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四川省成都市温江区2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题
一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．“窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船．”这是杜甫眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．三个角分别相等的两个三角形全等
C．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
D．两边及一角分别相等的两个三角形全等
5．如图，，平分，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．若完全平方式，则（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
7．如图，为的平分线，添下列条件后，不能证明的是（　　）
A． B． C． D．
8．小明有一本180页的故事书，他每小时能看60页．星期天上午，小明先看了故事书后，到户外玩耍了，接着继续看完这本书．下列能体现这本书剩下的页数y（单位：页）与时间t（单位：h）之间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
9．一个不透明的袋子里装有白球、黄球共35个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在0.6左右，则袋子中白球的个数最有可能是　 　个
10．若2x＋y－3＝0，则4x×2y＝　 　．
11．如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则　 　．
12．如图，正方形的周长为12，E，F分别在，边上，，，P是上的一动点，则的最小值为　 　．
13．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点F，已知，，则的长为　 　．
三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中，．
15．（1）如图，B，F，E，C在同一条直线上，．若，求证：．
（2）某科技小组在老师的指导下积极开展科技实践活动．他们在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，再在镜片的后面放一个光屏正对着镜片；不断调整光屏与镜片之间的距离，直到光屏上的光斑最小．此时他们测量了镜片与光斑之间的距离，得到如下数据：
老花镜的度数度 100 120 200 250 300
镜片与光斑之间的距离 1 0.8 0.5 0.4 0.3
观察表中的数据，你发现了什么？
如果按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为，那么你估计这副老花镜的度数是多少？
16．（1）两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个整数的“平方的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？
（2）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，共20个．其中红球5个，白球9个．
从中任意摸出一个球，求摸出的球是黑球的概率；
小明从盒子里取出m个白球（其他颜色的球数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是黑球的概率为，请求出m的值．
17．（1）如图，在长方形中，长为，宽为．除阴影部分M，N外，其余5块是全等的小长方形，小长方形的宽为．
求每个小长方形的长（用含x的代数式表示）；
分别用含x，y的代数式表示阴影M，N的面积；
若阴影M与阴影N的面积差不会随y的变化而变化，请求出x的值，并说明理由．
（2）如图1，梯形上底的长为，高，动点P以的速度从A点出发，以的路径运动，记的面积为．y与运动时间t（单位：s）的关系如图2所示．
求的长；
求图2中m，n的值；
求点P在线段上运动时，y与t的关系式．
18．在四边形中，．
（1）如图，为的中点，点关于直线的对称点为，射线交于点，射线交于点，交直线于点，求证：；
（2）如图，点在延长线上，，为的中点，，求证：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A
【分析】
根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两边的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，然后逐项判断即可．
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵0＜0.00004＜1，小数点向左移动5位，
∴，
故答案为：D．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义可求解.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，故不符合题意；
B、，原式计算错误，故B不符合题意；
C、，原式计算正确，故C符合题意；
D、，原式计算错误，故D不符合题意．
故选：C．
【分析】
分别计算同底数幂的乘法，除法，积的乘方，完全平方公式，然后逐一判断即可.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，A选项错误；
B、三个角分别相等的两个三角形不一定全等，B选项错误；
C、角平分线上的点到这个角的两边距离相等，C选项正确；
D、两边及一角分别相等的两个三角形不一定全等，D选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质，可知A选项错误；根据全等三角形的判定定理，可知B选项错误；根据角平分线的性质，可知C选项正确； 根据全等三角形的判定定理，可知D选项错误.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故选：C
【分析】
首先利用两直线平行，内错角相等求出，再根据角平分线的定义求出，最后利用两直线平行，同旁内角互补求出度数即可.
6．【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：将左边展开得：，
右边为：，
∴，解得，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】
将左边的完全平方式展开，与右边多项式对应项的系数进行比较，从而求出未知数a和b的值，最后再计算a+b即可.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由，利用可证明，所以A选项不符合题意；
由，利用可证明，所以B选项不符合题意；
由，利用可证明，所以C选项不符合题意；
由，符合，不能证明，所以D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
8．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：因为剩下的页数越来越少，故可排除A、B；
玩耍的过程，剩下的页数不变，
因为一本180页的故事书，他每小时能看60页，
所以他要看完这本书需要，
所以玩耍后看书时间为，
所以玩耍后看书时间多于玩耍前的看书时间，故可排除D．
故选C．
【分析】
根据题意分析出“剩下页数y”随时间t变化的三个阶段，并结合具体时间长度和变化速度来判断图象即可.
9．【答案】14
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：设袋子中的黄球的个数为x，根据已知条件，
摸出黄球的频率稳定在0.6，
∴
x=35×0.6=21，
∴白球的个数为：35-21=14个
故答案为：14.
【分析】根据黄球的频率稳定值，可以计算出黄球的个数，根据已知条件，计算出白球的个数.
10．【答案】8
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】试题分析：根据题意得：2x+y=3，则原式==8.
【分析】
根据幂的乘方，可化成同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，即可解答.
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵沿折叠得，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质得到：．
故答案为：．
【分析】
利用折叠的性质推出，，再结合平行线的性质求出，最后利用平角定义即可求解．
12．【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：正方形的周长为12，
，
，，
，，
作点关于的对称点，连接、，
则，
，
，
，
，
，
当、、在同一直线上，且时，的最小值为．
的最小值为3，
故答案为：3．
【分析】
先根据周长求出正方形边长，确定E，F的位置，作点E关于BD的对称点E'，将PE+PF转化为PE'+PF，根据“两点之间线段最短”，最小值即为线段E'F的长，最后通过几何性质计算即可．
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据作图得：平分，
∴点到的距离相等，
∵，
∴，
∴点到的距离均为的长，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】
通过作图判断AF为角平分线，利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一性质，将求CF转化为求中AB边上的高.
14．【答案】解：（1）原式
；
（2）原式=
将，代入上式，得
原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；利用整式的混合运算化简求值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】
（1）先分别计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、乘方运算，然后再进行加减运算即可；
（2）先分别根据平方差公式和完全平方公式进行括号内的运算，再将整式除法运算进行化简，最后代入字母的值求解即可．
15．【答案】（1）证明：，，
，，
（2）解：①
∴随着老花镜度数的逐渐增大，镜片与光斑的距离逐渐减小，二者之间的大致关系是：；
②依题意，一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为
∴
∴这副老花镜的度数大约140度至150度．
【知识点】三角形内角和定理；探索数与式的规律；邻补角；求代数式的值-直接代入求值；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】
（1）先根据邻补角的性质得到+=180°，结合题中给出的条件，可推出=，再结合三角形内角和定理整理得到=，最后根据“内错角相等，两直线平行”，即可得出结论。
（2）①观察表格中的数据，可以发现：当镜片度数逐渐增大时，镜片到光斑的距离在逐渐减小，推导可得二者的大致关系为，据此即可解答。
②根据题意，将代入关系式计算，即可得到结果.
16．【答案】解：（1）设两个相邻整数为n，，则这两个整数的平均数的平方为
两个整数的平方的平均数为
因为
所以，两个相邻整数的平均数的平方与它们平方的平均数不相等
．
所以，两个相邻整数的平均数的平方与它们平方的平均数相差
（2）①由题意可知，黑球的个数为，
P（摸出的球是黑球）=
②任意摸出一个球是黑球的概率为
盒子中球的总量为：（个），
可以将盒子中的白球取出（个）
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；概率公式；平均数及其计算
【解析】【分析】
（1）理解“平均数的平方”与“平方的平均数”的代数含义，并利用代数式进行化简求差即可；
（2）直接根据概率公式计算即可；先根据摸出黑球的概率求得从盒子里取出m个白球后的球的总数，进而可得m值．
17．【答案】（1）解：①大长方形的长为3m，小长方形的宽是xm，
每个小长方形的长为（m）
②由题意可得，阴影M的长为m，宽是（m），
阴影N的长为（m），宽是（m），
③
当时，阴影M与阴影N的面积差不会随y的变化而变化
解得
（2）解：①由图2可知，点P从的运动时间为（s），
（cm）
②根据题意得：（），
（s）
图2中m的值为，n的值为15．
③由图2可知，点P在线段上运动时，，
，
即．

【知识点】整式的混合运算；动点问题的函数图象
【解析】【分析】
（1）①利用大长方形的长等于小长方形的长加上3个小长方形的宽，列出代数式即可；
②分别表示出阴影部分M和N的长与宽，利用长方形面积公式列代数式即可；
③求出面积差，根据面积差与值无关，得到含的项的系数为0，进行求解即可；
（2）①通过观察函数图象中面积不变的阶段，利用路程等于速度乘以时间求出的长即可；
②根据三角形的面积公式进行求解即可；
③当P在CD上运动时，的底AD不变，高为PD，根据时间表示出PD的长度，进而列出面积y与t的函数关系式.
18．【答案】（1）证明：∵点关于直线的对称点为，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：如图，延长到点，使，连接，
∴，
∵是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定；轴对称的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】
（）利用轴对称性质得到线段和角相等，结合平行线的性质证明，从而得出PF=PH；
（）利用“倍长中线法”构造全等三角形，将DM转化为DP的一半，通过证明得到BD=DP，进而得到结论即可.
（1）证明：∵点关于直线的对称点为，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：如图，延长到点，使，连接，
∴，
∵是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
1 / 1四川省成都市温江区2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题
一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A
【分析】
根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两边的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，然后逐项判断即可．
2．“窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船．”这是杜甫眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵0＜0.00004＜1，小数点向左移动5位，
∴，
故答案为：D．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义可求解.
3．下列运算，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，故不符合题意；
B、，原式计算错误，故B不符合题意；
C、，原式计算正确，故C符合题意；
D、，原式计算错误，故D不符合题意．
故选：C．
【分析】
分别计算同底数幂的乘法，除法，积的乘方，完全平方公式，然后逐一判断即可.
4．下列说法正确的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．三个角分别相等的两个三角形全等
C．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
D．两边及一角分别相等的两个三角形全等
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，A选项错误；
B、三个角分别相等的两个三角形不一定全等，B选项错误；
C、角平分线上的点到这个角的两边距离相等，C选项正确；
D、两边及一角分别相等的两个三角形不一定全等，D选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质，可知A选项错误；根据全等三角形的判定定理，可知B选项错误；根据角平分线的性质，可知C选项正确； 根据全等三角形的判定定理，可知D选项错误.
5．如图，，平分，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故选：C
【分析】
首先利用两直线平行，内错角相等求出，再根据角平分线的定义求出，最后利用两直线平行，同旁内角互补求出度数即可.
6．若完全平方式，则（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：将左边展开得：，
右边为：，
∴，解得，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】
将左边的完全平方式展开，与右边多项式对应项的系数进行比较，从而求出未知数a和b的值，最后再计算a+b即可.
7．如图，为的平分线，添下列条件后，不能证明的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由，利用可证明，所以A选项不符合题意；
由，利用可证明，所以B选项不符合题意；
由，利用可证明，所以C选项不符合题意；
由，符合，不能证明，所以D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
8．小明有一本180页的故事书，他每小时能看60页．星期天上午，小明先看了故事书后，到户外玩耍了，接着继续看完这本书．下列能体现这本书剩下的页数y（单位：页）与时间t（单位：h）之间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：因为剩下的页数越来越少，故可排除A、B；
玩耍的过程，剩下的页数不变，
因为一本180页的故事书，他每小时能看60页，
所以他要看完这本书需要，
所以玩耍后看书时间为，
所以玩耍后看书时间多于玩耍前的看书时间，故可排除D．
故选C．
【分析】
根据题意分析出“剩下页数y”随时间t变化的三个阶段，并结合具体时间长度和变化速度来判断图象即可.
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
9．一个不透明的袋子里装有白球、黄球共35个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在0.6左右，则袋子中白球的个数最有可能是　 　个
【答案】14
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：设袋子中的黄球的个数为x，根据已知条件，
摸出黄球的频率稳定在0.6，
∴
x=35×0.6=21，
∴白球的个数为：35-21=14个
故答案为：14.
【分析】根据黄球的频率稳定值，可以计算出黄球的个数，根据已知条件，计算出白球的个数.
10．若2x＋y－3＝0，则4x×2y＝　 　．
【答案】8
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】试题分析：根据题意得：2x+y=3，则原式==8.
【分析】
根据幂的乘方，可化成同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，即可解答.
11．如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵沿折叠得，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质得到：．
故答案为：．
【分析】
利用折叠的性质推出，，再结合平行线的性质求出，最后利用平角定义即可求解．
12．如图，正方形的周长为12，E，F分别在，边上，，，P是上的一动点，则的最小值为　 　．
【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：正方形的周长为12，
，
，，
，，
作点关于的对称点，连接、，
则，
，
，
，
，
，
当、、在同一直线上，且时，的最小值为．
的最小值为3，
故答案为：3．
【分析】
先根据周长求出正方形边长，确定E，F的位置，作点E关于BD的对称点E'，将PE+PF转化为PE'+PF，根据“两点之间线段最短”，最小值即为线段E'F的长，最后通过几何性质计算即可．
13．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点F，已知，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据作图得：平分，
∴点到的距离相等，
∵，
∴，
∴点到的距离均为的长，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】
通过作图判断AF为角平分线，利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一性质，将求CF转化为求中AB边上的高.
三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：（1）原式
；
（2）原式=
将，代入上式，得
原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；利用整式的混合运算化简求值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】
（1）先分别计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、乘方运算，然后再进行加减运算即可；
（2）先分别根据平方差公式和完全平方公式进行括号内的运算，再将整式除法运算进行化简，最后代入字母的值求解即可．
15．（1）如图，B，F，E，C在同一条直线上，．若，求证：．
（2）某科技小组在老师的指导下积极开展科技实践活动．他们在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，再在镜片的后面放一个光屏正对着镜片；不断调整光屏与镜片之间的距离，直到光屏上的光斑最小．此时他们测量了镜片与光斑之间的距离，得到如下数据：
老花镜的度数度 100 120 200 250 300
镜片与光斑之间的距离 1 0.8 0.5 0.4 0.3
观察表中的数据，你发现了什么？
如果按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为，那么你估计这副老花镜的度数是多少？
【答案】（1）证明：，，
，，
（2）解：①
∴随着老花镜度数的逐渐增大，镜片与光斑的距离逐渐减小，二者之间的大致关系是：；
②依题意，一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为
∴
∴这副老花镜的度数大约140度至150度．
【知识点】三角形内角和定理；探索数与式的规律；邻补角；求代数式的值-直接代入求值；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】
（1）先根据邻补角的性质得到+=180°，结合题中给出的条件，可推出=，再结合三角形内角和定理整理得到=，最后根据“内错角相等，两直线平行”，即可得出结论。
（2）①观察表格中的数据，可以发现：当镜片度数逐渐增大时，镜片到光斑的距离在逐渐减小，推导可得二者的大致关系为，据此即可解答。
②根据题意，将代入关系式计算，即可得到结果.
16．（1）两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个整数的“平方的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？
（2）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，共20个．其中红球5个，白球9个．
从中任意摸出一个球，求摸出的球是黑球的概率；
小明从盒子里取出m个白球（其他颜色的球数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是黑球的概率为，请求出m的值．
【答案】解：（1）设两个相邻整数为n，，则这两个整数的平均数的平方为
两个整数的平方的平均数为
因为
所以，两个相邻整数的平均数的平方与它们平方的平均数不相等
．
所以，两个相邻整数的平均数的平方与它们平方的平均数相差
（2）①由题意可知，黑球的个数为，
P（摸出的球是黑球）=
②任意摸出一个球是黑球的概率为
盒子中球的总量为：（个），
可以将盒子中的白球取出（个）
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；概率公式；平均数及其计算
【解析】【分析】
（1）理解“平均数的平方”与“平方的平均数”的代数含义，并利用代数式进行化简求差即可；
（2）直接根据概率公式计算即可；先根据摸出黑球的概率求得从盒子里取出m个白球后的球的总数，进而可得m值．
17．（1）如图，在长方形中，长为，宽为．除阴影部分M，N外，其余5块是全等的小长方形，小长方形的宽为．
求每个小长方形的长（用含x的代数式表示）；
分别用含x，y的代数式表示阴影M，N的面积；
若阴影M与阴影N的面积差不会随y的变化而变化，请求出x的值，并说明理由．
（2）如图1，梯形上底的长为，高，动点P以的速度从A点出发，以的路径运动，记的面积为．y与运动时间t（单位：s）的关系如图2所示．
求的长；
求图2中m，n的值；
求点P在线段上运动时，y与t的关系式．
【答案】（1）解：①大长方形的长为3m，小长方形的宽是xm，
每个小长方形的长为（m）
②由题意可得，阴影M的长为m，宽是（m），
阴影N的长为（m），宽是（m），
③
当时，阴影M与阴影N的面积差不会随y的变化而变化
解得
（2）解：①由图2可知，点P从的运动时间为（s），
（cm）
②根据题意得：（），
（s）
图2中m的值为，n的值为15．
③由图2可知，点P在线段上运动时，，
，
即．

【知识点】整式的混合运算；动点问题的函数图象
【解析】【分析】
（1）①利用大长方形的长等于小长方形的长加上3个小长方形的宽，列出代数式即可；
②分别表示出阴影部分M和N的长与宽，利用长方形面积公式列代数式即可；
③求出面积差，根据面积差与值无关，得到含的项的系数为0，进行求解即可；
（2）①通过观察函数图象中面积不变的阶段，利用路程等于速度乘以时间求出的长即可；
②根据三角形的面积公式进行求解即可；
③当P在CD上运动时，的底AD不变，高为PD，根据时间表示出PD的长度，进而列出面积y与t的函数关系式.
18．在四边形中，．
（1）如图，为的中点，点关于直线的对称点为，射线交于点，射线交于点，交直线于点，求证：；
（2）如图，点在延长线上，，为的中点，，求证：．
【答案】（1）证明：∵点关于直线的对称点为，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：如图，延长到点，使，连接，
∴，
∵是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定；轴对称的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】
（）利用轴对称性质得到线段和角相等，结合平行线的性质证明，从而得出PF=PH；
（）利用“倍长中线法”构造全等三角形，将DM转化为DP的一半，通过证明得到BD=DP，进而得到结论即可.
（1）证明：∵点关于直线的对称点为，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：如图，延长到点，使，连接，
∴，
∵是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
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