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2026年中考数学最后押题试卷01
九年级数学
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分；
2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号；
3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交；
4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应．
试题卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若关于x的方程( 是一元二次方程，则a的取值范围为 (　　)
A．a=1 B．a≠-1 C．a≠±1 D．a≠1
2．设反比例函数（k为常数，k≠0）.已知当-6≤x≤-2时，y的最大值为-1，则当2≤x≤3时，y的最大值为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
3． 如图，在矩形 ABCD 中，AD=13，AB=5，E 为 BC 上一点，ED 平分∠AEC，则CE 的长为(　　)
A．12 B．5 C．1 D．3
4． 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 与△A'B'O 是以原点O为位似中心的位似图形，点B(-6，3)的对应点为B'(2，-1).若AA'=12，则点A 的坐标为(　　)
A．(-6，0) B．(-9，0) C．(-8，0) D．(-7，0)
5．如图，是的内接三角形，是的直径，若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．《九章算术》中记载关于“盈不足”的问题：“今有共买金，人出四百，盈三百；人出三百，不足一百.问人数、金价各几何.”这段话的意思是：“今有数人合伙买金子，每人出 400 钱，会剩余 300 钱；每人出300钱，会差 100 钱.问人数、金价各是多少.”若设共有x 人，金价 y钱，则根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形（点的对应点分别为点），已知的顶点，若点的坐标为，的面积为，则的面积为（　　）
A．8 B．4 C．2 D．16
8．下表是一个二次函数的自变量与函数值的4组对应值：
… -1 1 2 4 …
… -7 3 5 3 …
则下列说法正确的是（　　）
A．函数图象的开口向上
B．函数图象与轴无交点
C．函数的最大值为5
D．当时，的值随值的增大而减小
9．如图， 在 中， ， 沿 折叠 ， 使点 恰好落在 边上的点 处， 若 ， 则 等于（　　）
A． B． C． D．
10．如图，用两对全等的三角形(纸片和正方形EFGH纸片拼成无缝隙无重叠的纸片，连结DF并延长，分别交CH，BC于点和的面积分别为，若为GH的中点，且，则BN：NC的值为（　　）
A．2：3 B．3：4 C．3：5 D．4：5
二、填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分．）
11．已知，则的值为　 　．
12．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点在反比例函数 的图象上，延长AB 交x轴于点C，且BC=2AB，D是第二象限内一点，且DO∥AB.若△ADC 的面积是15，则k的值为　 　.
13．在一个不透明的袋子中装有4个红球和2个白球，它们除颜色外都相同，从袋中随机摸出一个球是白球的概率是　 　.
14． 如图，直线 AB 切⊙O 于点A，弦，则⊙O的半径为　 　．
15． 定义： 在直线y= kx+b(k， b为常数且k≠0)上的两点A (x1， y1)， B(x2， y2) 满足条件( =k且x2x1最小”时，称B是A的“k点”. 若点. 在直线y= kx+b(k，b为常数且k≠0)上且N是M的“k点”， 则b=　 　.
16．如图， △ABC内接于⊙O，直径AB=12，弦作弦CD与AB相交于点E.连结BD，过点A作CD的平行线交⊙O于点 M，连接MC，若 则△BCD的面积为　 　．
三、解答题：（本大题有8个小题，共72分．其中第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算、化简：
（1）
（2）
18．如图1，在中，，对角线，．作，垂足为点E，且．
（1）求的长．
（2）如图2，连结，求的中线的长．
19． 随着人工智能的快速发展，初中生使用AI大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某中学为了解本校学生日常使用AI大模型辅助学习次数的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，按每周使用次数(x次)分为四组(A： x<15； B：15≤x<20； C： 20≤x<25；D： x≥25)，根据调查结果，绘制了如下尚不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题
（1）本次抽取的学生人数为　 　人，扇形统计图中 m=　 　．
（2）求D组的人数，并补全条形统计图．
（3）若该校共有 1200 名学生，估计全校每周使用AI学习20次及以上的学生约有多少人．
20．如图，某大楼的顶部有一块广告牌CD，小背在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部的仰角为 ，沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为已知山坡AB 的坡度为 米，AE=30米.
（1）求点B距地面的高度BH.
（2）求广告牌CD 的高度(结果保留根号).
21．已知，二次函数（m为常数）．
（1）若二次函数图象经过点，求此二次函数的表达式．
（2）设抛物线顶点的纵坐标为p，求证：．
（3）当时，若二次函数图象始终在直线的上方，求m的取值范围．
22．综合与实践
【问题背景】近年，省教育厅明确将“坚持健康第一的教育理念”纳入中考体育方案，部署“六大行动”，要求把“健康第一”从口号转变为硬任务．我校九年级以“强体魄，迎中考”为主题，针对中考球类项目举办校园篮球定点投篮赛．
素材1 学校组织九年级5个班级各抽5名学生进行定点投篮赛，采用抽签的形式决定参赛顺序，以参赛学生个人得分总和为班级得分．
素材2 说明：经赛前进行投篮实践检测，得到如下结论． （1）篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐． （2）投篮后，如果篮球（P）不接触篮板、篮筐，且运动轨迹恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”． （3）篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，某一个同学在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变．
素材3 如图所示，本次比赛中某同学初次投篮时的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 他篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米（国际标准高度为米，为了计算方便取3米），篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米．
【问题解决】认真阅读以上素材内容，完成下列问题；
（1）任务一：这个同学投篮时，篮球运动轨迹所成抛物线的顶点坐标为　 　；
（2）任务二：该同学初次投篮时能否命中篮筐，请说明理由；
（3）任务三：该班数学兴趣小组同学对该同学的初次投篮数据进行研究后，让该同学在原来位置向前走了d米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求d的值（保留根号）．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 (b为常数)与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点 B，对称轴直线 x=1与x轴交于点 C.点P 为抛物线上第一象限内的动点，设P 点的横坐标为m.
（1）求 b 的值.
（2）当0≤x≤m时，记二次函数 的最大值、最小值分别为 s， t.若s-t=0.5，求m的值.
（3）过点 P 分别作 x轴和对称轴的垂线，垂足分别为点 D，E，当矩形 PECD 的周长最大时，求点 P 的坐标.
24．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点(不包含端点)， AG⊥EF于点 G， GM⊥AB于点M， EF=AG.
（1）如图1，求证： △AMG≌△ECF.
（2）如图2，过点 E作 HE⊥BC分别交AG， MG于点 H， N.
①求证：四边形 BMNE为正方形；
②求证： HE+GN=AB；
③若AB=1，请直接写出HE的取值范围.
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2026年中考数学最后押题试卷01
九年级数学
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分；
2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号；
3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交；
4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应．
试题卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若关于x的方程( 是一元二次方程，则a的取值范围为 (　　)
A．a=1 B．a≠-1 C．a≠±1 D．a≠1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵方程(a-1)x2+x+1=0是关于x的一元二次方程，
∴a-1≠0，
解得a≠1.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的定义得到a-1≠0，由此可以求得a的值.
2．设反比例函数（k为常数，k≠0）.已知当-6≤x≤-2时，y的最大值为-1，则当2≤x≤3时，y的最大值为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
3． 如图，在矩形 ABCD 中，AD=13，AB=5，E 为 BC 上一点，ED 平分∠AEC，则CE 的长为(　　)
A．12 B．5 C．1 D．3
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠ADE，
∵DE平分∠AEC，
∵∠DEC=∠AED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE= AD=13，
在直角△ABE中，
∴CE=BC-BE=AD-BE=13-12=1.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义证明∠ADE=∠AED，根据等角对等边，即可求得AE的长，在直角△ABE中，利用勾股定理求得BE的长，则CE的长即可求解.
4． 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 与△A'B'O 是以原点O为位似中心的位似图形，点B(-6，3)的对应点为B'(2，-1).若AA'=12，则点A 的坐标为(　　)
A．(-6，0) B．(-9，0) C．(-8，0) D．(-7，0)
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：与 是以原点O为位似中心的位似图形，点B(-6，3)的对应点为B'(2，-1)，
与 的位似比为3，
为12，
∴点A的坐标为(-9，0).
故答案为：B.
【分析】首先结合点B(-6，3)、点B'(2，-1)的坐标确定与的位似比为3，即可获得答案.
5．如图，是的内接三角形，是的直径，若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
由勾股定理得，即，
解得，
∴，
∴图中阴影部分的面积为
，
故选：C．
【分析】
连接CD，由圆周角定理知是直角三角形，且，则是等边三角形；由于OC是斜边AD的中线，则图中阴影部分的面积为列式计算即可求解．
6．《九章算术》中记载关于“盈不足”的问题：“今有共买金，人出四百，盈三百；人出三百，不足一百.问人数、金价各几何.”这段话的意思是：“今有数人合伙买金子，每人出 400 钱，会剩余 300 钱；每人出300钱，会差 100 钱.问人数、金价各是多少.”若设共有x 人，金价 y钱，则根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得，
故答案为：A.
【分析】根据今有数人合伙买金子，每人出400钱，会剩余300钱，每人出300钱，会差100钱，可以列出相应的方程组.
7．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形（点的对应点分别为点），已知的顶点，若点的坐标为，的面积为，则的面积为（　　）
A．8 B．4 C．2 D．16
【答案】A
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
∵与是以原点为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
位似图形必定是相似图形，其位似比等于相似比，因此先由得，，进而得，再利用面积比等于相似比的平方即可．
8．下表是一个二次函数的自变量与函数值的4组对应值：
… -1 1 2 4 …
… -7 3 5 3 …
则下列说法正确的是（　　）
A．函数图象的开口向上
B．函数图象与轴无交点
C．函数的最大值为5
D．当时，的值随值的增大而减小
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为，
将，，代入函数解析式得：，
解得，
∴二次函数解析式为，
∴函数图象的开口向下，A不符合题意；
令，则，
∵，
∴函数图象与轴有交点，B不符合题意；
∵，
∴函数的最大值为，C不符合题意；
∴当时，的值随值的增大而减小，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据待定系数法结合题意求二次函数的解析式，进而即可得到开口判断A；根据二次函数与坐标轴的交点问题结合一元二次方程根的判别式即可判断B；根据二次函数的最值结合题意即可判断C；根据二次函数的性质即可判断D.
9．如图， 在 中， ， 沿 折叠 ， 使点 恰好落在 边上的点 处， 若 ， 则 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵在中， ，∠25°，
∴∠B=90°－25°=65°.
∵在中， ，沿 折叠 ， 使点 恰好落在 边上的点 处，
∴.
∴∠BDC=180°－∠B－∠BCD=70°.
故答案为：D.
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，再利用折叠的性质求得∠BCD，再次利用三角形的内角和定理，即可得到答案.
10．如图，用两对全等的三角形(纸片和正方形EFGH纸片拼成无缝隙无重叠的纸片，连结DF并延长，分别交CH，BC于点和的面积分别为，若为GH的中点，且，则BN：NC的值为（　　）
A．2：3 B．3：4 C．3：5 D．4：5
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长CH交AD于点P，
∵四边形EFGH是正方形，
∴
，
∴，
∵M为GH的中点，
∴，
在△GMF和△HMD中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
设正方形EFGH的边长为a，
则，，，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ADE中，由勾股定理得
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】延长CH交AD于点P，根据题意可证明，得到，设正方形EFGH的边长为a，则，设，根据可推出，进而根据勾股定理可得，证明，根据相似三角形的性质得到，进而得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，最后根据求出BN的长，即可求解.
二、填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分．）
11．已知，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据非负数的和为0的条件可知：
即：a-8=0，b-3=0，
解得：a=8，b=3，
故答案为：
【分析】根据非负数的和为0的条件，求出a，b的值，进而求出结果.
12．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点在反比例函数 的图象上，延长AB 交x轴于点C，且BC=2AB，D是第二象限内一点，且DO∥AB.若△ADC 的面积是15，则k的值为　 　.
【答案】12
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
13．在一个不透明的袋子中装有4个红球和2个白球，它们除颜色外都相同，从袋中随机摸出一个球是白球的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
14． 如图，直线 AB 切⊙O 于点A，弦，则⊙O的半径为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，延长AO交⊙O于点F，连接OC，
∵直线AB切⊙O于点A，
∵弦CD∥AB，
∴∠AFC=∠AFD=90°，
∵AC=CD=6，
在Rt△OCF中，
∵OC=OA， OF=AF-OA=AF-OC
即
解得
∴圆的半径为
故答案为：
【分析】根据切线的性质连接OA，再根据平行线的性质延长AO交⊙O于点F，连接OC，利用勾股定理解出AF的长，最后再次利用勾股定理求出答案.
15． 定义： 在直线y= kx+b(k， b为常数且k≠0)上的两点A (x1， y1)， B(x2， y2) 满足条件( =k且x2x1最小”时，称B是A的“k点”. 若点. 在直线y= kx+b(k，b为常数且k≠0)上且N是M的“k点”， 则b=　 　.
【答案】
【知识点】二次函数的最值；解二元二次方程组；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点 在直线y= kx+b上，
∴，两式相减得：，化简得：，
∵N是M的“k点”，
∴=k且x2x1最小
∴，得，
∴x2x1最小时，最小，得
∴
∴，
故填：.
【分析】根据点 在直线y= kx+b上，代入化简可得，因为N是M的“k点”， 可得=k且x2x1最小，化简求值得，最后代入可求出k，b的值。
16．如图， △ABC内接于⊙O，直径AB=12，弦作弦CD与AB相交于点E.连结BD，过点A作CD的平行线交⊙O于点 M，连接MC，若 则△BCD的面积为　 　．
【答案】或
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；圆周角定理的推论
三、解答题：（本大题有8个小题，共72分．其中第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算、化简：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；实数的混合运算（含开方）
18．如图1，在中，，对角线，．作，垂足为点E，且．
（1）求的长．
（2）如图2，连结，求的中线的长．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∴，
∵，
∴都是直角三角形，
又，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得或，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
（2）解：延长到点，使，连接，
∵，，
∴，
∵是的中点，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
过点作交的延长线于点，则，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行且相等得AD=BC=5，AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠DCA=∠BAC=45°，则可得△CDE是等腰直角三角形，得CE=DE，设DE=x，则CE=x，AE=AC-CE=7-x，在Rt△AED中根据勾股定理建立方程，求出x的适当的值即可；
（2）延长AF到点M，使FM=AF，连接BM，首先利用“SAS”证△AFE≌△MFB，由全等三角形的性质得BM=AE=4，∠FBM=∠FEA，由内错角相等两直线平行推出BM∥AC，由二直线平行，同旁内角互补求出∠ABM=135°；在Rt△CED中利用勾股定理算出CD，由平行四边形的对边相等得出AB的长；过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，由邻补角求出∠ABN=45°，根据勾股定理求得AN=BN=3，由线段和差算出MN，最后在Rt△AMN中，运用勾股定理算出AM，可求出AF．
（1）解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∴，
∵，
∴都是直角三角形，
又，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得或，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
（2）解：延长到点，使，连接，
∵，，
∴，
∵是的中点，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
过点作交的延长线于点，则，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
在中，，
∴．
19． 随着人工智能的快速发展，初中生使用AI大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某中学为了解本校学生日常使用AI大模型辅助学习次数的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，按每周使用次数(x次)分为四组(A： x<15； B：15≤x<20； C： 20≤x<25；D： x≥25)，根据调查结果，绘制了如下尚不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题
（1）本次抽取的学生人数为　 　人，扇形统计图中 m=　 　．
（2）求D组的人数，并补全条形统计图．
（3）若该校共有 1200 名学生，估计全校每周使用AI学习20次及以上的学生约有多少人．
【答案】（1）50；40
（2）解：D组人数： 50-10-20-5=15(人) ，略
（3）解：(人)
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
20．如图，某大楼的顶部有一块广告牌CD，小背在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部的仰角为 ，沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为已知山坡AB 的坡度为 米，AE=30米.
（1）求点B距地面的高度BH.
（2）求广告牌CD 的高度(结果保留根号).
【答案】（1）解：∵AB的坡度为
（2）解：过点 B 作 BG⊥DE 交 DE 于点G，
∵AB=20m，i=1：
∴EH=EA+AH=(30+10 ) m.
∵∠GBC=30°，
∴CE=CG+GE=CG+BH=(20+10 ) m.
∵∠EAD=45°，
∴DE=EA=30 m，
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
21．已知，二次函数（m为常数）．
（1）若二次函数图象经过点，求此二次函数的表达式．
（2）设抛物线顶点的纵坐标为p，求证：．
（3）当时，若二次函数图象始终在直线的上方，求m的取值范围．
【答案】（1）解：将点代入解析式，解得，
二次函数表达式为．
（2）证明：，
，，．
（3）解：对称轴为直线，
①当，即时，将代入解析式得，，
解得，，不存在，
②当时，即时，将代入解析式得，
，解得，，不存在，
③当时，即时，
，即，
设，w与m成二次函数关系，图象与x轴交点坐标为，，开口向下，当时，，，，
综上所述，当时，．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用一般式求二次函数解析式；分类讨论
【解析】【分析】(1)将点(-2，4)代入解析式求出m的值解答即可；
(2)利用顶点坐标公式表示p，进而利用二次函数的顶点式求出最值解答即可；
(3)先得到对称轴为直线，然后分为，，三种情况，根据二次函数的性质，根据题意得到不等式求出m的取值范围即可.
22．综合与实践
【问题背景】近年，省教育厅明确将“坚持健康第一的教育理念”纳入中考体育方案，部署“六大行动”，要求把“健康第一”从口号转变为硬任务．我校九年级以“强体魄，迎中考”为主题，针对中考球类项目举办校园篮球定点投篮赛．
素材1 学校组织九年级5个班级各抽5名学生进行定点投篮赛，采用抽签的形式决定参赛顺序，以参赛学生个人得分总和为班级得分．
素材2 说明：经赛前进行投篮实践检测，得到如下结论． （1）篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐． （2）投篮后，如果篮球（P）不接触篮板、篮筐，且运动轨迹恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”． （3）篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，某一个同学在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变．
素材3 如图所示，本次比赛中某同学初次投篮时的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 他篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米（国际标准高度为米，为了计算方便取3米），篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米．
【问题解决】认真阅读以上素材内容，完成下列问题；
（1）任务一：这个同学投篮时，篮球运动轨迹所成抛物线的顶点坐标为　 　；
（2）任务二：该同学初次投篮时能否命中篮筐，请说明理由；
（3）任务三：该班数学兴趣小组同学对该同学的初次投篮数据进行研究后，让该同学在原来位置向前走了d米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求d的值（保留根号）．
【答案】（1）（3，4）
（2）解：该同学初次投篮时不能命中篮筐．
理由：由题意得：点，抛物线顶点，
设抛物线的解析式为，
，
解得：，
．
当时，，
∵时，篮球可命中篮筐，
∴该同学初次投篮时不能命中篮筐；
（3）解：新的抛物线解析式为：，
根据题意得抛物线过点，
∴，
解得：或，
当时，抛物线的顶点坐标为，此时，不符合题意，舍去，
答：的值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 (b为常数)与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点 B，对称轴直线 x=1与x轴交于点 C.点P 为抛物线上第一象限内的动点，设P 点的横坐标为m.
（1）求 b 的值.
（2）当0≤x≤m时，记二次函数 的最大值、最小值分别为 s， t.若s-t=0.5，求m的值.
（3）过点 P 分别作 x轴和对称轴的垂线，垂足分别为点 D，E，当矩形 PECD 的周长最大时，求点 P 的坐标.
【答案】（1）解：由 得b=2.
（2）解：由(1)得
令y=0，得x1 =-1， x2 =3，
所以0分两种情况：
①若0当x=m时，
因为s-t=0.5，所以
解得 (舍去)，
②若1≤m<3，则 1≤x<3，当x=1时， ymax=s=4；
因为s-t=0.5， 所以t=3.5.
又因为当x=0时，y=3<3.5，
所以该情况不存在满足条件的点 P.
综上所述，
（3）解：由题意得 设矩形PECD的周长为L， 则：
①点 P 在对称轴左侧时，如图，
时L 最大.
当L最大时，点
②点 P 在对称轴右侧时，根据对称性得
所以点 P 坐标为( 或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式计算即可；
（2）先求出抛物线与x轴交点的坐标，即可得到0（3）设点P的坐标，即可得到点E的坐标，然后分为点 P 在对称轴左侧或点 P 在对称轴右侧两种情况表示L关于m的函数关系式，然后配方得到顶点式，进而得到点P的坐标即可.
24．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点(不包含端点)， AG⊥EF于点 G， GM⊥AB于点M， EF=AG.
（1）如图1，求证： △AMG≌△ECF.
（2）如图2，过点 E作 HE⊥BC分别交AG， MG于点 H， N.
①求证：四边形 BMNE为正方形；
②求证： HE+GN=AB；
③若AB=1，请直接写出HE的取值范围.
【答案】（1）证明：因为四边形ABCD 为正方形， GM⊥AB，
所以∠C=∠B=90°=∠AMG.
因为AG⊥EF，
所以∠BAG+∠BEG=180°.
因为∠CEF+∠BEG=180°，
所以∠BAG=∠CEF.
所以在△AMG与△ECF中，
所以△AMG≌△ECF.
（2）解：①因为四边形ABCD为正方形，
所以AB=BC， ∠B=90°.
因为△AMG≌△ECF，
所以AM=EC.
所以BE=BM.
因为HE⊥BC， GM⊥AB，
所以∠BEN=∠BMN=∠B=90°.
所以四边形 BMNE 为正方形.
②延长MG 交 CD 于点 K，
因为四边形ABCD为正方形，
所以∠C=∠B=90°.
又因为四边形 BMNE 为正方形，
所以∠CEN=∠KNE=90°.
因为四边形 NECK为矩形，
所以CK=NE=MN， ∠FKG=∠HNG=90°.
因为△AMG≌△ECF，
所以MG=FC， ∠KFG=∠HGN，
所以FK=NG.
所以△FKG≌△GNH.
所以HN=KG， HE+NG=MN+NG+KG=BC=AB.
(另法：延长EH 交AD 于点 P，证明△APH≌△ENG)
③
【知识点】正方形的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；四边形-动点问题
【解析】【分析】(1)要证明△AMG≌△ECF，先利用正方形ABCD和GM⊥AB的条件，得到∠C=∠AMG=90°：再由AG⊥EF推出∠BAG与∠BEG互补，结合平角性质得到∠BAG=∠CEF，最后结合已知AG=EF，用AAS判定两个三角形全等；
(2)①要证明四边形BMNE为正方形，先由HE⊥BC、GM⊥AB、∠B=90°，证出四边形BMNE是矩形；再结合(1)中△AMG≌△ECF得到AM=EC，利用正方形边长AB=BC，推出BM=BD，从而由"邻边相等的矩形是正方形完成证明；
②要证明HE+GN=AB，先由GM⊥AB、HE⊥BC，得到GM‖BC、HE‖AB结合BMNE是正方形，得到HD=BM；再由GM⊥AB，得到GN=GM-MN=AM，最后由BM+AM=AB，完成HE+GN=AB的证明；
③已知AB=1，由②的结论HE=AB-GN=1-GN，结合E，F不包含端点的条件，分析GN的取值范围，进而得到H的取值范围。
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