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《数学》试卷
一、选择题（每小题3分，共30分。下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 的倒数是（ ）
A. B.
C. D.
2. 成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克。数据“0.0000046”用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，，，若，则的度数为（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移到图②。关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图相同 B. 左视图相同
C. 俯视图相同 D. 三种视图都不相同
5. 下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 下面是 “作一个角使其等于” 的尺规作图方法.
（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
(2)作射线，以点 为圆心，OC长为半径画弧，交 于点；以点 为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点；
(3)过点 作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A. 三边分别相等的两个三角形全等
B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
7. 计算的结果是（ ）
A. B.
C. D.
8. 现有4张卡片，其中3张卡片正面上的图案是 “”，1张卡片正面上的图案是 “”，它们除此之外完全相同. 把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，在中，，，，以的中点为圆心，的长为半径作半圆交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，在中，，，，是边上的高。点，分别在边，上（不与端点重合），且。设，四边形的面积为，则关于的函数图象为（ ）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若分式有意义，则实数的取值范围是 。
12. 要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统
计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是 .
3. 若关于的方程有两个相等的实数根，则 .
4. 如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上.按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边、于点、；②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交边于点，则点的坐标为 .
15. 如图，在平行四边形中，，，将线段绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，当点在平行四边形的边上时，恰好，则点到直线的距离为 .
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16.（10分）（1）计算：；（2）化简：
17.（9分）每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.
治理杨絮——您选哪一项？（单选）
A. 减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量
B. 调整树种结构，逐渐更换现有杨树
C. 选育无絮杨品种，并推广种植
D. 对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮
E. 其他
调查结果扇形统计图
调查结果条形统计图
根据以上统计图，解答下列问题：
（1）本次接受调查的市民共有 人；
（2）扇形统计图中，扇形的圆心角度数是 ；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该市约有90万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数．
18.（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例
函数 的图象交于，两点．
（1）求一次函数 的表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式 的解集；
（3）点是轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标．
19.（9分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，。
（1）所在圆的圆心M的坐标是 ；
（2）所在圆的半径是 ；
（3）求的长。
20.(9分)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处。已知BE与水平线BF的夹角，点B到水面的距离.2m，池底处水深为1.2m，即.2m。，，点A到池壁的水平距离.5m。点B、C、D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内。记入射角为，折射角为，求的值(精确到0.1)。(参考数据：，，。)
21.(9分)2026年3月23日，歼首飞成功28年，近年来，歼家族不断突破、不断壮大. 小明和小亮到一家科技体验馆购买航模，已知该体验馆有两种优惠方案可以选择，且两种方案只能参加其中一种.
方案一：科技体验馆推出70元抵100元的代金券，付费时可以抵扣100元，可购买多张代金券，但是不到100元的部分不能使用代金券抵扣.
方案二：购买航模的费用一律打八折.
（1）若小明选中的航模的价格为 元，方案一需付费 元，方案二需付费 元.
①请写出 ， 关于 的函数表达式；
②通过计算，小明发现参加两种方案所需费用相差8元，求 的值.
（2）小亮也选中了一个航模，价格为 （）元，发现参加方案一更划算，求 的取值范围.
22.（10分）某小区有一个喷水池，喷水池的中心有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1m处达到最大高度3m，水柱落地点到水池中心的水平距离为3m，即 ，以水平方向为 轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）点 ，点 的坐标分别为 、 ；
（2）求水柱所在抛物线对应的函数表达式；
（3）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2m的地方，通过计算说明身高1.85m的王师傅是否会被淋湿？
23．（10分）综合与探究：
综合实践课上，老师带领同学们对“四边形内互相垂直的线段”进行了探究，请你
从中发现方法，完成解答．
【初步研究】
（1）如图1，在正方形 中，点 ， 分别在线段 ， 上，且 ，
则 的值为 ；
【知识迁移】
（2）如图2，在矩形 中，，，点 ，，， 分别在边 、
、、 上，且 ．求 的值；
【深入探究】
（3）在四边形 中，，，当 时，
请直接写出边 的长．
三模数学答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C A A B D A A
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．； 12．扇形统计图； 13．； 14．； 15．或（答对1个得2分）．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（1）原式．………………………………………5分
（2）原式．………………………………………10分
17．解：（1）2000；……………………………………………………………2分
（2）…………………………………………………………………………………4分
（3）D选项的人数为，
补全条形图如下：
……………………………………………………………………………………………6分
（4）（万人）．
答：估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数为36万人．……9分
18．（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
∴，
∴，，
，
把，代入，得
解得
；，
，
9分
20. 解：过点作于点，
由题意可知，，，
，
，
∴在Rt AHE中，AE=AH2+EH2=1.5m， 5分
，
，
∴sinβsinγ=0.80.6≈1.3 9分
21. 解：（1） ①根据题意得：，即.
y2=0.8m 2分
②令，
解得（不符合题意，舍去）.
令，
解得（符合题意）.
故m的值为260 6分
（2）根据题意得：当时，
方案一购买需元，方案二购买需元，，不符合题意．
当时，令，
得，
．
综上，的取值范围为．………………………………………9分
22．1）解：由题意知抛物线顶点坐标为，点坐标为，
故答案为：， …………………………………………………2分
（2）解：由题意，可设抛物线的表达式为，
将点的坐标代入得，
解得，
抛物线的表达式为：，………………………………………………6分
（3）解：当时，，
．
答：王师傅不会被淋湿．……………………………………………………………10分
23．证明：（1）；
……………………………………………………………2分
（2）解：作于点，作于点，记、的交点为，与交于点
矩形 中，
四边形 和四边形 都是矩形
，
又 ，
，
，
，
即 ；
，
同（2）可得：，
，
，，，
，，
，
，
；
如图，当时，过作的平行线交的延长线于，过作于，
同理可得：，四边形为矩形，，，
，
设，则，，
，
解得：；
综上：为或．

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