是否为等差数列即可.
（1），是以为首项，公比为的等比数列，其前项和，.
取代入计算.
再取代入计算.
两次计算结果不相等，不存在常数满足性质的定义，故不具有性质.
（2），是以为首项，公差为的等差数列，其前项和，.
将代入表达式： .
故存在满足性质的定义，故数列具有性质.
（3）具有性质，
故对任意两两不同的正整数，有 ，
同理两两不同的正整数，有，故.
由性质的定义知，
，再令，记数列的前项和为，
则有，
故，，
故.
作差可得，
故，其中，
而，故，故满足此式，
，故满足此式，
综上，，其中，
故，故是等差数列.

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