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湖南省张家界市桑植县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．将四个数字看作一个图形，则下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A．6666 B．9999 C．6669 D．6699
2．在平面直角坐标系中，点 在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得，则两点间的距离为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．某校八年级班名学生的健康状况被分成组，第组的频数是，第，组的频率之和为，第组的频率是，则第组的频数是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，于点，于点，，，，则的长为（　　）
A．10 B．9 C．8.4 D．8
7．点关于y轴的对称点是（　　）
A． B． C． D．
8．常数与一样是常用的无理数． ． 在数字“”中“”出现的频数和频率分别是（　　）
A．， B．， C．12，4 D．，
9．下列四组数中，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．9，12，15 C．5，6，7 D．7，24，25
10．在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫作点的终结点，已知的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，……，这样依次得到点，，，，…，，若点的坐标是，则点的坐标是（　　）
A． B．（-4，-1） C．（0，-3） D．（2，1）
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，，若利用证明，需添加的条件是　 　．（写出一种即可）
12．若n边形内角和为900°，则边数n=　 　．
13．将直线向下平移2个单位，所得直线的表达式是　 　．
14．古代有“偃矩以望高”的测高方法，图1是测量工具“矩”，小亮同学利用“矩”测量某物体的高度（如图2）．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，且A，C，E三点在同一直线上，，米，若点B恰为线段的中点，则此物体的高度为　 　米．
15．某班学生参加学校组织的“垃圾分类”知识竞赛，将学生成绩制成如图所示的频数分布直方图(每组数据包括左端值不包括右端值)，其中成绩为“优良”（80分及80分以上）的学生有　 　人．
16．如图，菱形的周长为40，对角线，相交于点O，若点E是的中点， 则的长是　 　
17．直角三角形两直角边长分别为3和，则斜边上的高为　 　．
18．围棋是中华民族发明的迄今最久远的智力博弈活动之一．图中棋局都是由同样大小的黑棋、白棋按一定规律组成的，其中第①个图形中白棋有1枚，黑棋有8枚；第②个图形中白棋有2枚，黑棋有12枚；第③个图形中白棋有3枚，黑棋有16枚，……按此规律排列，若某个图形中白棋有x枚，黑棋有y枚，则y与x的关系可以表示为　 　．
三、解答题（共8小题，共66分）
19．已知是的一次函数，当时，；当时，．
（1）求与之间的函数解析式；
（2）当为何值时，？
20．如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
21．如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，与相交于点O，且．求证：．
22．如图，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交，于点E，F．
（1）求证：；
（2）当时，，分别连接，，求此时四边形的周长．
23．如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且．
（1）求证：；
（2）试判断与之间存在的数量关系．并说明理由．
24．如图，直线交两坐标轴于点，．
（1）求直线的解析式；
（2）点C的坐标为，连接．证明：且线段．
25．如图，在中，，，．动点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒（）．
（1）=_______ ，=_______度．
（2）当时，_______， _______．（用含t的式子表示）
（3）是否存在t值，使以点P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
26．综合与实践：
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接．
（1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①______°；
②线段，，之间的数量关系为______．
【深入探究】
如图2，将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接，．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示．
（2）小明通过观察图形，得出．请判断其是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】选项A：6666旋转180度后是9999，与原图不重合，故A项不符合要求，
选项B：9999旋转180度后是6666，与原图不重合，故B项不符合要求，
选项C：6669旋转180度后是6999，与原图不重合，故C项不符合要求，
选项D：6699旋转180度后是6699，与原图重合，故D项符合要求，
故选：D．
【分析】
根据中心对称图形的定义，图形绕对称中心旋转180度后与原图重合，即是中心对称图形．
2．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点（1，2）所在的象限是第一象限.
故答案为：A.
【分析】由点A的横纵坐标的符号，可判断出点A所在的象限.
3．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，点是斜边的中点，
∴，
故答案为：B ．
【分析】根据题意，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得CM=AB=1.2．
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
由于等边三角形的各边相等、每个内角都是60度，则由直角三角形两锐角互余可得，再由中点的概念可得，则由含30度角的直角三角形性质可得AF＝2，即CF＝6，同理可得CE＝3，则BE＝5．
5．【答案】B
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：根据题意可知第组的频率为，
第组的频率，
第组的频数是，
故选：B．
【分析】
先由第组的频数除以总人数即得出第组的频率，再用减去其它组的频率，即可求出第组的频率，最后用总人数乘第组的频率即可求出第组的频数．
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵于点，于点，
∴，即：，
∴；
故选C．
【分析】
由于四边形ABCD是平行四边形，则直接利用等面积法求出AD的长即可．
7．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于y轴的对称点的坐标是，
故选：A．
【分析】本题以平面直角坐标系中点的对称性为背景，考查了关于y轴对称的点的坐标特征。根据关于y轴对称的点，纵坐标相同、横坐标互为相反数，直接写出对称点的坐标。
8．【答案】A
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：“ ”中“”出现了次，则“”出现的频数为；
“ ”中共个数据，则“”的频率为：.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查频数与频率的概念及计算.频数是指某个数据在样本中出现的次数；频率是指该数据的频数与样本数据总数的比值.解题时需准确统计数字串中“8”的出现次数，并计算总数字个数，再代入公式求解即可.
9．【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、由可知，3，4，5是勾股数，不符合题意；
B、由可知，9，12，15是勾股数，不符合题意；
C、由可知，5，6，7不是勾股数，符合题意；
D、由可知，7，24，25是勾股数，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数是指三个正整数，且满足其中两个数的平方和等于第三个数的平方。解题时需对每个选项进行验证：对于选项A，；选项B，；选项D，，均符合勾股数定义；而选项C中，不等于，因此不是勾股数。
10．【答案】D
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，……，
∴，即；
∴，即；
同理可得，，…；
∴点的坐标每4个一个循环，
∵，
∴的坐标与的坐标相同，即．
故答案为：D.
【分析】根据“终结点”的定义求出，，，，…；根据这些点的坐标可发现点的坐标每4个一次循环，用2025÷4，观察余数可判断求解.
11．【答案】（或）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：，
和都是直角三角形，
，，
当或时，．
故答案为：（或）．
【分析】本题以两个直角三角形全等为背景，考查了HL判定定理的应用。根据HL定理（斜边和一条直角边分别相等），已知斜边AB＝BA，再添加一条直角边相等即可判定全等。注意答案不唯一。
12．【答案】7
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据题意得：180°（n﹣2）=900°，
解得：n=7．
故答案为：7．
【分析】利用多边形的内角和公式（多边形的内角和=（n-2）×180°）列出算式求解即可.
13．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：由题意得将直线向下平移2个单位，所得直线的表达式是，
故答案为：
【分析】根据两个一次函数平行结合题意即可求解。
14．【答案】0.4
【知识点】平行四边形的判定与性质；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：延长至点，使，连接，
∵点B恰为线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵A，C，E三点在同一直线上，
∴，
由题意，可知：，
∴，
∴四边形为平行四边形，
故答案为：0.4．
【分析】
延长至点使，连接，则可利用SAS证明，则、，即四边形为平行四边形，则即可．
15．【答案】26
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：80-90分的有14人，90-100分的有12人
所以成绩为“优良”（80分及80分以上）的学生有14+12=26（人）
故答案为26
【分析】根据频数分布直方图找到80分以上的学生人数即可得出答案.
16．【答案】5
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是菱形，且周长为，
，，
点是的中点，
，
故答案为：．
【分析】利用菱形的性质得出的长，进而根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
17．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得，斜边长为，
设斜边上的高为，
则
解得
故答案为：．
【分析】
先由勾股定理求斜边长，再利用等面积法列式计算即可．
18．【答案】
【知识点】列一次函数关系式；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：由第①个图形中白棋有1枚，黑棋有8枚；第②个图形中白棋有2枚，黑棋有12枚；第③个图形中白棋有3枚，黑棋有16枚，…
得白棋每次增加1枚，黑棋每次增加4枚，
∴第个图形中白棋有枚，黑棋有枚；
∴某个图形中白棋有x枚，黑棋有y枚，则y与x的关系可以表示为．
故答案为：．
【分析】
找规律问题，观察图形知，白棋每次增加1枚，黑棋每次增加4枚，则当白棋有枚，黑棋有 枚，即．
19．【答案】（1）解：设与之间的函数解析式为，
把代入，得：
，解得
．
（2）解：当时，
，解得：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）直接利用待定系数法即可；
（2）由直线上点的坐标特征把代入中解析式得关于x的方程并求解即可．
（1）解：设与之间的函数解析式为，
把代入，得：
，解得
．
（2）解：当时，
，解得：．
20．【答案】解：如图所示，连接.
∵，，，
∴根据勾股定理得：，
又∵，，
∴，，
，
为直角三角形，，
∴．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】如图，连接AC， 先由勾股定理可得AC＝5，再利用勾股定理的逆定理可证为直角三角形且，再利用割补法求出四边形ABCD的面积即可．
21．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
又∵，
∴
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据平行四边形的性质即可得到，再根据得到即利用全等三角形的对应边相等得到结论即可．
22．【答案】（1）证明： ∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点O是对角线的交点，
∴，
在△和中，，
∴．
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形，
∴，
∴，
∴四边形的周长为．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）已知四边形ABCD是平行四边形，O是平行四边形对角线BD的中点，因此可得OD=OB，且=，再结合对顶角相等=，即可证明三角形全等，进而推得所需结论；
（2）根据第一问的全等结论，可以得到DE=BF，又因为DE与BF平行，因此可判定四边形BEDF是平行四边形，再结合已知条件，即可进一步证明四边形BEDF是菱形，最后已知DE=15cm，即可计算得到该菱形的周长．
（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点O是对角线的交点，
∴，
在△和中，，
∴．
（2）由（1）知，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形，
∴，
∴，
∴四边形的周长为．
23．【答案】（1）证明：∵是的平分线，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）先由角平分线的性质定理可得，再利用HL证明即可；
（2）先利用HL证明，则AC＝AE，再利用线段的和差关系结合等量代换即可得AB＝AE+BE＝AF+2BE．
（1）证明：∵是的平分线，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，
理由如下：在和中，
，
∴，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：直线线经过点，，
，解得，
直线的解析式为．
（2）证明：过点C作轴于E，如图1，
则与都是直角三角形，，
，，，
、，，
，
在与中，
由，
∴ ，
，
，
．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；直角三角形全等的判定-HL；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）直接利用待定系数法即可；
（2）先过点C作y轴的垂线段CE，再利用两点距离公式可得AB＝BC，再由点的坐标与图形性质可得CE＝OB，则由HL可证，则，再利用直角三角形两锐角互余结合等量代换即可．
（1）解：直线线经过点，，
，解得，
直线的解析式为．
（2）证明：过点C作轴于E，如图1，
则与都是直角三角形，，
，，，
，，
，，
，
在与中，
由，
∴≌，
，
，即，
．
25．【答案】（1）16，120
（2），
（3）解：存在，当为边时，
四边形是平行四边形，
，
，
∴；
当为对角线时，
四边形是平行四边形，
，
，
∴，
∵当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，
∴，
∴，
综上所述：的值为或．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；四边形-动点问题；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】
（1）
解：四边形是平行四边形，，，，
，，，
，，
，
∴，
则，
故答案为：16，120；
（2）
解：∵点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线方向运动，
∴，，
∵，，
∴，
故答案为：，；
【分析】
（1）先由直角三角形两锐角互余可得，再由含的直角三角形的性质可得，再由平行四边形的对边平行可得，则，再利用角的和差关系即可；
（2）由速度与距离公式可得，再利用线段的和差关系可得；
（3）由于点Q的速度较大，则可分两种情况讨论，即当为边时可得，即有；当为对角线时，由平行四边形得，即有，再分别解关于t的方程即可.
（1）解：四边形是平行四边形，，，，
，，，
，，
，
∴，
则，
故答案为：16，120；
（2）解：∵点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线方向运动，
∴，，
∵，，
∴，
故答案为：，；
（3）解：存在，
当为边时，
四边形是平行四边形，
，
，
∴；
当为对角线时，
四边形是平行四边形，
，
，
∴，
∵当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，
∴，
∴，
综上所述：的值为或．
26．【答案】解：（1）①45；
②；
（2）AP=BE+DF正确，
理由：由（1）可知，∠EAF=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠B=90°，
由折叠的性质可知，∠ENF=∠C=90°=∠ANF，∠AME=∠B=90°，
∴△ANF是等腰直角三角形，∠NAP+∠APN=∠NAP+∠AEM=90°，
∴AN=FN，∠APN=∠AEM，
在△ANP和△FNE中，
，
∴△ANP≌△FNE（AAS），
∴AP=EF，
由（1）可知，，
∴AP=BE+DF；
（3）由（2）可知，△ANF是等腰直角三角形，∠NAP=∠NFE，
∴∠AFN=45°，
∴∠AFD=∠AFM=∠AFN+∠NFE=45°+∠NFE，
∵∠NFE=∠CFE，∠AFD+∠AFM+∠CFE=180°，
∴2（45°+∠NFE）+∠NFE=180°，
∴∠NFE=30°，
∴∠NAP=∠NFE=30°，
∴∠BAE=30°，
∴BE==，
∴CE=3-.
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）由折叠的性质可知，∠FAM=∠DAM，∠EAM=∠BAM，
∴∠FAE=∠FAM+∠EAM=∠DAM+∠BAM=（∠DAM+∠BAM）=∠DAB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∴∠FAE=∠DAB=45°，
故答案为：45°：
②由折叠的性质可得：EM=EB，FD=FM，
∵ E，M，F三点共线，
∴EF=EM+FM=BE+DF，
故答案为：EF=BE+DF；
【分析】（1）①根据折叠的性质和由正方形的性质易得∠FAE=∠DAB即可得出答案；②根据折叠的性质即可得出答案；
（2）根据折叠和由正方形的性质易证△ANP≌△FNE，即可得出答案；
（3）由（2）可得△ANF是等腰直角三角形，∠NAP=∠NFE，进而求出，再由含角的性质以及勾股定理求解即可
1 / 1湖南省张家界市桑植县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．将四个数字看作一个图形，则下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A．6666 B．9999 C．6669 D．6699
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】选项A：6666旋转180度后是9999，与原图不重合，故A项不符合要求，
选项B：9999旋转180度后是6666，与原图不重合，故B项不符合要求，
选项C：6669旋转180度后是6999，与原图不重合，故C项不符合要求，
选项D：6699旋转180度后是6699，与原图重合，故D项符合要求，
故选：D．
【分析】
根据中心对称图形的定义，图形绕对称中心旋转180度后与原图重合，即是中心对称图形．
2．在平面直角坐标系中，点 在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点（1，2）所在的象限是第一象限.
故答案为：A.
【分析】由点A的横纵坐标的符号，可判断出点A所在的象限.
3．如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得，则两点间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，点是斜边的中点，
∴，
故答案为：B ．
【分析】根据题意，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得CM=AB=1.2．
4．如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
由于等边三角形的各边相等、每个内角都是60度，则由直角三角形两锐角互余可得，再由中点的概念可得，则由含30度角的直角三角形性质可得AF＝2，即CF＝6，同理可得CE＝3，则BE＝5．
5．某校八年级班名学生的健康状况被分成组，第组的频数是，第，组的频率之和为，第组的频率是，则第组的频数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：根据题意可知第组的频率为，
第组的频率，
第组的频数是，
故选：B．
【分析】
先由第组的频数除以总人数即得出第组的频率，再用减去其它组的频率，即可求出第组的频率，最后用总人数乘第组的频率即可求出第组的频数．
6．如图，在中，于点，于点，，，，则的长为（　　）
A．10 B．9 C．8.4 D．8
【答案】C
【知识点】平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵于点，于点，
∴，即：，
∴；
故选C．
【分析】
由于四边形ABCD是平行四边形，则直接利用等面积法求出AD的长即可．
7．点关于y轴的对称点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于y轴的对称点的坐标是，
故选：A．
【分析】本题以平面直角坐标系中点的对称性为背景，考查了关于y轴对称的点的坐标特征。根据关于y轴对称的点，纵坐标相同、横坐标互为相反数，直接写出对称点的坐标。
8．常数与一样是常用的无理数． ． 在数字“”中“”出现的频数和频率分别是（　　）
A．， B．， C．12，4 D．，
【答案】A
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：“ ”中“”出现了次，则“”出现的频数为；
“ ”中共个数据，则“”的频率为：.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查频数与频率的概念及计算.频数是指某个数据在样本中出现的次数；频率是指该数据的频数与样本数据总数的比值.解题时需准确统计数字串中“8”的出现次数，并计算总数字个数，再代入公式求解即可.
9．下列四组数中，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．9，12，15 C．5，6，7 D．7，24，25
【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、由可知，3，4，5是勾股数，不符合题意；
B、由可知，9，12，15是勾股数，不符合题意；
C、由可知，5，6，7不是勾股数，符合题意；
D、由可知，7，24，25是勾股数，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数是指三个正整数，且满足其中两个数的平方和等于第三个数的平方。解题时需对每个选项进行验证：对于选项A，；选项B，；选项D，，均符合勾股数定义；而选项C中，不等于，因此不是勾股数。
10．在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫作点的终结点，已知的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，……，这样依次得到点，，，，…，，若点的坐标是，则点的坐标是（　　）
A． B．（-4，-1） C．（0，-3） D．（2，1）
【答案】D
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，……，
∴，即；
∴，即；
同理可得，，…；
∴点的坐标每4个一个循环，
∵，
∴的坐标与的坐标相同，即．
故答案为：D.
【分析】根据“终结点”的定义求出，，，，…；根据这些点的坐标可发现点的坐标每4个一次循环，用2025÷4，观察余数可判断求解.
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，，若利用证明，需添加的条件是　 　．（写出一种即可）
【答案】（或）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：，
和都是直角三角形，
，，
当或时，．
故答案为：（或）．
【分析】本题以两个直角三角形全等为背景，考查了HL判定定理的应用。根据HL定理（斜边和一条直角边分别相等），已知斜边AB＝BA，再添加一条直角边相等即可判定全等。注意答案不唯一。
12．若n边形内角和为900°，则边数n=　 　．
【答案】7
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据题意得：180°（n﹣2）=900°，
解得：n=7．
故答案为：7．
【分析】利用多边形的内角和公式（多边形的内角和=（n-2）×180°）列出算式求解即可.
13．将直线向下平移2个单位，所得直线的表达式是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：由题意得将直线向下平移2个单位，所得直线的表达式是，
故答案为：
【分析】根据两个一次函数平行结合题意即可求解。
14．古代有“偃矩以望高”的测高方法，图1是测量工具“矩”，小亮同学利用“矩”测量某物体的高度（如图2）．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，且A，C，E三点在同一直线上，，米，若点B恰为线段的中点，则此物体的高度为　 　米．
【答案】0.4
【知识点】平行四边形的判定与性质；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：延长至点，使，连接，
∵点B恰为线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵A，C，E三点在同一直线上，
∴，
由题意，可知：，
∴，
∴四边形为平行四边形，
故答案为：0.4．
【分析】
延长至点使，连接，则可利用SAS证明，则、，即四边形为平行四边形，则即可．
15．某班学生参加学校组织的“垃圾分类”知识竞赛，将学生成绩制成如图所示的频数分布直方图(每组数据包括左端值不包括右端值)，其中成绩为“优良”（80分及80分以上）的学生有　 　人．
【答案】26
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：80-90分的有14人，90-100分的有12人
所以成绩为“优良”（80分及80分以上）的学生有14+12=26（人）
故答案为26
【分析】根据频数分布直方图找到80分以上的学生人数即可得出答案.
16．如图，菱形的周长为40，对角线，相交于点O，若点E是的中点， 则的长是　 　
【答案】5
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是菱形，且周长为，
，，
点是的中点，
，
故答案为：．
【分析】利用菱形的性质得出的长，进而根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
17．直角三角形两直角边长分别为3和，则斜边上的高为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得，斜边长为，
设斜边上的高为，
则
解得
故答案为：．
【分析】
先由勾股定理求斜边长，再利用等面积法列式计算即可．
18．围棋是中华民族发明的迄今最久远的智力博弈活动之一．图中棋局都是由同样大小的黑棋、白棋按一定规律组成的，其中第①个图形中白棋有1枚，黑棋有8枚；第②个图形中白棋有2枚，黑棋有12枚；第③个图形中白棋有3枚，黑棋有16枚，……按此规律排列，若某个图形中白棋有x枚，黑棋有y枚，则y与x的关系可以表示为　 　．
【答案】
【知识点】列一次函数关系式；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：由第①个图形中白棋有1枚，黑棋有8枚；第②个图形中白棋有2枚，黑棋有12枚；第③个图形中白棋有3枚，黑棋有16枚，…
得白棋每次增加1枚，黑棋每次增加4枚，
∴第个图形中白棋有枚，黑棋有枚；
∴某个图形中白棋有x枚，黑棋有y枚，则y与x的关系可以表示为．
故答案为：．
【分析】
找规律问题，观察图形知，白棋每次增加1枚，黑棋每次增加4枚，则当白棋有枚，黑棋有 枚，即．
三、解答题（共8小题，共66分）
19．已知是的一次函数，当时，；当时，．
（1）求与之间的函数解析式；
（2）当为何值时，？
【答案】（1）解：设与之间的函数解析式为，
把代入，得：
，解得
．
（2）解：当时，
，解得：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）直接利用待定系数法即可；
（2）由直线上点的坐标特征把代入中解析式得关于x的方程并求解即可．
（1）解：设与之间的函数解析式为，
把代入，得：
，解得
．
（2）解：当时，
，解得：．
20．如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
【答案】解：如图所示，连接.
∵，，，
∴根据勾股定理得：，
又∵，，
∴，，
，
为直角三角形，，
∴．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】如图，连接AC， 先由勾股定理可得AC＝5，再利用勾股定理的逆定理可证为直角三角形且，再利用割补法求出四边形ABCD的面积即可．
21．如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，与相交于点O，且．求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
又∵，
∴
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据平行四边形的性质即可得到，再根据得到即利用全等三角形的对应边相等得到结论即可．
22．如图，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交，于点E，F．
（1）求证：；
（2）当时，，分别连接，，求此时四边形的周长．
【答案】（1）证明： ∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点O是对角线的交点，
∴，
在△和中，，
∴．
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形，
∴，
∴，
∴四边形的周长为．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）已知四边形ABCD是平行四边形，O是平行四边形对角线BD的中点，因此可得OD=OB，且=，再结合对顶角相等=，即可证明三角形全等，进而推得所需结论；
（2）根据第一问的全等结论，可以得到DE=BF，又因为DE与BF平行，因此可判定四边形BEDF是平行四边形，再结合已知条件，即可进一步证明四边形BEDF是菱形，最后已知DE=15cm，即可计算得到该菱形的周长．
（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点O是对角线的交点，
∴，
在△和中，，
∴．
（2）由（1）知，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形，
∴，
∴，
∴四边形的周长为．
23．如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且．
（1）求证：；
（2）试判断与之间存在的数量关系．并说明理由．
【答案】（1）证明：∵是的平分线，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）先由角平分线的性质定理可得，再利用HL证明即可；
（2）先利用HL证明，则AC＝AE，再利用线段的和差关系结合等量代换即可得AB＝AE+BE＝AF+2BE．
（1）证明：∵是的平分线，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，
理由如下：在和中，
，
∴，
∴，
∴．
24．如图，直线交两坐标轴于点，．
（1）求直线的解析式；
（2）点C的坐标为，连接．证明：且线段．
【答案】（1）解：直线线经过点，，
，解得，
直线的解析式为．
（2）证明：过点C作轴于E，如图1，
则与都是直角三角形，，
，，，
、，，
，
在与中，
由，
∴ ，
，
，
．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；直角三角形全等的判定-HL；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）直接利用待定系数法即可；
（2）先过点C作y轴的垂线段CE，再利用两点距离公式可得AB＝BC，再由点的坐标与图形性质可得CE＝OB，则由HL可证，则，再利用直角三角形两锐角互余结合等量代换即可．
（1）解：直线线经过点，，
，解得，
直线的解析式为．
（2）证明：过点C作轴于E，如图1，
则与都是直角三角形，，
，，，
，，
，，
，
在与中，
由，
∴≌，
，
，即，
．
25．如图，在中，，，．动点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒（）．
（1）=_______ ，=_______度．
（2）当时，_______， _______．（用含t的式子表示）
（3）是否存在t值，使以点P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）16，120
（2），
（3）解：存在，当为边时，
四边形是平行四边形，
，
，
∴；
当为对角线时，
四边形是平行四边形，
，
，
∴，
∵当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，
∴，
∴，
综上所述：的值为或．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；四边形-动点问题；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】
（1）
解：四边形是平行四边形，，，，
，，，
，，
，
∴，
则，
故答案为：16，120；
（2）
解：∵点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线方向运动，
∴，，
∵，，
∴，
故答案为：，；
【分析】
（1）先由直角三角形两锐角互余可得，再由含的直角三角形的性质可得，再由平行四边形的对边平行可得，则，再利用角的和差关系即可；
（2）由速度与距离公式可得，再利用线段的和差关系可得；
（3）由于点Q的速度较大，则可分两种情况讨论，即当为边时可得，即有；当为对角线时，由平行四边形得，即有，再分别解关于t的方程即可.
（1）解：四边形是平行四边形，，，，
，，，
，，
，
∴，
则，
故答案为：16，120；
（2）解：∵点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线方向运动，
∴，，
∵，，
∴，
故答案为：，；
（3）解：存在，
当为边时，
四边形是平行四边形，
，
，
∴；
当为对角线时，
四边形是平行四边形，
，
，
∴，
∵当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，
∴，
∴，
综上所述：的值为或．
26．综合与实践：
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接．
（1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①______°；
②线段，，之间的数量关系为______．
【深入探究】
如图2，将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接，．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示．
（2）小明通过观察图形，得出．请判断其是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长．
【答案】解：（1）①45；
②；
（2）AP=BE+DF正确，
理由：由（1）可知，∠EAF=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠B=90°，
由折叠的性质可知，∠ENF=∠C=90°=∠ANF，∠AME=∠B=90°，
∴△ANF是等腰直角三角形，∠NAP+∠APN=∠NAP+∠AEM=90°，
∴AN=FN，∠APN=∠AEM，
在△ANP和△FNE中，
，
∴△ANP≌△FNE（AAS），
∴AP=EF，
由（1）可知，，
∴AP=BE+DF；
（3）由（2）可知，△ANF是等腰直角三角形，∠NAP=∠NFE，
∴∠AFN=45°，
∴∠AFD=∠AFM=∠AFN+∠NFE=45°+∠NFE，
∵∠NFE=∠CFE，∠AFD+∠AFM+∠CFE=180°，
∴2（45°+∠NFE）+∠NFE=180°，
∴∠NFE=30°，
∴∠NAP=∠NFE=30°，
∴∠BAE=30°，
∴BE==，
∴CE=3-.
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）由折叠的性质可知，∠FAM=∠DAM，∠EAM=∠BAM，
∴∠FAE=∠FAM+∠EAM=∠DAM+∠BAM=（∠DAM+∠BAM）=∠DAB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∴∠FAE=∠DAB=45°，
故答案为：45°：
②由折叠的性质可得：EM=EB，FD=FM，
∵ E，M，F三点共线，
∴EF=EM+FM=BE+DF，
故答案为：EF=BE+DF；
【分析】（1）①根据折叠的性质和由正方形的性质易得∠FAE=∠DAB即可得出答案；②根据折叠的性质即可得出答案；
（2）根据折叠和由正方形的性质易证△ANP≌△FNE，即可得出答案；
（3）由（2）可得△ANF是等腰直角三角形，∠NAP=∠NFE，进而求出，再由含角的性质以及勾股定理求解即可
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